Construction of the electromagnetic current operator in different forms of Poincaré-invariant quantum mechanics

Full Text

Одним из основных теоретических подходов к описанию электрослабой структуры составных кварковых систем, позволяющих проводить численные расчёты, является Пуанкаре-инвариантная квантовая механика (ПИКМ), которая, как правило, используется в трёх основных формах: мгновенной форме, точечной форме, динамике на световом фронте. Данный метод в релятивистской теории составных систем базируется на прямой реализации алгебры Пуанкаре на множестве динамических наблюдаемых системы [1]. Одной из основных проблем при изучении составных систем в рамках ПИКМ является построение электрослабых токов с учётом условий лоренцковариантности и законов сохранения. Например, в [2, 3] в рамках этого подхода был построен оператор электромагнитного тока с квантовыми числами пиона и рассчитан его формфактор в точечной форме динамики и динамике на световом фронте. На основе анализа этих и ряда других работ можно сделать вывод, что различные формы динамики дают разные результаты для электромагнитных формфакторов составных систем. Одной из причин получения разных результатов является отличие в процедуре построения тока. В настоящей работе проводится построение оператора электромагнитного тока во всех основных формах ПИКМ в рамках единого подхода. Ядром развитого подхода к построению оператора электромагнитного тока является так называемая процедура канонической параметризации матричных элементов локальных операторов [4]. C теоретико-групповой точки зрения данная процедура параметризации фактически представляет собой обобщение известной теоремы Вигнера—Эккарта на группу Пуанкаре. Данная процедура позволяет выделить из матричного элемента оператора любой 243 А. Ф. К р у т о в, Р. Г. П о л е ж а е в тензорной размерности приведенные матричные элементы (формфакторы), которые являются инвариантами при преобразованиях из группы Пуанкаре. В качестве иллюстрации развитого подхода в настоящей работе производится расчёт электромагнитного формфактора пиона, для которого в предложенном формализме во всех формах динамики получаются одинаковые аналитические формулы. Показано, что результаты расчёта пионного формфактора с волновыми функциями кварков, полученными вариационным методом, хорошо описывают эксперимент. 1. Формфактор свободной двухчастичной системы. Рассмотрим систему из двух невзаимодействующих частиц. Вектор состояния одной частицы представим следующим образом: |wi , M, j, m , (1) i = 1, 2, 3, где M , m, j — соответственно масса, проекция спина на ось z и спин частицы; wi — трёхмерный вектор в разных формах динамики. В мгновенной форме динамики w1 = p, в точечной — w2 = v и в динамике на световом фронте — √ ˜ ˜ w3 = p, где p = (p⊥ , p+ ), √ = (p1 , p2 ), p+ = (p0 + p3 )/ 2. Роль энергии играет p⊥ величина p− = (p0 − p3 )/ 2. Масса и спин в векторе состояния в дальнейшем будут опускаться. Для векторов состояния (1) примем нормировку i wi , m|wi , m = 2w0 δ(wi − wi )δmm . Для описания двухчастичной системы можно ввести также базис с явно отделенным движением центра масс [5]: √ (2) |W i , s, J, l, S, m , который нормирован следующим образом: √ √ W i , s, J, l, S, m|W i , s , J, l , S , m = √ √ = N δ(W i − W i )δ( s − s )δmm δll δSS . √ i i Здесь W i = w1 + w2 , s — инвариантная масса системы двух свободных частиц, l — орбитальный момент в системе центра инерции (СЦИ), S — суммарный спин в СЦИ, N — нормировочная константа, явный вид которой в дальнейшем не используется. В составной кварковой модели пион представляется как связанное состо¯ яние u и d кварков с квантовыми числами J = l = S = 0. Будем считать, что их массы одинаковы (Mu = Md = M ), тогда матричный элемент операто¯ ра электромагнитного тока свободной двухчастичной системы с квантовыми числами пиона запишется в виде √ √ µ W i , s, m|j0 (0)|W i , s , m = i d3 w1 i 2w10 i d3 w2 i 2w20 i d3 w1 i 2w10 i d3 w2 i × 2w20 √ µ i i i i i i × W i , s, m|w1 , m1 ; w2 , m2 w1 , m1 ; w2 , m2 |j0 (0)|w1 , m1 ; w2 , m2 × √ i i × w1 , m1 ; w2 , m2 |W i , s , m , (3) 244 Построение оператора электромагнитного тока . . . где µ i i i i w1 , m1 ; w2 , m2 |j0 (0)|w1 , m1 ; w2 , m2 = µ i i i i = w1 , m1 |j10 (0)|w1 , m1 δ(w2 − w2 ) δm2 m2 + µ i i i i + w2 , m2 |j20 (0)|w2 , m2 δ(w1 − w1 ) δm1 m1 . Матричный элемент одночастичного тока параметризуется следующим образом: µ i i w1 , m1 |j10 (0)|w1 , m1 = = m1 1/2 i Dm1 m (R(w1 )) m1 |[f10 (Q2 )Kµ + if30 (Q2 )Rµ ]|m1 . 1 Здесь f10 (Q2 ) и f30 (Q2 ) имеют смысл электрического и магнитного формфакторов частицы соответственно, Kµ = wµ + wµ , Rµ = εµνλρ wν w λ Γρ (w ). Коэффициенты Клебша—Гордана определяются следующим образом: √ 1 √ 2 2 i i W i , s, m|w1 , m1 ; w2 , m2 = 2 s √ [λ(s, Mu , Md )]−1/2 × ¯ 4π i i × 2P0 δ(W i − w1 − w2 ) 1/2 1/2 i i Dm1 m1 (R(w1 ))Dm2 m2 (R(w2 )). ˜ ˜ m1 m2 ˜ ˜ С другой стороны, в базисе (2) матричный элемент тока можно представить в виде [5] √ √ µ W i , s, m|j0 (0)|W i , s , m = Aµi (s, Q2 , s )g0 (s, Q2 , s ), (4) где g0 (s, Q2 , s ) — так называемый свободный двухчастичный формфактор, Aµi (s, Q2 , s ) — функция, отвечающая за трансформационные свойства матричного элемента и имеющая вид i Aµi (s, Q2 , s ) = Wµ (s − s + Q2 ) + W i µ (s − s + Q2 ) /Q2 . Приравнивая выражения (3) и (4) и выполняя интегрирование в системе W i = 0, W i = (0,0, W i ), получим аналитическое выражение для свободного двухчастичного формфактора: (s + s + Q2 )2 Q2 [ϑ(s − s1 ) − ϑ(s − s2 )] √ √ × 2 s − 4M 2 s − 4M 2 [λ(s, Q2 , s )]3/2 × cos(ω1 + ω2 )f 10 (Q2 ) − 2M ξ(s, s , Q2 ) sin(ω1 + ω2 )f 30 (Q2 )) , (5) g0 (s, Q2 , s ) = где введены следующие обозначения: ξ(s, s , Q2 ) = ss Q2 − M 2 λ(s, −Q2 , s ), 245 А. Ф. К р у т о в, Р. Г. П о л е ж а е в ξ(s, s , Q2 ) √ √ , √ √ √ M [( s + s )2 + Q2 ] + ss ( s + s ) √ √ ξ(s, s , Q2 )(2M + s + s ) √ √ ω2 = arctan , √ M (s + s + Q2 )(2M + s + s ) + ss (4M 2 + Q2 ) ω1 = arctan 1 1 (2M 2 + Q2 )(s − 2M 2 ) Q2 (Q2 + 4M 2 )s(s − 4M 2 ), 2 2M 2M 2 ϑ — ступенчатая функция. Таким образом, аналитические выражения для свободных формфакторов во всех формах динамики получаются одинаковыми. 2. Построение оператора электромагнитного тока составной системы в разных формах динамики. Построим матричный элемент оператора электромагµ нитного тока jc (0) для системы двух кварков со взаимодействием: s1,2 = 2M 2 + µ i i wi c |jc (0)|wc = (wc + wci )µ Fc (Q2 ) , (6) i где wc — трёхмерный вектор составной системы в разных формах динамики, 2 ) — формфактор составной системы. Fc (Q В силу того, что в ПИКМ вектор состояния составной двухчастичной системы принадлежит прямому произведению двух одночастичных гильбертовых пространств, матричный элемент тока (6) можно разложить по базису (2). Воспользовавшись полнотой набора двухчастичных состояний и «снимая» интегрирование по переменным W i и W i за счёт δ-функций (см. [1]), получим i µ i wc |jc (0)|wc = √ d s √ √ √ µ d s ϕ(s)ϕ(s ) W i , s|jc (0)|W i , s , (7) ˜ где ϕ(s) — волновая функция составной системы, ϕ(s) = N kψ(k), ψ(k) — модельная волновая функция, удовлетворяющая условию нормировки: ψ 2 (k)k2 dk = 1. Обкладки матричного элемента, входящего в правую часть (7), физически описывают систему двух свободных частиц и преобразуются по представлению, генераторы которого не зависят от взаимодействия. В то же время оператор тока преобразуется по другому представлению, генераторы которого зависят от взаимодействия. Следовательно, к этому матричному элементу оператора электромагнитного тока нельзя применить теорему Вигнера—Эккарта (4), т. к. мы не можем из переменных векторов состояний построить 4-вектор, описывающий свойства матричного элемента при простанственновременных преобразованиях. Для решения этой проблемы будем рассматривать матричный элемент электромагнитного тока как обобщённую функцию, т. е. объект, имеющий смысл только под знаком интеграла. Представим матричный элемент в виде произведения гладкой ковариантной функции и инвариантной обобщённой функции √ √ µ W i s|jc (0)|W i , s = B µ (s, Q2 , s )G(s, Q2 , s ) , (8) 246 Построение оператора электромагнитного тока . . . где B µ — 4-вектор, являющийся гладкой ковариантной функцией, явный вид которого пока неизвестен; G(s, Q2 , s ) — инвариантная обобщённая функция, содержащая информацию о процессе. Подставим представление (8) в (7): √ d s √ i d s ϕ(s)ϕ(s )B µ (s, Q2 , s )G(s, Q2 , s ) = (wc + wci )µ Fc (Q2 ). (9) Для определения вектора B µ потребуем, чтобы (9) было ковариантным равенством в смысле обобщённых функций, т. е. чтобы оно выполнялось для любой основной функции ϕ(s) в любой фиксированной системе отсчёта. При варьировании основной функции вектор в правой части (9) не будет изменяться, так как он составлен из 4-векторов, описывающих движение системы как целого и не зависящих от внутреннего движения конституентов. С другой стороны, при произвольном изменении основной функции 4-вектор в левой части, вообще говоря, будет произвольным образом менять свое направление. Таким образом, чтобы равенство (9) выполнялось при любой основной функции, достаточно потребовать выполнения равенства i B µ (s, Q2 , s ) = (wc + wci )µ . (10) Выполнение этого равенства приводит к выполнению как условия лоренцковариантности, так и условия сохранения тока. Подставляя (10) в (9), мы получаем аналитическое выражение для формфактора составной системы: Fc (Q2 ) = √ √ d sd s G(s, Q2 , s )ϕ(s)ϕ(s ), где G(s, Q2 , s ) — формфактор составной системы. Для вычислений можно использовать так называемое модифицированное импульсное приближение [1]. Суть его заключается в том, чтобы заменить G(s, Q2 , s ) на свободный двухчастичный формфактор g0 (s, Q2 , s ), определяемый равенством (5): Fc (Q2 ) = √ √ d sd s g0 (s, Q2 , s )ϕ(s)ϕ(s ) . (11) 3. Вычисление волновых функций вариационным методом. Обсудим теперь вычисление волновых функций в (11). Процедура вычисления волновых функций системы в ПИКМ сводится к диагонализации оператора массы ˆ системы взаимодействующих частиц MI . Для этого поставим задачу на собственные значения для оператора массы: ˆ MI ψ = Mc ψ, ˆ ˆ ˆ MI = M0 + V , (12) ˆ ˆ M0 — оператор массы свободной двухчастичной системы, V — оператор взаимодействия. Для решения поставленной задачи можно воспользоваться стандартным вариационным методом [6]. Для решения уравнения (12) вариационным методом необходимо найти матричный элемент оператора массы. Матричный элемент оператора массы имеет вид i ˆ i i ˆ i i ˆ i wc |Mc |wc = wc |M0 |wc + wc |V |wc . (13) 247 А. Ф. К р у т о в, Р. Г. П о л е ж а е в В качестве потенциала взаимодействия в данной работе используется потенциал Брейта [7]. Вычисленный матричный элемент (13) является функцией от параметров потенциала [7] и параметров пробных функций. В данной работе в качестве пробной функции выбиралась волновая функция основного состояния гармонического осцилятора: ψ(k) = 2π −1/4 b−3/2 exp(−k2 /2b2 ) , (14) где b — параметр пробной функции. Параметр определяется из условия минимума функционала Mc (b) = 0, Mc (b) > 0 . (15) Решение уравнения (15) даёт значение параметра b = = 0,378 GeV. Результаты расчёта пионного формфактора (11) для волновой функций (14), полученной вариационным методом, представлены на графике. Результаты расчёта пионного формфактора (11) Из графика видно, что теоретидля волновой функций (14); экспериментальные ческие расчёты неплохо согласуточки взяты из [2] ются с экспериментом. Заключение. В работе решалась задача о вычислении электромагнитного формфактора пиона для различных форм динамики в рамках подхода ПИКМ. Для решения данной задачи с помощью процедуры канонической параметризации в модифицированном релятивистском импульсном приближении проведено построение оператора электромагнитного тока в мгновенной форме, точечной форме и динамике на световом фронте. Аналитические выражения для формфакторов полностью совпадают для всех форм динамики. Выполнены численные расчёты пионного формфактора с волновыми функциями, полученными вариационным методом. Результаты расчёта хорошо согласуются с экспериментальными данными.

About the authors

Alexander F Krutov

Samara State University

Email: krutov@samsu.ru
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

Roman G Polezhaev

Samara State University

Email: polezaev@list.ru
Postgraduate Student, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

References

Supplementary files