The solution of uncoupled thermoelastic problem with first kind boundary conditions

Full Text

Теория термоупругости связана с решением множества прикладных задач, возникающих при исследовании элементов конструкций, работающих в условиях неравномерного нестационарного нагрева, при котором изменяются физико-механические свойства материалов и возникают градиенты температуры, сопровождающиеся неодинаковым тепловым расширением частей элементов конструкций. Неравномерное тепловое расширение в общем случае вызывает температурные напряжения. Знание величины и характера действия температурных напряжений, в свою очередь, необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции, так как температурные напряжения сами по себе и в сочетании с механическими напряжениями от внешних нагрузок могут вызвать разрушение конструкции. Целью данной работы является разработка метода решения несвязных краевых задач термоупругости в случае, когда материал тела является однородным, изотропным, обладающим линейными свойствами, а само тело — имеющим произвольную форму, конечные размеры и ограниченным кусочно-гладкой поверхностью. Поведение такого тела описывается несвязной квазистатической задачей термоупругости (в качестве краевых условий выберем условия первого рода): σij,j (¯, t) + Fi (¯, t) = 0, r r 1 r r εij (¯, t) = ui,j (¯, t) + uj ,i (¯, t) , r 2 σij (¯, t) = Eijpq εpq (¯, t) − cij Θ(¯, t), r r r (1) (2) (3) 191 М а к а р о в а И. С. 1 1 ∂ Θ(¯, t) = − Q(¯, t), r r χ ∂t χ = uS (¯, t), Θ(¯, 0) = Θ0 (¯), Θ(¯, t) r r r i r (4) ∆− ui (¯, t) r r∈S ¯ r ∈S ¯ = ΘS (¯, t). r Здесь σij (¯, t), εij (¯, t) — компоненты тензоров напряжения и деформации; Fi (¯, t) — r r r составляющие массовой силы; ui (¯, t) — компоненты вектора перемещения; uS (¯, t) — r i r его значения на поверхности тела S; Eijpq — компоненты тензора упругих постоян3 ных; cij — компоненты тензора термоупругих констант; ∆ = k=1 ∂ 2 /∂x2 — операk тор Лапласа; r = r (x1 , x2 , x3 ); Θ = T − T0 — малое приращение температуры (T0 ¯ ¯ и T — начальная и текущая температура тела); χ = K/δ — коэффициент температуропроводности, K — коэффициент теплопроводности, δ — удельная теплоемкость единицы объёма тела; Q(¯, t) = q(¯, t)/δ, q(¯, t) — количество тепла, производимое в r r r единице объёма за единицу времени; V — объём рассматриваемого тела; S — поверхность тела. Соотношение (1) является уравнением равновесия тела под действием массовых сил, соотношение (2) представляет собой формулы Коши, соотношение (3) — закон Дюамеля—Неймана, (4) — уравнение теплопроводности [1]. Рассматриваемая краевая задача несвязной термоупругости распадается на краевую задачу теплопроводности 1 1 ∂ r Θ(¯, t) = − Q(¯, t), r χ ∂t χ Θ(¯, 0) = Θ0 (¯), Θ(¯, t) r∈S = ΘS (¯, t), r r r r ¯ ∆− решение которой рассмотрено в работе [2], и краевую задачу линейной теории упругости σij, j (¯, t) + Fi (¯, t) = 0, r r 1 εij (¯, t) = ui,j (¯, t) + uj ,i (¯, t) , r r r 2 (5) σij (¯, t) = Eijpq εpq (¯, t) − cij Θ(¯, t), r r r ui (¯, t) r r∈S ¯ = uS (¯, t). i r Запишем краевую задачу (5)) в перемещениях: Lip up (¯, t) = −Φi (¯, t), r r ui (¯, t) r r ∈S ¯ = uS (¯, t). i r (6) Здесь Lip = 1 ∂2 (Eijpq + Eijqp ) 2 ∂xj ∂xq — компоненты оператора Ламе, Φi (¯, t) = cij Θ,j (¯, t) + Fi (¯, t) r r r (7) — компоненты вектора обобщенных массовых сил. Сведём решение неоднородной краевой задачи (6) к решению задачи однородной. Для этого решение задачи (6) представим в виде суммы двух составляющих: ui (¯, t) = ui (¯, t) + ui (¯, t). r r r Первую составляющую запишем в виде объёмного потенциала ui (¯, t) = − r 192 ¯ ¯ Kip (¯, ξ)Φp (ξ, t)dξ. r ¯ R3 (8) Решение несвязной задачи термоупругости . . . ¯ Здесь вектор обобщённых массовых сил Φp (ξ, t) предполагается равным нулю вне ¯ — компоненты тензора Кельвина—Сомильяны. объёма тела V , Kip (¯, ξ) r Действуя на обе части соотношения (8) оператором Ламе, получим (9) Lqi ui (¯, t) = −Φq (¯, t). r r Учитывая (9), из соотношений (6) находим Lip up (¯, t) = 0, r ui (¯, t) r r ∈S ¯ = uS (¯, t) − ui (¯, t) r i r r∈S ¯ (10) . Будем искать решение краевой задачи (10) в виде ¯ ¯ Kip (¯ − ξ)Φp (ξ, t)dξ. r ¯ ui (¯, t) = − r (11) V ¯ Здесь Φp (ξ, t) — компоненты вектора массовых сил, распределенных по объёму V = = R3 − V . ¯ Подберём функцию Φp (ξ, t) таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия краевой задачи (10). Пусть в уравнении (11) r ∈ S: ¯ ¯ ¯ ¯ Kip (¯S − ξ)Φp (ξ, t)dξ. r ui (¯S , t) = − r (12) V Последнее соотношение можно записать в матрично-векторной форме: ¯ ¯ ¯ K(¯S − ξ) · Φ (ξ, t)dξ. r u (¯S , t) = − r V С учётом граничных условий краевой задачи (10) последнее соотношение запишем в виде ¯ ¯ ¯ uS (¯S , t) − u (¯S , t) = − r r K(¯S − ξ) · Φ (ξ, t)dξ. r (13) V ¯ r Умножим обе части равенства (13) скалярно на величину nl (¯)e−ik·¯ и проинr тегрируем по поверхности тела S (здесь nl (¯) является l-той компонентой вектора r нормали к поверхности тела): ¯ r uS (¯S , t) − u (¯S , t) nl (¯)e−ik·¯dS(¯) = r r r r S ¯ r ¯ ¯ ¯ K(¯S − ξ) · Φ (ξ, t)dξ nl (¯)e−ik·¯dS(¯). (14) r r r =− S V Введём обозначение для левой части соотношения (14): ¯ ¯ u∗ (k, t) = l r uS (¯S , t) − u (¯S , t) nl (¯)e−ik·¯dS(¯). r r r r S Тогда (14) можно записать в виде ¯r ¯ ¯ ¯ K(¯S − ξ) · Φ (ξ, t)dξ nl (¯)e−ik·¯dS(¯). r r r ¯ u∗ (k, t) = − l S (15) V Перейдём в правой части равенства (15) от интеграла по поверхности к интегралу по объёму, используя теорему Гаусса—Остроградского: ¯ ¯ u∗ (k, t) = − l ¯ ¯ r K(¯ − ξ) · Φ (ξ, t)dξ d¯, r ¯ r divl e−ik·¯ · V V 193 М а к а р о в а И. С. и запишем полученное соотношение в компонентной форме: ¯ u∗ (k, t) = − l V ∂ ¯r e−ik·¯ · ∂xl ¯ ¯ r Klj (¯ − ξ)Φj (ξ, t)dξ d¯. r ¯ (16) V Выполнив в правой части (16) дифференцирование, получим соотношение ¯r ¯ ¯r Klj, l (¯ − ξ) − ikl Klj (¯ − ξ) e−ik·¯Φj (ξ, t)dξd¯. r ¯ r ¯ ¯ u∗ (k, t) = − l V V ¯ Произведя в правой части замену переменных w = r − ξ, r = w + ξ и применив ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ теорему о свёртке по конечной области, получим ¯ ¯ u∗ (k, t) = − l ¯ r ¯ ¯ Φj (ξ, t)e−ik·¯dξ. r [Klj,l (w) − ikl Klj (w)] e−ik·¯dw · ¯ ¯ ¯ W (17) V Введём обозначения: ¯ ∗ ¯ Klj (k) = ¯ Klj (w) · e−ik·w dw, ¯ ¯ W ¯ Φj∗ (k, t) = ∂Klj (w) −ik·w ¯ ¯ ¯ ·e dw, ¯ ∂wl W ¯ ¯ ¯ ¯ Φj (ξ, t) · e−ik·ξ dξ. ∗ ¯ Klj,l (k) = W Здесь объём W определяется объёмами V , V и равенством w = r − ξ. ¯ ¯ ¯ Уравнение (17) с учётом введённых обозначений можно представить в виде ∗ ¯ ∗ ¯ ¯ ¯ u∗ (k, t) = − Klj,l (k) − ikl Klj (k) · Φj∗ (k, t). l (18) Соотношения (18) представляют собой систему трёх линейных уравнений, из которых определяются неизвестные компоненты Фурье-образа обобщённых массовых ¯ сил Φj∗ (k, t). Решение системы запишем в виде ¯ ¯ ¯ Φj∗ (k, t) = Rjl (k)u∗ (k, t). l (19) ∗ ¯ ∗ ¯ ¯ Здесь Rjl (k) — матрица, обратная матрице ikl Klj (k) − Klj, l (k) , то есть удовлетворяющая уравнению ∗ ¯ ∗ ¯ Rjl · ikl Klm (k) − Klm,l (k) = δjm . Применяя к соотношению (19) обратное преобразование Фурье, получим выражение для компонент вектора массовых сил: 1 ¯r ¯ ¯ ¯ Rjl (k)u∗ (k, t)eik·¯dk. l (2π)3 R3 Подставляя полученное выражение в уравнение (12), находим Φj (¯, t) = r 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Kip (¯ − ξ)Rpl (k)u∗ (k, t)eik·ξ dkdξ. r ¯ l 3 (2π) V R3 Окончательно соотношение для нахождения решения краевой задачи (6) при заданных начальных и граничных условиях записывается так: ui (¯, t) = − r ¯ ¯ Kip (¯ − ξ)Φp (ξ, t)dξ − r ¯ ui (¯, t) = − r R3 1 (2π)3 ¯ ¯ V R3 ¯ ¯ ¯ ¯ Kip (¯ − ξ)Rpl (k)u∗ (k, t)eik·ξ dkdξ, r ¯ l или, учитывая выражение для обобщённых массовых сил (7), так: 194 Решение несвязной задачи термоупругости . . . ¯ ¯ ¯ Kip (¯, ξ) cpj Θ,j (ξ, t) + Fp (ξ, t) dξ− r ¯ ui (¯, t) = − r R3 − 1 (2π)3 ¯ ¯ V R3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Kip (¯S − ξ)Rpq (k)u∗ (k, t)eik·ξ dkdξ. r q Таким образом, получено решение несвязной задачи термоупругости с граничными условиями первого рода.

About the authors

Irina S Makarova

Samara State Transport University

Email: makarova_is@mail.ru
(Ph. D. (Phys. & Math.))positionAssociate Professor , Dept. of Computer Science 18, First Bezimyanniy per., Samara, 443066, Russia

References

Supplementary files