On extension of the domain for analytical approximate solution of one class of nonlinear differential equations of the second order in a complex domain

Full Text

1. Применямый метод и принятые допущения. Хорошо известны простейшие нелинейные дифференциальные уравнения Риккати, Абеля, Пенлеве, имеющие широкое применение в разных областях [1–5]. Частный случай нелинейного дифференциального уравнения второго порядка является основой математической модели консольных конструкций [6, 7]. Особенностью перечисленных уравнений является наличие подвижных особых точек, классифицированных Фуксом [8]. Теоретическое обоснование метода аналитического приближенного решения перечисленных дифференциальных уравнений Риккати, Абеля, Пенлеве даны в работах [9–11]. Предложенный в перечисленных работах приближенный метод успешно применяется и для других нелинейных дифференциальных уравнений [12, 13]. 2. Результаты. Рассматривается класс нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальной правой частью пятой степени: ( ) = 0 ( ) 5 ( ) + 1 ( ) 4 ( ) + 2 ( ) 3 ( ) + 3 ( ) 2 ( ) + 4 ( ) ( ) + 5 ( ), где — аналитические функции в рассматриваемой области, = 0, 1, . . . , 5. Замена переменной ( ) 1 ( ) , ( ) = v 4 5 0 0 где 0 = const = 0, приводит исследуемое уравнение к нормальной форме: ( ) = 5 ( ) + ( ), где ( ) = v 51 1 ( ) 4 v v , + ( ) + 0 5 55 4 15 5 4 30 0 3 ( ) = 2 31 ( ) , 52 20 4 ( ) = 2 ( ) = 2 21 ( ) , 5 0 41 ( ) . 53 30 Для задачи Коши ( ) = 5 ( ) + ( ), ( 0 ) = 0 , ( 0 ) = 1 (1) (2) 175 в случае точного значения подвижной особой точки [14] была доказана теорема существования, получено приближенное решение в окрестности подвижной особой точки * в виде * ( ) = ( ) 21 ( * ) 2 , 0 = 0, =0 а также была получена структура приближенного решения 1 ( ) = ( * ) 2 ( * ) 2 , 0 = 0, (3) =0 при этом 1 = 2 = 3 = 4 = 0, а 6 = , где — параметр, играющий роль стыковки двух видов решений на границе некоторой окрестности подвижной особой точки * — конечной суммы регулярного ряда и ряда (3). Этот параметр неявным образом связан с начальным условием (2) задачи Коши (1), (2). Так как существующие методы нахождения подвижной особой точки позволяют находить последнюю лишь приближенно, то возмущение подвижной особой точки отражается на аналитическом приближенном решении (3), в результате чего имеем 1 ( ) = ( * ) 2 ( * ) 2 , 0 = 0, (4) =0 где — возмущенные значения коэффициентов. Было проведено исследование аналитического приближенного решения (4) в области | | < | * | 6 | * |, когда в комплексной плоскости движение по лучу, исходящему из начала координат, проходит в направлении от начала координат. При движении по лучу в направлении к началу координат получаем область | | > | * | > | * |. Выражения (3) и (4) соответственно будут иметь вид * 12 ( ) = ( ) ( * ) 2 , 0 = 0, ( * ) 2 , 0 = 0. =0 и 1 ( ) = ( * ) 2 (5) =0 В этой ситуации полученные результаты будут справедливы и в вещественной области как в частном случае. Теорема. Пусть * — подвижная особая точка ( ) задачи (1), (2) и выполняются следующие условия: 1) ( ) 1 в области = { : | * | < 1 }, 1 = const > 0; 2) : | ( ) ( * )|/ ! 6 , = const, = 0, 1, 2, . . . ; * * 3) | | 6 | |; 4) известны оценки погрешности * и : | * * | 6 * , | | 6 ; 176 v 5) * < 1/(4 5 ( + 1)2 ). Тогда аналитическое приближенное решение (5) задачи (1), (2) в областях { : | * | < | | < | * | + * } { : | * | < 4 }, * * { : | | > | | + } { : | * | < 4 } (6) (7) будет иметь погрешность ( ) 6 0 + 1 + 2 + 3 , где * 0 = | * | 1 = 2 ( + 1)[ 5] | * | 1 2 5 v 4 3 , 4 4 2 ( + 1)[ 5] | * | 2 , ( + + 2)( + 6) 1 25 ( + 1)| * | 2 =0 ) 3 ( 4 4 1 25 * ( + 1) 2 2 1 2 2 2 = 2 ( + 1) + 2 2 ( + 1) , 1 210 ( + 1)2 5 =0 =0 ( 4 ) 4 1 27 2 3 1 3 2 2 2 + 2(2 ) 2 , 3 = 1 215 2 5 =0 4 = min{ 1 , 2 , 3 }, =0 1 (из [14]), 2 = v 5 4 ( + 1)2 3 = 1 , 8( + + 1)2 { | * |, (6), + 1, = 0, 1, 2, 3, 4, = + + 1, = *, (7), 8 + 1, = 5, 6, 7, 8, { { { | ( ) ( * )| } 0, = 0, 1, 0, = 0, 1, 2, = max | |, sup 2 = 1 = , 1, = 3, 4, 1, = 2, 3, 4, ! { = } { | ( +1) ( )| * , * , , = max sup ! , = { : | * | 6 * }, = 0, 1, 2, . . . ; — параметр, зависящий от условий (2). Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании классического подхода в оценке получаем ( ) = | ( ) ( )| 6 | ( ) ( )| + | ( ) ( )|. Вначале рассмотрим | ( ) ( )|: * 1 * 1 6 2 2 | ( ) ( )| 6 ( ) ( ) =0 =0 1 * 1 2 6 ( ) ( * ) 2 + =0 =0 177 + 1 ( * ) 2 + =0 =0 * 1 6 2 ( ) ( ) * 1 * 1 * 1 6 2 2 2 6 ( ) ( ) ( ) + 6 =0 =0 1 1 * * 1 2 ) | | ( * ) 2 ( * ) 2 . (| | + + =0 =0 Затем рассмотрим 1 1 | | ( * ) 2 ( * ) 2 . =0 Принимая во внимание условие | * | 6 | * | < | | и | 0 | = | 0 | = = 0, имеем v * 1 1 4 3 * * . | 0 | ( ) 2 ( ) 2 6 * | | 4 v 4 3/4 при Учитывая, как выше было отмечено, что [14] | 1 | = | 1 | = | 2 | = | 2 | = | 3 | = | 3 | = | 4 | = | 4 | = 0, получаем * | ( ) ( )| 6 | * | v 4 3 * 1 * 1 2 2 + | | ( ) ( ) + 4 =5 ( ) 1 * 2 . + ( * ) + =5 Для = 5, 6, 7, . . . упростим выражение: ( ) 1 1 1 1 * 2 ( * ) 2 6 ( * ) 2 ( * ) 2 6 ( * ) + ) 2 * ( 6 ( * ) + * 2 . Тогда для оценки приближенного решения (5) получаем * | ( ) ( )| 6 | * | + =5 178 v 4 1 3 + | || * | 2 + 4 = +1 ) 2 * ( | | ( * ) + * 2 + + ( ) 1 | | ( * ) + * 2 = 0 + 1 + 2 + 3 , =5 где | | = . Из последнего следует v * 4 3 0 = . | * | 4 Выражение для 1 следует из теоремы 2 работы [14]. Проведем оценку для 2 . Учитывая структуру ряда (5), проведем суммирование целых и дробных степеней раздельно при условии, что * 6 | * |: 2 = ) 2 * ( * 2 = | | ( * ) + =5 = ) 2 3 * ( * * 2 | 2 1 | ( ) + + =3 + ) * ( * * 1 | 2 | ( ) + = 2,1 + 2,2 . =3 Принимая во внимание закономерность оценок коэффициентов [14]: | 5 | 6 25 ( + 1) , (5 + 2)(5 6) | 5 +2 | 6 25 +2 ( + 1) , (5 + 4)(5 4) | 5 +4 | 6 | 5 +1 | 6 25 +1 ( + 1) , (5 + 3)(5 5) | 5 +3 | 6 25 +3 ( + 1) , (5 + 5)(5 3) 25 +4 ( + 1) , (5 + 6)(5 2) получаем для 2,1 : 2,1 = ) 2 3 * ( | 2 1 | ( * ) + * 2 = =3 = ) 10 7 * ( | 10 5 | ( * ) + * 2 + =1 + ) 10 5 * ( | 10 3 | ( * ) + * 2 + =1 + ) 10 3 * ( * * 2 | 10 1 | ( ) + + =1 + ) 10 1 * ( | 10 +1 | ( * ) + * 2 + =1 179 + = ) 10 +1 * ( | 10 +3 | ( * ) + * 2 = =1 4 ) 10 7+2 * ( 2 | 10 5+2 | ( * ) + * 6 =0 =1 3 4 25 * ( + 1)| * | 2 2 6 2 ( + 1) | * | 1 210 ( + 1)2 | * |5 =0 v при условии | * | < 2 , 2 = 1/(4 5 ( + 1)2 ) из [14]. Аналогичным образом получаем оценку для 2,2 : 2,2 4 25 * ( + 1)| * |2 2 6 2 ( + 1) | * | . 1 210 ( + 1)2 | * |5 =0 Рассмотрим случай | * | < * , тогда 2,1 5 4 25 ( + 1)( * ) 2 2 2 ( + 1) ( * ) . 6 1 210 ( + 1)2 ( * )5 =0 И для 2,2 получим соответственно оценку 2,2 4 25 ( + 1)( * )3 2 6 2 ( + 1) ( * ) . 1 210 ( + 1)2 ( * )5 =0 Перейдем к оценке 3 . Из гипотез оценок для : 5 6 5 +2 6 25 ( + + 1) , (5 + 2)(5 6) 5 +1 6 25 +1 ( + + 1) , (5 + 3)(5 4) 25 +2 ( + + 1) 25 +3 ( + + 1) , 5 +3 6 , (5 + 4)(5 4) (5 + 5)(5 3) 5 +4 6 25 +4 ( + + 1) , (5 + 6)(5 2) где { | ( ) ( * )| } = max | |, sup , ! { } | ( +1) ( )| * = max sup , * , , ! , = { : | * | 6 * }, = 0, 1, 2, . . . . Докажем оценку для 5 в случае + 1 = 5(2 + 1): 10 +5 = | 10 +5 10 +5 | 6 180 1 (10 + 7)(10 1) ( 10 +3 ( 10 +3 ) ( ) ) 10 +3 10 +3 + 10 +3 =0 =0 =0 =0 ( 10 +3 ( 10 +3 ) ( ) ) 10 +3 10 +3 = 10 +3 =0 =0 =0 =0 1 = (10 + 7)(10 1) ( 10 +3 ( 10 +3 ) 10 +3 ( 10 +3 + 10 +3 )( + ) =0 =0 =0 ( ) ) ( + ) ( + )( + ) =0 ( 10 +3 ( 10 +3 ) ) ) ( 10 +3 . 10 +3 =0 =0 =0 =0 Выполнив в последнем соотношении ряд преобразований, с учетом оценок для коэффициентов , полученных в работе [14], и предполагаемых оценок для в конечном итоге получаем 10 +5 6 210 +5 ( + + 1)2 +1 . |(10 + 7)(10 1)| Аналогичные выражения получим и в случаях + 1 = 5 + 1, + 1 = 5 + 2, +1 = 5 +3 и +1 = 5 +4. Таким образом, убеждаемся в справедливости оценки +1 2 +1 ( + + 1)[ 5] +1 6 . ( + 3)( 5) В выражении 3 повторим суммирование по целым и дробным степеням: 3 = = ( ) 1 | | ( * ) + * 2 = =5 2 1 |( * ) + * | 1 + =3 2 |( * ) + *| 2 1 2 = =3 = + 4 =0 =1 4 10 5+2 |( * ) + * |5 3+ + 10 4+2 |( * ) + *| 10 5+2 2 6 =0 =1 10 5+2 4 210 5+2 ( + + 1)[ 5] 6 |( * ) + * |5 3+ + (10 3 + 2 )(10 11 + 2 ) =0 =1 181 10 4+2 4 10 5+2 210 4+2 ( + + 1)[ 5] + |( * ) + *| 2 = (10 2 + 2 )(10 10 + 2 ) =0 =1 ( 10 5+2 4 210 ( + + 1)[ 5] 2 5 = 2 |( * ) + * |5 3+ + (10 3 + 2 )(10 11 + 2 ) =0 =1 ) 10 4+2 10 +1 2 ( + + 1)[ 5] * * 10 5+2 |( ) + | 2 6 + (10 2 + 2 )(10 10 + 2 ) =1 ( 4 ) 4 1 27 2 3 1 3 2 2 6 2 + 2(2 ) 2 , 1 215 2 5 =0 =0 где { = { 1 = | * |, (6), *, (7), 0, = 0, 1, 2, 1, = 3, 4, = + + 1, { 2 = 0, = 0, 1, 1, = 2, 3, 4. Оценка для выражения 3 справедлива в области | * | < 3 , 3 = 1/[8( + + + 1)2 ]. В ходе преобразований при получении оценки для погрешности приближенного решения (5) получаем области { : | | > | * | + * } { : | * | < 4 }, { : | * | < | | 6 | * | + * } { : | * | < 4 }, при этом | * * | 6 * и 4 = min{ 1 , 2 , 3 }. Следствие. Теорема справедлива в вещественной области, если комплексную переменную заменить на вещественную переменную . В п. 1 изменение на ( ) , в п. 3 — на * < * . Область (6) будет иметь вид * * * * * < < + , а (7) — + < < * + 4 . 3. Пример. Найдем приближенное решение задачи (1), (2) в окрестности подвижной особой точки * в случае ( ) = 0 при начальных данных ( 1 1 ) ( 1 1 ) 2 2 + = 1 + , + = v + v . 2 2 2 2 3 3 Величина возмущения не превышает = 0.5 · 10 5 и = = 0, = 0, так как в нашем случае точное решение совпадает по структуре с приближенным. Точное решение v 3 v ) . = ( 2 1 1 + 23 Найдем радиус окрестности подвижной особой точки: 4 0.1247503745. Точное значение подвижной особой точки v 1 2+ 3 * = + , * = 0.000003, * = 0.5000021213 + 0.9330148232 . 2 4 182 Выберем значение аргумента = 0.5848549351 + 1.0178676370 | * | < 4 . Применяя (5), = 9, вычислим приближенное значение решения при заданном значении аргумента: 9 9 1 = = = = = = 0.5848549351 + 1.0178676370 ; 2.4819018915 1.0280374240 ; 2.4819310056 1.0280456659 ; 3.0258 · 10 5 ; 0.001366; 0.00005. Здесь — значение точного решения; 9 — приближенное решение (5); — абсолютная погрешность приближенного решения 9 ; 9 — оценка погрешности приближенного решения, полученная по теореме; 1 — апостериорная оценка погрешности. Решением обратной задачи теории погрешности для = 5 · 10 5 получаем = 19, но с учетом того, что для номеров = 10, 11, . . . , 19 коэффициенты = 0, в структуре приближенного решения можем ограничиться значением = 9, при котором приближенное решение будет иметь погрешность = 5 · 10 5 . Выводы. В статье сформулирована и доказана теорема, отражающая влияние возмущения подвижной особой точки на приближенное решение одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в окрестности подвижной особой точки в комплексной области, определяемой соотношениями (6) и (7) при направлении движения по лучу к началу координат. Теорема справедлива и в вещественной области при соответствующих изменениях, указанных в следствии. Для оптимизации структуры приближенного решения была использована апостериорная оценка погрешности. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имеем.

About the authors

Victor Nikolaevich Orlov

Moscow State University of Civil Engineering

Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

Tatyana Yuryevna Leontieva

References

Supplementary files