The Bitsadze–Samarskii problem for some characteristically loaded hyperbolic-parabolic equation

Full Text

\Section[n]{Введение} Рассмотрим характеристически нагруженное уравнение смешанного гиперболо=параболического типа \begin{equation} \label{khub1} \left\{ \begin{array}{ll} u_{xx} - u_y + \lambda_1 u(x,0) = f_1(x,y), & y > 0, u_{x} + u_{y} + c u + \lambda_2 u(x-y,0) = f_2(x,y), & y < 0 \end{array} \right. \end{equation} в области $\Omega$, ограниченной отрезками прямых $x = 0$, $x = r$, $y = T > 0$ при $y>0$, и характеристиками $x - y = 0$, $x - y = r$ уравнения \eqref{khub1} при $y<0$; $\lambda_i$,~$c$ --- заданные постоянные; $f_i(x,y)$ --- заданные функции, $i=1,2$. Через $\Omega_1$ и $\Omega_2$ обозначим параболическую и гиперболическую части смешанной области $\Omega$ соответственно, а через $J$ --- интервал $0 < x < r$ прямой $y = 0$. К краевым задачам для уравнений вида \eqref{khub1} при $y>0$ сводятся многие задачи, связанные с~прогнозированием и регулированием уровня грунтовых вод [1, с. 95], задачи описания процесса распространения тепла в~одномерной ограниченной среде, в которой имеется источник тепла, мощность которого пропорциональна значению температуры [2], теории популяции [3, с. 128]. При $y<0$ уравнение \eqref{khub1} является нагруженным односкоростным уравнением переноса, в математической биологии при $\lambda_2 = 0$ оно известно как уравнение Мак-Кендрика [3, с. 121, 179]. На основе уравнения Мак-Кендрика и его разновидностей строятся нелимитированные и~лимитированные модели динамики возрастной структуры и численности популяции (см., например, [3, с. 244]). \smallskip \Section{Постановка задачи типа задачи Бицадзе--Самарского} {\it Регулярным решением} уравнения \eqref{khub1} в области $\Omega$ назовем функцию $u(x,y)$ из класса $C(\bar {\Omega }) \cap C^1(\Omega) \cap C^{2}_{x}(\Omega_{1})$, удовлетворяющую уравнению \eqref{khub1} в $\Omega_1 \cup \Omega_2$. Для уравнения $\eqref{khub1}$ исследуем следующую задачу. \smallskip \hypertarget{task:BS}{} {\sc Задача BS.} {\it Найти регулярное в области $\Omega$ решение $u(x,y)$ уравнения $\eqref{khub1},$ удовлетворяющее условиям\/{\rm :} \begin{gather} \label{khub2} u(0,y) = \varphi_{0}(y), \quad 0 \leqslant y \leqslant T, \label{khub3} u(x_0,y) = \alpha(y) u(r, y) + \beta(y), \quad 0 < x_0 <r, \quad 0 \leqslant y \leqslant T, \end{gather} где $\varphi _0(y),$ $\alpha(y),$ $ \beta(y)$ --- заданные функции$,$ $\alpha(y) \not= 0.$} \smallskip \begin{remark}[1]Если $x_0 = 0$ при $\alpha(y) \not= 0$ или $x_0 = r$ при $\alpha(y) \not= 1$ задача \eqref{khub2}, \eqref{khub3} переходит в локальную краевую задачу, которая для нехарактеристически нагруженного уравнения с вырождением порядка в области его гиперболичности была исследована в [4]. Если же при этом не выполнены условия относительно $\alpha(y)$, то задача становится некорректной. \end{remark} \smallskip Для параболического уравнения задача c нелокальным условием \eqref{khub3} была исследована в работе [5]. Внутренне-краевая задача типа задачи Бицадзе—Самарского для модельного уравнения смешанного гиперболо-параболичес- кого типа второго порядка исследована в работе [6], а в [7] — для гиперболо- параболического уравнения с нехарактеристической нагрузкой на линии из- менения типа. Задача с условиями \eqref{khub2}, \eqref{khub3} относится к задачам типа задачи Бицадзе--~Самарского и~является частным случаем задачи с нелокальным условием А.~М.~Нахушева [8]. В работе [9] исследуются различные локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений гиперболического типа, и в том числе рассмотрена задача для модельного параболического уравнения с условиями, обобщающими условия \eqref{khub3}, и ее практические приложения. В [10] для уравнения эллиптического типа общего вида в прямоугольной области рассмотрена нелокальная задача с условиями А.~М.~Нахушева на обеих боковых сторонах прямоугольника. Для уравнения \eqref{khub1} задача с нелокальным условием А.~М.~Нахушева исследована в [11]. \smallskip \Section{Теорема существования и единственности решения} Для задачи \hyperlink{task:BS}{BS} справедлива следующая теорема. \smallskip \begin{newthm}{Теорема} Если $f_1(x,y) \in C({\bar \Omega_1})$ и удовлетворяет условию Гельдера по $x,$ $\varphi _0(y) \in C[0,T],$ $\alpha(y),$ $ \beta(y) \in C[0,T] \cap C^1]0,T[,$ $f_2(x,y) \in C(\Omega_2 \cup \bar{J}),$ $$ \displaystyle \alpha(0) \not= \exp\big([r-x_0]/2\big) \frac{\sh p x_0}{\sh pr}, $$ $$ p=\sqrt{1 - 4 q}/2, \quad q \not = \pi^2 n^2/r^2 + 1/4, \quad q = c + \lambda_1 + \lambda_2, \quad n=1,2,\dots $$ то задача \hyperlink{task:BS}{BS} имеет$,$ и притом единственное$,$ решение$.$ \end{newthm} \smallskip \begin{proof} Пусть существует решение $u(x,y)$ задачи \eqref{khub1}--\eqref{khub3}. Обозначим $\tau (x) = u(x,0)$, $\nu (x) = u_y (x,0)$, причем из условий задачи $\tau (x) \in C(\bar {J}) \cap C^1(J)$, $\nu (x) \in C(J)$. Тогда из \eqref{khub2} и \eqref{khub3} следует \begin{gather} \label{khub4} \tau (0) = \varphi _0 (0), \label{khub5} \tau(x_0)= \alpha(0) \tau(r) + \beta(0). \end{gather} Переходя в уравнении \eqref{khub1} к пределу при $y \rightarrow +0$, получаем, что $\tau (x)$ и $\nu (x)$ на линии изменения типа будут связаны следующим соотношением, принесенным из параболической части $\Omega_1$ области $\Omega$: \begin{equation} \label{khub6} \tau''(x) - \nu (x) + \lambda_1 \tau (x) = f_1(x,0), \quad 0 < x < r. \end{equation} Также, переходя к пределу при $y \rightarrow - 0$, в $\Omega_{2}$ получим \begin{equation} \label{khub7} \tau'(x) + \nu(x) + \big[c + \lambda_2] \tau(x) = f_2(x,0), \quad 0 < x < r. \end{equation} Из \eqref{khub6}, \eqref{khub7} получаем обыкновенное дифференциальное уравнение \begin{equation} \label{khub8} \tau''(x) + \tau'(x) + q \tau(x) = f(x), \end{equation} где $q = c + \lambda_1 + \lambda_2$, $f(x) = f_1(x,0) + f_2(x,0)$. Отсюда сразу видно, что при $\alpha(0) =0$ и $0<x_0<r$ нарушается единственность решения задачи \eqref{khub4}, \eqref{khub5} для уравнения \eqref{khub8}. Введем обозначение \begin{equation} \label{khub9} \varphi _r(y) = u (r,y), \end{equation} тогда \begin{equation} \label{khub10} \tau(r) = \varphi_r(0). \end{equation} Решение задачи Дирихле \eqref{khub4}, \eqref{khub10} для уравнения \eqref{khub8} имеет вид \begin{equation} \label{khub11} \tau (x) = \int _0^r {G(x,\xi) f(\xi) d\xi} + G_\xi (x,r) \varphi_r(0) - G_\xi (x,0) \varphi _0(0), \end{equation} где $G(x,\xi )$ --- функция Грина задачи \eqref{khub8}, \eqref{khub4}, \eqref{khub10}, имеющая вид \begin{equation*} G(x,\xi) = \left\{{{\begin{array}{*{20}c} \displaystyle {\frac{{\exp([\xi-x]/2) \sh(p \xi) \sh(p [x-r])}} {{p \sh(p r)}}, \quad 0 \leqslant \xi \leqslant x,} \hfill \displaystyle {\frac{{\exp([\xi-x]/2) \sh(p x) \sh(p[\xi-r])}} {{p \sh(p r)}}, \quad x \leqslant \xi \leqslant r;} \hfill \end{array}}} \right. \end{equation*} где $p=\sqrt{1 - 4 q}/2$, $p r \not = \pi n$ $\displaystyle \left(q \not = \pi^2 n^2/r^2 + 1/4 \right)$, $n=1,2, \dots $ Здесь надо отметить, что $G(x,\xi )$ является действительнозначной функцией, зависящей от комплексного числа $p$. Устремляя $x \rightarrow x_0$, из \eqref{khub11} получим $$ \tau (x_0) = \int _0^r {G(x_0,\xi) f(\xi) d\xi} + G_\xi (x_0,r) \varphi_r(0) - G_\xi (x_0,0) \varphi _0(0), $$ откуда с учетом \eqref{khub5} при выполнении условия $\alpha(0) \not= G_{\xi}(x_0, r)$ получаем $$ \varphi_r(0) = \frac{1}{\alpha(0) - G_{\xi}(x_0, r)} \bigg[ \int _0^r {G(x_0,\xi) f(\xi) d\xi} - G_\xi (x_0,0) \varphi _0(0) -\beta(0)\bigg]. $$ Из явного вида функции Грина получаем, что условие $\alpha(0) \not= G_{\xi}(x_0, r)$ можно переписать в виде $\displaystyle \alpha(0) \not= \exp\big([r-x_0]/2\big) \frac{\sh p x_0}{\sh pr}$. Таким образом, после нахождения $\varphi_r(0)$ функция $\tau(x)$ полностью определяется формулой \eqref{khub11}, причем $\tau(x) \in C[0,r] \cap C^2]0,r[$. Далее $\nu(x)$ находим из \eqref{khub7}, откуда видно, что $\nu(x) \in C^1]0,r[.$ В гиперболической части области $\Omega_2$ решение задачи \eqref{khub1}--\eqref{khub3} сводится к решению задачи Коши для частного случая неоднородного уравнения Мак=Кендрика [3, с. 179] \begin{gather} \label{khub12} u_{x} + u_{y} + c u = \rho(x,y), \label{khub13} u(x,0) = \tau(x), \end{gather} где $\rho(x,y) = f_2(x,y)- \lambda_2 \tau(x-y)$. Решение задачи \eqref{khub12}, \eqref{khub13} дается формулой $$ u(x,y) = \tau(x-y) e^{-c y} + \int _{0}^{y}{\rho(\eta + x - y}, \eta) e^{c(\eta-y)} d\eta, $$ которая будет решением задачи \hyperlink{task:BS}{BS} в $\Omega_2$. После несложных преобразований ее можно переписать в виде $$ u(x,y) = \tau(x-y) \Big[e^{-c y}(1+\lambda_2/c) -\lambda_2/c\Big] + \int _{0}^{y}{f_2(\eta + x - y}, \eta) e^{c(\eta-y)} d\eta, $$ если $c \not= 0$, а при $c = 0$ $$ u(x,y) = \tau(x-y) [1 - \lambda_2 y] + \int _{0}^{y}{f_2(\eta + x - y}, \eta)d\eta. $$ Если $f_1(x,y) \in C({\bar \Omega_1})$ и удовлетворяет условию Гельдера по $x,$ $\varphi _0(y) \in C[0,T]$, $\alpha(y), \beta(y) \in C[0,T] \cap C^1]0,T[$, то решение задачи \hyperlink{task:BS}{BS} в $\Omega_1$ представимо в виде решения первой краевой задачи \eqref{khub2}, \eqref{khub9}, \eqref{khub13} для уравнения \eqref{khub1}: \begin{multline} \label{khub14} u(x,y) = \int _{0}^{y}\Gamma_{\xi}(x,y; 0,\eta)\varphi_0(\eta)d\eta - \int _{0}^{y}\Gamma_{\xi}(x,y; r,\eta)\varphi_r(\eta)d\eta + + \int _{0}^{r}\Gamma(x,y; \xi,0)\tau(\xi)d\xi + \int _{0}^{y} \int _{0}^{r}\Gamma(x,y; \xi,\eta)\big[f_1(\xi, \eta) - \lambda_1\tau(\xi)\big]d\xi d\eta, \end{multline} где $$ \Gamma(x,y; \xi, \eta)= \frac{1}{\sqrt{4\pi(y-\eta)}} \sum\limits_{k= -\infty}^{\infty} \Big\{ \exp \Big[ \frac{(x-\xi+2k)^2}{4(\eta-y)} \Big] - \exp \Big[ \frac{(x+\xi+2k)^2}{4(\eta-y)} \Big] \Big\} $$ --- функция Грина первой краевой задачи для уравнения Фурье [3, c. 267]. Удовлетворяя \eqref{khub14} условию \eqref{khub3} с учетом того, что $\alpha(y) \not= 0$, получим интегральное уравнение относительно неизвестной функции $\varphi_r(y)$: \begin{equation} \label{khub15} \varphi_r(y) + \int _{0}^{y} K(y,\eta)\varphi_r(\eta)d\eta = F(y), \end{equation} где $$ K(y,\eta) = \frac{1}{\alpha(y)} \Gamma_{\xi}(x_0,y; r,\eta), $$ \begin{multline} F(y) = \int _{0}^{y}\Gamma_{\xi}(x_0,y; 0,\eta)\varphi_0(\eta)d\eta + \int _{0}^{r}\Gamma(x_0,y; \xi,0)\tau(\xi)d\xi + + \int _{0}^{y} \int _{0}^{r}\Gamma(x_0,y; \xi,\eta) \big[f_1(\xi, \eta) - \lambda_1\tau(\xi)\big]d\xi d\eta. \end{multline} Так как функция $\Gamma(x,y; \xi,\eta)$ непрерывна в $\bar{\Omega}_1 \times \bar{\Omega}_1$, имеет непрерывную при $0 \leqslant x \leqslant r$, $0 < y \leqslant \eta < T$ и интегрируемую вдоль отрезков $\{{x=0, 0 \leqslant y \leqslant T}\}$ и $\{x=r, 0 \leqslant y \leqslant T\}$ производную $\Gamma_{x}$ (и, соответственно,~$\Gamma_{\xi}$) [3, c. 267], то уравнение \eqref{khub15} является интегральным уравнением Вольтерра II рода и имеет единственное решение $\varphi_r(y)$, причем $\varphi_r(y) \in C[0,T] \cap C^1]0,T[$. С учетом этого и условия теоремы $\alpha(y), \beta(y) \in C[0,T] \cap C^1]0,T[$ из \eqref{khub3} получим, что и $u(x_0,y) \in C[0,T] \cap C^1]0,T[$, т.е. полученное решение задачи будет в искомом классе. После нахождения функции $\varphi_r(y)$ единственное решение задачи \eqref{khub1}--\eqref{khub3} в $\Omega_1$ задается формулой \eqref{khub14}. \end{proof}

About the authors

Kazbek Uzeirovich Khubiev

Institute of Applied Mathematics and Automation

Email: khubiev_math@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

Supplementary files