On the nilpotent Leibniz–Poisson algebras

Full Text

Алгебра Лейбница над полем K — неассоциативная алгебра с умножением {, }, определяемая тождеством Лейбница {{x, y}, z} = {{x, z}, y} + {x, {y, z}}, которое превращает правое умножение в дифференцирование этой алгебры. При этом заметим, что если в алгебре Лейбница выполняется тождество {x, x} = 0, то она является алгеброй Ли. Таким образом, любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница. Пусть V — многообразие алгебр Лейбница (все необходимые сведения о многообразиях PI-алгебр можно найти, например, в монографии [1]). Обозначим через K(X, V) относительно свободную алгебру данного многообразия, где X = {x1 , x2 , . . .} — счетное множество свободных образующих. В случае основного поля нулевой характеристики вся информация о многообразии V содержится в его полилинейных компонентах Pn (V), n = 1,2, . . ., где Pn (V) — линейное подпространство в пространстве K(X, V), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных x1 , . . . , xn . Обозначим cn (V) = dim Pn (V). Договоримся опускать скобки {, } при их левонормированной расстановке, т.е. {. . . {{x1 , x2 }, x3 }, . . . , xn } = {x1 , x2 , . . . , xn }. 207 Р а ц е е в С. М., Ч е р е в а т е н к о О. И. Далее понадобится следующее утверждение, которое несложно проверить. Предложение 1. Пусть A — некоторая ассоциативная алгебра с операцией умножения ∧ над произвольным полем K. На декартовом квадрате B = A × A определим операции сложения и умножения {, } элементов множества B: (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ), {(x1 , x2 ), (y1 , y2 )} = ([x1 , y1 ], x2 ∧ y1 ), где [x1 , y1 ] = x1 ∧y1 − y1 ∧x1 , (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ B. Тогда полученная алгебра B будет являться алгеброй Лейбница. Пусть SUN = SUN (K) — алгебра строго верхнетреугольных матриц порядка N над полем K. Хорошо известно, что в случае бесконечного поля K элемент свободной ассоциативной алгебры x1 ∧ . . . ∧ xN является базисом тождеств алгебры SUN [2]. Обозначим через UN = SUN × SUN алгебру Лейбница, построенную с помощью предложения 1. Тогда справедливо следующее утверждение. Предложение 2. В случае основного поля K нулевой характеристики элемент свободной алгебры Лейбница {x1 , x2 , . . . , xN } является базисом тождеств алгебры UN . Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что в алгебре UN выполнено тождество {x1 , x2 , . . . , xN } = 0, т.е. для произвольных элементов (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), . . . , (aN , bN ) ∈ UN выполнено равенство {(a1 , b1 ), (a2 , b2 ), . . . , (aN , bN )} = = ([. . . [a1 , a2 ], . . . , aN ], b1 ∧ a2 ∧ a3 ∧ . . . ∧ aN ) = (0, 0). (1) Покажем, что cn (UN ) = n!, 1 n < N . Для этого рассмотрим линейное соотношение ασ {xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) } = 0, ασ ∈ K. σ∈Sn Зафиксируем некоторое σ ∈ Sn и сделаем подстановку xσ(1) → (0, e12 ), xσ(2) → (e23 , 0), . . . , xσ(n) → (en n+1 , 0), где eij — матричная единица. Тогда, используя равенство (1), получаем равенство ασ (0, e1 n+1 ) = (0, 0). Отсюда следует, что ασ = 0. В силу произвольности выбора σ делаем вывод, что система {xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) }, σ ∈ Sn , линейно независима. Предложение доказано. Алгебра A = A(+, ·, {, }, K) над полем K называется алгеброй Лейбница—Пуассона, если A(+, ·, K) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, A(+, {, }, K) — алгебра Лейбница с операцией умножения {, } и для любых a, b, c ∈ A выполнены правила: {a · b, c} = a · {b, c} + {a, c} · b, {c, a · b} = a · {c, b} + {c, a} · b. Заметим, что если в алгебре Лейбница—Пуассона выполнено тождество {x, x} = = 0, то данная алгебра будет являться алгеброй Пуассона. Об алгебрах Пуассона можно найти подробную информацию в работе [3]. Алгебры Пуассона возникают в различных разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физики (см., например [4]) и т.д. 208 О нильпотентных алгебрах Лейбница—Пуассона Нетрудно проверить следующее утверждение. Предложение 3. Пусть A — некоторая ассоциативная алгебра с операцией умножения ∧ над произвольным полем K. Рассмотрим декартово произведение C = A×A×K, в котором определим операцию сложения и две операции умножения · и {, } элементов множества C: (x1 , x2 , α) + (y1 , y2 , β) = (x1 + y1 , x2 + y2 , α + β), (x1 , x2 , α) · (y1 , y2 , β) = (βx1 + αy1 , βx2 + αy2 , αβ), {(x1 , x2 , α), (y1 , y2 , β)} = ([x1 , y1 ], x2 ∧ y1 ,0), где [x1 , y1 ] = x1 ∧ y1 − y1 ∧ x1 , (x1 , x2 , α), (y1 , y2 , β) ∈ C. Тогда полученная алгебра C будет являться алгеброй Лейбница—Пуассона, в которой выполнено тождество {x1 , x2 } · {x3 , x4 } = 0. LP Пусть UN = SUN × SUN × K — алгебра Лейбница—Пуассона, построенная с помощью предложения 3. Теорема. В случае основного поля K нулевой характеристики для алгебры LP Лейбница—Пуассона UN справедливы следующие утверждения: (i) полилинейные тождества {x1 , x2 } · {x3 , x4 } = 0, {x1 , x2 , . . . , xN } = 0 (2) LP порождают идеал тождеств алгебры UN ; LP (ii) для любого натурального n базис полилинейной компоненты Pn (UN ) состоит из элементов вида x1 · . . . · xn , xi1 · xi2 · . . . · xin−k · {xj1 , xj2 , . . . , xjk }, (3) где k = 2, . . . , min{n, N − 1}, {i1 , . . . , in−k , j1 , . . . , jk } = {1, 2, . . . , n} как множества и i1 < i2 < . . . < in−k ; (iii) для любого натурального n выполнено равенство min{n,N −1} LP cn (UN ) = 1 + k Cn · k!, k=2 k где Cn — число сочетаний из n по k. LP Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что в алгебре UN выполняются тождества LP (2), т.е. для произвольных элементов (a1 , b1 , α1 ), (a2 , b2 , α2 ), . . ., (aN , bN , αN ) ∈ UN выполнены равенства {(a1 , b1 , α1 ), (a2 , b2 , α2 ), . . . , (aN , bN , αN )} = = ([. . . [a1 , a2 ], . . . , aN ], b1 ∧ a2 ∧ a3 ∧ . . . ∧ aN , 0) = (0, 0, 0), {(a1 , b1 , α1 ), (a2 , b2 , α2 )} · {(a3 , b3 , α3 ), (a4 , b4 , α4 )} = (0, 0, 0). (4) Обозначим через V многообразие алгебр Лейбница—Пуассона, порожденное тождествами (2). Полилинейная компонента Pn (V) есть линейная оболочка элементов вида (3). 209 Р а ц е е в С. М., Ч е р е в а т е н к о О. И. LP Покажем, что по модулю идеала тождеств алгебры UN элементы (3) являются линейно независимыми. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого n в LP алгебре UN выполнено нетривиальное тождество αi1 ,...,in−k ,j1 ,...,jk · xi1 · xi2 · . . . · xin−k · {xj1 , xj2 , . . . , xjk } = 0. i1 ,...,in−k ,j1 ,...,jk Пусть i1 , . . . , in−k0 , j1 , . . . , jk0 — такой набор индексов, при котором значение k0 минимально и αi1 ,...,in−k0 ,j1 ,...,jk0 = 0. Сделаем следующую подстановку: xi1 → (0, 0, 1), xi2 → (0, 0, 1), . . . , xin−k0 → (0, 0, 1). Тогда мы получим нетривиальное тождество ασ {xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(k0 ) } = 0, ασ ∈ K. σ∈Sk0 Зафиксируем некоторое σ ∈ Sk0 и сделаем подстановку xσ(1) → (0, e12 , 0), xσ(2) → (e23 , 0, 0), . . . , xσ(k0 ) → (ek0 k0 +1 , 0, 0). Тогда, используя равенство (4), получаем равенство ασ (0, e1 k0 +1 , 0) = (0, 0, 0). Отсюда ασ = 0. Таким образом, условия (i) и (ii) доказаны. Условие (iii) следует из условия (ii). Теорема доказана. Работа частично поддержана РФФИ (проект № 10−01−004209−a).

About the authors

Sergey M Ratseev

Ul’yanovsk State University

Email: ratseevsm@rambler.ru
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Information Security & Control Theory 42, L. Tolstogo st., Ul’yanovsk, 432970, Russia

Olga I Cherevatenko

Ul’yanovsk State Pedagogical University

Email: chai@pisem.net
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics 4, pl. im. 100-letiya so dnya rozhdeniya V. I. Lenina, Ul’yanovsk, 432700, Russia

References

Supplementary files