The splitting of Navier–Stokes equations for a class of axisymmetric flows

Full Text

Введение. В конце двадцатого века в результате развития вычислительной техники и вычислительных методов доминирующими способами исследования течений жидкости стали численные расчеты. При этом, как свидетельствуют обзоры [1, 2], «запас» точных решений уравнений Навье—Стокса продолжал пополняться еще активнее, чем в первой половине двадцатого века [3, 4]. Это связано в первую очередь с тем, что сходимость большинства численных методов доказана только для линеаризованных уравнений (что оставляет сомнение в правильности расчетов задач с нелинейными уравнениями). Поэтому численные алгоритмы верифицируют, используя точные решения (см., например, [5]). Заметим, что единственная известная в настоящее время альтернатива верификации находится на начальной стадии развития. Речь идет о методах обнаружения ошибки в расчетах, для которых неизвестны точные решения. В таких методах [6–8] проверяются некоторые следствия уравнений Навье—Стокса, и решение признается ошибочным, если в нем нарушены эти следствия. Однако не исключено, что эти следствия окажутся выполненными на ошибочном решении, и ошибка останется незамеченной. Поэтому верификация, основанная на сравнении с точным решением, до сих пор остается актуальной. Кроме того, интерес к точным решениям связан с тем, что с их помощью можно оценивать погрешность асимптотических теорий (см. например, [9]). Точные решения также используются в теоретических исследованиях в качестве примеров течений с теми или иными свойствами. Например, в [10] приведен пример задачи, имеющей неединственное решение, а в [11, 12] — примеры течений с определенными свойствами завихренности. Таким образом, точные решения уравнений Навье—Стокса востребованы как в доминирующей в настоящее время вычислительной гидродинамике, так и в теоретической гидродинамике. Это объясняет появление новых решений [10, 11, 13–17] и после обзоров [1, 2]. В 1919 году Тркал показал, как из винтового (завихренность параллельна скорости) решения уравнения Эйлера получить нестационарное решение уравнений Навье—Стокса (способ Тркала описан, например, в [16]). Поэтому к числу новых решений уравнений Навье— Стокса, полученных в последние годы, можно отнести и новые винтовые решения уравнения Эйлера [18, 19]. Данная статья также посвящена точным решениям уравнений Навье—Стокса. В ней предлагается способ получения новых решений с использованием известных решений. В данной статье рассматривается частный случай осесимметричных течений вязкой несжимаемой жидкости — течения, в которых радиальная компонента скорости равна нулю, а остальные компоненты скорости зависят только от расстояния до оси симметрии и от времени. При этом давление может зависеть еще и от осевой координаты. Линии тока в этих течениях лежат на цилиндрах, осью которых является ось симметрии течения. Практическая значимость этих течений состоит в том, что они могут описывать движение жидкости в длинных цилиндрических трубах круглого сечения. Поэтому для краткости будем называть такие течения -течениями в цилиндре. Использование набора букв « » подчеркивает, что компоненты скорости зависят только от переменных и и что речь идет именно о вязких течениях (греческой буквой « » обычно обозначают вязкость). Самыми известными течениями в цилиндре являются (осевое) течение Пуазейля [20] и два осесимметричных окружных течения: течение между двумя вращающимися цилиндрами с непроницаемыми стенками и течение Озеена (процесс диффузии вихря) [21]. Известны и другие точные решения для -течений в цилиндре. 164 Так, например, в монографии [22] упоминаются точные решения для двух частных случаев -течений в цилиндре: для стационарного случая и для случая нулевой осевой скорости (вращение жидкости вокруг оси). В обзоре [1] можно найти точные решения для трех частных случаев -течений в цилиндре: для случая нулевой осевой скорости, для стационарного случая при нулевой окружной скорости (течение пуазейлевского типа) и отдельно для нестационарного случая при нулевой окружной скорости (результат статьи [23]). Некоторые точные решения для -течений в цилиндре можно найти в обзоре [2], в частности, окружное нестационарное течение Тейлора. В статье [11] представлено несколько -течений в цилиндре в качестве примеров течений с определенными свойствами завихренности. Наиболее широкий класс точных решений для -течений в цилиндре представлен в статье [3], в которой, по утверждению автора обзора [4], «дана сводка известных точных решений» по состоянию на 1936 год. В статье [3] сначала показано, что точное решение можно получить, если окружную и радиальную скорости вычислить по некоторым (полученным в [3]) формулам через производные по переменным и от любой функции ( , ), удовлетворяющей уравнению = / , где — оператор Лапласа. Затем получены некоторые решения этого уравнения. В результате получился достаточно широкий класс точных решений уравнений Навье—Стокса. Однако даже если найти все решения уравнения = / , то и тогда предложенный в [3] подход не позволит получить все возможные точные решения для -течений в цилиндре. Причина этого заключается в том, что исследование -течений в цилиндре в статье [3] проведено без учета их специфических особенностей — на основе формул, верных для любых осесимметричных течений. Эти формулы представляют не все решения уравнений, полученных после исключения давления из уравнений Навье—Стокса (после ротации векторного уравнения Навье—Стокса), а только некоторые из этих решений. Исключение давления приводит к уравнениям с производными компонент скорости белее высокого порядка, чем порядок этих производных в уравнениях Навье—Стокса. И «платой» за уменьшение количества неизвестных функций (исключение давления) является повышение порядка производных. В данной статье для -течений в цилиндре предлагается другой способ упрощения системы уравнений Навье—Стокса, без исключения давления, который основан на одном специфическом свойстве -течений в цилиндре. Речь идет о том, что, как будет показано ниже, скорость -течений в цилиндре представляет собой сумму скоростей двух течений вязкой несжимаемой жидкости, каждое из которых подчиняется уравнениям Навье—Стокса: осевого течения (радиальная и окружная скорости равны нулю) и окружного течения (радиальная и осевая скорости равны нулю). Это позволяет расщеплять краевые задачи для рассматриваемого типа течений, содержащие три неизвестные функции (давление, окружная и осевая скорости), на две задачи, каждая из которых содержит две неизвестные функции (давление и одна из компонент скорости). При этом сумма давлений осевого и окружного течений будет давлением исходного течения. Кроме того, ниже будет показано, что любые два -течения в цилиндре допускают сложение скоростей, и в итоге получается скорость некоторого другого -течения в цилиндре. В общем случае давление точного решения, полученного в результате такого сложения скоростей, не будет суммой исходных давлений, однако легко может быть рассчитано по полю окружной скорости путем взятия неопределенного интеграла. В итоге возможность суммирования превращает известный в на165 стоящее время запас точных решений (в том числе решений, содержащихся в перечисленной выше литературе) в такой класс точных решений для течений в цилиндре, который содержит все известные решения и значительно превышает их совокупность по разнообразию. 1. Основные обозначения и уравнения движения. Течение однородной ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье—Стокса, в которых потенциал объемных сил и давление, отнесенное к плотности, входят в виде их суммы. Это обстоятельство позволяет легко пересчитывать точные решения для течений, происходящих в отсутствие объемных сил, в точные решения для течений в потенциальных полях. Поэтому ограничимся рассмотрением течений, в которых отсутствуют объемные силы. Пусть осесимметричное течение однородной ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости происходит в отсутствие объемных сил. Введем следующие безразмерные переменные: — скорость; = rot — завихренность; — давление, отнесенное к плотности, которое ниже для краткости будем называть давлением; Re — число Рейнольдса. Движение жидкости описывается уравнениями Навье—Стокса, которые можно представить в форме ( 1 2 ) + = rot + , (1) Re 2 div = 0. (2) Пусть далее — цилиндрическая система координат с началом в точке (ось совпадает с осью симметрии течения). Обозначим через , , — правую тройку единичных векторов в радиальном, окружном и осевом направлениях соответственно. Скорость может быть представлена в виде = + + . Рассмотрим -течения в цилиндре, то есть течения, в которых 0, а компоненты скорости и зависят только от радиуса и от времени и не зависят от окружной и от осевой координат и . При этом давление может зависеть не только от и , но еще и от осевой координаты . Скорость и давление таких течений представляется в виде = ( , ) + ( , ) , = ( , , ). (3) Наряду с этим будем рассматривать еще два особых типа -течений в цилиндре: окружное и осевое. Окружное -течение в цилиндре — это течение, в котором = ( , ) . Осевое -течение в цилиндре — это течение, в котором = ( , ) (течение пуазейлевского типа). Уравнение неразрывности (2) в цилиндрической системе координат имеет вид 1 1 ( ) + + = 0. Если учесть, что 0, а и зависят только от переменных и , то получается, что как скорость = + , так и скорости = и = по отдельности удовлетворяют уравнению неразрывности (2). Поэтому ниже будем проверять только выполнение уравнения (1). И не будем всякий раз напоминать, что для -течений в цилиндре уравнение неразрывности выполняется «автоматически». 2. Расщепление уравнений Навье—Стокса. Пусть = + — скорость, а — давление некоторого -течения в цилиндре. Это значит, что 166 скорость и давление удовлетворяют уравнению (1) и представляются в виде (3). Поскольку и зависят только от переменных и , векторное уравнение (1), записанное в цилиндрической системе координат, равносильно системе из трех скалярных уравнений: 2 = , ( 1 1 ( ) ) = 0, Re 1 1 ( ) = . Re (4) (5) Для -течений в цилиндре левые части уравнений (4) и (5) не зависят от . Поэтому 2 2 = 2 = 0. Следовательно, в -течении в цилиндре давление можно представить в виде = ( , , ) = ^( , ) + ( ). (6) Возможность представить давление в виде (6) позволяет расщепить уравнение (1) на систему уравнений для окружной скорости 2 ^ = (7) 1 ( 1 ( ) ) =0 Re и на уравнение для осевой скорости 1 1 ( ) = ( ). Re (8) Уравнения (7) и (8) по отдельности описывают не какие-то особые случаи окружного и осевого движений. Система уравнений (7) описывает самый общий случай окружного движения (в классе -течений в цилиндре), а уравнение (8) — самый общий случай осевого движения. В итоге приходим к двум следующим результатам. 1. Расщепление уравнений Навье—Стокса. Скорость = + и давление = ( , , ) = ^( , ) + ( ) любого -течения в цилиндре представляются соответственно в виде суммы скоростей и давлений двух ( -течений в цилиндре жидкости: ) вязкой несжимаемой ( ) окружного = , = ^( , ) и осевого = , = ( ) . 2. Суммирование окружных и осевых решений. Сумма скоростей и давлений любого окружного и любого осевого -течений в цилиндре вязкой несжимаемой жидкости является скоростью и давлением некоторого -течения в цилиндре. (Предполагается, что речь идет об одной и той же жидкости, то есть, что в суммируемых течениях число Рейнольдса Re одинаково.) 167 Эти утверждения справедливы как для стационарных, так и для нестационарных течений. Независимо от того, стационарной или нестационарной является окружная составляющая скорости течения, осевая составляющая также может быть как стационарной, так и нестационарной. 3. Обсуждение. Утверждение о возможности суммирования осевых и окружных решений представляется достаточно очевидным. Действительно, поскольку rot имеет осевое направление, а rot — окружное направление, сумма двух уравнений Навье—Стокса ( 1 2 ) + rot = rot rot + Re 2 и ( 2 ) 1 + rot = rot rot + Re 2 с учетом равенства нулю векторного произведения коллинеарных векторов дает уравнение Навье—Стокса для суммарного течения: ( + ) + rot( + ) ( + ) = ( 1 2 2 ) . = rot rot( + ) + + + Re 2 2 Доказанное в предыдущем разделе обратное утверждение (о расщеплении) не столь очевидно, поскольку из (1) неочевидно, например, что выражение 1 + rot + rot rot Re является градиентом какой-либо функции. Поэтому для доказательства утверждения о расщеплении пришлось воспользоваться не векторной, а координатной записью уравнений Навье—Стокса. Решения уравнений Навье—Стокса для -течений в цилиндре будем называть -решениями в цилиндре. Из формул (7) и (8) следует, что допускается сложение -решений в цилиндре, в каждом из которых обе скорости и могут быть не равны тождественно нулю. При этом «осевая составляющая» давления в новом решении ( ) будет суммой «осевых составляющих» давления исходных решений. Однако «окружная составляющая» давления в новом решении ^( , ) в общем случае не будет суммой «окружных составляющих» давления исходных решений. Величина ^( , ) для нового решения вычисляется через суммарную окружную скорость = ( , ) по формуле ^( , ) = ^0 + 0 где ^0 > 0 и 0 > 0 — константы. 168 2 ( , ) · 1 , Поскольку при суммировании точных -решений в цилиндре получается (точное) выражение для суммарной окружной скорости = ( , ), приведенный выше интеграл для любого значения может быть посчитан на компьютере с любой наперед заданной точностью (ровно так, как, например, это имеет место для синуса, косинуса, экспоненты, цилиндрических функций и т.п.). В этом смысле можно говорить о том, что при суммировании точных -решений в цилиндре получается новое точное -решение в цилиндре. В итоге обнаруженная выше возможность расщепления и суммирования превращает известный в настоящее время запас точных решений в источник получения новых решений. Всякое известное -решение в цилиндре расщепляется, пополняя тем самым «запасы» осевых и окружных точных решений, суммирование которых в различных комбинациях позволяет получать новые точные решения. Заключение. В рамках уравнений Навье—Стокса рассмотрены осесимметричные течения вязкой несжимаемой жидкости, в которых радиальная компонента скорости равна нулю, а окружная и осевая компоненты скорости не зависят от окружной и осевой координат (зависят только от расстояния до оси симметрии и от времени). При этом давление может зависеть еще и от осевой координаты. Такие течения предложено назвать -течениями в цилиндре. Показано, что скорость -течения в цилиндре представляет собой сумму скоростей двух течений вязкой несжимаемой жидкости, каждое из которых подчиняется уравнениям Навье—Стокса: осевого течения (радиальная и окружная скорости равны нулю) и окружного течения (радиальная и осевая скорости равны нулю). Осевое и окружное движения происходят независимо друг от друга, не оказывая никакого взаимного влияния. Это позволяет расщеплять краевые задачи для рассматриваемого типа течений, содержащие три неизвестные функции (давление, окружная и осевая скорости), на две задачи, каждая из которых содержит две неизвестные функции (давление и одна из компонент скорости). При этом сумма давлений осевого и окружного течений будет давлением исходного течения. Полученный результат также позволяет получать новые точные решения с использованием существующего «запаса» точных решений.

About the authors

Grigory Borisovich Sizykh

Moscow Aviation Institute (State Technical University)

Email: o1o2o3@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

Supplementary files