Atom-field entanglement for Jaynes–Cummings model with an intensity-depend coupling

Full Text

Введение. Квантовые атом-атомные и атом-полевые перепутанные состояния являются основным ресурсом квантовой информатики. Для приложений в физике квантовых вычислений нужны максимально перепутанные чистые состояния с достаточно большим временем жизни [1]. В настоящее время предложены и частично реализованы различные схемы генерации и использования перепутанных состояний. Атом-полевые перепутанные состояния наблюдались в ряде экспериментов с ионами и атомами в магнитных и оптических ловушках [1]. В целом интерес к атомам в резонаторах и ионам в оптических и магнитных ловушках обусловлен возможностью использования таких систем в качестве логических элементов квантовых компьютеров (кубитов). Для теоретического описания таких систем используются модель Джейнса–Каммингса (МДК)и её простейшие обобщения. МДК и её простейшие обобщения играют фундаментальную роль в квантовой оптике, поскольку позволяют описать все основные квантовые эффекты взаимодействия излучения с веществом. В частности, на примере двухатомной МДК можно исследовать особенности атомного перепутывания за счет взаимодействия атомов с различными бозонными полями. В последнее время интерес к однои двухатомным МДК особенно возрос в связи с их экспериментальной реализацией на атомах и ионах в резонаторах и ловушках, индивидуальных молекулах в органических кристаллах, искусственных атомах на квантовых точках, сверхпроводящих системах. В реальных условиях квантовые системы всегда взаимодействуют с окружением. Такое взаимодействие обычно приводит к декогерентности, так что исследуемая система эволюционирует в смешанное перепутанное состояние, которое оказывается непригодным для целей 169 Е. К. Б а ш к и р о в, Е. В. Г р и ш и н а, Е. Ю. С о ч к о в а квантовых вычислений. Однако даже в отсутствие диссипации возникающие атом-полевые перепутанные состояния оказываются нестабильными. В частности, в случае атомов, взаимодействующих с электромагнитным полем в высокодобротных резонаторах и ловушках, нестабильность атомных перепутанных состояний обусловлена осцилляциями Раби. Для стабилизации перепутывания предлагалось использовать взаимодействие атомов с окружением специального вида: сжатый вакуум, резонаторы низкой добротности, белый оптический шум и др. Однако такие способы стабилизации в настоящее время представляют чисто теоретический интерес, так как не могут быть реализованы экспериментально. Поэтому с практической точки зрения представляет интерес изучение возможности частичной стабилизации атом-полевого перепутывания за счет более простых механизмов. В частности, возможность контроля атом-полевого перепутывания за счет неидентичности атомов в случае двухатомной двухфотонной МДК исследовалось нами в работе [4]. Исследование атом-полевого перепутывания для МДК было инициировано Финиксом и Найтом [4] и Геа-Банаклоче [5]. Результаты для одноатомной МДК были позднее обобщены на случай двухатомной и многофотонной МДК с различными типами разрешенных атомных переходов [6–11]. Экспериментально атом-полевое перепутывание наблюдалось как для одного, так и для двух атомов, взаимодействующих с полем в резонаторе, с использованием одноатомного мазера [13–16]. Такой эффект был также реализован для ионов в магнитных ловушках Пауля и спинов в твердых телах [17, 18]. Хорошо известно, что в двухфотонных процессах характер взаимодействия атомов с полем сильно зависит от его интенсивности. Нелинейный характер взаимодействия атома с полем в резонаторе наблюдался недавно в работе [19]. В настоящей статье мы исследуем динамику атомной и полевой подсистем и атом-полевое перепутывание в двухатомной МДК с зависящей от интенсивности поля константой атом-фотонного взаимодействия в случае, когда резонаторное поле в начальный момент времени находится в когерентном состоянии с большим средним числом фотонов в моде. Рассмотрение проводится как с помощью анализа асимптотического поведения полной волновой функции системы, так и в рамках концепции линейной атомной энтропии. В результате найдены такие начальные состояния атомной подсистемы, для которых распутывание атом-полевой подсистем наименее вероятно. Проведена также оценка времен распутывания атомов и поля для различных начальных состояний атомов и интенсивного когерентного состояния поля. 1. Модель и её точное решение. Рассмотрим одномодовое поле, резонансно взаимодействующее с двумя идентичными двухуровневыми атомами с константами взаимодействия, зависящими от интенсивности поля. Гамильтониан взаимодействия данной системы можно представить в следующем виде: 2 2 z σi + g Hint = ωa+ a + ω i=1 √ √ − + a+ aa+ σi + σi a a+ a . (1) i=1 Здесь ω — частота перехода в двухуровневом атоме; a+ (a) — операторы рож− + дения (уничтожения) фотонов в моде; σi = |+ ii −| и σi = |− ii +| — атомz — операторы полуразности населённостей двухные операторы перехода; σi уровневых атомов; |− i и |+ i — основное и возбужденное состояния i-того двухуровневого атома (i = 1, 2) соответственно. Константа g с оператором 170 Атом-полевое перепутывание для модели Джейнса–Каммингса . . . √ a+ a играет роль зависящей от интенсивности поля константы взаимодействия атомом и поля. Приведём значения параметров одноатомного мазера в Париже [13], который использовался для получения атом-полевых перепу√ танных состояний: ω = 321 ГГц, ng = 151 кГц. ¯ Предположим, что атомы в начальный момент времени приготовлены в произвольном чистом состоянии, а поле в – когерентном состоянии. Тогда полная волновая функция атом-полевой системы в начальный момент времени может быть представлена как |Ψ(0) = (c1 |+, + + c2 |+, − + c3 |−, + + c4 |−, − ) |υ , (2) где ci , i = 1, 2, 3, 4 — коэффициенты, удовлетворяющие условию нормировки |c1 |2 + |c2 |2 + |c3 |2 + |c4 |2 = 1 и когерентному состоянию |υ = ∞ n=0 Fn |n . n/2 √ Здесь Fn = exp(−n/2) n eıϕ ; υ = n1/2 eıϕ ; n = |υ|2 — среднее число фотонов n! в моде; ϕ — фаза моды когерентного резонаторного поля. Точное решение уравнения Шрёдингера для волновой функции при начальных условиях (2) для модели с гамильтонианом (1) имеет вид |Ψ(t) = n X1n (t)|+, +; n + X2n (t)|+, −; n + 1 + + X3n (t)|−, +; n + 1 + X4n (t)|−, −; n + 2 . (3) Здесь X1n (t) = (n + 1) sin(2Ωn ) (n + 2)2 + (n + 1)2 cos(2Ωn t) c1 Fn − ı c2 Fn+1 − 2 2Ωn 2Ωn (n + 1) sin(2Ωn t) (n + 1)(n + 2) sin2 (Ωn t) −ı c3 Fn+1 − c4 Fn+2 , 2Ωn Ω2 n X2n (t) = −ı X3n (t) = −ı (n + 1) sin(2Ωn t) c1 Fn + cos2 (Ωn t)c2 Fn+1 − 2Ωn (n + 2) sin2 (Ωn t) c4 Fn+2 , − sin2 (Ωn t)c3 Fn+1 − ı 2Ωn (n + 1) sin(2Ωn t) c1 Fn − sin2 (Ωn t)c2 Fn+1 + 2Ωn (n + 2) sin2 (Ωn t) + cos2 (Ωn t)c3 Fn+1 − ı c4 Fn+2 , 2Ωn 171 Е. К. Б а ш к и р о в, Е. В. Г р и ш и н а, Е. Ю. С о ч к о в а (n + 1)(n + 2) sin2 (Ωn t) (n + 2) sin(2Ωn t) c1 Fn − ı c2 Fn+1 − 2 Ωn 2Ωn (n + 2) sin(2Ωn t) (n + 1)2 + (n + 2)2 cos2 (Ωn t) −ı c4 Fn+2 , c3 Fn+1 + 2Ωn 2Ω2 n X4n (t) = − Ωn = [2n(n + 3) + 5] /2. Используя вектор состояния (3), можно вычислить вероятности нахождения обоих атомов в возбужденном, основном состоянии и в любом другом чистом состоянии. Очевидно, что вероятности быстро осциллируют на частотах 2Ωn и 4Ωn . Интерференция состояний с различным числом фотонов приводит к восстановлению и распаду осцилляций Раби. Восстановление осцилляций Раби имеет место при условиях |2Ωn+1 − 2Ωn |T1R = 2πk, |4Ωn+1 − 4Ωn |T2R = 2πm, (4) (5) где k и m = 0, 1, 2, . . . . Для относительно высокой интенсивности когерент1) формулы (4) и (5) могут быть представлены как gT1R = ного поля (n = πk и gT2R = πm/2. Таким образом, для рассматриваемой модели имеются две серии восстановления осцилляций Раби для вероятностей с периодами T1R и T2R . 2. Эволюция вектора состояния системы. Используя точное решение (3), мы можем провести исследование особенностей атом-полевого перепутывания. Учитывая, что резонаторное поле первоначально приготовлено в когерентном состоянии с высокой интенсивностью, исследуем вначале временное поведение собственных векторов полуклассического гамильтониана взаимодействия. Полуклассический гамильтониан взаимодействия для рассматриваемой модели можно записать в виде 2 − + υ ∗ σi + υσi . HSC = g|υ| (6) i=1 Собственные значения и собственные векторы гамильтониана (6) следующие: λ1,2 = ±2g|υ|2 , λ3,4 = 0; 1 2iϕ e |+, + + |−, − + eiϕ (|+, − + |−, + ) , 2 1 2iϕ |Φ2 = e |+, + + |−, − − eiϕ (|+, − + |−, + ) , 2 (7) 1 |Φ3 = √ −e2iϕ |+, + + |−, − , 2 1 |Φ4 = √ [|+, − − |−, + ] . 2 Теперь рассмотрим динамику рассматриваемой модели с гамильтонианом (1) для специальных начальных условий. Пусть атомы в начальный момент времени приготовлены в одном из состояний вида (7), а поле — в коге1, т.е. рентном состоянии с большим средним числом фотонов в моде n |Φ1 = 172 Атом-полевое перепутывание для модели Джейнса–Каммингса . . . |Ψ(0) = |Φi |υ , i = 1, 2, 3, 4. Используя технику, развитую в [8], можно получить следующие асимптотические формулы: |Φ1 |υ → 1 −4igt 2iϕ e e |+, + + |−, − + 2 + e−2igt e−iϕ (|+, − + |−, + ) × |Φ2 |υ → ∞ n=0 Cn |n e−i2Ωn t , (8) 1 4igt 2iϕ e e |+, + + |−, − − 2 − e2igt e−iϕ (|+, − − |−, + ) × ∞ n=0 Cn |n ei2Ωn t , (9) |Φ3 |υ → |Φ3 |υ , |Φ4 |υ → |Φ4 |υ , (10) где Ωn ≈ n. Из выражений (8)–(10) видно, что вектор состояния системы для выбранных начальных состояний может быть факторизован для любого момента времени. Это означает, что для таких начальных состояний система находится в чистом распутанном состоянии в любой момент времени. Теперь вернемся к изучению динамики системы с гамильтонианом (1). Особый интерес при этом представляют начальные атомные состояний |Φ1 и |Φ2 . Из (8), (9) видно, что атомная система, в начальный момент времени приготовленная в состоянии |Φ1 или |Φ2 , ни при каких временах не возвращается в это же чистое состояние. Однако атомные состояния (8) и (9) точно совпадают в моменты времени T1R , (11) t1 = (2k + 1) 4 где k — целое число и T1R — один из периодов возрождения осцилляций Раби. В эти моменты времени совпадающее атомное состояние есть 1 −e4iϕ |+, + + |−, − − ıe2iϕ (|+, − + |−, + ) . 2 Предположим теперь, что состояние атомной системы в начальный момент времени приготовлено в виде линейной суперпозиции состояний |Φ1 и |Φ2 , такой как A-состояние 1 1 |Ψ A = √ (|+, − + |−, + ) = e2iϕ √ (|Φ1 − |Φ2 ) 2 2 или B-состояние 1 1 |Ψ B = √ e4ıϕ |+, + + |−, − = √ (|Φ1 + |Φ2 ) . 2 2 Тогда в моменты времени t1 происходит полное распутывание состояний атомов и когерентного поля. При этом поле в указанные моменты времени является когерентной суперпозицией двух макроскопических состояний, которая обычно носит название «кот Шрёдингера». Кроме того, легко заметить, что состояния поля в выражениях (8) и (9) точно совпадают (при условии n ¯ 1) для времён t2 = kπ/2g = kT2R , k = 1, 2, . . . . (12) 173 Е. К. Б а ш к и р о в, Е. В. Г р и ш и н а, Е. Ю. С о ч к о в а а б Поведение линейной атомной энтропии для начальных атомных состояний: а) 1/2|+, − + |−, + ; б) |+, + ; начальное число фотонов n = 30; фаза когерентного состояния ϕ = 0 В результате для рассматриваемой системы имеются две серии времен распутывания поля и атомов, приготовленных в начальный момент времени в состоянии |ΨA или |ΨB . Из точного выражения для волновой функции (3) можно также легко увидеть, что для любых начальных чистых состояний атомов распутывание состояний атомов и поля имеем место также при условиях |Ωn+2 − Ωn+1 |t = 2πk, |Ωn+1 − Ωn |t = 2πk. (13) Для большого числа фотонов в моде n ¯ 1 уравнения (13) удовлетворяются для времён t3 = (π/g)k = T1R k, (14) где k — целое число. Таким образом, для начальных атомных состояний вида |ΨA или |ΨB имеются две серии времен распутывания, для всех же остальных состояний — всего одна серия. Эти результаты отличаются от тех, что были получены нами ранее для двухатомной вырожденной двухфотонной МДК [8] без учета динамического штарковского сдвига. В указанном случае для Sи A-состояний наблюдаются три серии времен распутывания и одна серия — для всех остальных состояний. 3. Динамика атомной энтропии для различных начальных состояний атомов и поля. Выводы об особенностях динамики перепутывания в рассматриваемой модели, полученные нами на основе анализа асимптотического поведения полновой волновой функции, могут быть проверены путем численного моделирования линейной атомной энтропии, которая используется в квантовой информатике в качестве одного из критерия оценки степени перепутанности составных систем. Линейная атомная энтропия определяется как S = 1 − Tr ρ2 , где ρat = TrF (|Ψ Ψ|). В случае, когда S = 0, атом-полевая at система находится в распутанном состоянии. Максимальной степени перепутывания соответствует значение S = 3/4. Динамика линейной атомной энтропии S представлена на рисунке для различных начальных состояний атома и когерентного поля большой интенсивности. Рисунок а демонстрирует поведение линейной атомной энтропии для случая, когда атомная подсистема в начальный момент времени находится в состоянии S (или A). Из рисунка видно, что для рассматриваемых 174 Атом-полевое перепутывание для модели Джейнса–Каммингса . . . начальных состояний системы имеются две серии времен распутывания атомов и поля. Полученный результат полностью совпадает с тем, что получен в предыдущем разделе (см. формулы (11) и (12)). Таким образом, численное моделирование подтверждает заключения, сделанные на основе анализа асимптотического поведения вектора состояния полной системы. Что касается состояний |+, + (или |−, − , |+, − и |−, + ), из рисунка б хорошо видно, что в рассматриваемом случае система обладает всего одной серией времен распутывания состояний атомов и поля. Эти времена хорошо описываются формулой (14). Таким образом, можно видеть, что все результаты, полученные путём численного моделирования, полностью согласуются с результатами, полученными на основе анализа динамики полной волновой функции системы. Заключение. Итак, мы рассмотрели атом-полевое перепутывание системы двух идентичных двухуровневых атомов, взаимодействующих с когерентным электромагнитным полем, с константой взаимодействия, зависящей от интенсивности поля. Количественная оценка степени перепутывания такой системы проведена на основании как анализа асимптотического поведения атомполевого вектора состояния, так и линейной атомной энтропии. При этом показано, что вероятность распутывания состояний атомов и поля может быть уменьшена путём подходящего выбора начального состояния атомной подсистемы.

About the authors

Eugene K Bashkirov

Samara State University

Email: bash@samsu.com
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

Eugenya V Grishina

Samara State University

Student, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

Elena Yu Sochkova

Samara State University

Email: sochkova-elena@mail.ru
Postgraduate Student, Dept. of General and Theoretical Physics. 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

References

Supplementary files