Об эффекте переноса массы вдоль космической струны

Аннотация

Рассматривается взаимодействие (захват) массивной квантовой частицы с бесконечной струной. Представлены аргументы, показывающие, что появление на струне точки возврата приводит к локализации захваченной частицы в окрестности этой точки независимо от положения точки захвата.

Полный текст

Модели нерелятивистской теории рассеяния изучены к настоящему времени достаточно подробно и составляют содержание многих классических монографий (см., например, [1]). Однако сказанное относится в основном к рассеянию на стационарных объектах; построение соответствующих моделей со сложными движущимися рассеивателями, меняющими в динамике свою структуру (форму, например), представляет собой задачу существенно более сложную. Это связано, в том числе, со значительными математическими трудностями, возникающими при рассмотрении потенциалов взаимодействия, явно зависящих от времени [2]. В данной части работы мы предложим модель, описывающую взаимодействие бесструктурной частицы с некоторой гладкой эволюционирующей кривой x(t, s), где t — время, а s ∈ (−∞, ∞) — параметр вдоль кривой. Такой кривой, например, может быть струна Намбу Гото при условии выполнения соответствующей нерелятивистской редукции. Известно, что в динамике на таких струнах могут появляться точки возврата [3] (см. также работу [4]). Бесконечные струны претендуют, вообще говоря, на описание таких (гипотетических) фундаментальных объектов Вселенной, как космические струны [5]. Что касается важности учёта точек возврата, то здесь следует отметить работу [6], в которой была выдвинута гипотеза, объясняющая наблюдение мгновенных вспышек излучения во Вселенной излучением точек возврата при условии переноса энергии вдоль струны. Итак, рассмотрим бесконечную струну Намбу Гото в пространстве-времени Минковского E1,3 . Такой объект можно рассматривать как космическую струну в «проволочном» приближении [7]. Мировой лист (x0 (t, s), x(t, s)) параметризован «пространственным» параметром s ∈ (−∞, ∞) и (локальным) «временем» t. Для того чтобы использовать нерелятивистскую квантовую теорию рассеяния, необходимо корректно выполнить редукцию теории струны Намбу Гото, рассматриваемой изначально как релятивистская теория в пространстве E1,3 , к нерелятивистскому описанию, т. е. к теории в пространстве E3 × R. Согласно результатам работы [9] (см. также [10] для случая 259 С. В. Т а л а л о в конечной струны), струна Намбу Гото может быть описана парой вспомогательных линейных систем первого порядка T± (s) + Q± (s)T± (s) = 0, в которых матрицы коэффициентов Q± выражаются через определенное на мировом листе SL(2, C)-значное поле K(t, s) посредством формул Q− = K −1 ∂− K, Q+ = −(∂+ K)K −1 , где ∂± = ∂/∂ξ± , ξ± = s ± t, а T± (s) ∈ SL(2, C) — матрицы-решения. Мировой лист восстанавливается по данным матрицам в соответствии с формулами p ∂± X = ± T + (I ± σ3 )T, 2 X ≡ x0 I − xσ. Существующий произвол в выборе матриц T± (s): T± −→ T± = T± B, B ∈ SL(2, C) (Bij = const) (1) соответствует преобразованиям Лоренца. Важными являются равенства K11 = exp(−ϕ/2), Q12+ = −ρ+ , Q21− = −ρ− , устанавливающие явную связь элементов матриц K и Q± с коэффициентами фундаментальных форм мирового листа: I = −(p2 /2)e−Reϕ dξ+ dξ− , 2 2 II1 + iII2 = p |ρ+ |ei[β+χ] dξ+ − |ρ− |ei[β−χ] dξ− , где χ ≡ (Imϕ + arg ρ+ + arg ρ− )/2. Функции ϕ, ρ± , а также функции α+ = − exp(ϕ/2)K21 , α− = exp(ϕ/2)K12 удовлетворяют системе дифференциальных уравнений ∂+ ∂− φ = 2ρ+ ρ− exp φ, ∂± ρ = 0, ∂± α = ρ± exp φ. (2) (3) (4) Отметим, что уравнения (2) и (3) выводились в [8] из системы уравнений Гаусса и Петерсона—Кодацци. Если обе функции |ρ± | нигде не обращаются в ноль, то равенство (2) может быть легко сведено к известному уравнению Лиувилля конформной заменой конусных переменных ξ± −→ ξ± = A± (ξ± ), A =0 (5) и сдвигом ϕ → ϕ − i(arg ρ+ + arg ρ− ). Особенность подхода [9] состоит в том, что мы не накладываем ограничений |ρ± (ξ± )| = 0 на функции ρ± , считая 260 Об эффекте переноса массы вдоль космической струны их динамическими переменными. При этом необходимо заметить, что равенства ρ± = 0 могут иметь место не только в точках, но и на множествах ненулевой меры. С точки зрения соотнесения развиваемой теории и известного геометрического подхода в теории струн [8], это означает рассмотрение класса мировых листов, более широкого, чем обычно. Действительно, множество локально-минимальных поверхностей, для которых вторые квадратичные формы IIi (i = 1, 2) удовлетворяют условию ρ± (ξ± ) = 0, не является максимально общим. Так, это множество не содержит простейших локальноминимальных поверхностей — времениподобных плоскостей; более сложный пример — поверхности, такие что ρ± (ξ± ) ≡ 0 при ξ+ ∈ [a+ , b+ ], ξ− ∈ [a− , b− ], причём в других точках ρ± = 0. В этом случае никаким преобразованием (5) коэффициенты |ρ± | нельзя сделать постоянными всюду, поскольку данные преобразования могут менять лишь границы отрезков [a+ , b+ ] и [a− , b− ], но не сам факт обращения величин ρ± в ноль. Таким образом, уравнения (2)– (4) в указанном классе функций ρ± позволяют рассматривать с единой точки зрения стандартные (ρ± (ξ± ) = 0), плоские (E1,1 ), а также локально-плоские мировые листы. Система (2)–(4) имеет широкую группу инвариантности G. Действительно, пусть функции ϕ(ξ+ , ξ− ), ρ± (ξ± ) и α± (ξ+ , ξ− ) удовлетворяют системе (2)– (4), дифференцируемые комплексные функции f± (ξ) и g± (ξ) произвольны, а вещественные функции A± (ξ) удовлетворяют условию A− A+ = 0. Тогда преобразование (ϕ, ρ± , α± ) −→ (ϕ, ρ± , α± ) ˜ ˜ ˜ такое, что ϕ(ξ+ , ξ− ) = ϕ(A+ (ξ+ ), A− (ξ− )) + f+ (ξ+ ) + f− (ξ− ), ˜ ρ± (ξ± ) = ρ(A± (ξ± ))A± (ξ± ) exp (−f± (ξ± )), ˜ α± (ξ+ , ξ− ) = α± (A+ (ξ+ ), A− (ξ− )) exp (f± (ξ± )) + g± (ξ± ) ˜ вновь даёт решение рассматриваемой системы. С дифференциально-геометрической точки зрения множество функций {ϕ, α± , ρ± }, используемое для описания мировых листов, имеет некоторую «избыточность». Данная «избыточность», возникшая изначально как следствие некоторого произвола в построении поля K(t, s), может быть устранена факторизацией множества функций {ϕ, α± , ρ± } по некоторой подгруппе группы G. Действительно, в работе [9] показывается, что для каждой конфигурации поля K(t, s) существуют и единственны функции g± (ξ), и вещественные функции f± (ξ) такие, что после выполнения групповых преобразований справедливо K(t, s) ∈ SU (2) при всех t, s. Для матриц T± это означает T± ∈ SU (2), так что в преобразованиях (1) B ∈ SU (2) и соответствующий произвол отвечает уже вращениям (только) пространства E3 . Далее мы используем нестационарное уравнение Шрёдингера для того, чтобы описать взаимодействие некоторой массивной частицы с бесконечной эволюционирующей кривой x(t, s) («нерелятивистской струной»). Фактически выбор в качестве такой кривой именно струны не является принципиальным — он необходим здесь лишь для того, чтобы обосновать появление в динамике точек возврата. Мы будем предполагать также, что кривая x(t, s) является гладкой при всех t < ε, где ε > 0 — некоторое малое число. Таким образом, принимаются следующие допущения: 261 С. В. Т а л а л о в – для описания взаимодействия применима нерелятивистская квантовая теория; – в каждый момент времени t струна x(s) ∈ E3 рассматривается как источник потенциальных сил, действующих на массивную нерелятивистскую квантовую частицу; потенциал взаимодействия определяется матричными элементами: ˆ p | Va (t) | p = ∞ a χa (p)χa (p ) e−i(p−p )x(t, s) g(s)ds, (6) −∞ где χa (p) = θ(1/a − | p|), a — константа взаимодейстия и функция g(s) является функцией пространства S (S — пространство Шварца); – асимптотическое поведение на бесконечности рассматриваемых струн определено формулой lim sn |x(t, s) − n3 s| = 0, |s|→∞ ∀ n = 0, 1, 2, . . . . Здесь будет уместным указать мотивировку выбора потенциала (6). Предположим, что параметры s = s0 и t = t0 фиксированы. Тогда потенциал ˆ p | Va0 | p = a χa (p)χa (p )e−i(p−p )x0 является вариантом хорошо известного сепарабельного потенциала для «силового центра» x0 = x(t0 , s0 ). Более того, справедлива формула ˆ lim r | Va0 | r ≡ lim a→0 a→0 a fa (r − x0 )f a (r − x0 ) = αδ(r − x0 )δ(r − r ) при подходящем способе a → 0 [11]. Таким образом, потенциал (6) представляет собой потенциал Va0 , продолженный вдоль кривой x = x(s). При этом функция g(s) моделирует линейную структуру данного (одномерного) рассеивателя. Так, например, выбирая функцию g(s) из множества D (функций с компактным носителем), мы моделируем процесс рассеяния на конечной кривой. В настоящей работе мы рассматриваем только случай с конечным параметром a ∼ 0 и рассеиваемые частицы с импульсами |p| < 1/a. Нелокальность сепарабельного потенциала здесь несущественна, т. к. функция fa (r) пренебрежимо мала1 для r > a. Предел a → 0 в предлагаемой модели не выполняется по следующим причинам. 1. В реальности все одномерные рассеиватели имеют конечные «поперечные» размеры, что и учитывается здесь конечным значением параметра a. 2. Предел a → 0 приводит к существенным математическим сложностям (см., например [12]), которые в данной (нестрогой) модели не вполне оправданы. 3. При конечном ненулевом значении параметра a потенциал (6) определяет корректный интегральный оператор в гильбертовом пространстве L2 (R3 ) в любой момент времени t. Этот факт позволяет исследовать нестационарную задачу рассеяния на эволюционирующей кривой. 1 Функция χa (p) выбрана здесь в виде θ(1/a − |p|) исключительно для упрощения формул. Мы можем переопределить χa (p) так, что её фурье-образ fa (r) ≡ 0 для r > a. 262 Об эффекте переноса массы вдоль космической струны Заметим, что сепарабельная аппроксимация для δ-потенциала фактически использовалась в работе [11], в которой впервые была дана строгая интерпретация гамильтониана вида −∆ + αδ(r). Итак, рассмотрим массивную частицу (далее везде m = 1/2, = 1), свободную при t → −∞ и описываемую вектором состояния |ψ − (t) . Пусть вектор |ψ(t) описывает состояние частицы в конечный момент времени t. Тогда волновая функция ψ(p, t) = p|ψ(t) удовлетворяет следующему интегральному уравнению [1]: t ψ(p, t) = ψ − (p, t) − i d3 p e−ip dt 2 (t−t ) ˆ p | Va (t ) | p ψ(p , t ). (7) −∞ Мы исходим из следующих предположений: – захват частицы происходит в некоторый момент t 0; до этого момента волновая функция ψ(p, t) есть волновая функция свободной частицы; – при t = 0 струна является прямой: x(0, s) ≡ sn3 ; – ψ(p,0) = ϕκ (p), где функция ϕκ (p) является решением стационарного уравнения Шрёдингера с энергией E = −κ 2 , потенциалом (6) для прямолинейной стационарной струны и g(s) ≡ 1. Таким образом, функция ϕκ (p) есть решение уравнения −κ 2 ϕκ (p) = p2 ϕκ (p) + ˆ d3 p p | Va (0) | p ϕκ (p ), а величина κ = κ(p3 ) — уравнения 1 + 2π В итоге ϕκ (p) = a χa (p)dp1 dp2 = 0. κ 2 + p2 χa (p)C(p3 ) , κ 2 + p2 ϕκ (p) ∈ (L2 (R3 ))∗ , где (обобщённая) функция C(p3 ), вообще говоря, произвольна. Данная функция зависит от способа приготовления исходного пакета ψ − (p, t) и определяет степень и место локализации частицы в момент захвата. Символ ∗ означает оснащение соответствующего гильбертова пространства. Таким образом, сделанные предположения позволяют свести уравнение (7) к следующему (t 0): 2 ψ(p, t) = e−ip t ϕκ (p)− t − i a χa (p) 0 I(t, s) = dt e−ip 2 (t−t ) ∞ ds g(s )e−ipx(t , s ) I(t , s ), (8) −∞ d3 pχa (p)eipx(t, s) ψ(p, t). (9) 263 С. В. Т а л а л о в Например, в простейшем случае прямолинейной стационарной струны, та2 кой, что x(t, s) ≡ n3 s (∀s, ∀t) и g(s) ≡ 1, функция ψ(p, t) = eiκ t ϕκ (p) удовлетворяет уравнениям (8), (9) тождественно. Функция I(t, s) есть решение интегрального уравнения t I(t, s) = I0 (t, s) − ∞ dt a 0 со свободным членом I0 (t, s) ≡ K(t, s; t , s ) = i (10) ds g(s )K(t, s; t , s )I(t , s ) −∞ 2 d3 pχa (p)ei[px(t, s)−p t] ϕκ (p) и ядром d3 pχa (p)ei[−p 2 (t−t )+p(x(t, s)−x(t , s ))] . В данной работе мы ограничимся только первым слагаемым итерационного ряда для уравнения (10), так что далее в формуле (8) полагаем I(t, s) → I0 (t, s). В качестве следующего шага мы исследуем перестройку волновой функции ψ(p, t) захваченной частицы в момент появления на струне точки возврата. Пусть пространство T E3 есть пространство импульсов частицы p. В соответствии с нашими предположениями следующая область Q ⊂ T E3 существует при некоторых ε1 < ε: Q: p2 + p2 < q(ε1 )p2 , 1 2 3 px (s, t) = 0, t ∈ [0, ε1 ], ∀s. Здесь функция q(ε1 ) — некоторая непрерывная функция на интервале (0, ε); поскольку при t = 0 рассматриваемая струна является прямой линией, совпадающей с третьей координатной осью, имеем q(ε1 ) → ∞ при ε1 → 0. Таким образом, для всех «продольных» (т. е. в пределах некоторого конуса, ось которого направлена по касательному к струне вектору) направлений в интеграле (8) критические точки отсутствуют. Это означает, что для всех направлений (по импульсу частицы) из области Q выполняется: ψ(p, t) = ψ(p,0) + δψ(p, t), где малая вариация δψ ∈ S. В итоге получаем, что в моменты времени t ∈ (0, ε) начальная локализация рассматриваемой частицы не меняется значительно. Далее, пусть теперь в некоторый момент t = t1 на струне в точке с координатой s = s1 появляется точка возврата. Это означает, что px (t1 , s1 ) = 0, ∀p ∈ T E3 , так что интеграл (8) имеет критическую точку (см., например, [13]). Соответствующая асимптотика функции δψ(p, t) при всех t > t1 будет следующей (здесь мы выписываем только главный член асимптотического ряда): δψ(p, t) ∼ const 264 eipx(t, s1 ) , |p| |p| → ∞. (11) Об эффекте переноса массы вдоль космической струны Из вышеизложенного следует, что появление точки возврата с необходимостью делает асимптотику волновой функции ψ(p, t) во всех (в т. ч. и в «продольных») направлениях импульса p более медленной. Для Фурье-образа δψ(x, t) асимптотика (11) приводит к следующей зависимости вблизи точки x = x(t, s1 ) [14]: δψ(x, t) ∼ const|x − x(t, s1 )|−5/2 . Таким образом, точка возврата x = x(·, s1 ), возникающая на струне в некоторый момент времени t = t1 , приводит к коллапсу волновой функции в окрестности этой точки. В итоге представленные аргументы свидетельствуют о существовании механизма переноса (т. е. некой «телепортации») массивного объекта вдоль одномерной структуры — космической струны. Конечно, более детальное исследование такого явления необходимо проводить в рамках той или иной релятивистской модели. Данная работа является расширенным вариантом статьи [15], положенной в основу доклада [16] на Третьей международной конференции по математической физике и её приложениям (г. Самара, 27 августа – 1 сентября 2012 г.).