Modeling of stress state of a perforated cement sheath in a well with hydraulic fracture

Full Text

\Section[n]{Введение} Одной из насущных проблем в нефтегазовой отрасли является разрушение цементного кольца между породой и эксплуатационной колонной скважины. Это приводит к преждевременному обводнению скважин и загрязнению окружающей среды. В данной работе проводится моделирование прочности цементного кольца с помощью вычисления напряжений Мизеса в каждой точке цементного кольца и эксплуатационной колонны. Области пласта с максимальным напряжением Мизеса являются наименее прочными. Моделирование прочности цементного кольца проводится с помощью неполно связных задач линейной упругости и фильтрации Дарси. Используются следующие предположения: \begin{enumerate} \sloppy \item порода пласта является недеформируемой; \item трещина гидроразрыва пласта (ГРП) примыкает к цементному кольцу, является бесконечнопроводимой и недеформируемой; \item цементное кольцо и эксплуатационная колонна деформируемы и представляют собой линейно-упругое тело; \item между цементным кольцом и эксплуатационной колонной выполняются условия идеального контакта; \item забойное давление внутри скважины действует на внутреннюю стенку эксплуатационной колонны; \item давление со стороны пласта на внешнюю стенку цементного кольца определяется только поровым давлением жидкости в пласте; \item деформации цементного кольца и эксплуатационной колонны малы и~не оказывают влияния на характер движения флюида в пласте и в скважине. \end{enumerate} Алгоритм решения задачи состоит из двух последовательных шагов: \begin{enumerate} \item \hypertarget{tsement:1}{} вычисление стационарного распределения пластового давления с помощью решения уравнения фильтрации несжимаемого флюида; \item вычисление напряженного состояния цементного кольца и эксплуатационной колонны с помощью решения стационарного уравнения линейной упругости, в котором в качестве граничного условия задано пластовое давление, вычисленное в~пункте \hyperlink{tsement:1}{1}. \end{enumerate} Пространственная дискретизация уравнений осуществляется с помощью построения трехмерной расчетной сетки Вороного [1] для пласта, трещины ГРП, цементного кольца и эксплуатационной колонны. Для решения уравнения фильтрации применяется метод конечных объемов с двухточечной аппроксимацией потока, а для решения уравнения упругости --- метод конечных объемов с многоточечной аппроксимацией напряжений [2, 3]. \smallskip \Section{Задача фильтрации} Задача фильтрации описывается следующим образом: \begin{gather} \mathop{\rm div}\Bigl(\frac{k}{\mu } \mathop{\rm grad} (p )\Bigr) = 0, p \bigr|_{\rm perf} = p_{\rm well}, \quad p \bigr|_{\rm frac} = p_{\rm well}, \quad \frac{\partial p}{\partial n} \Bigr|_{\rm boundary} = 0. \end{gather} Здесь $p$ --- пластовое давление, $k$ --- проницаемость пласта, $\mu$ --- вязкость флюида, $p_{\rm well}$ --- забойное давление скважины, $\rm perf$ --- перфорации скважины, $\rm frac$ --- трещина ГРП, $\rm boundary$ --- граница пласта, которая включает в себя внутреннюю часть, внешнюю часть, а также кровлю и подошву пласта. Внешняя часть границы пласта описывает границу области дренирования, а внутренняя часть границы пласта представляет собой внешнюю стенку цементного кольца скважины. \smallskip \Section{Задача упругости} Цементное кольцо и эксплуатационная колонна представляют собой единый полый цилиндр, как показано на рис.~\ref{tse:fig1}. \begin{figure}[b!] \noindent \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth} \caption{Цементное кольцо и эксплуатационная колонна. Голубым цветом закрашена внешняя стенка цементного кольца, зеленым --- внутренняя стенка эксплуатационной колонны, красным --- стенки перфораций, серым --- торцы цементного кольца и эксплуатационной колонны, желтым --- трещина ГРП (онлайн в цвете) \label{tse:fig1} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{tse:fig1} (color online). Cement sheath and production casing. The outer wall of the cement sheath is blue, the inner wall of the production casing is green, the perforation walls are red, the ends of the cement sheath and the production casing are gray, and the hydraulic fracture \centerline{is yellow]} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[h]{0.45\textwidth} \centering \includegraphics[width=0.98\textwidth]{bfig1} \end{minipage} \end{figure} Напряженное состояние цементного кольца и эксплуатационной колонны описывается так: \begin{gather} \nabla \cdot {\boldsymbol{\sigma }} + \vec f = \vec 0, \quad {\boldsymbol {\sigma }} = {\bf{C \boldsymbol \varepsilon }},\quad {\boldsymbol {\varepsilon }} = \frac{1}{2}\bigl( {\nabla \vec u + {{\left( {\nabla \vec u} \right)}^\top}} \bigr), \vec f \,\bigr|_{S_1} = - p\vec n,\quad \vec f \,\bigr|_{S_2} = - p_{\rm well}\vec n,\quad \vec f \,\bigr|_{S_3} = - p_{\rm well}\vec n,\quad \vec u \,\bigr|_{S_4} = \vec 0. \end{gather} Здесь \({\boldsymbol{\sigma }}\) --- симметричный тензор напряжений (2~ранга); \(\vec f\) --- внешние силы; \({\bf{C}}\) --- тензор жесткости (4~ранга); \({\boldsymbol{\varepsilon }}\) --- симметричный тензор деформации (2~ранга); \(\vec u = \left(u_x, u_y, u_z\right)^\top\) --- вектор перемещений; ${u_x}$, ${u_y}$, ${u_z}$ --- перемещения вдоль осей \(x,y,z\) соответственно; \({S_1}\) --- внешняя стенка цементного кольца (рис.~\ref{tse:fig1}); \({S_2}\) --- внутренняя стенка эксплуатационной колонны; \({S_3}\) --- стенки перфораций в цементном кольце и эксплуатационной колонне; \({S_4}\) --- торцы цементного кольца и эксплуатационной колонны; \(\vec n\) --- поле внешних нормалей к~цементному кольцу и~эксплуатационной колонне. Продемонстрируем решение задачи упругости. Проинтегрируем уравнение упругости в ячейке \(i\): \begin{gather} \int _{{V_i}} {\nabla \cdot {\boldsymbol{\sigma }}dV} + \int _{{V_i}} {\vec fdV} = \vec 0, \int _{\partial {V_i}} {{\boldsymbol{\sigma }} \cdot \vec n\, dS} + {\vec f_i} = \vec 0, \sum _{j \in \Psi \left( i \right)} {\int _{{S_{ij}}} {{\boldsymbol{\sigma }} \cdot \vec n\, dS} } + {\vec f_i} = \vec 0. \end{gather} Здесь \({V_i}\) --- объем ячейки \(i\); \({f_i}\) --- среднее значение внешней силы, действующей на ячейку \(i\). Интеграл по поверхности \(\partial {V_i}\) ячейки \(i\) представляется в~виде суммы поверхностных интегралов по каждой грани этой ячейки. Множество ячеек, смежных с~\(i\)-той ячейкой, обозначается $\Psi (i)$; \({S_{ij}}\) --- грань между \(i\)-той и~\(j\)-той ячейками. Пусть ${ ( {{\boldsymbol{\sigma }} \cdot \vec n} )_{ij}}$ --- среднее нормальное напряжение на грани между \(i\)-той и~\(j\)-той ячейками. Тогда последнее уравнение будет иметь вид \[ \sum\limits_{j \in \Psi ( i )} | S_{ij} | ( \boldsymbol{\sigma } \cdot \vec n )_{ij} + \vec f_i = \vec 0. \] Введем также среднее значение \({\vec u_i}\) перемещения в ячейке \(i\). Метод многоточечной аппроксимации напряжений заключается в том, чтобы искать значение $| {{S_{ij}}} |{( {\boldsymbol{\sigma }} \cdot \vec n})_{ij}$ на грани между \(i\)-той и \(j\)-той ячейками в виде линейной комбинации некоторого набора \({\vec u_k}\): \[ | {{S_{ij}}} |{ ( {{\boldsymbol{\sigma }} \cdot \vec n} )_{ij}} = \sum\limits_{v \in V ( {i,j} )} {\sum\limits_{k \in C ( v )} {{{\boldsymbol {t}}_{ijkv}}{{\vec u}_k}} }. \] Здесь ${{\boldsymbol{t}}_{ijkv}}$ --- тензоры 2-го ранга; \(V ( {i,j} )\) --- множество всех вершин грани \(ij\); $C ( v )$ --- множество всех ячеек, смежных с вершиной \(v\); $| S_{ij} | $ --- площадь грани~$S_{ij} $. Каждой вершине \(v\) расчетной сетки соответствует одна ячейка дуальной сетки. Для каждой дуальной ячейки решается специальная локальная задача для определения коэффициентов ${{\boldsymbol {t}}_{ijkv}}$ внутри этой дуальной ячейки. Когда все коэффициенты ${{\boldsymbol{t}}_{ijkv}}$ будут вычислены, уравнения равновесия во всех ячейках можно будет представить в виде системы линейных уравнений относительно неизвестных \({\vec u_i}\). \smallskip \Section{Решение локальной задачи упругости} Для каждой вершины сетки решается отдельная локальная задача. Рассмотрим вершину \(v\) и ячейку \(i\), инцидентную этой вершине. Рассмотрим все ребра и все грани сетки, которые инциденты одновременно вершине \(v\) и ячейке \(i\). Многогранник, натянутый на вершину \(v\), центроид ячейки \(i\) и центроиды всех этих ребер и граней, называется мини-ячейкой и обозначается \((i,v)\) (рис.~\ref{tse:fig2}). Грань мини-ячейки \((i,v)\), инцидентная какой-либо другой ячейке \(j\), называется мини-гранью и обозначается \((i,j,v)\). Очевидно, что все ячейки сетки можно представить в~виде объединения некоторого множества мини-ячеек, а все грани --- в виде объединения некоторого множества мини-граней. Пусть в каждой точке \(\vec r\) мини-ячейки \((i,v)\) каждая компонента вектора перемещений \(\vec u\left( {\vec r} \right) = \left( u_x\left(\vec r \right), u_y\left(\vec r \right), u_z\left(\vec r \right) \right)^\top\) является линейной функцией координат: \[\begin{array}{l} {u_x}\left( {\vec r} \right) = {u_{i\bigcom x}} + \nabla {u_{iv\bigcom x}} \cdot \left( {\vec r - {{\vec r}_i}} \right), {u_y}\left( {\vec r} \right) = {u_{i\bigcom y}} + \nabla {u_{iv \bigcom y}} \cdot \left( {\vec r - {{\vec r}_i}} \right), {u_z}\left( {\vec r} \right) = {u_{i\bigcom z}} + \nabla {u_{iv\bigcom z}} \cdot \left( {\vec r - {{\vec r}_i}} \right).\end{array}\] Здесь \({\vec u_i} = (u_{i\bigcom x}, u_{i\bigcom y}, u_{i\bigcom z} )^\top \) --- среднее значение перемещения в \(i\)-той ячейке; $\nabla {u_{iv\bigcom x}}$, $\nabla {u_{iv\bigcom y}}$, $\nabla {u_{iv\bigcom z}}$ --- градиенты компонент вектора перемещений (это векторы), \({\vec r_i}\) --- центр ячейки \(i\). Считаем, что градиенты $\nabla {u_{iv,x}},\nabla {u_{iv,y}},\nabla {u_{iv,z}}$ в данной мини-ячейке --- константы, т.е. они не зависят от координаты \(\vec r\). Поэтому тензор напряжений ${{\bf{\sigma }}_{iv}}$ в мини-ячейке \((i,v)\) тоже не зависит от \(\vec r\). \begin{figure}[h!] \noindent \begin{minipage}[h]{0.55\textwidth} \caption{Несколько ячеек, инцидентных вершине~\(v\). Ребра ячеек изображены черными отрезками. Мини-ячейка \((i,v)\) закрашена серым цветом \label{tse:fig2} } \bigskip \bigskip \footnotesize [Figure~\ref{tse:fig2}. Cells incident to the vertex \(v\). Cell edges are depicted by black segments. The subcell \((i,v)\) is \centerline{shaded gray]} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[h]{0.4\textwidth} \centering \includegraphics[width=0.98\textwidth]{bfig2} \end{minipage} \end{figure} Пусть вершина \(v\) инцидентна $N$ ячейкам и $M$ граням. На каждой мини-грани \(m\) (меняется от 1 до $M$) задаем условие непрерывности напряжения (на всей мини-грани) и условие непрерывности перемещения (в единственной точке \({\vec r_m}\) мини-грани): \[\begin{array}{ll} {\left( {{\boldsymbol{\sigma }} \cdot \vec n} \right)_{ijv}} = - {\left( {{\boldsymbol{\sigma }} \cdot \vec n} \right)_{jiv}}, & \left( {i,j} \right) \in {\rm Neighbours}\left( m \right), [2mm] {{\vec u}_i} + \nabla {{\vec u}_{iv}} \cdot \left( {{{\vec r}_m} - {{\vec r}_i}} \right) = {{\vec u}_j} + \nabla {{\vec u}_{jv}} \cdot \left( {{{\vec r}_m} - {{\vec r}_j}} \right), & \left( {i,j} \right) \in {\rm Neighbours}\left( m \right). \end{array}\] Это $2M$ векторных уравнений, то есть $6M$ скалярных уравнений. Неизвестные переменные --- это градиенты $\nabla {\vec u_{iv}}$ в каждой мини-ячейке. В данной локальной задаче имеем $N$ мини-ячеек --- это $N$ неизвестных градиентов, или $9N$ неизвестных скаляров. Эта система уравнений имеет единственное решение, если $2M = 3N$. Для простых трехмерных сеток, состоящих из параллелепипедов, призм или тетраэдров, это условие всегда выполняется. Но для сеток, состоящих из многогранников произвольной формы (в частности, для сетки Вороного в общем случае) это условие не выполняется. Пусть ${{\boldsymbol{\sigma }}_{iv}} = \left\{ {{\sigma _{iv\bigcom pq}}} \right\}$, ${{\bf{C}}_{iv}} = \left\{ {{c_{iv\bigcom pqrs}}} \right\}$, ${{\boldsymbol{\varepsilon }}_{iv}} = \left\{ {{\varepsilon _{iv\bigcom rs}}} \right\}$, где \(p,q,r,s\) --- индексы компонент тензоров, принимающие значения от 1 до 3. Тогда \[ {\sigma _{iv\bigcom pq}} = \sum\limits_{r = 1}^3 \sum\limits_{s = 1}^3 {{c_{iv\bigcom pqrs}}} {\varepsilon _{iv\bigcom rs}}.\] Представим эту систему уравнений в виде \[\left(\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{C}}_{iv}} \cdot {{\vec n}_{ijv}}}&0 {\left( {{{\vec r}_m} - {{\vec r}_i}} \right)}&{ \pm 1} 0&I\end{array}}\!\! \right) \left(\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}{\nabla {{\vec u}_{iv}}} {{{\vec u}_i}}\end{array}}\!\! \right) = \left(\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}0 0 1\end{array}}\!\! \right), \] или \[{\bf{A}}\vec x = \vec b.\] Вычислив псевдообратную матрицу \({{\bf{A}}^{ - 1}}\), мы сможем представить неизвестные градиенты $\nabla {\vec u_{iv}}$ в виде линейных комбинаций переменных ${\vec u_i}$: \[ \nabla {u_{iv,rs}} = \sum\limits_{k = 1}^N {{{\vec \alpha }_{iv\bigcom rs\bigcom k}} \cdot {{\vec u}_k}}, \] где ${\vec \alpha _{iv\bigcom rs\bigcom k}}$ --- вектор длины 3 (является блоком матрицы \({{\bf{A}}^{ - 1}}\)). Таким образом, для произвольных трехмерных сеток градиенты $\nabla {\vec u_{iv}}$ выражаются через ${\vec u_i}$ в~смысле минимизации невязки \( \| {\bf A}\vec x - \vec b \|\). Для простых трехмерных сеток, состоящих из параллелепипедов, призм или тетраэдров, $\nabla {\vec u_{iv}}$ выражаются через ${\vec u_i}$ точно. Подставляем полученные $\nabla {\vec u_{iv}}$ в выражение для напряжения на мини-грани, чтобы выразить это напряжение через неизвестные переменные ${\vec u_k}$: \small \begin{multline} {{\boldsymbol{\sigma }}_{iv}} \cdot {\vec n_{ijv}} = \left(\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} \Bigl(\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}{\sum\limits_{r,s = 1}^3 {{c_{iv\bigcom 11rs}}} {\varepsilon _{iv \bigcom rs}}}&{\sum\limits_{r,s = 1}^3 {{c_{iv\bigcom 12rs}} } {\varepsilon _{iv\bigcom rs}}}&{\sum\limits_{r,s = 1}^3 {{c_{iv\bigcom 13rs}} } {\varepsilon _{iv\bigcom rs}}}\end{array}} \!\! \Bigr) \cdot {{\vec n}_{ijv}} {\Bigl(\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}{\sum\limits_{r,s = 1}^3 { {{c_{iv\bigcom 21rs}}} } {\varepsilon _{iv\bigcom rs}}}&{\sum\limits_{r,s = 1}^3 { {c_{iv\bigcom 22rs}} } {\varepsilon _{iv\bigcom rs}}}&{\sum\limits_{r,s = 1}^3 {{c_{iv\bigcom 23rs}} } {\varepsilon _{iv\bigcom rs}}}\end{array}} \!\!\Bigr) \cdot {{\vec n}_{ijv}}} {\Bigl(\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}{\sum\limits_{r,s = 1}^3 {{c_{iv\bigcom 31rs}} } {\varepsilon _{iv\bigcom rs}}}&{\sum\limits_{r,s = 1}^3 {{c_{iv\bigcom 32rs}} } {\varepsilon _{iv\bigcom rs}}}&{\sum\limits_{r,s = 1}^3 {{c_{iv\bigcom 33rs}} } {\varepsilon _{iv\bigcom rs}}}\end{array}}\!\! \Bigr) \cdot {{\vec n}_{ijv}}}\end{array}} \!\! \right)= %{{\bf{\sigma }}_{iv}} \cdot {\vec n_{ijv}} = \left(\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}{\sum\limits_{r,s = 1}^3 { {\sum\limits_{k = 1}^N {\left( {{n_{ijv\bigcom 1}}{c_{iv\bigcom 11rs}} + {n_{ijv\bigcom 2}}{c_{iv\bigcom 12rs}} + {n_{ijv\bigcom 3}}{c_{iv\bigcom 13rs}}} \right)\frac{{\left( {{{\vec \alpha }_{iv\bigcom rs\bigcom k}} + {{\vec \alpha }_{iv\bigcom sr\bigcom k}}} \right)}}{2} \cdot {{\vec u}_k}} } } } {\sum\limits_{r,s = 1}^3 { {\sum\limits_{k = 1}^N {\left( {{n_{ijv\bigcom 1}}{c_{iv\bigcom 21rs}} + {n_{ijv\bigcom 2}}{c_{iv\bigcom 22rs}} + {n_{ijv\bigcom 3}}{c_{iv\bigcom 23rs}}} \right)\frac{{\left( {{{\vec \alpha }_{iv\bigcom rs\bigcom k}} + {{\vec \alpha }_{iv\bigcom sr\bigcom k}}} \right)}}{2} \cdot {{\vec u}_k}} } } } {\sum\limits_{r,s = 1}^3 { {\sum\limits_{k = 1}^N {\left( {{n_{ijv\bigcom 1}}{c_{iv\bigcom 31rs}} + {n_{ijv\bigcom 2}}{c_{iv\bigcom 32rs}} + {n_{ijv\bigcom 3}}{c_{iv\bigcom 33rs}}} \right)\frac{{\left( {{{\vec \alpha }_{iv\bigcom rs\bigcom k}} + {{\vec \alpha }_{iv\bigcom sr\bigcom k}}} \right)}}{2} \cdot {{\vec u}_k}} } } }\end{array}}\!\! \right). \end{multline} \normalsize Если в последнем выражении каждый вектор ${\vec \alpha _{iv\bigcom rs\bigcom k}}$ представить в виде строки, то получим представление напряжения на мини-грани в виде линейной комбинации ${\vec u_k}$: \[{{\boldsymbol{\sigma }}_{iv}} \cdot {\vec n_{ijv}} = \sum\limits_{k = 1}^N {{{\boldsymbol{t}}_{ijkv}}{{\vec u}_k}}. \] Напряжение на всей грани \(ij\) определяется так: \[{{\boldsymbol{\sigma }}_{ij}} \cdot {\vec n_{ij}} = \sum\limits_{v \in V\left( {i,j} \right)} {{{\boldsymbol{\sigma }}_{iv}} \cdot {{\vec n}_{ijv}}} = \sum\limits_{v \in V\left( {i,j} \right)} {\sum\limits_{k \in C\left( v \right)} {{{\boldsymbol{t}}_{ijkv}}{{\vec u}_k}} }. \] В данной работе для решения локальных задач на границе сетки используется условие нулевого напряжения на границе. Для этого вокруг границы сетки создается слой вспомогательных ячеек с нулевым тензором жесткости, и все локальные задачи решаются описанным выше способом для внутренних вершин сетки. \smallskip \Section{Решение глобальной задачи упругости} Для каждой ячейки получаем линейное уравнение относительно неизвестных перемещений ${\vec u_i}$ в каждой ячейке: \[\sum\limits_{j \in \Psi \left( i \right)} {\sum\limits_{v \in V\left( {i,j} \right)} {\sum\limits_{k \in C\left( v \right)} {{{\boldsymbol{t}}_{ijkv}}{{\vec u}_k}} } } + {\vec f_i} = \vec 0. \] Поскольку градиент \[ \nabla {u_{iv\bigcom rs}} = \sum\limits_{k = 1}^N {{{\vec \alpha }_{iv\bigcom rs\bigcom k}} \cdot {{\vec u}_k}} \] в каждой мини-ячейке известен, можно вычислить тензор напряжений ${{\boldsymbol{\sigma }}_{iv}}$ и~напряжение Мизеса ${\sigma _{m\bigcom iv}}$ в каждой мини-ячейке: \begin{gather} {{\bf{S}}_{iv}} = {{\boldsymbol{\sigma }}_{iv}} - \frac{1}{3}\mathop{\rm trace}\left( {{{\boldsymbol{\sigma }}_{iv}}} \right){\bf{I}}, {\sigma _{m\bigcom iv}} = \sqrt {\frac{3}{2}{{\bf{S}}_{iv}}:{{\bf{S}}_{iv}}} = \sqrt {\frac{3}{2}\sum\limits_{p = 1}^3 {\sum\limits_{q = 1}^3 {{s_{iv\bigcom pq}}{s_{iv\bigcom pq}}} } }. \end{gather} Напряжение Мизеса в ячейке \(i\) принимается равным среднему значению напряжения Мизеса по всем мини-ячейкам \((i,v)\). \smallskip \Section{Вычислительный эксперимент} Рассмотрены добывающая и нагнетательная вертикальные скважины с трещинами ГРП, находящиеся друг от друга на расстоянии 500 м и работающие с постоянными забойными давлениями 50 и 150 атм соответственно. Вычисляется напряженное состояние цементного кольца и эксплуатационной колонны для добывающей скважины. Толщина пласта --- 3~м, внутренний радиус эксплуатационной колонны --- 6~см, толщина эксплуатационной колонны --- 1.8~см, толщина цементного кольца --- 3~см, полудлина трещин ГРП --- 125~м, ширина раскрытия трещин ГРП --- 1~см, проницаемость пласта --- 100~миллидарси, вязкость флюида --- 1, коэффициент Пуассона цементного кольца и эксплуатационной колонны --- 0.25, модуль Юнга цементного кольца --- 5~ГПа, модуль Юнга эксплуатационной колонны --- 200~ГПа. Расчетная сетка состоит из ячеек пласта, ячеек трещины ГРП, ячеек цементного кольца и ячеек эксплуатационной колонны для обеих скважин (рис.~\ref{tse:fig3}). Перфорации представляют собой пустоты в цементном кольце и эксплуатационной колонне, имеющие форму параллелепипедов со сторонами 5 см. Количество пластовых ячеек --- 200 тысяч, количество ячеек цеметного кольца и эксплуатационной колоны (для одной скважины) --- 10 тысяч. На рис. \ref{tse:fig4} показано распределение пластового давления около добывающей скважины при наличии и при отсутствии трещины ГРП. \begin{figure}[b!] \noindent \begin{minipage}[h]{0.45\textwidth} \caption{Расчетная сетка с локальным измельчением вблизи двух скважин; слева --- нагнетательная скважина, справа --- добывающая скважина \label{tse:fig3} } \bigskip \bigskip \footnotesize [Figure~\ref{tse:fig3}. Voronoi grid with refinement near two wells; left --- the injection well, \centerline{ right --- the production well]} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[h]{0.45\textwidth} \centering \includegraphics[width=0.98\textwidth]{bfig3} \end{minipage} \end{figure} \begin{figure}[p!] \noindent \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth} \centering \scriptsize \sl \includegraphics[width=0.98\textwidth]{bfig4a} a \end{minipage} \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth} \centering \scriptsize \sl \includegraphics[width=0.98\textwidth]{bfig4b} b \end{minipage} \vspace{2mm} \begin{minipage}[h]{0.95\textwidth} \centering \caption{Распределение пластового давления (атм) вблизи добывающей скважины при наличии ({\sl a}\/) и при отсутствии ({\sl b}\/) трещины ГРП (онлайн в цвете) \label{tse:fig4} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{tse:fig4} (color online). The distribution of reservoir pressure (atm) near the production well with ({\sl a}\/) and without ({\sl b}\/) hydraulic fracture] \end{minipage} %\end{figure} \smallskip \smallskip \smallskip %\begin{figure}[h!] \noindent \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth} \caption{Перемещение точек цементного кольца и эксплуатационной колонны вдоль горизонтальной оси (мкм) (онлайн в цвете) \label{tse:fig5} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{tse:fig5} (color online). Displacements (\textmu m) of the cement sheath and production casing along \centerline{ the horizontal axis]} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[h]{0.15\textwidth} \centering \scriptsize \sl ~~~\includegraphics[scale=0.18]{fig5a} \end{minipage} \begin{minipage}[h]{0.28\textwidth} \centering \scriptsize \sl ~~~~\includegraphics[scale=0.18]{bfig5b} \end{minipage} %\end{figure} \smallskip \smallskip \vspace{3mm} \smallskip \smallskip %\begin{figure}[h!] \noindent \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth} \caption{Напряжение Мизеса (атм) в~каждой точке цементного кольца и~эксплуатационной колонны (при наличии трещины ГРП) (онлайн в~цвете) \label{tse:fig6} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{tse:fig6} (color online). Von Mises stress (atm) at each point of the cement sheath and production casing (in the presence of hydraulic \centerline{fracture)]} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}[h]{0.15\textwidth} \centering \scriptsize \sl \includegraphics[scale=0.18]{fig6a} \end{minipage} \begin{minipage}[h]{0.28\textwidth} \centering \scriptsize \sl \includegraphics[scale=0.18]{bfig6b} \end{minipage} % \vspace{-3mm} %\end{figure} \smallskip \vspace{3mm} \smallskip \smallskip %\begin{figure}[h!] \noindent \begin{minipage}[h]{0.5\textwidth} \caption{Напряжение Мизеса (атм) в~каждой точке цементного кольца и~эксплуатационной колонны (при отсутствии трещины ГРП) (онлайн в~цвете) \label{tse:fig7} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{tse:fig7} (color online). Von Mises stress (atm) at each point of the cement sheath and production casing (in the absence of hydraulic \centerline{fracture)]} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}[h]{0.15\textwidth} \centering \scriptsize \sl \includegraphics[scale=0.18]{fig7a} \end{minipage} \begin{minipage}[h]{0.28\textwidth} \centering \scriptsize \sl \includegraphics[scale=0.18]{bfig7b} \end{minipage} \end{figure} На рис. \ref{tse:fig5} видно, что смещения цементного кольца и эксплуатационной колонны в горизонтальной плоскости примерно одинаковы по всей высоте пласта (при наличии и при отсутствии трещины ГРП). На рис. \ref{tse:fig6} и \ref{tse:fig7} показано напряжение Мизеса в цементном кольце и эксплуатационной колонне. Видно, что самое большое напряжение Мизеса приходится на зону перфораций на стыке цементного кольца и эксплуатационной колонны (синие области). Если напряжение Мизеса превысит предел прочности цемента, то цементное кольцо начнет разрушаться в этой зоне. Вдоль внутренней стенки цементного кольца от перфораций могут пойти трещины, которые в итоге станут причиной заколонных перетоков. На торцевой части цилиндра также наблюдается высокое значение напряжения Мизеса, поскольку торцы закреплены и неподвижны. Напряжение в цементном кольце существенно выше напряжения в эксплуатационной колонне (это связано с тем, что цементное кольцо имеет меньший модуль Юнга). Сравнивая рис. \ref{tse:fig6} и \ref{tse:fig7}, можно заметить, что наличие трещины ГРП не меняет картину пространственного распределения напряжений в цементом кольце и эксплуатационной колонне, но уменьшает максимальное значение напряжения в 1.5 раза. \smallskip \Section{Верификация численного решения уравнения упругости} Для верификации численного метода рассмотрена задача деформации балки под собственной тяжестью. Балка состоит из изотропного материала и закреплена на одном конце. На каждую точку балки действует сила тяжести. Проведено сравнение расчета, полученного с помощью разработанного численного метода, с расчетом в открытом пакете моделирования Fenics [4], в котором используется метод конечных элементов. В первом расчете использовалась структурированная сетка (hex mesh), состоящая из 3840 ячеек кубической формы, а во втором расчете --- тетраэдральная сетка, состоящая из 3840$\times$6 элементов. На рис. \ref{tse:fig8} показаны деформированное состояние балки и напряжения Мизеса в каждой точке балки, полученные в двух расчетах. Видно, что деформация и напряжения Мизеса близки друг к другу в двух расчетах в каждой точке балки. \begin{figure}[h!] \noindent \centering \begin{minipage}[h]{0.48\textwidth} \centering \scriptsize \sl \hspace{-5mm}\includegraphics[scale=0.42]{bfig8a} a \end{minipage} \begin{minipage}[h]{0.48\textwidth} \centering \scriptsize \sl \hspace{-6mm}\includegraphics[scale=0.42]{bfig8b} b \end{minipage} \vspace{2mm} \begin{minipage}[h]{0.85\textwidth} \caption{Напряжение Мизеса в каждой точке деформированной балки: ({\sl a}\/) расчет в пакете моделирования Fenics, ({\sl b}\/) наш расчет \label{tse:fig8} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{tse:fig8}. Von Mises stress at each point of the deformed beam: ({\sl a}\/) calculation \centerline{in the Fenics package, ({\sl b}\/) our calculation]} \end{minipage} \vspace{-3mm} \end{figure} \Section[N]{Заключение} Проведено моделирование напряженного состояния перфорированного цементного кольца, примыкающего к добывающей скважине. Показано, что максимальное значение напряжения Мизеса приходится на зону перфораций на стыке цементного кольца и эксплуатационной колонны, а~наличие трещины гидроразрыва пласта может снижать напряжение цементного кольца.

About the authors

Timur Faritovich Kireev

Ufa State Aviation Technical University

Email: kireevtf@gmail.com
without scientific degree, no status

Guzel Talgatovna Bulgakova

Ufa State Aviation Technical University

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

Supplementary files