On a proplem for generalized Boussinesq–Love equation

Full Text

Указанное в названии сообщения уравнение Буссинеска--Лява имеет вид [1, формула (20)] \begin{equation*} u_{xxyy}-u_{yy}+u_{xx}=0. \end{equation*} Оно возникает при изучении движения волн в периодических слоистых средах [2], а также в упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции. Нашей целью является отыскание условий разрешимости в квадратурах задачи Гурса для уравнения \begin{equation}\label{zheg:1} u_{xxyy}+a_{21}u_{xx}y+a_{12}u_{xyy}+a_{11}u_{xy}+a_{20}u_{xx}+a_{02}u_{yy}+a_{10}u_{x}+a_{01}u_{y}+a_{00}u=0, \end{equation} которое рассматривается в области $D=\{x_0<x<x_1,\, y_0<y<y_1 \}$. Граничные условия для \eqref{zheg:1} имеют при этом вид \begin{equation}\label{zheg:2} \begin{array}{ll} %\begin{array}{c} u(x_0,y)=\varphi(y), & u_{x}(x_0,y)=\varphi_{1}(y), u(x,y_0)=\psi(x), & u_{y}(x,y_0)=\psi_{1}(x), \varphi'(y_0)=\psi_1(x_0), & \varphi(y_0)=\psi(x_0), \multicolumn{2}{c}{\psi'(x_0)=\varphi_1(y_0),} \end{array} \end{equation} при чем коэффициенты в \eqref{zheg:1} считаются неизвестными и вместе с $u(x,y)$ тоже подлежат определению. С различных точек зрения уравнение \eqref{zheg:1} изучалось в работах Д.~Манжерона, М.~Огюсторели, С.~Еасварана, В.~Радочовы, Р.~С.~Жамалова, А.~П.~Солдатова и М.~Х.~Шханукова, Е.~А.~Уткиной (см. библиографию в книгах [3, 4]), а также в работах [5, 6]. В частности, в указанной монографии [3, с. 139–142] методом Римана построено решение задачи \eqref{zheg:1}--\eqref{zheg:2}, но оно представляет собой лишь структурную формулу, поскольку используемая там функция Римана только существует, а конкретный вид ее неизвестен. \smallskip В данном сообщении изучается следующая {\small\sc Задача.} {\it Определить коэффициенты уравнения} \eqref{zheg:1}, {\it при которых его решение в области $D,$ удовлетворяющее граничным условиям} \eqref{zheg:2}, {\it оказывается разрешимым в квадратурах}. \smallskip Имеется значительное количество работ, посвященных обратным коэффициентным задачам (см., например, работы [7–12] и литературу при них). Хорошо известен подход к определению в уравнении неизвестных коэффициентов, основанный на введении дополнительных граничных условий. Предлагаемый здесь подход к отысканию решения этой задачи основан на ограничениях, связанных с возможностями факторизации \eqref{zheg:1}, то есть представлением этого уравнения либо в виде \begin{equation}\label{zheg:3} \Bigl(\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}+\alpha \frac{\partial}{\partial x}+\beta \frac{\partial}{\partial y}+\gamma\Bigr)(u_{xy}+\lambda u_{x}+\mu u_{y}+\nu u)=0. \end{equation} либо в форме, получаемой из \eqref{zheg:3} путем подстановки операторов (второй оператор ставится на первое место, а первый --- на второе). Производя в левой части \eqref{zheg:3} указанные действия, потребуем совпадения полученного выражения с коэффициентами из \eqref{zheg:1}. Для \eqref{zheg:3} найдем \begin{equation}\label{zheg:4} \begin{array}{ll} \alpha+\lambda=a_{21}, & \lambda_{y}+\alpha\lambda=a_{20}, \mu+\beta=a_{12}, & \mu_{x}+\beta\mu=a_{02}; \end{array} \end{equation} \begin{equation}\label{zheg:5} \begin{array}{r} \lambda_{x}+\mu_{y}+\nu+\gamma+\mu\alpha+\beta\lambda=a_{11}, \mu_{xy}+\nu_{x}+\beta(\mu_{y}+\nu)+\alpha\mu_{x}+\gamma\mu=a_{01}, \lambda_{xy}+\nu_{y}+\alpha(\lambda_{x}+\nu)+\beta\lambda_{y}+\gamma\lambda=a_{10}, \nu_{xy}+\alpha\nu_{x}+\beta\nu_{y}+\gamma\nu=a_{00}. \end{array} \end{equation} Для уравнения, получаемого из \eqref{zheg:3} перестановкой операторов, нужно в левой части соотношений \eqref{zheg:4} функции $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ заменить на $\lambda$, $\mu$, $\nu$, а функции $\lambda$,~$\mu$,~$\nu$ в~\eqref{zheg:5} --- на $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Мы не будем выписывать формулы для \eqref{zheg:3} с переставленными операторами, так как порядок рассуждений не изменится. Система \eqref{zheg:4}, \eqref{zheg:5}, как система для отыскания $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, является переопределенной (8 уравнений, 6 неизвестных). Сначала рассмотрим \eqref{zheg:4}. Здесь первая пара уравнений --- система для отыскания функций $\alpha$,~$\lambda$. Подставляя во второе уравнение $\alpha=a_{21}-\lambda$, или $\lambda=a_{21}-\alpha$, получим уравнения Риккати \begin{gather}\label{zheg:6} \lambda_{y}+a_{21}\lambda-\lambda^{2}=a_{20},\quad % %\label{zheg:7} \alpha_{y}-a_{21}\alpha+\alpha^{2}=a_{20}-a_{21y}, \end{gather} которые в общем случае неразрешимы в квадратурах, но в~случае нулевых правых частей являются уравнениями Бернулли, которые разрешимы в явном виде с~точностью до произвольной функции от $x$. Единственные решения выделяются при дополнительных условиях \begin{equation}\label{zheg:8} \alpha(x,y_{0})=\xi(x), \quad \lambda(x,y_{0})=\eta(x), \end{equation} где функции $\xi(x)$, $\eta(x)$ должны быть заданы. Аналогично вторая пара из \eqref{zheg:4} редуцируется к уравнениям \begin{equation}\label{zheg:9} \begin{array}{c} \mu_{x}+a_{12}\mu-\mu^{2}=a_{02}, \quad \beta_{x}-a_{12}\beta+\beta^{2}=a_{02}-a_{12}, \end{array} \end{equation} а роль \eqref{zheg:8} играют формулы \begin{equation}\label{zheg:10} \begin{array}{c} \beta(x_{0},y)=\rho(y), \quad \mu(x_{0},y)=\sigma(y). \end{array} \end{equation} Из изложенного вытекает \smallskip {\small\sc Лемма.} {\it В предположении}, {\it что} \begin{equation}\label{zheg:11} a_{20}\equiv a_{02}\equiv a_{20}\equiv a_{20}-a_{21y}\equiv a_{02}-a_{12x}\equiv 0, \end{equation} {\it и дополнительных условиях} \eqref{zheg:8}, \eqref{zheg:10} {\it функции} $\alpha$, $\beta$, $\lambda$, $\mu$ {\it однозначно определяются в~квадратурах}. \smallskip В условиях данной леммы уравнения \eqref{zheg:5} превращаются в формулы для определения $a_{11}$, $a_{01}$, $a_{10}$, $a_{00}$ через остающиеся пока неизвестными значениями $\gamma$, $\nu$, которые могут быть найдены путем подбора. А именно, взяв в~качестве одной из них определенную функцию, другую найдем из первого уравнения \eqref{zheg:5}. Остальные три соотношения \eqref{zheg:5} предлагается рассматривать как дополнительные требования, достаточные для однозначной разрешимости всей системы \eqref{zheg:4}, \eqref{zheg:5} в~явном виде. Поскольку $\gamma$ или $\nu$ можно фиксировать бесконечным числом способов, можно утверждать, что система \eqref{zheg:4}, \eqref{zheg:5} допускает бесконечное число решений в~достаточных для нас классах гладкости. Сведения об упомянутой гладкости можно найти в учебниках по дифференциальным уравнениям (например, в [13]). Вышеизложенное позволяет представить рассматриваемую задачу в форме двух классических постановок задачи Гурса для уравнений второго порядка: \begin{equation}\label{zheg:12} \begin{array}{c} u_{xy}+\lambda u_{x}+\mu u_{y}+\nu u=v, [2mm] u(x_{0},y)=\varphi(y), \,\, u(x,y_{0})=\psi(x), \,\, \varphi(y_{0})=\psi(x_{0}); \end{array} \end{equation} \begin{equation}\label{zheg:13} \begin{array}{c} v_{xy}+\alpha v_{x}+\beta v_{y}+\gamma v=0, [2mm] v(x_{0},y)=\theta(y), \,\, v(x,y_{0})=\theta_{1}(x), \,\, \theta(y_{0})=\theta_{1}(x_{0}), \end{array} \end{equation} где функции $\theta(y)$, $\theta_{1}(x)$ в силу \eqref{zheg:2} легко вычисляются. Очевидно, что сначала находится решение задачи \eqref{zheg:13}, а затем --- задачи \eqref{zheg:12}. Известен целый ряд вариантов разрешимости подобных задач в квадратурах, записываемых в терминах коэффициентов уравнений. Например, работы [3, с. 19–20], [14, 15] общее число вариантов разрешимости которых равно 16. \smallskip Из приведенных рассуждений следует \smallskip {\small\sc Теорема.} {\it Предложенная методика позволяет выделить бесконечное множество вариантов разрешимости рассматриваемой задачи в квадратурах}. \

About the authors

Valentin Ivanovich Zhegalov

Institute of Mathematics and Mechanics, Kazan (Volga Region) Federal University

Email: Valentin.Zhegalov@kpfu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

Supplementary files