The application of perturbation method to problem of misaligned tube in conditions of steady-state creep

Full Text

Введение. Разработка аналитических методов решения краевых задач ползучести для элементов конструкций с возмущенными границами вследствие физической нелинейности определяющих реологических соотношений представляет собой трудноразрешимую проблему. Один из подходов состоит в линеаризации граничных условий и реологических соотношений на основе метода малого параметра. Постановка задачи установившейся ползучести с возмущенными границами методом малого параметра приведена в монографии Л. М. Качанова [1], где, в частности, для несоосной трубы построено решение в первом приближении. Имеются единичные попытки решения этой задачи в работах [2, 3]. Хорошо разработаны методы решения стохастических краевых задач для соосной трубы, но с возмущённым по пространственным переменным полем реологических характеристик. Здесь в работах В. П. Радченко и Н. Н. Попова с соавторами [4–6] построены решения вплоть до третьего приближения. Детально метод возмущений (малого параметра) для упругопластических тел изложен в монографии [7] и систематически развивался в научной школе Д. Д. Ивлева в работах его учеников [8–10 и др.] на случай различных условий пластичности, составных упругопластических тел, различных типов концентраторов и т. д. Целью данной работы является построение приближённого аналитического решения задачи об установившейся ползучести толстостенной несоосной трубы, находящейся под внутренним давлением q, во втором приближении метода возмущений. 1. Постановка задачи. Рассматривается несоосная толстостенная труба с несмещенным внутренним контуром радиуса r = a и смещенным на малую величину δ центром внешнего контура радиуса r = b относительно центра внутренней окружности (рис. 1). 76 Применение метода возмущений к задаче о несоосной трубе. . . В качестве малого параметра δ принимается расстояние между центрами внешнего и внутреннего контуров трубы. Предполагается, что упругие деформации малы по сравнению с деформациями ползучести и ими можно пренебречь. С физической точки зрения это означает, что рассматриваются установившиеся поля скоростей деформаций ползучести и напряжений, т. е. деформацией ползучести, накопленной на первой стадии и вызванной перераспределением напряжений от упругого состояния до состояния установившейся ползучести, пренебрегаем. Рис. 1. Схема несоосной трубы: 1 — внутренРазложение тензора напряжений σij , ний контур трубы r = a; 2 — внешний контур трубы; 3 — внешний контур трубы r = b для тензора скоростей деформаций полосесимметричного случая зучести εij и вектора скоростей пе˙ ремещений ui по малому параметру ˙ до членов второго порядка имеет вид (0) (1) (2) σij = σij + δσij + δ 2 σij + O(δ 3 ), (1) (2) (1) (2) εij = ε0 + δ εij + δ 2 εij + O(δ 3 ), ˙ ˙ij ˙ ˙ ui = u0 + δ ui + δ 2 ui + O(δ 3 ). ˙ ˙i ˙ ˙ Уравнение внешнего контура трубы с учетом возмущения δ имеет вид (r cos θ − δ)2 + r2 sin2 θ = b2 . Раскладывая последнее соотношение в степенной ряд по параметру δ и оставляя члены второго порядка включительно, получаем r = b + δ cos θ + δ 2 (cos 2θ − 1)/4b. Задача решается в условиях плоского деформированного состояния (εzz = 0). ˙ Предполагается несжимаемость материала для скоростей деформаций ползучести, что находит экспериментальное подтверждение [11, 12]: εrr + εθθ = 0. ˙ ˙ (1) Постановка задачи включает в себя уравнения равновесия ∂σrr 1 ∂σrθ σrr − σθθ =− − , ∂r r ∂θ r ∂σθθ ∂σrθ = −r − 2σrθ , ∂θ ∂r (2) которые линейны относительно компонент напряжений и, следовательно, выполняются для каждого приближения. 77 А. Д. М о с к а л и к Аналогично, для каждого приближения выполняются уравнения совместности деформаций εrr = ˙ ∂ ur ˙ , ∂r εθθ = ˙ 1 ∂ uθ ˙ ur ˙ + , r ∂θ r εrθ = ˙ 1 1 ∂ ur ˙ ∂ uθ ˙ uθ ˙ + − . 2 r ∂θ ∂r r (3) В качестве определяющих соотношений используется теория установившейся ползучести со степенным законом 3 n−1 εij = Aσe Sij , ˙ 2 (4) 1 где n, A — постоянные характеристики материала, Sij = σij − 3 σkk — девиатор напряжений, σe — интенсивность напряжений, определяемая в случае плоской деформации выражением √ 3 2 2 1/2 σe = σrr − σθθ + 4σrθ . 2 n−1 Разложение σe по малому параметру δ позволяет определить σe , представленное в виде степенного ряда: n−1 σe = n−1 3|∆σ (0) | 2 1+δ (n − 1)∆σ (1) + |∆σ (0) | 2 + δ2 (1) 2 n − 1 (n − 2) ∆σ (1) +2∆σ (2) ∆σ (0) + 4 σrθ 2 [∆σ (0) ]2 (k) , (5) (k) где для удобства записи введены обозначения ∆σ (k) = σrr − σθθ , k = 0, 1, 2 — номера приближений. Согласно [12] решение для нулевого приближения имеет вид (0) ∆σ (0) = −Qp(b/r)p , σrθ = 0, при этом ввиду симметричности задачи для нулевого приближения Q= q , (b/a)p − 1 p = 2/n. Для первого приближения ∆σ (1) = ∆ρ(1) (r) cos θ, (1) (1) σrθ = ρrθ (r) sin θ, (1) где функции ∆ρ(1) (r), ρrθ (r) согласно [13] имеют следующий вид: ∆ρ(1) (r) = − (1) ρrθ (r) = 78 2 C12 psr−1 + C13 pvr−w−1 + C14 pwr−v−1 , L 1 C12 s2 r−1 + C13 v 2 r−w−1 + C14 w2 r−v−1 . 2L (6) Применение метода возмущений к задаче о несоосной трубе. . . Здесь √ L = 3A 3 p b Q n n−1 , s = p − 2, v= s+ s2 + 16p , 2 w= s− s2 + 16p . 2 Значения коэффициентов C12 , C13 , C14 в настоящей работе не приводятся в силу их громоздкости. Используя (5), (6), линеаризованные определяющие соотношения (4) для второго приближения можно записать в следующем виде: ∆σ (2) = 2p (2) ε − α, ˙ K(r) rr K(r) = Lrs , α = AR cos 2θ + Aψ , 1 n−1 2 (1) 2 , ∆ρ(1) + s ρrθ AR = (0) 2 2∆σ n−1 1 2 (1) 2 Aψ = ∆ρ(1) − s ρrθ , (0) 2 2∆σ 1 (2) (2) ε − β, ˙ σrθ = K(r) rθ n−1 (1) β = B R sin 2θ, B R = ∆ρ(1) ρrθ . 2∆σ (0) (7) (8) Линеаризованные граничные условия для второго приближения при r = b согласно [7] зависят от нулевого и первого приближений: (2) σrθ r=b (2) σrr r=b 1 ∆ρ(1) d (1) ∆σ (0) − ρ − sin 2θ, 2 b dr rθ b (1) (0) (0) 1 d2 σrr 1 dσrr ∆σ (0) 2 (1) 1 dρrr − − − + ρrθ cos 2θ+ = − 2 dr 2 dr2 2b dr b2 b (1) (0) (0) 1 dρrr 1 d2 σrr 1 dσrr ∆σ (0) 1 (1) + − − + + − ρrθ . 2 dr 2 dr2 2b dr 2b2 b = (9) Краевые условия на внутреннем контуре во втором приближении (при r = a) имеют вид (2) (2) (10) σrθ r=a = 0, σrr r=a = 0. Уравнения (1)–(3), (7), (8) с граничными условиями (9), (10) образуют краевую задачу для нахождения 2-го приближения в напряжениях и дальнейшего полного построения решения поставленной краевой задачи с учётом второго приближения. 2. Решение задачи. С учётом вида граничных условий (9) и решения для первого приближения [3, 13] вводится предположение, что скорость радиаль(2) ных перемещений ur является суммой двух составляющих, одна из которых ˙ зависит от радиуса r и угла θ, а вторая — только от радиуса r; скорость тан(2) генциальных перемещений uθ зависит и от радиуса r, и от угла θ: ˙ (2) ur = uR cos 2θ + uψ , ˙ ˙r ˙r (2) uθ = uR sin 2θ, ˙ ˙θ (11) 79 А. Д. М о с к а л и к где uR = uR (r), uψ = uψ (r), uR = uR (r) — неизвестные, подлежащие опреде˙r ˙r ˙r ˙r ˙θ ˙θ лению функции. Представление для скоростей перемещений (11) позволяет выполнить условие несжимаемости материала (1) тождественно. Для этого необходимо потребовать выполнения следующих равенств: ∂ uψ ˙r uψ ˙r + = 0. ∂r r ∂ uR 2 R uR ˙r ˙ + uθ + r = 0, ˙ ∂r r r (12) Первое уравнение из (12) тождественно выполняется путём введения функции скоростей перемещений ζ(r, θ) = R(r) sin 2θ такой, что uR cos 2θ = − ˙r 1 ∂ζ , r ∂θ uR sin 2θ = ˙θ ∂ζ . ∂r (13) Второе уравнение из (12) позволяет определить составляющую скоростей перемещений, не зависящую от угла θ: uψ = C/r ˙r и, следовательно, εψ = −C/r2 . ˙rr (14) Использование представления (13) в выражении (11) позволяет из соотношений (3) получить скорости деформаций ползучести: (2) ε(2) = −εθθ = ˙rr ˙ 1 ∂2ζ duψ 1 ∂ζ r − + , r2 ∂θ r ∂θ∂r dr (2) εrθ = ˙ 1 1 ∂2ζ ∂2ζ 1 ∂ζ − 2 2+ 2− . 2 r ∂θ ∂r r ∂r Так как ζ(r, θ) = R(r) sin 2θ, выражения для скоростей деформаций ползучести примут вид duψ r (2) ε(2) = −εθθ = −2R r−1 + 2Rr−2 cos 2θ + ˙rr ˙ , dr 1 (2) εrθ = R − R r−1 + 4Rr−2 sin 2θ. ˙ 2 (15) Полученные формулы для скоростей деформаций (15) используются в уравнениях (7), (8): 4p (−R r−p+1 + Rr−p ) − AR cos 2θ− L 2pC −p − r − Aψ = ∆σ R cos 2θ + ∆σ ψ , L 1 R = R r−p+2 − R r−p+1 + 4Rr−p sin 2θ = σrθ sin 2θ. 2L ∆σ (2) = (2) σrθ (16) При составлении основного уравнения для нахождения функции R(r) необходимо предварительно продифференцировать по θ первое уравнение (2), по r второе уравнение (2), а также найти вторую производную по θ и по r 80 Применение метода возмущений к задаче о несоосной трубе. . . для ∆σ (2) из соотношения (16). Разность продифференцированных уравнений равновесия тождественно равна второй производной для ∆σ (2) . Используя обозначения, введенные в (16), и сокращая на sin 2θ, без нарушения общности приходим к уравнению r R ∂ 2 σrθ ∂σ R σR ∂∆σ R ∆σ R + 3 rθ + 2 + 4 rθ + 2 = 0. ∂r2 ∂r ∂r r r (17) Опираясь в уравнении (17) на обозначения, введённые в (16), получаем основное уравнение для нахождения функции R(r): RIV + (6 − 2p)R r−1 + (p2 − 20p + 11)R r−2 + + (15p2 − 20p + 5)R r−3 + (16 − 12p2 + 8p)Rr−4 = 2Lrp−3 Y (r), (18) где dB R dAR BR AR d2 B R +3 +2 +4 +2 . dr2 dr dr r r Использование степенного представления R(r) = rν позволяет получить линейное однородное дифференциальное уравнение четвёртого порядка для нахождения собственных значений Y (r) = r ν 4 − 2pν 3 + (p2 − 14p + 4)ν 2 + (14p2 − 4p)ν + (16 − 12p2 + 8p) = 0, решением которого являются корни ν1,2,3,4 = p ± 2 p2 + 28p − 8 ± 4 61p2 − 36p − 12 2 . Прямым численным анализом определено, что при показателе нелинейности n = 3 ÷ 20 однородное уравнение имеет комплексные корни: ν1,2,3,4 = p/2 ± l/2 ± ih. Здесь l = l(p) и h = h(p) — известные значения для конкретного материала. Воспользуемся тригонометрическим представлением полученного решения согласно [14]: R(r) = C21 r(p+l)/2 cos(h ln r) + C22 r(p+l)/2 sin(h ln r)+ + C23 r(p−l)/2 cos(h ln r) + C24 r(p−l)/2 sin(h ln r), где C21 , C22 , C23 , C24 — константы интегрирования. Использование метода вариации произвольных постоянных [14] позволяет получить общее решение неоднородного дифференциального уравнения в виде 4 R(r) = [C2k (r) + pk ]mk (r). (19) k=1 81 А. Д. М о с к а л и к Здесь m1 = r(p+l)/2 cos(h ln r), m2 = r(p+l)/2 sin(h ln r), m3 = r(p−l)/2 cos(h ln r), m4 = r(p−l)/2 sin(h ln r); pk — константы интегрирования. Подставляя полученное решение для функции R(r) (19) и для скорости деформаций ползучести εψ (14) в уравнения равновесия (2) и обозначая ˙rr R dσrr 1 B R AR = −R r−p+1 + (4p + 1)R r−p − (4p + 4)Rr−p−1 − 2 − , dr L r r ψ 2p dσrr Aψ = Cr−p−1 + , dr L r получаем ψ (2) dσ R dσrr ∂σrr = rr cos 2θ + . ∂r dr dr Интегрируя по r, приходим к выражению для радиальной составляющей тензора напряжений (2) R ψ σrr = (σrr + K R ) cos 2θ + (σrr + K ψ ), где K R и K ψ — константы интегрирования. (2) Составляющая тензора напряжений σrθ определяется по второму соотношению (16). (2) (2) Подставляя полученное решение для σrr и σrθ в граничные условия (9), (10), определяем константы интегрирования p1 , p2 , p3 , p4 , C, K R , K ψ . По(2) скольку уравнение для нахождения σrr распадается на два уравнения по признаку наличия зависимости от угла θ, получаем шесть уравнений и семь неизвестных констант интегрирования, что позволяет без нарушения общности решения положить K R = 0. Использование полученного решения позволяет определить напряжения и скорости деформаций ползучести в трубе с учётом второго приближения. Анализ результатов. В качестве модельного примера рассмотрена труба с внутренним радиусом a = 0,115 м, внешним радиусом b = 0,15 м и с характеристиками материала n = 10,96, A = 9,58 · 10−23 под действием внутреннего давления q = 22,07 МПа. В работе детально исследованы зависимости σrr (r, θ), σθθ (r, θ) и εrr (r, θ) от приведённого радиуса r = r/a. На рис. 2–4 соответственно приведены графики для радиальной и тангенциальной компонент тензора напряжений и радиальной компоненты тензора скоростей деформаций (поскольку εθθ = −εrr ), где верхний индекс у компо˙ ˙ нент тензора напряжений и тензора скоростей деформаций означает количество приближений, используемых для оценки величин. Графики построены при δ = 0,1 при значении угла θ = π, соответствующем максимальным значениям тангенциального напряжения σθθ . В таблице приведены значения (0+1) (0) ∗ σθθ = σθθ /σθθ при учёте первого приближения на внешней границе трубы (0+1+2) (0) ∗∗ при r = b/a + δ cos θ и значения σθθ = σθθ /σθθ при учёте второго приближения на внешней границе трубы при r = b/a + δ cos θ + δ 2 (cos 2θ − 1)/4b 82 Применение метода возмущений к задаче о несоосной трубе. . . Рис. 2. Радиальные напряжения при n = 10,96, θ = π, δ = 0,1: 1 — (0) (0+1) (0+1+2) σrr , 2 — σrr , 3 — σrr Рис. 3. Тангенциальные напряжения при n = 10,96, θ = π, δ = 0,1: (0) (0+1) (0+1+2) 1 — σθθ , 2 — σθθ , 3 — σθθ Рис. 4. Скорости радиальных деформаций при n = 10,96, θ = π, (0) (0+1) (0+1+2) δ = 0,1: 1 — εrr , 2 — εrr , 3 — εrr ˙ ˙ ˙ δ 0 0,01 Значения тангенциальных напряжений 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 ∗ σθθ 1,0 1,04 1,09 1,13 1,17 1,22 1,26 1,30 1,34 1,38 1,42 ∗∗ σθθ 1,0 1,04 1,10 1,14 1,19 1,24 1,29 1,34 1,40 1,46 1,52 83 А. Д. М о с к а л и к при n = 10,96, θ = π, вычисленные с шагом 0,01 по величине δ. Из данных, приведённых в таблице, можно сделать вывод, что решение задачи о несоосной трубе имеет тенденцию к сходимости. Однако для изучения скорости сходимости решения нужны дополнительные исследования.

About the authors

Anna D Moskalik

Samara State Technical University

Email: annmoskalik1@gmail.com
Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files