Effective Higgs potential in Next-to-Minimal Supersymmetric Standard Model

Full Text

Введение. Хорошо известно, что неминимальная суперсимметричная стандартная модель (НМССМ) [1–8] обеспечивает решение так называемой «µ-проблемы» [9] минимальной суперсимметричной стандартной модели (МССМ) с помощью введения дополнительного синглетного суперполя S. Вопрос о порядке величины параметра µ хиггсовского суперпотенциала («µ-проблема»), содержащего до нарушения суперсимметрии член вида µH1 H2 , оправданно возникает в МССМ, поскольку естественные значения для параметра µ — либо нуль, либо планковский масштаб. Первое весьма нежелательно, так как приводит к ненаблюдаемому экспериментально аксиону, когда электрослабая симметрия спонтанно нарушается, а второе не представляет интереса, поскольку планковский масштаб параметра µ воспроизводит известную проблему калибровочных иерархий. В связи с необходимостью исключения явно нарушающего СР-инвариантность сильных взаимодействий θ-члена квантовой хромодинамики есть основания полагать, что µ имеет порядок O(MW ) или немного более, хотя для этого нужно расширить хиггсовский сектор для получения невидимого аксиона [9–17]. В чём причина того, что величина µ должна быть на 15–17 порядков меньше по сравнению с массой Планка, и есть основное содержание «µ-проблемы» МССМ. Также относительно малое значение µ приводит к «собственной» проблеме иерархии МССМ, состоящей в большом отличии параметра µ от масштаба нарушения суперсимметрии MSUSY . Условия для электрослабого нарушения симметрии требуют, чтобы значение µ было порядка массы Z-бозона. Кроме того, МССМ имеет ряд ограничений на область параметров, совместную с исследования 233 Т. В. В о л к о в а, М. В. Д о л г о п о л о в, М. Н. Д у б и н и н, З. Н. Р ы к о в а ми на LHC, что требует рассмотрения эффективных сценариев за рамками МССМ. В общем случае решение «µ-проблемы» естественно появляется в суперструнных E6 моделях, где билинейные члены суперпотенциала запрещены калибровочной симметрией. Такие модели содержат несколько пар дублетов Хиггса и несколько синглетных полей Si . Если при низких энергиях эффективно остаются только одна пара дублетов Хиггса и один синглет, то сектор ˆ ˆ ˆ Хиггса содержит член λS(H1 H2 ). Подобная модель включает только одно добавочное синглетное суперполе и почти то же количество параметров, что и МССМ. Поэтому в этом смысле она является простейшим расширением МССМ. В результате спонтанного нарушения симметрии на электрослабом ˆ масштабе суперполе S приобретает ненулевую величину вакуумного ожида√ ния ( S ≡ √ 2) и генерируется требуемый эффективный µ-член µH1 H2 , s/ где µ = λs/ 2. Модели упомянутого типа имеют глобальную симметрию SU (2) × [U (1)]2 . Как уже упоминалось, спонтанное нарушение расширенной глобальной симметрии приводит к появлению безмассовой CP-нечётной скалярной частицы — PQ-аксиона [18]. Его можно исключить, если ввести в суперпотенциˆ ал кубический по новому синглетному суперполю S член, явно нарушающий добавочную глобальную симметрию U (1). Тогда суперпотенциал сектора Хиггса модели НМССМ имеет вид 1 ˆ ˆ ˆ ˆ WH = λS(H1 H2 ) + κS 3 . 3 Эффективный µ-член, возникающий при вакуумном среднем S порядка масштаба нарушения суперсимметрии, будет иметь порядок электрослабого, если масштаб нарушения суперсимметрии MSUSY не очень велик по сравнению с массой W -бозона. В этом смысле НМССМ есть простейшее суперсимметричное расширение Стандартной модели, в котором электрослабая шкала возникает исключительно из шкалы нарушения суперсимметрии. В рамках НМССМ более естественно (с точки зрения подбора параметров) выглядит ненаблюдаемость лёгкого нейтрального CP-чётного бозона Хиггса на LEP2 [19]. Хотя симметрии НМССМ могут привести к возможности проблемы космологической доменной стенки [20], этого можно избежать введением подходящих ненормируемых операторов [21–26], которые не дают большие вклады синглетных диаграмм-головастиков (tadpole diagrams). Эти дополнительные операторы могут быть выбраны достаточно малыми для того, чтобы не изменить низкоэнергетическую феноменологию. В дополнение к полям МССМ НМССМ содержит еще CP-чётный и CPнечётный бозоны Хиггса, а также еще одно нейтралино. Новые поля смешиваются с соответствующими полями МССМ, приводя к более интересной и сложной феноменологии: возможности существования очень лёгкого нейтралино [27] как кандидата на роль частиц темной материи, увеличения ограничения сверху на массу легчайшего бозона Хиггса по сравнению с МССМ [28] и возможности существования очень лёгкого бозона Хиггса [29, 30] или невидимого бозона Хиггса. Эти свойства НМССМ могут существенно модифицировать известные предсказания МССМ для экспериментов на LHC. В данной работе исследуется эффективный хиггсовский потенциал 234 Эффективный потенциал Хиггса в НМССМ НМССМ в случае, когда его CP-инвариантность явно нарушена. Проводится диагонализация массового члена этого потенциала в локальном минимуме. Вычислены однопетлевые поправки к параметрам эффективного потенциала, обусловленные взаимодействиями полей Хиггса с третьим поколением скалярных кварков, а также с суперпартнерами калибровочного сектора, получены физические состояния бозонов Хиггса и их массы. 1. Структура сектора Хиггса НМССМ. Рассмотрим общую модель хиггсовского сектора с двумя дублетами комплексных полей Φ1 , Φ2 и одним синглетом поля S: Φ1 = Φ2 = + −iω1  φ+ (x) 1  , = 1 √ (v1 + η1 + iχ1 ) 2   + −iω2 φ+ (x) 2 , = 1 √ (v2 + η2 + iχ2 ) φ0 (x) 2 2 1 S = √ (v3 + s1 + is2 ). 2 φ0 (x) 1 Наиболее общая калибровочно-инвариантная перенормируемая форма потенциала имеет следующий вид: U (Φ1 , Φ2 , S) = −µ2 (Φ† Φ1 ) − µ2 (Φ† Φ2 ) − µ2 (S † S)+ 1 2 3 1 2 λ1 † λ2 † + (Φ1 Φ1 )2 + (Φ2 Φ2 )2 + λ3 (Φ† Φ1 )(Φ† Φ2 ) + λ4 (Φ† Φ2 )(Φ† Φ1 )+ 1 2 1 2 2 2 ∗ λ λ5 + (Φ† Φ2 )(Φ† Φ2 ) + 5 (Φ† Φ1 )(Φ† Φ1 )+ 1 2 2 1 2 2 + λ6 (Φ† Φ2 )(Φ† Φ1 ) + λ∗ (Φ† Φ1 )(Φ† Φ1 ) + λ7 (Φ† Φ2 )(Φ† Φ2 ) + λ∗ (Φ† Φ1 )(Φ† Φ2 )+ 6 7 1 1 2 1 1 2 2 2 + k1 (Φ† Φ1 )(S † S) + k2 (Φ† Φ2 )(S † S) + k3 (Φ† Φ2 )(S † S † ) + k3 (Φ† Φ1 )(SS)+ 1 2 1 2 + k4 (S † S)2 + k5 (Φ† Φ2 )S + k5 (Φ† Φ1 )S † + k6 S 3 + k6 (S † )3 . 1 2 Потенциал инвариантен относительно группы SU (2)×U (1)×Z3 , при этом поля бозонов Хиггса относительно Z3 преобразуются следующим образом: Φ1 → exp[i(2mπ/3)]Φ1 , Φ2 → Φ2 , S → exp[i(2nπ/3)]S, где m и n — целые числа (в частности, (m, n) = (1, 1) или (2, 2)). Вакуумные ожидания хиггсовских дублетов и синглета выберем в виде 1 Φ1 = √ 2 0 v1 , 1 Φ2 = √ 2 0 v2 , 1 S = √ v3 . 2 В древесном приближении на масштабе энергий нарушения суперсимметрии параметры эффективного потенциала λi являются действительными и 235 Т. В. В о л к о в а, М. В. Д о л г о п о л о в, М. Н. Д у б и н и н, З. Н. Р ы к о в а выражаются граничными условиями через константы связи g1 и g2 электрослабой группы калибровочной симметрии SU (2) × U (1): 1 4 λ1 (MSUSY ) = λ2 (MSUSY ) = λ3 (MSUSY ) = 1 4 2 2 g2 (MSUSY ) + g1 (MSUSY ) , 1 2 λ4 (MSUSY ) = − 2 g2 (MSUSY ), 2 2 g2 (MSUSY ) − g1 (MSUSY ) , λ5 (MSUSY ) = λ6 (MSUSY ) = λ7 (MSUSY ) = 0. Параметры ki определяются следующим образом: k1 = |λ|2 , k2 = |λ|2 , k3 = λk∗ , k4 = |k|2 , k5 = λAλ , k6 = kAk /3, что соответствует обозначениям работы [31]. 2. Однопетлевые поправки к параметрам эффективного потенциала. В данной статье применяется метод, развитый авторами в работах [32–35]. Вычисления проводились диаграммным способом с использованием потенциала мягкого нарушения суперсимметрии, включающего взаимодействия бозонов Хиггса с третьим поколением суперпартнеров кварков. В рамках этого подхода радиационные поправки к параметрам эффективного потенциала λ1 , λ2 , . . . , λ7 и k1 , k2 . . . , k6 получены путём явного расчёта однопетлевых диаграмм с четырьмя внешними линиями. При этом параметры λ1 , λ2 , . . . , λ7 и k1 , k2 . . . , k6 аналитически выражаются через параметры взаимодействия сектора «скалярные кварки – бозоны Хиггса». Члены суперсимметричного скалярного потенциала, содержащие члены взаимодействия бозонов Хиггса со скалярными кварками третьего поколения, определяются следующим образом [36]: ˜ ˜ ˜ V ⊃ |hu (Q Φ1 )|2 + |hd (Q Φ2 )|2 + |hu u∗ Φ0 |2 + |hd d∗ Φ0 |2 + |hu u∗ uL − λSΦ0 |2 + ˜R 1 ˜R ˜ R 2 2 † ˜ 2 † † ˜ 2 † ∗ ˜ 0 2 †˜ †˜ ˜ ˜ ˜ + |hd d dL − λSΦ | + 4|Φ Q| − 2(Φ Φ2 )(Q Q) + 4|Φ Q| − 2(Φ Φ1 )(Q Q)+ R 1 + 2 g1 2 2 2 1 ˜† ˜ 2 ∗ 1˜ ˜ Q Q − uR uR + d∗ dR + ˜ ˜ 6 3 3 R ˜ + (˜∗ hu Au (Q u R 1 1 1 1 † Φ1 Φ1 − Φ† Φ2 2 2 2 ˜ ˜ Φ1 ) − d∗ hd Ad (Q R 2 + Φ2 ) + э.с.). В результате вычислений получаем следующие аналитические выражения для поправок: ∆λ1 = h4 A4 I2 (mU , mQ ) + h4 A2 I1 (mU , mQ ) + h4 A2 I1 (mQ , mU )− u u u u u u − 2 g1 2 2 h A I1 (mU , mQ ) + 3 u u 2 g1 g2 − 2 12 4 h2 A2 I1 (mQ , mU ), u u ∆λ2 = h4 A4 I2 (mD , mQ ) + h4 A2 I1 (mD , mQ ) + h4 A2 I1 (mQ , mD )− d d d d d d − 2 g2 g2 g1 2 2 hd Ad I1 (mD , mQ ) + − 1 − 2 6 12 4 ∆k1 = λ2 h2 I(mQ , mD ), d 236 h2 A2 I1 (mQ , mD ), d d ∆k2 = λ2 h2 I(mQ , mU ). u Эффективный потенциал Хиггса в НМССМ ’ φ0 ’ 1 ( 0∗ ( φ1 2 2 g1 g2 ’ ( 2 ’ ( hu + 12 − 4 uR ( ’ uR ˜ ˜ ’ ( ’ h A hu A∗ ( u( ’ u u uL ˜ ’ ( (φ0∗ φ0 ’ 1 1 h2 + u 2 g1 12 − 2 g2 4 h2 |Au |2 I1 (mU , mQ ) u ’ φ0 ’ 1 ( 0∗ ( φ1 2 g1 ’ ( 2 hu − 3 ’ ( uL ( ’ uL ˜ ˜ ’ ( ’ h A hu A∗ ( u( ’ u u uR ˜ ’ ( (φ0∗ φ0 ’ 1 1 φ0 d1 d hu Aud 0∗ φ 2 g1 3 h2 |Au |2 I1 (mQ , mU ) u φ0∗ 1 uR ˜ hu A∗ u uL ˜ hu A∗ u h2 − u uL ˜ uR ˜ 1 h4 |Au |4 I2 (mQ , mU ) u hu Au d d d φ0 1 Однопетлевые диаграммы Фейнмана и поправки в параметр λ1 эффективного потенциала Интегралы Ii были рассчитаны ранее в работах [35, 37–39]. Для случая разных масс скалярных кварков получаем I(m1 , m2 ) = 1 d4 k i ≡ B0 (m2 , m2 ) = 1 2 4 (k 2 − m2 )(k 2 − m2 ) (2π) 16π 2 1 2 = I1 (m1 , m2 ) = 1 log 16π 2 m2 1 m2 t − m2 2 log m2 − m2 1 2 d4 k 1 i ≡ C0 (m2 , m2 ) = 2 1 4 (k 2 − m2 )2 (k 2 − m2 ) (2π) 16π 2 1 2 = 1 2 − m2 m1 2 1+ m2 2 log m2 − m2 1 2 m2 2 m2 1 m2 2 m2 1 , , 237 Т. В. В о л к о в а, М. В. Д о л г о п о л о в, М. Н. Д у б и н и н, З. Н. Р ы к о в а I2 (m1 , m2 ) = d4 k i 1 D0 (m2 , m2 ) = ≡ 1 2 4 (k 2 − m2 )2 (k 2 − m2 )2 (2π) 16π 2 1 2 = m2 + m2 2 2 1 + log (m2 − m2 )2 (m2 − m2 )3 1 2 2 1 m2 1 m2 2 . 3. Массовые состояния бозонов Хиггса в НМССМ. Для получения физических состояний бозонов Хиггса необходимо выполнение условий существования локального минимума потенциала U в пространстве (v1 , v2 , v3 ): µ2 = 1 1 2 v λ1 cos2 β + v 2 (λ3 + λ4 + Re λ5 )sin β 2 + 2 + v 2 sin β(3 Re λ6 cos β + Re λ7 tan β) + 1 1 1 2 + k1 v3 + Re k3 v3 + √ Re k5 v3 tan β, 2 2 2 µ2 = 2 1 2 v λ2 sin2 β + v 2 (λ3 + λ4 + Re λ5 )cos β 2 + 2 + v 2 cos β(3 Re λ7 sin β + Re λ6 cot β) + 1 1 1 2 Re k3 v3 + √ Re k5 v3 cot β, + k2 v3 + 2 2 2 µ2 = 3 v2 1 k1 cos2 β + k2 sin2 β + Re k3 + √ Re k5 sin 2β + 2 2v3 2 + Re k4 v3 + 3 Re k6 v3 , 2 2 2 где v 2 = v1 +v2 , tan β = v2 /v1 . Они обеспечивают обращение в нуль линейных по полям членов η1 , η2 . В НМССМ симметрическая массовая матрица для нейтральных бозонов Хиггса в базисе (η1 , η2 , s1 , A, s2 ) c A = −χ1 sin β + χ2 cos β имеет сложную структуру. В случае нарушения CP-инвариантности необходимо рассматривать всю 5×5-матрицу, для которой собственные состояния не будут обладать определенной CP-чётностью. Рассмотрим базис (H, A, h, s1 , s2 ) c h = −η1 sin β + η2 cos β и H = η1 cos β + + η2 sin β, в котором симметрическая массовая 5×5-матрица имеет вид   m11 m12 m13 m14 m15  m21 m22 m23 m24 m25    M 2 =  m31 m32 m33 m34 m35  ,  m  41 m42 m43 m44 m45 m51 m52 m53 m54 m55 где m11 = 238 v2 λ1 cos4 β + λ2 sin4 β + 2(λ3 + λ4 + Re λ5 ) cos2 β sin2 β+ 2 + 4 Re λ6 cos3 β sin β + 4 Re λ7 cos β sin3 β , Эффективный потенциал Хиггса в НМССМ m12 = 1 3v 2 Im λ5 sin 2β + Im λ6 (1 + cos 2β) + Im λ7 (1 − cos 2β) − 4 √ − 2v3 (v3 Im k3 + 2 Im k5 ) , 1 m13 = v 2 −λ1 (sin 2β + sin 4β) + λ2 (sin 2β − sin 4β)+ 8 + 2(λ3 + λ4 + Re λ5 ) sin 4β + 4(Re λ6 (cos 2β + cos 4β)+ + Re λ7 (cos 2β − cos 4β) , 1 m14 = v v3 (k1 cos2 β + k2 sin2 β) + v3 Re k3 + √ Re k5 sin 2β , 2 1 m15 = v v3 Im k3 − √ Im k5 sin 2β, 2 m22 = − 1 2 v 2 Re λ5 sin 2β + Re λ6 (1 + cos 2β) + Re λ7 (1 − cos 2β) + 8 √ + 2v3 (v3 Re k3 + 2 Re k5 ) csc β sec β, 1 m23 = v 2 Im λ5 cos 2β + (Im λ7 − Im λ6 ) sin 2β , 2 1 m24 = −v v3 Im k3 + √ Im k5 , 2 1 m25 = v v3 Re k3 − √ Re k5 , 2 m33 = 1 2 v λ1 (1 − cos 4β) + λ2 (1 − cos 4β)+ 16 + 2(λ3 + λ4 + Reλ5 )(cos 4β − 1) − 4(Re λ6 (cot β + sin 4β)+ √ + Re λ7 (tan β − sin 4β) − 4v3 (Re k3 v3 + 2 Re k5 ) csc β sec β , 1 1 m34 = v v3 (k2 − k1 ) sin 2β + 2 v3 Re k3 + √ Re k5 cos 2β , 2 2 1 m35 = v cos 2β v3 Im k3 − √ Im k5 , 2 1 v2 2 m44 = v3 k4 − √ Re k5 sin β cos β + 3v3 Re k6 , 2 2 v3 239 Т. В. В о л к о в а, М. В. Д о л г о п о л о в, М. Н. Д у б и н и н, З. Н. Р ы к о в а √ m45 = v 2 Im k3 sin β cos β − 3 2v3 Im k6 , m55 = − √ √ 2 1 v 2 (4 Re k3 v3 + 2 Re k5 ) sin β cos β + 9 2v3 Re k6 . 4v3 Заключительные замечания. В работе рассмотрены массовые состояния модели НМССМ и вычислены параметры эффективного потенциала в однопетлевом приближении с учетом вкладов скалярных суперсимметричных частиц. Вычислены массы нейтральных CP -чётных и CP -нечётных бозонов Хиггса. Разработана программа в среде Mathematica для расчёта собственных состояний массовой матрицы бозонов Хиггса в НМССМ (с учётом диагонализации в локальном минимуме). Возможен учёт поправок во все параметры эффективного потенциала, в том числе включая нарушение CP-инвариантности комплексными параметрами. Расчёт проводится с произвольной 5×5-матрицей, проверки с предыдущими методами вычислений по 3×3-матрице совпадают.

About the authors

Tatiana V Volkova

Samara State University

Email: milandiya@yandex.ru
Magistrant, Lab. of Mathematical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

Mikhail V Dolgopolov

Samara State University

Email: mikhaildolgopolov@rambler.ru
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of General & Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

Mikhail N Dubinin

Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics, Lomonosov Moscow State University

Email: dubinin@theory.sinp.msu.ru
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Leading Researcher, Division of Theoretical High Energy Physics Vorob’evy gory, Moscow, 119991, Russia

Elza N Rykova

Samara State University

Email: elzarykova@rambler.ru
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Senior Lecturer, Dept. of General & Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

References

Supplementary files