The energy transfer velocity by a plane monochromaticelectromagnetic wave through a layer of matter

Full Text

Введение Согласно СТО, скорость движения энергии всегда ограничена скоростью света . Хорошо известно, что перенос энергии плоской монохроматической ( ) электромагнитной волной (ЭМВ) в вакууме E( , ) = x0 exp ( / ) , H = 0 z0 E( , ) идет со скоростью света E = / = , поскольку усредненные за период плотность электромагнитной энергии и -компонента вектора Пойнтинга = Re( * )/2 выражаются соответственно как = = 0 | |2 /2 и = 0 | |2 /2. Интересно отметить, что для такой волны в вакууме нет сдвига фаз между действительными полями Re(E) и Re(H), поэтому это единственный случай, когда скорость переноса получается и для мгновенных значений без усреднения. Любая обладающая массой материальная частица имеет внутреннюю (собственную) энергию 2 , поэтому движется всегда со скоростью < . Если имеется поток частиц с постоянной плотностью, то эта скорость совпадает со скоростью переноса энергии частицами потока. Соответственно, прохождение частицей в потоке некоторой области за «сверхсветовое время» < / означает сверхсветовой перенос энергии и противоречит СТО. Однако имеется большое количество публикаций в солидных журналах, где приводится утверждение о сверхсветовом туннелировании ЭМВ, а также и о сверхсветовом туннелировании частиц (см., например, [1–36] и ссылки на литературу там), в том числе о мгновенном туннелировании, и даже об отрицательном времени задержки (запаздывания) [37–42]. Отрицательная задержка (т. е. опережение следствием его причины) противоречит принципу причинности даже в предположении дальнодействия или бесконечной скорости распространения [43]. В подтверждение указанных утверждений приводятся эксперименты [20–23, 30–36], поэтому теоретическое рассмотрение задач туннелирования весьма важно, как и объяснение (интерпретация) указанных экспериментов. Любой эксперимент всегда длится конечное время и связан с нестационарной постановкой, т. е. и с нестационарной задачей. Строгое экспериментальное измерение стационарной скорости = / невозможно, поскольку требует прерывания волны, а это уже нестационарный случай. Прерывание волны образует цуги, или волновые пакеты (ВП), и результат будет тем точнее, чем длиннее цуг. Поэтому точное подтверждение факта 6 в монохроматической волне возможно только теоретически, благо для ЭМВ есть строгий и точный инструмент — уравнения Максвелла. Рассмотрение нестационарного квантового туннелирование как частиц с массой, так и фотонов усложняется тем, что имеет место нелокальность волновой функции и ВП [27]. Вопросы нестационарного туннелирования требуют отдельного рассмотрения и не исследуются в данной работе. Целью работы является определение скорости переноса энергии монохроматической ЭМВ через слой вещества и получение для нее условия E 6 . В работе в строгой постановке на основе уравнений Максвелла с учетом материальной дисперсии рассмотрена и решена простая задача о дифракции падающей из вакуума плоской монохроматической ЭМВ на однородном слое вещества в области 0 6 6 с заданной диэлектрической проницаемостью (ДП) ( ), на основе чего получена скорость переноса энергии такой волной через слой, которая меньше скорости света. Этот результат получен и для туннелирования через слой холодной столкновительной плазмы. При постановке задачи анизотропными, бианизотропными и магнитными свойствами слоя мы пренебрегаем, пространственную дисперсию не рассматриваем. Постановка и решение задачи При падении из вакуума ЭМВ с координатной зависимостью exp( 0 ) под углом = arctan( / 0 ) на слой имеют место v соотношения v 0 = 02 2 , 0 = | | sin( ), = ±| | cos( ), где | | = 2 + 2 — амплитуда ЭМВ. v Знак «минус» соответствует отраженной волне. В слое величина = 02 2 может быть комплексной, поэтому для прошедшей волv ны = arctan( / ), / = / , | | = | | 1 + | |2 / 2 . Вводим, как обычно, нормированные волновые сопротивления 0 = 0 / 0 , = /( 0 ) для E-мод, и 0 = 0 / 0 , = 0 / для H-мод соответственно в вакууме и в пластине. Первый случай соответствует -поляризации = /( 0 ), 23 v а второй — -поляризации = /( 0 ). Здесь 0 = 0 / 0 = 1/( 0 ). Далее будем использовать нормировку = / 0 . При нормальном падении = 0, = и ( , ) = ( , ) . При падении из вакуума всегда 6 0 = / . Для задач туннелирования ЭМВ при нарушенном полном внутреннем отражении [28, 29] интересен случай падении волны v из диэлектрика на вакуумный зазор. 6 0 , величина = 02 2 — действительная, v Тогда 0 6 v а 0 = 02 2 = 2 02 — мнимая. Решение стационарной (монохроматической) задачи для однородного слоя весьма простое — коэффициент прохождения дается формулой [ ] 1 ( ) = | | exp( ) = cos( ) + sin( )( + 1 )/2 , а коэффициент отражения имеет вид ( ) = ( 1)/( + 1), = + / , ± = (1 + ) ± exp( 2 )(1 ). При этом внутри слоя ( ) = + exp( ) + exp( ), где амплитуды имеют вид ± = | |(1 ± ) exp(± )/2. Мы рассмотрим простой закон дисперсии Лоренца для однородного слоя ( ) = 1 + 2 . 02 2 + Для него обратное преобразование Фурье определяет ядро ( ) интегрального оператора, связывающего электрическое поле и индукцию во времени [44]: ( v ) 2 exp( /2) sin 02 2 /4 . ( ) = ( ) + ( ) v 2 (1) 0 2 /4 Для реальных сред дисперсия ДП содержит несколько таких членов с учетом локального поля и нескольких частот 0 , , . Величины 2 определяются через силы осцилляторов соответствующих квантовых переходов с частотами 0 , а величины и = 1/ соответствуют ширинам соответствующих спектральных линий и временам жизни возбужденных состояний. Полагая = 0 (несвязанные заряды диполя), получаем ( ) = ( ) + [ ] + 2 1 1 exp( ) , что совпадает с обратным преобразованием Фурье от дисперсии ДП ( ) = 2 /( 2 ) Друде для плазмы. Для газовой плазмы = 1. Для плазмы в металле вклад в 10 дают другие члены дисперсии Лоренца, взятые на низких частотах. В общем случае терм определяет вкладvпереходов уровней в валентной зоне и межзонных переходов. При < / и малой частоте столкновений ДП плазмы становится почти отрицательной, и возможно стационарное ( ) туннелирование ЭМВ. Для дисперсии Лоренца условие ( ) = Re ( ) < 0, при котором в соответствующем диапазоне имеет место стационарное туннелирование, также возможно. Нормируя все частоты на плазменную частоту и обозначая их большой буквой омега, видим, что v оно при предельно малой частоте столкновений выполнено, если 0 < < 1 + 20 , а при конечном v времени жизни это 2 2 2 область нормированных частот | 0 (1 )/2| 6 (1 2 )2 /4 20 2 . 24 В случае большой диссипации > |1 2 |/(2 0 ) (малой силы осциллятора) область отрицательных значений ДП для дисперсии Лоренца отсутствует. Рассматриваем туннелирование для слоя из газовой плазмы или плазмы металлов и полупроводников. Для последних в определении плазменной частоты следует использовать эффективные массы электронов и дырок. Туннелированию соответствует условие ( ) < 0 в ДП ( ) = ( ) ( ), v ( ) >v 0, при этом в простейшем случае нормального падения = 1/ , = 0 ( ) = , где v v v v 2 v 2 2 v 2 2 = + + , = + 2 . (2) 0 0 При туннелировании всегда > , а в приближении отсутствия диссипации = 0, т. е. прямая волна экспоненциально затухающая (эванесцентная), а обратная — экспоненциально нарастающая (антиэванесцентная). Ее амплитуда с ростом толщины экспоненциально падает, но наличие этой волны и ее интерференция с прямой и приводят к туннелированию, т. е. к просачиванию энергии через слой. v Для случая падения под углом = 0 ( / 0 )2 формулы (2) следу 2 ет модифицировать путем замены v > ( / 0 ) . При туннелировании удобно сделать замену = 0 ( / 0 )2 v . Тогда при условии < 0 и v при пренебрежении диссипацией имеем = / | |, = 0 ( / 0 )2 + | |. В общем случае = , = + , > 0, > 0, а амплитуды волн обоих направлений в пластине выражаются в виде ± = exp(± ) (1 )/2. Для плоской волны в среде также вводим скорость движения энергии по формуле E = / . Здесь также = Re( * )/2, если энергия переносится вдоль оси и выбрана поляризация E = x0 . Заметим, что при движении под углом E = E cos( ). Если в диссипативной среде нет накопленной кинетической энергии колебаний (например, v в дистиллированной ) ( воде, описываемой формулой Дебая), то = 0 + 2 + 2 | |2 /4 [45], v v v поэтому E = ( 2 + 2 + )/2 < . Без диссипации E = / . Диссипация уменьшает | | и увеличивает замедление. Для столкновительной плазмы имеем [45–47] [ ] v 1 = 0 | |2 2 + 2 + 2 , (3) 4 v v 1 2 + 2 + , (4) = v 0 | |2 8 [ v ] 1/2 ( 2 + 2 + )/2 v E = . (5) 1 + ( 2 + 2 )/2 Для нее = 1 2 /( 2 + 2 ), = 2 /( 3 + 2 ). Поэтому для плазмы без диссипации = 0 | |2 (1 + 2 / 2 )/2. В (3), (4) следует иметь в виду, что из-за диссипации амплитуда зависит от координаты как | ( )| = = | (0)| exp( ). Увеличение электрической энергии такой плазмы по сравнению с энергией в вакууме связано с кинетической энергией колебаний ее частиц с частотой [46]. На плазменной частоте электрическая часть 25 энергии в два раза больше, чем в вакууме, а магнитная часть равна нулю. При пренебрежении диссипацией ниже плазменной частоты E = 0, а выv 2 ше нее E = 1 / 2 , что совпадает с групповой скоростью (ГС). Ниже плазменной частоты ГС мнимая, а E = 0, т. е. распространение невозможно. При малой диссипации разлагаем (3) и (4) по малому параметру 2 , считая | | > 1. Тогда получаем = 0 | |2 /(4| |), = 0 | |2 [1 + | | + 2 /(4| |)]/2, и в такой слабодиссипативной плазме E = /(2| |+2| |2 + 2 /2). Заметим, что слабая диссипация возможна только в области . Вблизи плазменной частоты 0, v применять разложение нельзя, и непосредственно из (3) и (4) имеем = /2/(1 + /2) . Средой без накопления энергии колебаний можно считать и плазму на низких частотах v [48]. Тогда ( ) = 2 /( ) = 0 / , и из (5) следует E 2 / . Дисперсия в такой среде обусловлена проводимостью . Можно получить аналогичное (5) выражение для E в случае дисперсии Лоренца, для которой также всегда E < . Соответствующее громоздкое выражение мы не приводим. В области аномальной отрицательной дисперсии при малой диссипации для такой среды также возможен случай < 0 и туннелирование. Отметим, что из дисперсии Лоренца при равной нулю резонансной частоте 0 = 0 (свободные осцилляторы) следует дисперсия плазмы, а предельный переход 0 > , > , > (бесконечно жесткие диполи) при условии 2 / 02 = , 2 / 04 = 2 дает формулу Дебая = 1 + /(1 + 2 2 ), = ( 1) [45]. Отметим также, что при движении под углом скорость переноса энергии вдоль всегда меньше, чем в направлении движения. Примером служат волны в волноводах, которые состоят из двигающихся под углом и отражающихся от стенок плоских волн. Покажем, что туннелирование сквозь слой бесстолкновительной плазмы идет со скоростью меньше скорости света как ниже плазменной частоты, так и выше нее, при этом плотность потока мощности пропорциональна | |2 и непрерывна. При диссипации эта скорость уменьшается и более существенно зависит от координаты. ГС соответствует скорости распространения энергии только в монохроматической волне и только в абсолютно недиссипативных (консервативных или гамильтоновых) однородных системах и средах [5]. Только в этих случаях ГС есть величина действительная и преобразующаяся как полярный вектор, т. е. как скорость материальной точки. В полосах непрозрачности, в том числе и внутри барьеров, ГС есть величина кинематическая, определяющая скорость движения биений двух бесконечно близких по частоте волн и может быть любой — превышающей , бесконечной и даже отрицательной (направленной против движения энергии) [50]. Это же относится и к групповому времени запаздывания, которое может стать нулевым и отрицательным [43]. Движение же ВП и скорость переноса пакетом энергии, особенно при достаточно широком спектре, не следует отождествлять с ГС. Очевидно, энергетическая скорость E ( ) = ( )/ ( ) в неоднородной среде и при наличии границ раздела не является постоянной величиной. Наиболее простой вид она имеет для прозрачного диэлектрического слоя без 26 дисперсии с ДП = const > 1: v E ( ) = 2 /[ + 1 + ( 1) cos(2 0 ( ))] 6 . На границах слоя имеем v v E ( ) = / < / , E (0) = 2 /[ + 1 + ( 1) cos(2 0 )]. v При длине = /(2 ), т. е. кратной целому числу полуволн в среде, получаем E (0) = / . В этом случае при = 1 имеем так называемую полуволновую «банку», известную из электроники СВЧ как полностью прозрачное устройство — для нее v= 1. При длине = (2 1) /(4 ), т. е. кратной нечетному числу четвертьволновых длин в среде, имеем E (0) = . В точках, где косинус равен единице, имеем E ( ) = / , в точках, где он равен минус единице, будет v E ( ) = , а в точках, где он равен нулю, получаем E ( ) = 2 /( + 1) < / . При = 1 везде E ( ) = . В среде энергию переносят квазифотоны или поляритоны. Найдем усредненную скорость квазифотона через слой: 1 E ( ) = E = 0 v 0 0 v 2 0 . + 1 + ( 1) cos( ) (6) v При оптической толщине слоя = 0 6 /2 интеграл (6) вычисляется v (см. [51], формула 1.5.9.15) и имеет вид E = ( 0 ) 1 arctan( 1/2 tan( 0 )). При малой оптической толщине 1 получаем E = / , а приvбольшой оптической толщине пишем = /2 + , = ( /2 + )/( 0 ), интеграл (6) разбиваем на участков длины 2 плюс интеграл по 2 , и в пределе > получаем для толстого слоя также E = / . Если рассмотреть «монохроматическую» волну ( , ) = ( ( / )) sin( ( / )) с резким фронтом ( v — функция Хэвисайда), то скорость прохождения ее фронта в слое = / . Бесконечно тонкая граница раздела не вносит задержку. Время v прохождения фронта = / = / и следует отождествлять с искомым временем. Реальная волна содержит высокие частоты, а в реальной среде есть дисперсия. Поэтому высокочастотные фотоны предвестника проходят слой за время = / . Отражение от второй границы снижает среднюю скорость. Многократные отражения приводят к полученному результату. Время туннелирования для него определим как v 1 + + ( 1)sinc(2 0 ) E = = . (7) 2 0 E ( ) При предельно малой оптической толщине E = / . При малой оптической толщине с учетом двух членов разложения в синусе E = ( / ) 2 [ ( v 0 ) /3]. При большой оптической толщине E = ( / )( + 1)/2 > > /( / ), т. е. прохождение через слой занимает больше времени, чем движение волны на эквивалентном участке в вакууме. Отметим, что в полученные соотношения нельзя подставлять отрицательные ДП и получать комплексные времена. 27 В случае туннелирования через недиссипативный слой с отрицательной ДП пишем v = + exp( )+ exp( ), = 0 | |( + exp( ) exp( )), v v = 0 | |, ± = exp(± ) (1 ± / | |)/2, поэтому ( ) = 0 | |2 /2, = 0 | |2 (1 + | |)/2, | |2 = [(| | + 1) cosh(2 ( )) + | | 1]| |2 /(2/| |) и для скорости энергии на частоте ниже плазменной E ( ) = ( 2 / 2 1) ( 2 / 2 )[ 2 / 2 cosh2 ( ( )) 1] . При = имеем E ( ) = 2 / 2 < . Имеем также E ( ) = 0, а при получаем E ( )/ 2 /[ 2 cosh2 ( ( )) 2 ]. Эта скорость очень мала, особенно в начале широкого барьера, где она мала экспоненциально. Рассмотрим время туннелирования E = 0 ( 2 / 2 ) = [ 2 / 2 sinh(2 )/4 /2]. E ( ) ( 2 / 2 1)2 (8) Для широких барьеров E = ( 4 / 5 ) exp(2 0 ( 2 / 2 1))/[2( 2 / 2 1)2 ], т. е. это время экспоненциально большое. Для узкого барьерного слоя E = v 2 2 2 2 = ( / )( / ) 4( / 1). На плазменной частоте оно бесконечное. Для широких барьеров коэффициент | |2 экспоненциально мал, поэтому = 1 | |2 1. Это означает наличие в вакууме перед барьером двух приблизительно равных и противоположных потоков. Поскольку перед барьером = exp( 0 ) + exp( 0 ), то | |2 = 1 + | |2 + 2| | cos(2 0 + ), = 0 | |2 /2, и E ( )/ изменяется от (1 | |)/(1+| |) до (1+| |)/(1 | |). Здесь = | | exp( ). Очевидно, сверхсветовые значения здесь связаны с отражением от барьера и интерференцией. При отдельном рассмотрении потоков их скорость равна . Усредним эту скорость по области между двумя ближайшими точками 1 и 2 , для которых = 1 2 = / 0 . Выберем точку 1 так, что в ней косинус обращается в единицу. Тогда (см. [52], формула 3.792.1) | |2 E ( ) = 0 1 + / 0 1 (1 | |2 ) = 1 + | |2 + 2| | cos(2 0 ( + 1 ) + ) (2 0 ) 1 (1 | |2 ) = = , 2 0 1 + | | + 2| | cos( ) или E ( ) = . В случае диссипативной пластины соотношения усложняются, и мы их не приводим. Но и в этом случае нет сверхсветовых скоростей. Слабая диссипация уменьшает скорость в высокопрозрачном слое. 28 Рассмотрим туннелирование через вакуумный зазор при условии НПВО. В этом случае для -поляризации внутри зазора = 0 | |2 (1 + 2 /| 0 |2 )/4 + 0 | |2 /4, | |2 = ( 0 / 0 )| |2 /| 0 |2 , v v 0 = 0 / 0 , 0 = 02 2 = 2 02 . Очевидно, | |2 = | |2 |(1 | 0 |) exp( | 0 |( )) + (1 + | 0 |) exp(| 0 |( ))|2 = 4 | |2 ((1 + | 0 |2 ) cosh(2| 0 |( )) + 1 | 0 |2 ). = 2 Вычисляем компоненту вектора Пойнтинга: * = 0 | |2 [(1 | 0 |) exp( | 0 |( )) + (1 + | 0 |) exp(| 0 |( ))] 4 | 0 | [(1 + | 0 |) exp( | 0 |( )) (1 | 0 |) exp(| 0 |( ))], имеем = | |2 /2. Отсюда получаем E ( ) = 2 . ((1 + | 0 |2 ) cosh(2| 0 |( )) + 1 | 0 |2 )(1 + 2 /(2| 0 |2 )) При бесконечно малом зазоре заменяем косинус гиперболический единицей и получаем E ( ) = /(1 + 2 /(2| 0 |2 )) < или E ( ) = (2 2 2 02 )/(3 2 2 02 ). Эта же скорость соответствует концу слоя E ( ). При широком зазоре вдали от конца слоя скорость становится экспоненциально малой, а время туннелирования — экспоненциально большим. Не представляет труда получить аналогичные результаты для -поляризованного туннелирования. В ряде работ, например [53–56], получены решения для неоднородного слоя с ДП ( ). Такой слой можно представить как совокупность однородных слоев, определить скорость энергии в каждом слое и время по формулам типа (7), (8). Для плазмы следует предположить, что плазменная частота зависит от координаты. Поскольку для каждого из слоев скорость «досветовая», то и для всей структуры E 6 . Это, например, имеет место и для запрещенной зоны фотонного кристалла (ФК) с двумя прозрачными слоями в периоде и несколькими десятками периодов. Для такого ФК можно произвести гомогенизацию, и тогда в его запрещенной зоне эффективная ДП eff < 0, поэтому задачу приближенно можно свести к задаче для одного слоя. Заметим, что отражения от границ раздела только замедляют передачу энергии. Для решения удобен метод матриц передачи [53]. Указанную задачу можно также решить и методом интегрального уравнения (ИУ) вида ( ) = 0 exp( 0 ) + ( )( ( ) 1) ( ) . (9) 0 В нем обозначено ядро ( ) = 0 exp( 0 | |)/2, удовлетворяющее уравнению ( 2 + 02 ) ( ) = 02 ( ), т. е. пропорциональное ФГ уравнения 29 Гельмгольца. Очевидно, решение ИУ (9) удовлетворяет уравнению Гельмгольца ( 2 + 02 ) ( ) = 02 ( ( ) 1) ( ) или ( 2 + 02 ( )) ( ) = 0 как вне, так и внутри пластины. ИУ (9) можно решать методом последовательных приближений, но его хорошая сходимость гарантирована только при близких к единице ДП. Удобно искать решение (9) в виде v v ( ) = + ( ) exp( 0 ( ) ) + ( ) exp( 0 ( ) ), что сразу позволяет определить E ( ), но требует численного вычисления амплитуд ± ( ). Можно использовать и ВКБ приближение. Для нестационарного туннелирования также можно использовать ИУ, основанные на ФГ. Нестационарная одномерная функция Грина дается обратным Фурье-обращением функции 0 2 ( ) и пропорциональна функции Хэвисайда ( | |/ ). Эта функция и определяет причинность: возникновение сигнала в точке в момент не может появится в точке раньше времени = + | |/ . Поляризацию в ИУ следует определять с учетом (1). Однако созданные локализованными источниками поля частот заменяют ВП. Если пакет имеет резкий фронт, проблем с определением времени его прохода какой-либо области не возникает: оно всегда не менее, чем / [56]. Но пакет может иметь нерезкий и даже бесконечный передний фронт [27], и тогда возникает проблема введения скорости и времени прохождения им заданной области [57], что является темой отдельного рассмотрения. Одномерное стационарное уравнение Шредингера можно записать в виде ( 2 + 2 E(1 /E)/~2 ) ( ) = 0. Обозначая 2 /~2 = 2 , 1 /E = , видим, что туннелирование ЭМВ при < 0 эквивалентно туннелированию частиц при E < , а потенциальной яме < 0 соответствует пластина диэлектрика с > 0. Такая пластина, как известно, при достаточной толщине представляет собой открытый диэлектрический резонатор, имеющий комплексные частоты. Для матрицы рассеяния возникают полюса в комплексной области частот [58]. Зная ( ) и спектр падающего ВП ( ), можно вычислить прошедшее поле, взяв обратное преобразование Фурье от ( ) ( ). В силу расположения полюсов у ( ) сверхсветовых откликов не возникает [56]. Для квантовой частицы полюса соответствуют квазистационарным уровням энергии с конечным временем жизни. При рассеянии падающий поток частиц имеет вид + ( ) = exp( ). Величина | + ( )|2 = | |2 дает плотность частиц в потоке. Ищем величины ( ) = exp( ) слева и v справа + ( ) v = exp( ( )), а также решение ( ) = + exp( ) + + exp( ). Очевидно, | ( )|2 дает плотность частиц внутри области. Она определяет плотность энергии. Величина = (~/ )Im( * ) определяет поток плотности вероятности, поэтому = /| |2 . v Действительно, в па+ 1 2 дающем потоке = ~(2 ) | | и величина E = E/(2 ) определяет скорость частиц потока. Отметим, что в многоскоростных потоках происходит интерференция волн, поэтому энергетическая скорость изменяется. Многоскоростной поток характерен для ВП. Он также возникает при наличии обратного односкоростного потока, например, для волновой функции перед барьером ( ) = [exp( ) + exp( )]. Представим коэффициент отражения в показательной форме = | | exp( ). Для туннелирования обычно | | 1, поэтому | ( )|2 имеет минимумы и максимумы, тогда как поток постоянен — ( ) = E | |2 . В точках минимума отношение ( )/| ( )|2 может 30 стать сверхсветовым, а в точках максимума оно меньше E . Нетрудно, однако, проверить, что усреднение на длине де-Бройля приведет к постоянному значению скорости E . Это же справедливо и для монохроматической ЭМВ, которая движется в вакууме. Таким образом, при наличии прямого и отраженного потоков необходимо провести усреднение и в пространстве по длине волны. Вопрос о времени туннелирования встал после работ Г. А. Гамова (1928), Э. У. Кондона (1928, 1930), Ф. Т. Смита (1960), Т. Е. Хартмана (1962), Дж. Р. Флетчера (1985) и последующей лавины работ по туннелированию. Он открыт до сих пор, поскольку имеет место огромное число публикаций по сверхсветовому туннелированию ЭМВ, в том числе и в последнее время, а также и по сверхсветовому квантовому туннелированию. Известен парадокс Хартмана [2, 4, 23, 27–38], заключающийся в насыщении с ростом толщины барьера времени Бома—Вигнера (времени групповой задержки), получающейся из метода стационарной фазы для коэффициента пропускания . В публикациях вводятся времена: Бома—Вигнера, или групповое время = , Буттикера—Ландауэра время = ~ ln(| |), ларморово время туннелирования = ~ , время Поллака—Миллера = ln(| |) [26]. Вводятся и другие (в том числе комплексные) времена. Величина соответствует величине потенциального барьера при туннелировании частицы. Применение вышеупомянутых времен к квантовому туннелированию с широким прямоугольным барьером высоты дает ~ v , /E 1v ( /E 1)(~/ + /E) ~/ = ~ ln(| |) = , 2( /E 1)3/2 v = = ~ E = ~ ( E E2 ), v ( /E 1)(~ + E) ~ , = ~ E ln(| |) = 2E( /E 1)3/2 = ~ = (10) что приводит к сверхсветовым скоростям [1–29]. Однако такие применения и соответствующие времена никак не отражают кинематику движения частиц в потоке и динамику движения ВП, поскольку изменение фазы коэффициента прохождения связано с интерференцией отраженных волн. В литературе нет предпочтения какому-либо из них. Часто времена (10) с указанными выше заменами и с учетом соотношения E = ~ применяют и к туннелированию ЭМВ. Очевидно, для квантового туннелирования электронов через прямоугольный барьер E ( ) = 2 /[(1 + 2 ) cosh(2 ( )) + (1 2 )], (11) v v v где = E/ — скорость частиц потока, = E/( E), = ( E)/~2 , — удвоенная масса. Вычисленное для (11) время, согласно (8), для широкого барьера экспоненциально большое. Для него пишем 2 = . 2 2 0 (1 + ) cosh(2 ( )) + (1 ) 31 Интересно отметить, что E ( ) = , т. е. электрон как бы проходит барьер, не теряя скорости и энергии. Это же значение E = / имеет место и для очень узкого барьера. За началом широкого барьера для малых скорость (11) может быть очень малой, поскольку в этой области | ( )|2 максимальна внутри барьера. Действительно, амплитуда экспоненциально мала. Пренебрегая нарастающей волной, имеем | ( )|2 = | |2 (1 + 2 ) exp(2 ( ))/4. Именно такая функция при отбрасывании используется в ВКБ приближении для определения прозрачности барьера | |2 . Таким образом, парадокс Хартмана легко объясним. Сверхсветовых физических движений быть не может [57], хотя фазовые и групповые скорости могут быть сверхсветовыми. Ошибка Хартмана заключается в использовании узкого гауссова пакета волновых функций до барьера, внутри барьера и за барьером, причем раздельно (независимо) для каждой области так, как при решении методом сшивания для стационарного уравнения Шредингера с последующим применением метода стационарной фазы к выходному пакету. Такая ВФ практически соответствует стационарному туннелированию. Но волновая функция нестационарного уравнения Шредингера нелокальная и единая во всех областях. Она удовлетворяет интегральному уравнению, зависящему от потенциала, и изменяется во времени во всем пространстве [59]. Применять метод стационарной фазы в задачах туннелирования и прохождения волн при наличии отражений некорректно. При этом Хартман использовал узкий по спектру гауссов ВП, т.е. фактически задача была сведена к стационарному случаю, где время Бома—Вигнера не соответствует динамике процесса. В последнее время в экспериментах по сверхсветовому туннелированию фотонов используют интерференцию узких ВП вместо детектирования фотонов. Например, в эксперименте в Беркли [30] использован двухфотонный распад, или параметрическое преобразование с понижением частоты в нелинейном кристалле и образованием двух пакетов. Прошедший среду ВП интерферирует с базовым в HOM-интерферометре. Однако прошедший слой вещества ВП не является исходным фотоном: он взаимодействовал с веществом с образованием квазифотонов. В этих экспериментах использовался образец в виде многопериодного диэлектрического ФК с двумя слоями в периоде и получено сверхсветовое время. Интересно отметить, что в каждом слое скорость энергии существенно меньше , а результат интерпретируется как распространение света быстрее света. Для определения времени туннелирования частиц в последнее время использованы методы фотоионизации атомов, в частности атомов водорода, методом attoclock [36]. Этот метод использован также в [31–35]. Для них получены весьма малые или даже нулевые времена возникновения частиц с энергиями континуума. Однако фотоионизация приводит к коллапсу волновой функции, что отмечали и авторы эксперимента, и ее трудно сопоставить с обычным туннелированием. Вообще определение времени в квантовом туннелировании связано с определением положения частицы, т. е. с коллапсом волновой функции. Любое такое детектирование связано с введением дополнительного потенциала. 32 Заключение В стационарном случае времени нет, и некорректно говорить о времени туннелирования отдельной частицей. Для ЭВМ в среде это квазифотоны или поляритоны, соответствующие многофотонным и многочастичным взаимодействиям. Но скорости в потоке определить можно, и в этом смысле поставить их в соответствие частицам потока. В конечной области с изменяющимся потенциалом можно решать задачу, например, методом совместного решения уравнения Шредингера с уравнением Пуассона или методом теории функционала плотности, задавая граничные потоки. В нестационарном случае все величины зависят от времени, включая скорости и времена какихто движений. Введение скоростей для ВП не является однозначным. Задачи нестационарного туннелирования весьма важны для определения переходных процессов в электронных устройствах, но представляют тему отдельного рассмотрения.

About the authors

Mikhail Vladimirovich Davidovich

Saratov State University

Email: DavidovichMV@info.sgu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

Supplementary files