Application of the mathematical models used for estimating the impact probability of asteroids 99942 Apophis and 2011 AG5

Full Text

На сегодняшний день открыто более 10000 астероидов, которые принадлежат группам Аполлона, Амура и Атона. Свыше 1300 из них проходят через сферу действия Земли на интервале времени с 1800 по 2200 гг. Вследствие тесного сближения с Землёй возможно изменение траектории движения астероида, что может привести к столкновению в будущем. Так как некоторые из астероидов, сближающихся с Землёй в указанном интервале времени, имеют существенные размеры и массу, их можно считать потенциально опасными в силу того, что возмущения, полученные астероидом при тесном сближении с нашей планетой, могут значительно отразиться на его дальнейшей траектории. Таким образом, актуальной задачей является создание математических моделей, позволяющих оценить величину вероятности столкновения астероидов с Землёй. Вследствие того, что элементы орбит вычисляются с определенными погрешностями, важно оценить влияние этих погрешностей на величину вероятности столкновения этого астероида с Землёй. Также необходимо оценить и саму вероятность столкновения в будущем. Астероид 99942 Apophis был открыт 19 июня 2004 года. По данным Лаборатории реактивного движения NASA, наиболее тесное сближение данного объекта с Землёй произойдет 13 апреля 2029 г., когда Апофис приблизится к Земле на 0,000256 а.е. (38,3 тыс. км). Вследствие тесного сближения с Землёй орбита астероида существенно изменится, поэтому не исключена вероятность его столкновения с Землёй в будущем. Диаметр астероида Апофис составляет 320 м, масса — 2,7·1010 кг, поэтому он является потенциально опасным для Земли объектом. Астероид 2011 AG5 был обнаружен 8 января 2011 года. По данным Лаборатории реактивного движения NASA, астероид сблизится с Землёй 4 февраля 2040 г. и пройдет на геоцентрическом расстоянии в 0,0072 а.е. Диаметр 115 А. Е. Д е р е в я н к а астероида 2011 AG5 — 140 м, приблизительная масса 4,1 · 109 кг. Первоначально у данного астероида элементы орбит были вычислены с большими погрешностями, что позволило отнести его к потенциально опасным объектам. Чтобы оценить вероятность столкновения астероидов с Землёй, использовались две математические модели: в основе одной лежит метод статистических испытаний (метод Монте—Карло [1]), вторая же основана на отношении мер областей (геометрическое определение вероятности наступления события). Положение астероида в пространстве однозначно определяют элементы орбит. Это шесть элементов, два из которых (большая полуось a и эксцентриситет e) задают форму орбиты, три (наклонение i, долгота восходящего узла Ω и аргумент перигелия ω) — ориентацию по отношению к базовой системе координат, и один (средняя аномалия M ) определяет положение тела на орбите. Источником значений элементов орбит на различные даты наблюдений являлся сайт-каталог орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы smallbodies.ru. Начальные данные для астероидов 99942 Apophis и 2011 AG5 приведены в табл. 1 и табл. 2 соответственно. В качестве математической модели движения астероидов были использованы дифференциальные уравнения движения с учётом гравитационных и релятивистских эффектов от Солнца, имеющие в гелиоцентрической системе координат следующий вид [2]: Таблица 1 Элементы орбит астероида 99942 Apophis на различные моменты наблюдений XX XXX Дата Элемент XXXX a, а.е. e i, град. Ω, град. ω, град. M, град. 06.03.2006 04.01.2010 27.08.2011 0,92239593 0,19104000 3,331224 204,462302 126,355659 222,272876 0,92241929 0,19121109 3,331512 204,439306 126,424463 339,948637 0,92230028 0,19107611 3,331952 204,430424 126,424469 287,582163 Таблица 2 Элементы орбит астероида 2011 AG5 на различные моменты наблюдений XX XXX Дата Элемент XXXX a, а.е. e i, град. Ω, град. ω, град. M, град. 116 19.05.2011 27.08.2011 05.12.2011 1,43063113 0,39056001 3,680462 135,713596 53,480619 32,077136 1,43048221 0,39049892 3,680517 135,712206 53,473598 89,695558 1,43056303 0,39041690 3,680351 135,710898 53,479691 147,300586 Применение различных математических моделей для оценки вероятности . . . d2 X X = −k 2 (1 + m) 3 + 2 dt r k 2 mi i Xi Xi − X − 3 + 3 ∆i ri ˙ ˙ k2 r2 ˙ (X X)2 (X X) ˙ k2 X + (4 − 2α) 3 X , + 2 (4 − 2α) 2 X − (1 + α) 3 X + 3α 5 c r r r r где X — матрица-столбец с элементами x, y, z; Xi — матрица-столбец с элементами xi , yi , zi ; m, x, y, z — масса и гелиоцентрические координаты астероида; mi , xi , yi , zi — массы и гелиоцентрические координаты больших планет; r, ∆i , ri — расстояния, вычисляемые по формулам: r2 = x2 + y 2 + z 2 , 2 2 2 ˙ ∆ = (xi − x)2 + (yi − y)2 + (zi − z)2 , ri = x2 + yi + zi ; X — матрица-столбец i с элементами x, y, z; k — постоянная Гаусса; c — скорость света; α — параметр, ˙ ˙ ˙ характеризующий выбор системы координат. Случай при α = 1 соответствует стандартным координатам, при α = 0 — гармоническим координатам. Для рассматриваемой задачи (оценка величины вероятности столкновения астероида с Землёй) сущность метода Монте—Карло состоит в следующем: генерируется определённое количество виртуальных астероидов, элементы орбит которых распределены в пределах области возможных начальных значений, определяемой значениями математических ожиданий элементов орбит и ковариационной матрицей. Затем с заданной точностью численного интегрирования прослеживается движение каждого виртуального астероида на определенном временном отрезке, чтобы установить, произойдет ли столкновение этого объекта с Землёй. Если в определенный момент времени расстояние между центрами планеты и астероида становится меньше радиуса Земли (6378 км), то считается, что произошло столкновение и интегрирование уравнений движения для этого виртуального астероида прекращается. При большом количестве испытаний отношение числа виртуальных астероидов, для которых выполнилось условие столкновения, к общему числу испытаний может служить оценкой вероятности столкновения [3]. Метод Монте—Карло является сходящимся по вероятности [1]. Для расчёта по методу Монте—Карло для каждого из астероидов (99942 Apophis и 2011 AG5) было сгенерировано 30000 виртуальных астероидов с учетом корреляционных связей между элементами орбит. Ковариационная матрица, отражающая зависимости между элементами орбит каждого астероида, была взята с сайта Лаборатории реактивного движения NASA (neo.jpl. nasa.gov). Для генерации начальных данных виртуальных астероидов использовался Вихрь Мерсенна. Так как в основе данного генератора лежат свойства простых чисел Мерсенна, Вихрь Мерсенна обладает внушительным периодом, равным числу Мерсенна 219937 − 1. Это позволяет минимизировать корреляцию между последовательными значениями в выходной последовательности псевдослучайных величин [4]. В качестве математических ожиданий принимались данные наблюдений, приведённые в табл. 1 и табл. 2, для которых среднеквадратические отклонения приведены в табл. 3 и табл. 4. Уравнения движения астероидов интегрировались методом Эверхарта 27 порядка на интервале времени с 2006 по 2040 гг. [5, 6]. Было установлено, что орбиты обоих астероидов чувствительны к возмущению начальных данных, так как при варьировании элементов орбит и последующем интегрировании была обнаружена возможность столкновения: 117 А. Е. Д е р е в я н к а Таблица 3 Величины допустимых отклонений элементов орбиты для 99942 Apophis Элемент σ a, а.е. 9,6 · 10−9 e 1,0 · 10−7 i, град. 3,0 · 10−6 Ω, град. 1,5 · 10−4 ω, град. 1,5 · 10−4 M, град. 3,0 · 10−6 Таблица 4 Величины допустимых отклонений элементов орбиты для 2011 AG5 Элемент σ a, а.е. 6,14 · 10−6 e 3,35 · 10−6 i, град. 3,1 · 10−5 Ω, град. 7,8 · 10−5 ω, град. 1,1 · 10−4 M, град. 1,3 · 10−6 для астероида 99942 Apophis — 13 апреля 2037 г., а для 2011 AG5 — 5 февраля 2040 г., так как некоторые из сгенерированных астероидов сталкиваются с Землёй. Реализация метода Монте—Карло относительно проста, но трудоёмка: чем меньше вероятность события, тем больше экспериментов необходимо провести для получения достоверной оценки вероятности. Вероятность столкновения астероида с Землёй может быть оценена как отношение промежутка значений элементов орбит, приводящих к столкновению, к доверительным интервалам элементов орбит. Начальные данные элементов орбит астероида на различные моменты оскуляции варьировались в пределах их доверительных интервалов, а затем производилось интегрирование уравнений движения астероида. При этом для каждого элемента оценивались величина и дата сближения с Землёй. Столкновение засчитывалось, если расстояние между центрами Земли и астероида меньше радиуса Земли. Для получения области возможных значений элементов орбит предполагалось, что параметры орбиты являются нормально распределенными случайными величинами с математическими ожиданиями, равными данным наблюдений. Величины допустимых отклонений значений элементов орбит принимались равными указанным на сайте Лаборатории реактивного движения NASA (neo.jpl.nasa.gov) и приведены в табл. 3 и 4 для астероидов 99942 Apophis и 2011 AG5 соответственно. В результате удалось установить, что определяющим элементом, влияющим на величину вероятности столкновения, для астероида 99942 Apophis является большая полуось (параметр a), а для астероида 2011 AG5 такими элементами являются большая полуось и эксцентриситет (параметр e), так как их изменения вносят наибольший вклад в оценку величины вероятности столкновения. Вероятность столкновения астероида 99942 Apophis с Землёй (событие A) может быть оценена как отношение опасного промежутка значений а к доверительному интервалу: |a1 − a2 | , P (A) = 6σa где σa — среднеквадратическое отклонение для большой полуоси. Вероятность столкновения астероида 2011 AG5 с Землёй (событие A) можно оценить как отношение суммы площадей областей, в которых находятся параметры ( a) и e, приводящие к столкновению, к площади доверительной 118 Применение различных математических моделей для оценки вероятности . . . области, ограничивающей значения системы величины (a, e), по формуле P (A) = Si /D, i где Si — площадь i-той опасной области, D — площадь доверительной области (доверительный эллипс) для системы случайных величин (a, e). Оценки вероятности столкновения, полученные в данной работе различными методами, для астероида 99942 Apophis приведены в табл. 5, а для 2011 AG5 — в табл. 6. Таблица 5 Оценки величины вероятности столкновения 13 апреля 2037 г., полученные различными методами для астероида 99942 Apophis Дата наблюдений 06.03.2006 04.01.2010 27.08.2011 Монте-Карло 2,33 · 10−4 2,67 · 10−4 1,67 · 10−4 Отношение промежутков 3,41 · 10−4 3,37 · 10−4 3,99 · 10−4 Таблица 6 Оценки величины вероятности столкновения 5 февраля 2040 г., полученные различными методами для астероида 2011 AG5 Дата наблюдений 19.05.2011 27.08.2011 05.12.2011 Монте-Карло 2,00 · 10−4 1,33 · 10−4 1,00 · 10−4 Отношение областей 1,19 · 10−4 2,80 · 10−4 0,91 · 10−4 Для каждого астероида оценки, полученные различными методами, согласуются между собой и расположены достаточно близко друг к другу. Как можно заметить, оценки вероятности столкновения на различные даты наблюдений различаются, но при этом не выходят за границы определенной области, что позволяет судить о непротиворечивости полученных результатов для каждого из астероидов. Оценка вероятности столкновения астероида 99942 Apophis ранее была рассмотрена в статье [7], однако в ней не была учтена корреляция элементов орбиты астероида при использовании метода Монте—Карло. В данной работе корреляция учитывается посредством использовании ковариационной матрицы при генерации элементов орбит для виртуальны астероидов, что и позволяет получить оценки, отличные от полученных в работе [7]. Оценка величины вероятности и дата столкновения (13 апреля 2037 г. для 99942 Apophis и 5 февраля 2040 г. для 2011 AG5) для начальных данных на приведенные даты наблюдений не противоречат результатам других исследований. Так, по данным Лаборатории реактивного движения NASA, оценка вероятности столкновения астероида 99942 Apophis с Землёй равна 4,5 · 10−4 [8], а астероида 2011 AG5 — 2,0 · 10−3 . Кроме того, в статье [9] предложена оценка вероятности столкновения астероида 99942 Apophis, равная 2,5 · 10−5 , а в статье [10] — 1,56 · 10−5 для астероида 2011 AG5. Для вычисления указанных выше оценок (за исключением оценки, предложенной в работе [9], где 119 А. Е. Д е р е в я н к а применялся метод, основанный на интервальной арифметике), использовался метод Монте—Карло с учётом корреляционных связей между элементами орбит. Значительное отличие оценки, предложенной в статье [9], от оценок, полученных в данной работе, может быть обусловлено как использованием различных начальных данных, так и различием численных методов, использованных для интегрирования уравнений движения (в работе [9] применялись методы, усовершенствованные для использования интервальной арифметики). Стоит отметить, что оценки для астероида 2011 AG5 приведены на март 2012 года и являются весьма высокими. Однако после уточнения начальных данных и пересчёта орбиты этот астероид был исключен из списка потенциально опасных. На данный момент он не представляет опасности, что отражает значимость точности начальных данных для моделирования движения астероидов.

About the authors

Andrey E Derevyanka

Samara State Technical University

Email: andr_derev@mail.ru
Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files