Higgs boson production at the lhc in the framework of Regge limit of quantum chromodynamics

Full Text

Введение. Исследование процессов рождения бозонов Хиггса в Стандартной модели (СМ) и минимальной суперсимметричной Стандартной модели (МССМ) на Большом адронном коллайдере (БАК) рассматривается как центральная задача физики высоких энергий текущего десятилетия. Обнаружение на БАК стандартного скалярного бозона Хиггса будет блестящим подтверждением СМ и очередным триумфом квантовой калибровочной теории поля. Другая важная проблема, которую ожидается решить в экспериментах на БАК, это получение ответа на вопрос о месте суперсимметричных обобщений СМ. Первые указания на существование скалярной частицы с массой около 125 ГэВ были получены в 2012 году Коллаборациями ATLAS [1] и CMS [2]. Превышение сигнала над фоном составляет около 4 стандартных отклонений, что позволяет надеяться на достоверность полученных результатов. В этой связи ещё более актуальным становится моделирование процессов рождения бозонов Хиггса на БАК в теории реджезованных партонов (ТРП), которая позволяет учесть нетривиальные эффекты, связанные с особенностями квантовой хромодинамики (КХД) при высоких и сверхвысоких энергиях. В СМ основной вклад в сечения рождения хиггсовского бозона с массой порядка 100 ÷ 500 ГэВ в протон-протонных взаимодейсвиях при энергии про√ тонов в системе центра масс на БАК s = 7 ÷ 14 ТэВ дает процесс глюонглюонного слияния g + g → H, идущий через кварковую петлю. Наибольший вклад в этот процесс дает петля t-кварка, т. к. вершина взаимодействия 250 Рождение бозонов Хиггса в реджевском пределе . . . бозона Хиггса СМ пропорциональна массе кварка в петле: 1 v= √ , ( 2GF )1/2 где GF — константа Ферми. Величина v 246 ГэВ характеризует энергетический масштаб спонтанного нарушения электрослабой симметрии. Следующий по величине вклад дает процесс рождения глюонами хиггсовского бозона совместно с парой «кварк-антикварк», в основном с парой b-кварков (b¯ bH), затем идут процессы ассоциативного рождения бозона Хиггса с тяжелыми ¯ калибровочными бозонами (W H, ZH) и парой t-кварков (ttH). В связи с экспериментальными условиями, предполагающими, что на начальном этапе поиска бозона Хиггса на БАК статистика будет недостаточной для измерения дифференциальных распределений, имеющиеся расчеты в коллинеарной партонной модели (КПМ) в основном ориентированы на определение полного сечения рождения бозона Хиггса в СМ, которое в настоящее время известно как в следующем за лидирующим приближении по αs (СЛП) с учётом конечной массы топ кварка [5], так и в следующем за СЛП КПМ в пределе mt → ∞ [6]. Для расчета распределений по поперечному импульсу (pT ) используется широкий класс генераторов Монте—Карло [7] в сочетании с процедурой суммирования больших логарифмических поправок в КПМ [7–9]. Сочетание этих методов позволяет получать стабильные предсказания для pT -распределений, которых достаточно для целей феноменологии СМ. Однако в феноменологии МССМ мы вынуждены иметь дело с большим числом свободных параметров и делать предсказания при их варьировании в широкой области. Это приводит к существенным неопределенностям при использовании упомянутых выше подходов. В МССМ спонтанное нарушение электрослабой симметрии обеспечивается введением двух дублетов хиггсовских полей, что приводит к возникновению двух скалярных (H и h), одного псевдоскалярного (A) и двух заряженных (H ± ) бозонов Хиггса. Генерация масс верхних и нижних фермионов в SU (2)-дублете обеспечивается разными дублетами хиггсовских полей с различными вакуумными средними для этих дублетов vt и vb . В результате естественным параметром модели является отношение этих вакуумных средних: GH = i m , v tg(β) = vb . vt Вершины взаимодействия псевдоскалярного бозона Хиггса МССМ с фермионами имеют вид (A) Gb = mb tg(β)γ5 , v (A) Gt = mt ctg(β)γ5 . v Экспериментальные данные [4] дают следующие ограничения на свободные параметры МССМ: 10 < tg(β) < 30 и MA > 100 ГэВ; при таких значениях параметров вклады петель tи b-кварков в амплитуду рождения бозона Хиггса A будут иметь одинаковый порядок величины. С другой стороны, неколлинеарные поправки к петле b-кварка могут быть значительны, т. к. поперечные импульсы реджезованных глюонов имеют величину порядка массы b-кварка, но много меньше массы t-кварка. В КПМ последнее обстоятельство 251 М. А. Н е ф е д о в, В. А. С а л е е в приводит к необходимости непростого учета старших поправок теории возмущений, в то время как в ТРП основная часть этих поправок учитывается уже в лидирующем приближении. 1. Амплитуды рождения скалярного и псевдоскалярного бозонов Хиггса в ТРП. При высоких энергиях основной вклад в инклюзивные сечения рождения частиц дают процессы в мультиреджевской кинематике. В этих условиях начальные t-канальные партоны реджезуются, что является фундаментальным свойством всех калибровочных теорий поля. В работах Л. Н. Липатова сформулирована ТРП как обобщение КХД [11]. Лагранжиан ТРП содержит поля реджезованных глюонов и кварков, а их взаимодействие с Янг—Миллсовскими глюонами и кварками ПМ осуществляется при помощи индуцированных вершин [12]. В рассматриваемом процессе важна вершина перехода реджезованного глюона в Янг—Миллсовский R → g: = Γ±ν (q) = iδab q 2 (n± )ν , ab √ √ µ µ µ где n+ = 2P1 / S, n−µ = 2P2 / S, (n+ )2 = (n− )2 = 0, (n+ n− ) = 2, 2(P1 P2 ) = = S, P1,2 — 4-импульсы сталкивающхся протонов. Диаграммы ТРП в лидирующем приближении для процесса RR → H приведены на рис. 1. Необходимо отметить, что для согласования правил Фейнмана в ТРП с правилами Фейнмана в стандартной КХД амплитуды в ТРП домножается на нормировочный множитель а б x1 x2 S N = √ , 4 t1 t2 Рис. 1 где q1,2 = x1,2 P1,2 + q1,2T — 4-импульсы реджезованных партонов, qT = = (0, qT ,0), t1,2 = q2 . В ТРП амплитуда рождения скалярного бозона 1,2T Хиггса в слиянии двух реджезованых глюонов (упускаем константу связи и цветовую структуру) имеет вид (−1) x1 x2 P1µ P2ν √ √ × (2π)4 t1 t2 T r [γ µ (ˆ + m)γ ν (ˆ − q2 + m)(ˆ + q1 + m)] q q ˆ q ˆ + (q1 ↔ q2 , µ ↔ ν) , d4 q 2 (q − m2 )((q − q2 )2 − m2 )((q + q1 )2 − m2 ) (1) AS (t1 , t2 , MT , MH ) = × где m — масса кварка, а MH — масса бозона Хиггса. Скалярные произведения, через которые выражается амплитуда, записываются в таком виде: 2 (q1 + q2 )2 = MH , 2 2(q1 q2 ) = MH + t1 + t2 , 2 2 x1 x2 S = MH + p2 = MT , T где pT = q1T + q2T . В рамках метода размерной регуляризации и процедуры Пассарино—Вельтмана [13] данная амплитуда может быть сведена к линейной комбинации базисных однопетлевых интегралов B0 и C0 с коэффициентами, зависящими от t1 , t2 . Выражения для этих коэффициентов являются 252 Рождение бозонов Хиггса в реджевском пределе . . . весьма громоздкими, но они могут быть упрощены, если ввести новые функции: 4 2 D± (t1 , t2 ) = MH ± 2MH (t1 + t2 ) + (t1 − t2 )2 . Тогда выражение для амплитуды принимает вид AS = 2 (−i)mMT 2 √ A · C0 (MH , −t1 , −t2 , m2 , m2 , m2 )+ 4 2 83 π 2 MH D+ t1 t2 2 + 8B · B0 (MH , m2 , m2 ) − 4C(t1 , t2 ) · B0 (−t1 , m2 , m2 )− − 4C(t2 , t1 ) · B0 (−t2 , m2 , m2 ) + 32D , (2) где коэффициенты A, B, C, D имеют следующий вид: 2 4 A = MT D− − D+ − 4MH × 4 2 2 2 8 × −8MH (3D− + 5D+ ) − 2D− D+ + 3D− + 64m2 D+ MH − D+ + 48MH + 2 4 2 + 4D+ MH −8MH (D− + 3D+ ) + 2D− D+ + D− + 2 2 8 + 64m2 D+ MH − 3D+ + 16MH , 2 2 2 2 8 4 B = MH MT 24MH (D− + D+ ) + 2D− D+ − 3D− + D+ − 48MH − C(t1 , t2 ) = D− − 2 D+ + 4MH (t2 − t1 ) 2 2 +D+ MH 5MT − 2 3MT 2 4 −4D+ MH D− + 3D+ − 4MH 4 D− − 4MH 4 4(t2 − t1 ) + 4MH 2 MH , − (t2 − t1 ) + 2 + 3MT (t2 − t1 ) , 2 4 2 4 2 D = MH D+ MT (D− − 4MH ) + D+ (4MH − MT ) . Амплитуда (2) не имеет ультрафиолетовых расходимостей, сингулярные члены ∆M S , входящие в определение функции B0 , сокращаются. На стадии численных расчетов мы используем представление функции C0 через комплексные дилогарифмы Li2 (z), полученное в работе [14]. Квадрат модуля амплитуды рождения СМ Хиггса в ЛП ТРП с учетом вклада b-кварка и опущенных ранее цветовых множителей и констант связи имеет вид π2 2 |ASM |2 = √ GF α2 mt AS (m = mt ) + mb AS (m = mt ) . s 2 После перехода к пределу t1,2 → 0 в (3) и усреднения по углу между поперечными импульсами партонов квадрат модуля амплитуды в ТРП переходит в соответствующий квадрат модуля амплитуды в КПМ [15]: |ACP M |2 S √ 4 α2 GF MH 2 s = |τ (1 + (1 − τ )f (τ ))|2 , 2 256π где f (τ ) = − 2 M2 τ M2 τ M2 τ MH 2 C0 MH , 0, 0, H , H , H , 2 4 4 4 τ= 4m2 2 . MH 253 М. А. Н е ф е д о в, В. А. С а л е е в Рассмотрим рождение псевдоскалярного бозона Хиггса МССМ. Амплитуда записывается аналогично (1): (−1) x1 x2 P1µ P2ν µν 2 √ √ APS (−t1 , −t2 , MA , m), (2π)4 t1 t2 Tr [γ µ (ˆ + m)γ ν (ˆ − q2 + m)γ5 (ˆ + q1 + m)] q q ˆ q ˆ 2 + Aµν (−t1 , −t2 , MA , m) = d4 q 2 PS 2 )((q − q )2 − m2 )((q + q )2 − m2 ) (q − m 2 1 +(q1 ↔ q2 , µ ↔ ν). AP S = Можно показать, что квадрат модуля амплитуды рождения бозона Хиггса A в ЛП ТРП приводится к виду |AA |2 = 4 2α2 MT s 2 sin2 (φ) m2 C0 (MA , −t1 , −t2 , m2 , m2 , m2 ) tg(β)+ b b b b (8πv)2 2 2 +m2 C0 (MA , −t1 , −t2 , m2 , m2 , m2 ) ctg(β) , t t t t где φ — угол между векторами q1T и q2T . В коллинеарном пределе получаем |ACP M |2 = A 4 α2 MA s |τb f (τb ) tg(β) + τt f (τt ) ctg(β)|2 , 4(8πv)2 2 где τt,b = 4m2 /MH , что совпадает с известным выражением в КПМ [16]. t,b 2. Сечения рождения бозона Хиггса СМ на БАК. Дифференциальное по поперечному импульсу (pT ) и быстроте (y) сечение рождения бозона Хиггса в слиянии реджезованных глюонов согласно теореме факторизации в ТРП записывается в виде [17]: pT d2 σ = 4 dydpT MT 2π ∞ dt1 0 0 dφ1 Φp (x1 , t1 , µF )Φp (x2 , t2 , µF )|ASM |2 , g g где MT x1,2 = √ e±y , S MT = 2 MH + p2 , T √ t2 = p2 + t1 − 2pT t1 cos(φ1 ); T φ1 — угол между q1T и pT , а Φ(x, t, µ2 ) — глюонная неинтегрированная парf тонная функция распределения (НПФР). В наших расчетах мы будем использовать глюонную НПФР, полученную в работах Кимбера, Мартина и Рыскина [19], которая соответствует коллинеарной ПФР MRST2002 [18]. В ТРП мы учитываем лидирующие логарифмические поправки вида ln(µ/ΛQCD ) и ln(1/x), в то же время из расчётов в СЛП КПМ известно, что нелогарифмические поправки также дают большой вклад в сечение. Эти вклады обусловлены петлевыми глюонными поправками к вершине рождения Хиггса и могут быть эффективно учтены при помощи умножения сечения на K-фактор: K = exp 254 π CA αs (µR ) , 2 Рождение бозонов Хиггса в реджевском пределе . . . где CA = Nc = 3. Данный K-фактор получается из аналитического продолжения формфактора Судакова во времениподобную область переданных импульсов (см., например, [20] и имеющиеся там ссылки). При вычислении сечений мы используем следующий выбор масштабов перенормировки и факторизации: µR = µF = ξMT , где для центральной кривой на графиках соответствует прямая ξ = 1, а коридор теоретической неопределённости вносимой выбором масштаба, строится путём варьирования 1/2 < ξ < 2. На рис. 2 приведено сравнение наших предсказаний (сплошная гистограм√ ма и сплошная заливка) для pT -спектра бозонов Хиггса при s = 7 ТэВ и MH = 120 ГэВ с учетом вклада b-кварка с результатами СЛП КПМ методом Монте—Карло, взятыми из работы [7]. Полоса неопределенности с вертикальной штриховкой соответствует результату генератора Монте—Карло Pythia с программным кодом POWHEG [10]. Полоса неопределенности с горизонтальной штриховкой показывает результат расчета в СЛП КПМ в программе HqT [9]. Рис. 2. показывает, что расчет в ЛП ТРП удовлетворительно воспроизводит результаты СЛП КПМ, особенно если принять во внимание степень неопределенности последних. Результат ЛП ТРП менее устойчив по отношению к варьированию масштабов перенормировки и факторизации, что, впрочем, характерно для расчетов в лидирующем приближении. Предсказания ЛП ТРП и СЛП КПМ для зависимости полного сечения рождения бозона Хиггса СМ от его массы в наиболее интересной для эксперимента области 120 < MH < 130 ГэВ отличаются не более чем на 25 %, что является хорошим аргументом в пользу применения расчетов в ЛП ТРП для оценки различных дифференциальных сечений. В частности мы можем сделать предсказание для pT -спектра бозона Хиггса с массой 126 ГэВ при √ s = 14 ТэВ, который может быть измерен после модернизации БАК до этой энергии (рис. 3). Рис. 2 Рис. 3 3. Сечения рождения псевдоскалярного бозона Хиггса МССМ. На рис. 4 приведено сравнение наших предсказаний для полного сечения рождения бозона Хиггса МССМ A в ЛП ТРП при tg(β) = 3 (кривая 1) и tg(β) = 30 255 М. А. Н е ф е д о в, В. А. С а л е е в (кривая 3) с соответствующими результатами, полученными в СЛП КПМ [16] (кривые 2 и 4). Видно, что при tg(β) = 3 ЛП ТРП хорошо воспроизводит результат СЛП КПМ практически для всех значений массы бозона, в то время как для tg(β) = 30 при больших значениях массы наш подход предсказывает несколько меньшее сечение, чем СЛП КПМ. Однако кривая КПМ лежит в пределах полосы теоретической неопределенности наших расчетов, что позволяет надеяться на разумное согласие предсказаний и для спектров по поперечному импульсу с результатами КПМ. Результаты расчетов дифференциРис. 4 ального эффективного сечения рождения псевдоскалярного бозона Хиггса МССМ в процессе слияния редже√ зованных глюонов в ЛП ТРП для s = 14 ТэВ при значениях MA = 126, 200, 500, 1000 ГэВ приведены на рис. 5 (а, б, в, г, соответственно). Сплошная кривая соответствует значению tg(β) = 3, а штриховая кривая — tg(β) = 30. Из рисунков видно, что спектры при большом и малом значениях tg(β) имеют разный наклон. В случае измерения данных спектров на эксперименте этот факт можно использовать для более точного определения значения этого параметра. а б в г Рис. 5 256 Рождение бозонов Хиггса в реджевском пределе . . . Также можно заключить, что при увеличении MA сечение, соответствующее tg(β) = 30, становится меньше, чем сечение для tg(β) = 3. Это связано с влиянием интерференции t и b-кварковых вкладов, которая становится деструктивной при MA mt,b в силу свойств функции C0 . Заключение. Эксперименты на БАК в тэвной области энергий показывают, что доминирующую роль в процессах рождения частиц в центральной области по быстроте играют подпроцессы в мультиреджевской кинематике, для описания которых необходимо использовать ТРП вместо КПМ. Результаты этой работы, а также наших расчетов спектров чармониев [21], b-кварковых струй [22], адронных струй и прямых фотонов [23] подтверждают это наблюдение.

About the authors

Maxim A Nefedov

Samara State University

Email: nefedovma@gmail.com
Postgraduate Student, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

Vladimir A Saleev

Samara State University

Email: saleev@samsu.ru
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of Mathematical Modeling in Mechanics. 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

References

Supplementary files