On Cauchy problem for Euler–Poisson–Darboux system with nilpotent matrix coefficient

Abstract

The solution of Cauchy problem for the system of Euler–Poisson–Darboux equations with nilpotent matrix coefficient of power m is obtained by the Riemann method. The Hadamard well-posedness theorem for the Cauchy problem solution is formulated.

Full Text

Рассматривается система дифференциальных уравнений: ∂2U ∂2U 2G ∂U − − = 0, 2 ∂x ∂y 2 y ∂y (1) где U = (u1 , u2 , . . . , un ) , G — действительная (n × n)-нильпотентная матрица [1] степени m, 2 m n. Задача Коши. Найти вектор-функцию U (x, y), удовлетворяющую следующим условиям: ¯ 1) U (x, y) ∈ C(D) ∩ C 2 (D), где D = {(x, y) : 0 < −y < x < y + 1}; 2) U (x, y) удовлетворяет системе (1); 3) выполняются начальные условия U (x, 0) = τ (x), x ∈ [0, 1]; lim K(y) y→−0 ∂U = ν(x), ∂y x ∈ (0, 1), (2) где τ (x) = (τ1 (x), τ2 (x), . . . , τn (x)) , ν(x) = (ν1 (x), ν2 (x), . . . , νn (x)) , K(y) = = (−y)2G . В характеристических координатах ξ = x + y, η = x − y область D переходит в область H = {(ξ, η) : 0 < ξ < η < 1}, матричное уравнение (1) редуцируется к системе уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу специального вида: ∂U G ∂U ∂2U + − ∂ξ∂η η − ξ ∂ξ ∂η (3) = 0, а начальные условия (2) принимают вид U (ξ, ξ) = τ (ξ), ξ ∈ [0, 1]; lim K η→ξ+0 ξ−η 2 ∂U ∂U − ∂ξ ∂η = ν(ξ), ξ ∈ (0, 1). (4) 184 О задаче Коши для системы уравнений Эйлера–Пуассона–Дарбу . . . Известно [1], что для любой нильпотентной матрицы G существует матрица перехода Q к жорданову базису такая, что Q−1 GQ = J, где J — жорданова форма матрицы G. Матрица J состоит из r (l1 + l2 + · · · + lr = n):    0 1 0 0 0 ... 0 Hl 1  0 0 1 0  Hl2 0 ...   0 , Hlk =  ... ... ... J = ... ... ... ... ...   0 0 0 0 0 0 ... Hlr 0 0 0 клеток размером Hlk ... 0 ... 0 ... ... ... 0 ... 0 0 0 ... 1 0    .  После преобразования Q−1 GQ = J система уравнений (3) примет вид ∂ 2W ∂W J ∂W + − ∂ξ∂η η − ξ ∂ξ ∂η (5) = 0, где W = Q−1 U . Условия Коши (4) для системы (5) преобразуются к виду W (ξ, ξ) = Q−1 τ (ξ), lim K η→ξ+0 ξ−η 2 ∂W ∂W − ∂ξ ∂η ξ ∈ [0, 1], = Q−1 ν(ξ), ξ ∈ (0, 1), где K = (−y)2J . В работе [2] для системы (5) построена матрица Римана R(ξ, η; ξ0 , η0 ) = f (J) = V J 2 F1 J, J ;σ , 1 где σ = −(ξ − ξ0 )(η − η0 )(ξ − η0 )−1 (ξ0 − η)−1 , V = (η − ξ)2 (η − ξ0 )−1 (η0 − ξ)−1 . Если W (ξ, η) является решением системы уравнением (5), то, используя свойства её матрицы Римана R(ξ, η; ξ0 , η0 ) и векторный аналог тождества Грина [4], получаем, что n W (ξ0 , η0 ) = (6) I(J, wk )ek , k=1 где ek = (ek1 , ek2 , . . . , ekn ) , eki = 0, i = k, ekk = 1; wk — компоненты вектора W ; I(J, wk ) = lim ε→0 1 f (J)wk 2 + 1 2 ξ = η0 − ε η = η0 η0 −ε f (J) ξ0 − 1 2 η0 −ε ξ0 1 + f (J)wk 2 ∂wk ∂wk − ∂η ∂ξ ξ = ξ0 η = ξ0 + ε η=ξ+ε + dξ− ∂f (J) ∂f (J) 4f (J)J wk − + ∂η ∂ξ ξ−η η=ξ+ε dξ . (7) Известно [1], что если J — жорданова форма матрицы с одним собственным значением λ, то функция I(J, wk ) может быть записана в виде блочно-диагональной матрицы: I(J, wk ) = diag I(Hl1 , wk ), ..., I(Hlj , wk ), ..., I(Hlr , wk ) . 185 М а к с и м о в а Е. А. Здесь  . Iλ (λ,wk ) . . I(λ, wk ) 1!   .  0 I(λ, wk ) . . I(Hlj , wk ) =   ..  . ... ... 0 0 ... (l −1) Iλ j (λ,wk ) (lj −1)! (l −2) Iλ j (λ,wk ) (lj −2)! ... I(λ, wk )     ,   (8) а функция I(λ, wk ) записывается в виде (7) после формальной замены J на λ. После подстановки (8) в (6) имеем n−1 J k (k) I (λ, W ). k! λ W (ξ0 , η0 ) = EI(λ, W ) + k=1 (9) Выполняя в выражении (9) замену W = Q−1 U , получим1 n−1 U (ξ0 , η0 ) = EI(λ, U ) + k=1 QJ k Q−1 (k) Iλ (λ, U ) = k! n−1 = EI(λ, U ) + k=1 (G − λE)k (k) Iλ (λ, U ). (10) k! После подстановки λ = 0 в (10) получим n−1 U (ξ0 , η0 ) = EI(0, U ) + k=1 Gk (k) I (0, U ). k! λ Воспользовавшись выражениями для I(λ, U ), полученными в [3] для случая λ ∈ (−1/2, 0], найдём I(0, U ) = 1 η0 − ξ0 k I (k) (0, U ) = j=0 − k j η0 τ (ξ)dξ − ξ0 1 2 η0 τ (ξ)(η0 + ξ0 − 2ξ)dξ ξ0 η0 (j) K1 (1)(η0 − ξ0 )−1 (−1)j (j) K2 (0)(η0 − ξ0 )−1 2 − τ (ξ) ln ξ0 η0 τ (ξ) ln ξ0 1 (j) − K2 (0) 2 ϕ(ξ) (η0 − ξ0 )2 ϕ(ξ) (η0 − ξ0 )2 η0 ξ0 1 2 η0 ν(ξ)dξ, ξ0 k−j dξ− k−j (η0 + ξ0 − 2ξ)dξ− ν(ξ)[ϕ(ξ)]0 ln ϕ(ξ) (η0 − ξ0 )2 k−j dξ , (j) (j) где K1 (1) = 2jΦj−1 (0) − Φj (0), K2 (0) = Φj (0). Здесь Φj (λ) определяются рекуррентно: Φ1 (λ) = ψ(1 − 2λ) − ψ(1 − λ), Φn (λ) = Φn−1 (λ)Φ1 (λ) + Φn−1 (λ), где ψ(λ) — дигамма-функция [5]. 1 Этот же результат может быть получен с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа—Сильвестера [1]. 186 О задаче Коши для системы уравнений Эйлера–Пуассона–Дарбу . . . Используя выражения для U (ξ0 , η0 ), можно записать решение U (x, y) задачи Коши (1), (2) в области D. Теорема. Если функции τ (x) ∈ C 3 [0, 1] и ν(x) ∈ C 2 (0, 1), то задача Коши (1), (2) в области D корректна по Адамару.