Analytical solution of elastostatic problems of a simply connected body loaded with nonconservative volume forces: theoretical and algorithmic support

Full Text

Постановка и анализ проблемы исследования. Традиционные объемные силы, встречающиеся в исследованиях классической механики деформируемого твердого тела (МДТТ; силы инерции, тяжести, гравитационного взаимодействия и др.), имеют механическую природу и, как правило, являются потенциальными. В этом нетрудно убедиться, листая известные руководства по механике [1–6]. 57 При реализации различных эффективных методов анализа НДС эластостатических тел учет влияния объемных сил остается на втором плане, поскольку ему соответствует частное решение неоднородных разрешающих систем уравнений. В общем случае объемных сил произвольного характера известно интегральное представление поля перемещений, определяемое в сингулярно-интегральной форме Чезаро: ( , ) ( ) , [ ] 1 ( , ) = (3 4 ) + 2 , 16 (1 ) ( ) = (1) 2 = , где ( ) — компонента вектора объемных сил в точке воздействия ; — точка наблюдения; , — радиус-векторы точек и ; — модуль сдвига; — коэффициент Пуассона; — символ Кронекера. Ядром этого интеграла служит тензор влияния Кельвина—Сомильяна с компонентами ( , ) [3]. Представление (1) эффективно используется при применении сугубо численных методов (метод конечных элементов, метод граничных элементов, конечно-разностных и др.), но не является удобной формой при аналитическом анализе, поскольку требует выполнения промежуточных шагов по проведению аппроксимации. Вычислительные методы продолжают совершенствоваться [7–14] и возникает необходимость в построении иных подходов, поддерживающих или обеспечивающих решение в полнопараметрической аналитической форме (ППР) [15–17]. В случае потенциальных сил построен эффективный аппарат выписывания частного решения уравнения Ламе [2, 3], основывающийся на общем решении П. Ф. Папковича и Г. И. Нейбера [18] = 1 ( + 0 ), + * , 4(1 ) = 0, 1, 2, 3, (2) где — гармонические функции; — декартовы координаты в области ; * — любое частное решение, отвечающее действию объемных сил. Практически вместо общего решения Папковича—Нейбера (2) более эффективно использовать общие решения И. С. Аржаных и М. Г. Слободянского для внутренности ограниченной области: = 4(1 ) + , , + , (3) или для внешности ограниченной полости: = 4(1 ) ( ), + , , (4) где — решение уравнения Пуассона , = 58 1 2 , 2 (1 ) (5) — потенциал объемных сил. Композицией состояний (3), (4) можно обеспечить представление упругого поля для произвольного ограниченного или неограниченного многополостного тела. В настоящее время постановка задач с консервативными объемными силами по-прежнему является актуальной и этому уделяется достаточно много внимания. Информация о НДС от объемных сил позволяет восстановить соответствующее механическое состояние на границе тела с последующей корректировкой ГУ при декомпозиции решения [19]. При канонических формах геометрии тела удается выписать аналитическое решение задачи [20], например, изучать влияние гравитационных сил в среде с незагруженной сферической полостью [21]. Для учета потенциальных сил в математических задачах теории упругости вводится третий комплексный потенциал [22]. Эта же идеология распространена на анизотропные среды [23–25], а также на предмет учета действующих или возникающих сингулярных эффектов в теле [26]. Наряду с физическими свойствами механического характера исследуемая среда может обладать иными: электромеханическими, электромагнитными. Например, направленный поток электрических зарядов, организованный в теле среды, создает во внешнем магнитном поле объемную силу Лоренца. Эта сила может быть организована по произвольному закону в области, занятой телом, и потенциальной считаться не может. Развитие исследований на нано-уровне строения вещества позволило обнаружить новую причину зарождения объемных сил, связанную с потерей межатомных связей при достижении критического состояния в окрестности некоторой точки твердого тела [27]. Важным моментом разработки нового метода является также то, что в случае решения задач механики среды итерационными методами в определяющих итерацию соотношениях порождаются массовые силы фиктивного характера [28]. Декомпозиция задачи требует отслеживания соответствующего напряженно-деформированного состояния. Таким образом, разработка быстрого эффективного метода анализа эластостатического поля внутри тела является задачей актуальной и на современном уровне развития науки и техники необходимой. В случае потенциальных сил им соответствующее упругое поле восстанавливается достаточно просто. В случае неконсервативных сил справедливо интегральное представление общего решения (1), но традиционно его использование «завязано» на численные процедуры, игнорирующее компьютерные алгебры. Целью работы является теоретическое и алгоритмическое обеспечение возможности быстрого эффективного построения эластостатических полей от широкого класса объемных сил, допускающих полиномиальную аппроксимацию. Достижению цели сопутствует рассмотрение круга задач фундаментального и прикладного характера: 1) обоснование существование базиса пространств состояний для полиномиальных объемных сил; 2) разработка алгоритма назначения базиса гильбертова пространства состояний; 3) тестирование; 4) решение расчетной задачи для тела нетривиальной геометрии; 5) возможность построения полнопараметрического решения (ППР), содержащего все параметры геометрии и нагружения тела. 1. Теорема о полноте базиса полиномиальных объемных сил. Эластостатическое состояние среды, обусловленное объемными силами, должно отвечать всем требованиям, предписанным определяющим соотношениям. 59 Предполагая поле перемещений в области ограниченного тела приближаемым системой многочленов от трех переменных, описываемых мономами = , , , {0, 1, 2, . . . }, вектору перемещений { } { I , II , III }, I = { , 0, 0}, II = {0, , 0}, III = {0, 0, } ^ = [ ] и напряжений можно поставить в соответствие тензоры деформаций ^ = [ ] в соответствии с формулой Коши = 0.5 ( , + , ) (6) и обобщенным законом Гука в форме Ламе = + 2 , = , (7) где , — объемный параметр Ламе и модуль сдвига; — объемная деформация. Уравнение равновесия замыкает систему определяющих соотношений, устанавливая значения объемных сил = , , (8) обеспечивающих удовлетворение всех необходимых условий. Таким образом, вектору ( + 2 ) ( 1) 2 + ( 1) 2 + ( 1) 2 ( + ) 1 1 I = ( + (9) ) 1 1 ^I , ^ I }, где однозначно соответствует внутреннее состояние тела I = { I , I = 0 , 0 ^I = ^I = 2 1 1 1 1 2 1 ( + 2 ) 1 1 0 0 , 0 0 1 1 1 0 1 0 1 (10) . Очевидно, что круговая подстановка индексов с соответствующим перемещением монома по позициям вектора порождает еще два варианта состояний. Очевидно также, что все компоненты внутреннего состояния от объемных сил (8) в соответствии с цепочкой операций (6)–(8) имеют полиномиальное представление. Возникают следующие вопросы: 1) является ли полным множество векторов генерируемых таким способом объемных сил ( ) 2) содержит ли оно сепарабельный базис соответствующего пространства 60 На эти вопросы удовлетворительно отвечает следующая Теорема (о содержании базиса). Множество векторов полиномиальных объемных сил, порожденное базисом пространства векторов полиномиальных упругих перемещений, содержит счетный базис 0 пространства объемных сил полиномиального характера. Конструктивное д о к а з а т е л ь с т в о является одновременно рациональным алгоритмом формирования базиса. Базисом равномерно-непрерывных функций от трех переменных , , является счетное множество мономов , где , , — целые неотрицательные числа. Упорядоченное множество мономов удобно интерпретировать в форме трехгранной пирамиды мономов (каждому моному соответствует узел) с вершиной 1, ребрами — степенями переменных , , , гранями — попарными произведениями их степеней. Мономы фиксированного порядка + + = расположены в -том слое, занимая совокупность узлов треугольника (рис. 1). Рис. 1. -тый слой пирамиды мономов [Figure 1. The -th layer of the monomial pyramids] Формирование системы базисных элементов, генерируемых выражением (9) или его интерпретацией в форме линейной комбинации I = ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ), 1 = 2 0 , 2 0 , 2 = 0 (11) 2 0 , 3 = 0 0 4 = 1 1 , 0 0 0 5 = 0 1 1 61 с известными коэффициентами удается проводить в последовательности, гарантирующей полноту и линейную независимость наполняемого базиса 0 пространства. Каждому элементу пирамиды мономов соответствуют три элемента базиса 0 в соответствии с занимаемыми позициями в векторах. 0 есть объединение счетного числа базисов конечномерных пространств (размерность 1.5( + 1)( + 2)), порождаемых слоями = 0, 1, 2, . . . ; линейная зависимость элементов множества 0 может наблюдаться только внутри слоя. Обеспечивающий алгоритм опирается на следующие положения. 1. Перебор осуществляется по слоям = 0, 1, 2, . . . , соответствующим порядкам мономов. При = 0 изначально пустой базис пополняется тремя векторами, отвечающими вершине пирамиды: 0 0 = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}. 2. При произвольном просмотр слоя осуществляется в последовательности, схематично обозначенной на рис. 2 ломаной спиралью. Рис. 2. Схема направленного перебора, обеспечивающего формирование базиса пространства объемных сил [Figure 2. Diagram of directional enumeration ensuring the formation of the basis of the space forces volume] Каждая ветвь спирали = 0, 1, 2, . . . состоит из трех отрезков вариантов перебора показателей монома: 1) = + 2, ( = 2, = , = ); 2) = +2, ( = , = 2, = ); 3) = +2, ( = , = , = 2). Через I обозначен набор линейно-независимых векторов, получаемых по (11) на ветви и заполненных только в первой позиции. Всегда по завершении каждой ветви круговая подстановка индексов (переменных , , ) с соответствующим изменением позиций в векторе I пополняет базисный отрезок 0 слоя. При = 0 в соответствии с обозначенными отрезками ветви и «отключающими» коэффициентами в (9) последовательно происходит пополнение множества I элементами 1 , 2 , 3 . В ветви = 1 спирали участвуют такие же по структуре элементы, но в линейной комбинации с 4 , 62 5 , уже построенными ранее круговой подстановкой для предыдущей ветви. Это позволяет представить соответствующие элементы (как и им соответствующие по организации (9), (10) элементы пространства внутренних состояний) в виде, содержащем в позиции 1 вектора «чистые» мономы. Во всех последующих ветвях вплоть до исчерпывания возможностей перебора в слое ситуация такая же: кроме единственного нового элемента в формировании участвуют только уже созданные на предыдущих ветвях, чем обеспечивается линейная независимость. Полнота обеспечивается направленным перебором всех вариантов конечного множества мономов слоя . Конструктивизм доказательства теоремы содержит алгоритм, позволяющий эффективно наполнять базис 0 пространства . Однако его предназначение служит, в первую очередь, доказательству существования базиса, что и достигнуто: каждой вершине кластерного слоя (рис. 1) соответствует тройка линейно-независимых элементов пространства . 2. Сортировочный алгоритм. Для формирования базиса пространства более удобным является иной алгоритм. Его суть коротко можно охарактеризовать следующими положениями. 1. Вершины пирамиды мономов перебираем по слоям. Каждому слою соответствует кластер = + + , отвечающий за порядок монома. Кластер 0 (вершина пирамиды) порождает три элемента базиса ^, , ^ } , построенного в соответствии с определяющи , = { , ми выражениями (6)–(8): 2 0 0 0 0 /2 /2 (1) 0 0 , 0 ; 0 0 , 0 = 0 , 0 0 0 0 /2 0 0 0 0 0 /2 0 0 0 0 2 (2) 0 0 , 0 0 , ; = /2 , /2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /2 , 0 0 , 0 . (3) = 0 , 0 0 0 0 /2 0 2 /2 Далее слои пирамиды перебираются в порядке возрастания кластеров. 2. Перебор вершин мономов в кластере с номером можно осуществлять в произвольном порядке. Каждой вершине (моному ) соответствует точка с условными координатами в плоскости слоя. Например, можно осуществить перебор в последовательности = 0 . . . ; = 0 . . . ; = и помещать узлы слоя в вершины, v регулярно заполняющие правильный треугольник (0, 0), ( /2, 3 /2), ( , 0). Назначенная вершина для монома получает координаv v ты точки ( + /2, 3 /2) и ее положение от центра ( /2, / 3) слоя характеризуется вектором = , определенным через радиус-векторы начала и конца. Векторы , , также определяются легко. 63 Сортировка состоит в том, чтобы по проекциям вектора на эти направления определить его «склонность» к одной из вершин , , и по этому признаку осуществлять назначение степеней монома, участвующих в формулах (6)–(8). А именно, если максимальное положительное значение проекции CM для каждого из трех направлений , , соответствует какойлибо вершине , , , то для использования выражений достаточно положить { + 2, , } , « », { , + 2, } , « », { , , } = { , , + 2} , « ». При равной «склонности» к двум вершинам выбор единственен, но безразличен. После назначения очередного базисного элемента два дополнительных осуществляются способом круговой подстановки. 3. Основные положения метода граничных состояний (МГС). МГС является одним из поздних энергетических методов математической физики. Он имеет общие черты с прямыми методами и специфические отличия от них. Классические методы (Ритца, Бубнова—Галеркина, наименьших квадратов, Канторовича) и их модификации (Треффца в числе прочих) оперируют элементами гильбертовых пространств, функций (векторовфункций), через которые в конечном итоге выражаются характеристики состояний исследуемой среды. Методы Ритца, Бубнова—Галеркина, наименьших квадратов используют при построении решения отрезки базисов пространства решений, позволяющие приводить задачу к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье разложения решения по базису. Метод Канторовича осуществляет «градиентный спуск» по поверхности квадратичного функционала, подлежащего оптимизации в функциональном гильбертовом пространстве, и сводится к итерационному процессу. Вообще базисные элементы назначаются достаточно произвольно, но из некоторых классов функций, которые должны гарантировать построение приближенного решения. Подход Треффца, назначающий элементы из классов функций, которые удовлетворяют разрешающим уравнениям для среды, обеспечивает построение решения линейных задач при условии построения счетного базиса пространства решений, но иных особенностей, выделяющих новизну метода, не имеет. МГС изначально оперирует объектами, имеющими отношение к двум изоморфным гильбертовым пространствам внутренних и граничных состояний объекта, занимающего некоторую область R3 и имеющего границу с нормалью { }. Внутреннее состояние определяется набором = { , , }. { } Граничное состояние есть = , , где — перемещения на грани це тела, — поверхностные усилия на границе тела: = . Множество внутренних (граничных) состояний образует пространство внутренних (граничных ) состояний. Гильбертовы пространства , изоморфны: (1) + (2) - (1) + (2) , - , ( (1) , (2) ) = ( (1) , (2) ) . R1 , Гильбертов изоморфизм позволяет восстанавливать НДС по граничному состоянию, так как базис пространства будет однозначно соответствовать 64 базису пространства . Наиболее трудоемкий процесс в МГС — построение ортонормированных базисов внутренних и граничных состояний, другими словами, построение «тела» в смысле МГС. Исходный базис внутренних состояний для односвязной конечной области набирается в соответствии с общим решением Аржаных—Слободянского (3), соотношением Коши, обобщенным законом Гука. Благодаря гильбертову изоморфизму восстанавливаются базисы перемещений на границе и усилий на границе. Ортогонализацию базисов выгоднее проводить через пространство граничных состояний . При постановке исходной задачи с объемными силами требуется создать базис пространства объемных сил. Он может быть определен алгоритмами для потенциальных сил через частное решение уравнения Пуассона (5) или более общим алгоритмом для неконсервативных объемных сил. При этом необходимо корректировать граничные условия с учетом установленной поправки от сил. Например, в первой основной задаче на границе заданы усилия . Скорректированные граничные условия рассчитываются следующим образом: * * = * , * = , = 0 * + 2 0 * , * = * , * = 0.5( * , + * , ). Далее рассчитываются коэффициенты Фурье через квадратуры ( ) = . Внутреннее состояние без учета объемных сил является линейной комбинацией элементов базиса: ( ) ( ) ( ) = , = , = . Результирующее внутреннее состояние получаем суммирование полей, помеченных символами «*» и « » . 4. Равновесие сплюснутого сфероида под действием объемных сил. Однородный изотропно-упругий сплюснутый сфероид (габаритные от{ } 2 2 2 ношения ) = ( , , ) R3 | 2 + 2 + 2 6 1 со свободной границей v { 2 | = cos , = sin , | | = 1 2 / 2 , [ , ], = ( , ) R } [0, ] находится в равновесии под действием самоуравновешенных объемных сил . Рассматриваются два варианта сил: a) потенциальные; b) непотенциальные. Требуется оценить НДС тела. При обезразмеривании принято: параметр геометрии равен , параметр напряжения — ; при проведении расчетов удержано : = 1 : 10; коэффициент Пуассона = 1/4. a безразмерные объемные силы под{ В варианте } чинены { закону = } 0 , , 0 , в «непотенциальном» варианте b — закону = 0 3 2 , 3 2 , 4 3 . В расчетах положено значение безразмерного масштабирующего множителя 0 = 1, поэтому реальное поле отличается от расчетного варианта соответствующим образом. 65 Рис. 3. Напряжения в осевом сечении сфероида в задачах a и b [Figure 3. Stresses in the axial section of the spheroid in the problems a and b] На рис. 3 нулевому уровню напряжений соответствует цветовой фон за пределами области. В силу растягивающего характера объемных сил радиальные и окружные напряжения имеют существенные положительные значения в окрестности оси симметрии и довольно медленно снижаются до нуля по мере приближения к границе тела. Осевые усилия объемных сил в случае a заданы нулевыми, поэтому вертикальные волокна вблизи оси симметрии получают сжатие, а в приближении к ободу, напротив, растяжение. В варианте b осевые объемные силы неоднородные, вызывают растяжение осевых волокон, которое компенсируется до нуля по мере приближения к ободу за счет влияния напряжений , . В варианте a изменение формы тела заметно в приповерхностных слоях (см. рисунок для ). В варианте b, напротив, форма искажена в кольцевых симметричных слоях внутри сфероида. 5. Полнопараметрическое решение. Применение численно-аналитического МГС, опирающегося на компьютерные алгебры, привело к новому этапу в практике представления расчетных результатов. До появления вычислительной техники задачи математической физики решались исключительно в аналитическом виде, хотя и для областей простейшей геометрической формы и при малом количестве параметров, описывающих свойства среды и характер граничных условий. Широкое внедрение вычислительной техники привело к построению мощных средств анализа состояний сред, базирующихся на численных подходах (методы конечных элементов, граничных элементов, конечно-разностные и пр.). Современные вычислительные системы, оперирующие «компьютерными алгебрами», позволяют получить решения изначально в численно-аналитической форме, но также для широкого круга задач (в первую очередь линейных) дают возможность выписывать их в форме, содержащей все параметры задачи (параметры, обусловленные масштабированием в соответствии с П-теоремой [29], упругие параметры [30], параметры ГУ (метод эталонных решений [16, 31]), параметры геометрии [32]. Несколько в стороне оказались параметры, характеризующие разнообразие объемных сил, поэтому данному вопросу ниже уделено определенное внимание. Пусть объемные силы заданы с точностью до конечного набора парамет66 ( ) ров X0 , , где — конечное множество параметров. Тогда = ( ) X0 . Полагая далее эти параметры безразмерными после применения П-теоремы, строго построим поочередно внутренние состояния для векторов-этало^( ) , ^ ( ) } на основе разработанного выше алгоритма. Понов : ( ) = { ( ) , нятно, что результирующие состояния в силу линейности соотношений есть ( ) = X0 ( ) . Таким образом, задача включения параметров объемных сил в полнопараметрическое представление решается эффективно. В рассматриваемом выше примере для эллипсоида ППР имеет форму (выписаны явные решения для компонент вектора перемещений) в задаче a: ( ) 0 8.734 0.034( 2 + 2 )/ 2 0.189 2 / 2 / , ( ) 0 8.734 0.034( 2 + 2 )/ 2 0.189 2 / 2 / , ( ) 0 5.918 + 0.047( 2 + 2 )/ 2 + 0.074 2 / 2 / ; в задаче b: 0 ( 4.691 0.037( 2 + 2 )/ 2 + 0.369 2 / 2 ) 0.004( 2 + 2 ) 2 / 4 0.246 4 / 4 / , 0 ( 4.691 0.037( 2 + 2 )/ 2 + 0.369 2 / 2 ) 0.004( 2 + 2 ) 2 / 4 0.246 4 / 4 / , ( 0 2.688 + 0.039( 2 + 2 )/ 2 0.173 2 / 2 + ) + 0.003( 2 + 2 ) 2 / 4 0.001 4 / 4 / . Явные выражения для вектора перемещений позволяют сформулировать все внутренние состояния в такой же форме и, при желании, записать соответствующее граничное состояние. Выводы. 1. Сформулирована и строго доказана теорема о существовании базиса сепарабельного пространства полиномиальных объемных сил. 2. Предложены конкретные алгоритмы наполнения счетного базиса пространства полиномиальных объемных сил. 3. Средствами МГС выполнено решение задачи о сплюснутом сфероиде в двух конкретных случаях относительно характера объемных сил: a) потенциальные, b) непотенциальные. 4. Обеспечено выполнение аналитического решения задачи о НДС тела, находящегося под действием суперпозиции полиномиальных сил, и выписано конкретное решение для сплюснутого сфероида.

About the authors

Viktor Borisovich Pen'kov

Lipetsk State Technical University

Email: vbpenkov@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Lyubov Vladimirovna Levina

Lipetsk State Technical University

Email: satalkina_lyubov@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Olga Sergeevna Novikova

Lipetsk State Technical University

Email: _o_l_g_a_@bk.ru
without scientific degree, no status

References

Supplementary files