Течение Куэтта горячего вязкого газа

Полный текст

\Section[n]{Введение} Одним из первых точных решений, описывающих течения вязкой жидкости, было решение задачи о~движении вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными пластинами, движущимися в~своих плоскостях с~разными скоростями (течение Куэтта [1]). Уравнения движения вязкого (сжимаемого) газа значительно сложней уравнений Навье--~Стокса для вязкой несжимаемой жидкости [2–5]. Поэтому первое точное решение [6] для течения Куэтта вязкого газа удалось получить только при двух упрощающих предположениях. Во-первых, предполагалась линейная связь между коэффициентами вязкости $\mu$ и теплопроводности $\lambda$. Во-вторых, для коэффициента вязкости была принята степенная зависимость от температуры: \begin{equation} \label{kho:new:1} \mu=\mu _0(T/T_0)^n, \end{equation} где $n=0.76$. Позже было получено точное решение [7], в~котором оба предположения оставались в~силе, но показатель степени $n$ мог быть равен любому числу от $0.5$ до $1$. Однако более близкой к реальности является не степенная зависимость \eqref{kho:new:1}, а формула Сазерленда [2–4]: \begin{equation} \label{kho:eq1} \mu=\mu^*\Bigl(\frac{T}{T^*}\Bigr)^{3/2}\frac{T^*+T_S}{T+T_S}, \end{equation} где для воздуха $T^*=273$~K, $T_S=111$~K, $\mu^*=1.715\cdot10^{-5}$~кг/(м${}\cdot{}$с). Сравнение с экспериментальными данными, приведенными в таблицах [8], показывает, что точность этой формулы не хуже 2\,{\%} для диапазона температур 170--1900~K при давлении менее 10~атм (предполагалось, что воздух сухой и~в~нем отсутствует диссоциация). Недавно в~статье [9] получено точное решение для течения Куэтта вязкого газа с использованием для вычисления $\mu$ более точной (по сравнению со степенной зависимостью) формулы Сазерленда \eqref{kho:eq1}. Однако в~[9] осталось в~силе предположение о~линейной связи между коэффициентами вязкости и~теплопроводности. Это предположение считается общепринятым [3, 5] и~используется до сих пор для различных течений вязкого газа (не только для течения Куэтта) как в~теоретических исследованиях [10, 11], так и~в~численных расчетах [12–15]. Однако в~недавней статье [16] на основе экспериментальных данных [8] было показано, что отношение $\lambda/\mu$ для воздуха не постоянно и меняется на 3.5\,{\%} только в~диапазоне $275{\rm~K}\le T\le 375~\rm K$, а вне этого диапазона отношение $\lambda/\mu$ меняется еще больше. Следовательно, использование линейной связи коэффициентов $\lambda$ и $\mu$ приводит к ошибке вычисления $\lambda$, превосходящей ошибку вычисления $\mu$ по формуле Сазерленда (2\,{\%}). Таким образом, в решении [9] точность вычисления $\lambda$ была хуже точности вычисления $\mu$. В~данной статье предпринята попытка улучшить результат [9] путем использования для вычисления $\lambda$ более точной формулы, ошибка которой не превышает 2\,{\%}. В~настоящее время известны две такие формулы. Одна формула имеет точность 2\,{\%} для температур $T<1000$~K. Она предложена в монографии [4] и имеет вид \begin{equation} \label{kho:eq2} \lambda=\lambda^*\Bigl(\frac{T}{T^*}\Bigr)^{3/2}\frac{T^*+T_\lambda}{T+T_\lambda}, \end{equation} где для воздуха $T^*= 273~{\rm K}$, $T_\lambda=194~{\rm K}$, $\lambda^*=2.412\cdot10^{-2}$~Вт/(м${}\cdot{}$K). Другая формула \begin{equation} \label{kho:eq3} \lambda=\beta\frac{T-T_S}{\sqrt T}, \end{equation} где для сухого воздуха $\beta=0.2415\cdot10^{-2}$~Вт/(м${}\cdot{}$K$^{3/2}$), предложена в~[16] и~имеет точность 2\,{\%} для горячего ($800~{\rm K}\le T\le 1500~\rm K$) вязкого газа. Использование \eqref{kho:eq2} привело авторов данной статьи к дифференциальному уравнению, точное решение которого получить не удалось. Точное решение, которое приведено ниже, удалось получить с помощью формулы \eqref{kho:eq3}. Таким образом, данная статья посвящена получению точного решения для течения Куэтта вязкого газа с~использованием формул \eqref{kho:eq1} и \eqref{kho:eq3}, имеющих точность 2\,{\%} для горячего ($800~{\rm K}\le T\le 1500~\rm K$) газа. Новизна исследования состоит в использовании для вычисления $\lambda $ более точной формулы \eqref{kho:eq3} вместо предположения о~линейной связи $\lambda$ и $\mu$. \smallskip \Section{Постановка задачи} Рассмотрим стационарное плоское сдвиговое течение совершенного вязкого газа между двумя движущимися в своих плоскостях параллельными пластинами, расположенными горизонтально на расстоянии $H$ друг от друга (аналог несжимаемого течения Куэтта). Введем прямоугольную декартову систему координат $Oxy$, в которой ось $Ox$ направлена вдоль нижней пластины, а ось $Oy$ перпендикулярна пластинам. Будем считать, что нижняя пластина неподвижна, а верхняя пластина перемещается со скоростью $u_1 $ (рис.~\ref{kho:fig1}). Обозначим: $u$ --- скорость одномерного течения вдоль оси $x$, $\rho$ --- плотность, $T$ --- температура, $\mu=\mu(T)$, $\lambda=\lambda(T)$ --- коэффициенты динамической вязкости и теплопроводности газа, определяемые формулами \eqref{kho:eq1} и \eqref{kho:eq3} соответственно. \begin{figure}[h!] %\vspace{-3mm} \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{kho_1} \caption{Сдвиговое течение газа между неподвижной (нижней) и движущейся (верхней) пластинами \label{kho:fig1} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{kho:fig1}. Shear gas flow between the stationary (bottom) and moving (top) plates] \end{figure} Течение вязкого газа описывается уравнением неразрывности, уравнением импульсов и уравнением баланса энергии [3, 4]. Давление, плотность и~температура совершенного газа связаны уравнением состояния Менделеева--~Клапейрона. Будем считать, что движение газа вызвано только силами вязкости за счет перемещения верхней пластины, а продольный градиент давления отсутствует, т.~е. давление постоянно $p=p_0={\rm const}$. В рассматриваемой одномерной задаче скорость, плотность, температура и давление зависят только от координаты $y$. Поэтому уравнение неразрывности выполняется тождественно. Остальные уравнения движения газа приводят \mbox{к следующей системе:} \begin{gather} \label{kho:eq4} (\mu u'_y)'_y=0, \label{kho:eq5} (\lambda T'_y)'_y+\mu(u'_y)^2=0, \label{kho:eq6} p=R\rho T=p_0>0. \end{gather} Здесь и далее нижними индексами <<$_0$>> и <<$_1$>> обозначаются значения величин на поверхности нижней ($y=0$) и верхней ($y=H$) пластин соответственно. $R$ --- отношение универсальной газовой постоянной к молярной массе. Задача состоит в нахождении решения $u$, $\rho$ и $T$ системы \eqref{kho:eq1}, \eqref{kho:eq3}--\eqref{kho:eq6} при заданных значениях $u_1$, $\rho_0$ и $T_0$. Как сказано во введении, эта задача отличается от задачи, решенной в [9], формулой для коэффициента теплопроводности. В [9] использована линейная зависимость: $\lambda(T)=\mu(T)\lambda_0/\mu_0$, а в данной работе --- формула \eqref{kho:eq3}. \smallskip \Section{Точное решение} Из \eqref{kho:eq4} следует, что напряжение трения $\tau=\mu u'_y$ одинаково во всех точках течения, то есть $\mu u'_y=\tau_0$. Возьмем в качестве характерных значений плотности, вязкости, теплопроводности и температуры их значения при $y=0$, в качестве характерного значения скорости --- скорость верхней пластины $u_1$, а в качестве характерной длины --- расстояние между пластинами $H$. Перейдем к безразмерным переменным: $\overline{\rho}=\rho/\rho_0$, $\overline{\mu}=\mu/\mu_0$, $\overline{\lambda}=\lambda/\lambda_0$, $\overline{T}=T/T_0$, $\overline{T}_S={T_S}/T_0$, $\overline{u}=u/u_1$, $\overline{y}=y/H$, где $\mu_0$ и $\lambda_0$ вычислены по формулам \eqref{kho:eq1} и \eqref{kho:eq3} для $T= T_0$. Тогда для безразмерных коэффициентов вязкости и теплопроводности имеем \begin{equation} \label{kho:eq7} \overline{\mu}=\overline{T}\,^{3/2}\frac{1+\overline{T}_S}{\overline{T}+\overline{T}_S} \quad \text{ и } \quad \overline{\lambda}=\frac{\overline{T}-\overline{T}_S}{(1-\overline{T}_S)\sqrt{\overline{T}}}. \end{equation} Введем вместо координаты $\overline{y}$ новую безразмерную переменную $\eta$, выполняя преобразование $$\eta=\int_0^{\overline{y}}{\frac{d\xi}{\overline{T}(\xi)}},$$ предложенное в [16]. В~рассматриваемом случае (постоянное давление) это преобразование совпадает с преобразованием Дородницына [5]. Тогда $$\dfrac{d}{d\overline{y}}=\dfrac{1}{\overline{T}}\frac{d}{d\eta},$$ и уравнения \eqref{kho:eq4}, \eqref{kho:eq5} примут вид (далее всюду штрих будет обозначать дифференцирование по новой безразмерной координате $\eta$) \begin{gather} \label{kho:eq8} {\overline{u}}\,'=\frac{\tau_0 H}{u_1\mu_0}\frac{\overline{T}}{\overline{\mu}}, \Bigl(\frac{\overline{\lambda}}{\overline{T}}\overline{T}\,'\Bigr)'+\frac{\mu_0u_1^2}{\lambda_0T_0}\frac{\overline{\mu}}{\overline{T}}(u')^2=0. \end{gather} С помощью \eqref{kho:eq8} исключим $\overline{u}\,'$ из последнего уравнения: \begin{equation} \label{kho:eq9} \Bigl(\frac{\overline{\lambda}}{\overline{T}}\overline{T}\,'\Bigr)'+\frac{\tau_0^2H^2}{\mu_0\lambda_0T_0}\frac{\overline{T}}{\overline{\mu}}=0. \end{equation} Подстановка выражений \eqref{kho:eq7} в формулу \eqref{kho:eq9} дает \begin{equation} \label{kho:eq10} \Bigl(\frac{\overline{T}-\overline{T}_S}{\sqrt{\overline{T}}}\frac{1}{\overline{T}}\overline{T} \,' \Bigr)'+2\frac{\overline{T}+\overline{T}_S}{\sqrt{\overline{T}}}B^2=0, \end{equation} где $B=\tau_0H\Big/\sqrt{2(1+\overline{T}_S)\mu_0\beta T_0\sqrt{T_0}}$. Уравнение \eqref{kho:eq10} нелинейно относительно $\overline{T}=\overline{T}(\eta)$. Однако замена \begin{equation} \label{kho:eq11} f(\eta)=\frac{\overline{T}(\eta)+\overline{T}_S}{\sqrt{\overline{T}(\eta)}} \end{equation} сводит его к уравнению колебаний \begin{equation} \label{kho:eq12} f''+B^2f=0. \end{equation} Поэтому функция $f(\eta)$ представляется в виде $f(\eta)=A\cos(B\eta+\varphi)$, где $A>0$ и $\varphi\in(-\pi,\pi]$ --- некоторые константы, которые будут определены ниже. Из условия $\overline{T}(0)=1$ и из уравнения \eqref{kho:eq11} вытекает связь констант $A$ и $\varphi$: \begin{equation} \label{kho:eq13} A\cos\varphi=1+\overline{T}_S . \end{equation} Искомая зависимость $\overline{T}(\eta)$ выражается через функцию $f(\eta)$ из уравнения \eqref{kho:eq11}, которое имеет два решения: $$ \sqrt{\overline{T}(\eta)}=0.5\Bigl(f(\eta)\pm\sqrt{f^2(\eta)-4\overline{T}_S}\Bigr).$$ Однако условию $\overline{T}(0)=1$ с учетом \eqref{kho:eq13} удовлетворяет только одно из них (при $T_0>T_S=111 ~{\rm K}$): \begin{multline} \label{kho:eq14} \sqrt{\overline{T}(\eta)}=0.5\Bigl(f(\eta)+\sqrt{f^2(\eta)-4\overline{T}_S}\Bigr)= =0.5\Bigl(A\cos(B\eta+\varphi)+\sqrt{A^2\cos^2(B\eta+\varphi)-4\overline{T}_S}\Bigr), \end{multline} т.е. \begin{equation} \label{kho:eq15} \overline{T}(\eta)=0.25A^2\Bigl(\cos(B\eta+\varphi)+\sqrt{\cos^2(B\eta+\varphi)-4\overline{T}_S/A^2}\Bigr)^2. \end{equation} Из уравнения состояния \eqref{kho:eq6} --- $$ \overline{\rho}(\eta)=1/\overline{T}(\eta). $$ При заданном распределении температуры $\overline{T}(\eta)$ плотность определяется по формуле \eqref{kho:eq6}, а координата $\overline{y}$ --- как интеграл с переменным верхним пределом: \begin{equation} \label{kho:eq16} \overline{y}(\eta)=\int_0^\eta{\overline{T}(\xi)d\xi}=Y(\eta)-Y(0), \end{equation} где для точного решения существенно, что этот интеграл берется и первообразная $Y$ имеет явную форму: \begin{multline*} Y(\eta)=0.25A^2B^{-1} \Bigl(\cos(B\eta+\varphi)+\sqrt{\cos^2(B\eta+\varphi)-\alpha^2}\Bigr)\sin(B\eta+\varphi) + +0.25A^2B^{-1}(1-\alpha^2)\Bigl((B\eta+\varphi)+\arcsin\Bigl(\frac{\sin(B\eta+\varphi)}{\sqrt{1-\alpha^2}}\Bigr)\Bigr), \quad \alpha^2=4\overline{T}_S/A^2. \end{multline*} Поскольку рассматривается только такой диапазон изменения координаты $\eta$, в котором температура $T>0$, формула \eqref{kho:eq16} всегда задает взаимно однозначное соответствие координат $\eta$ и $\overline{y}$. Из \eqref{kho:eq8} следует, что скорость $\overline{u}$ определяется как интеграл с переменным верхним пределом: \begin{equation} \label{kho:eq17} \overline{u}(\eta)=\frac{\tau_0H}{u_1\mu_0}\int_0^\eta{\frac{\overline{T}(\xi)}{\overline{\mu}(\xi)}d\xi}. \end{equation} Подынтегральное выражение, согласно \eqref{kho:eq9}, имеет представление $$\frac{\overline{T}}{\overline{\mu}}=-\frac{\mu_0\lambda_0T_0}{\tau_0^2H^2} \Bigl(\frac{\overline{\lambda}}{\overline{T}}\overline{T}\,'\Bigr)'.$$ Поэтому \begin{equation} \label{kho:eq18} \overline{u}(\eta)=-\frac{\lambda_0T_0}{u_1\tau_0H} \int_0^\eta \Bigl(\frac{\overline{\lambda}}{\overline{T}}\overline{T}\,'\Bigr)'d\xi= -\frac{\lambda_0T_0}{u_1\tau_0H} \Bigl(\frac{\overline{\lambda}}{\overline{T}}\overline{T}\,'\Bigr)\Big|_0^\eta. \end{equation} Далее рассмотрим случай теплоизолированной верхней (подвижной) пластины. Это значит, что $\overline{T}\,'(\eta_1)=0$, где $\eta_1$ --- значение координаты $\eta$ на верхней пластине. Дифференцируя \eqref{kho:eq15}, получим \begin{equation} \label{kho:eq19} \overline{T}\,'(\eta)=-\frac{2B\overline{T}(\eta)}{\sqrt{\cos^2(B\eta+\varphi)-\alpha^2}}\sin(B\eta+\varphi). \end{equation} Поэтому равенство $\overline{T}\,'(\eta_1)=0$ означает, что \begin{equation} \label{kho:eq20} \sin(B\eta_1+\varphi)=0. \end{equation} На верхней пластине $\overline{u}(\eta_1)=1$, и уравнение \eqref{kho:eq18} для теплоизолированной верхней пластины после применения \eqref{kho:eq19} дает $$ 1=-\frac{\lambda_0T_0}{u_1\tau_0H} \Bigl(\frac{\overline{\lambda}}{\overline{T}}\overline{T}\,'\Bigr)\Big|_0^{\eta_1}= 0+\frac{\lambda_0T_0}{u_1\tau_0H}\frac{\overline{\lambda}(0)}{\overline{T}(0)}\overline{T}\,'(0)=-\frac{\lambda_0T_0}{u_1\tau_0H}\frac{2B}{\sqrt{\cos^2\varphi-\alpha^2}}\sin\varphi. $$ Поскольку из \eqref{kho:eq13} следует \begin{multline*} \sqrt{\cos^2\varphi-\alpha^2}=\sqrt{\cos^2\varphi-4\overline{T}_S/A^2}=\cos\varphi\sqrt{1-4\overline{T}_S/(1+\overline{T}_S)^2}= =\cos\varphi(1-\overline{T}_S)/(1+\overline{T}_S), \end{multline*} имеем $$1=-\frac{\lambda_0T_0}{u_1\tau_0H}\frac{2B(1+\overline{T}_S)\sin\varphi}{(1-\overline{T}_S)\cos\varphi},$$ что позволяет явно выразить $\varphi$ через параметры задачи: \begin{multline} \label{kho:eq21} \tg\varphi=-\frac{u_1}{2\lambda_0T_0}\frac{(1-\overline{T}_S)}{(1+\overline{T}_S)} \Bigl(\frac{\tau_0H}{B}\Bigr)= =-\frac{u_1}{2\lambda_0T_0}\frac{(1-\overline{T}_S)}{(1+\overline{T}_S)}\sqrt{2(1+\overline{T}_S)\mu_0\beta T_0\sqrt{T_0}}= =-\frac{u_1(1-\overline{T}_S)}{\lambda_0\sqrt[4]{T_0}}\sqrt{\frac{\mu_0\beta}{2(1+\overline{T}_S)}}. \end{multline} После этого константы $A>0$ и $\alpha^2=4\overline{T}_S/A^2$ определяются формулой \eqref{kho:eq13}. Для окончательного решения задачи осталось определить константу $B$. Поскольку $\sqrt{\overline{T}(\eta)}>0$ и $A>0$, из \eqref{kho:eq14} заключаем, что $\cos(B\eta+\varphi)>|\alpha|$ при всех $\eta\in[0,\eta_1]$. В частности, при $\eta=0$ имеем $\cos\varphi>|\alpha|$. Вместе с~условием $\varphi\in(-\pi,\pi]$ это означает, что $\varphi\in(-\pi/2,\pi/2]$, и, следовательно, $(B\eta+\varphi)\in(-\pi/2,\pi/2]$ при всех $\eta\in[0,\eta_1]$. Поэтому из \eqref{kho:eq20} следует, что \begin{equation} \label{kho:eq22} B\eta_1+\varphi=0. \end{equation} Учитывая \eqref{kho:eq22} и \eqref{kho:eq13}, из \eqref{kho:eq16} и из условия $\overline{y}(\eta_1)=1$ получим \begin{multline*} 1=Y(\eta_1)-Y(0)=0-Y(0)= =-0.25A^2B^{-1}\bigl(\cos\varphi+\sqrt{\cos^2\varphi-\alpha^2}\bigr)\sin\varphi- -0.25A^2B^{-1}(1-\alpha^2)\Bigl(\varphi+\arcsin\Bigl(\frac{\sin\varphi}{\sqrt{1-\alpha^2}}\Bigr)\Bigr)= =-0.5AB^{-1}\sin\varphi-0.25A^2B^{-1}(1-\alpha^2) \Bigl(\varphi+\arcsin\Bigl(\frac{\sin\varphi}{\sqrt{1-\alpha^2}}\Bigr)\Bigr). \end{multline*} Отсюда получается явное выражение для константы $B$ через другие константы, найденные ранее: $$ B=-0.5A\sin\varphi-0.25A^2(1-\alpha^2) \Bigl(\varphi+\arcsin\Bigl(\frac{\sin\varphi}{\sqrt{1-\alpha^2}}\Bigr)\Bigr). $$ Таким образом, приходим к следующему результату. Для любых положительных значений скорости верхней пластины $u_1$, расстояния между пластинами $H$, значений вязкости $\mu_0$ и теплопроводности $\lambda_0$ на нижней пластине, относительной температуры Сазерленда $\overline{T}_S$ и значений температуры нижней пластины $T_0$ из заданного диапазона $800~{\rm K}\le T\le1500\rm~K$ формулы \eqref{kho:eq15} и \eqref{kho:eq18} дают точное решение уравнений движения вязкого сжимаемого газа в~зависимости от переменной $\eta$. Переход к~исходной переменной $\overline{y}$ осуществляется по формуле \eqref{kho:eq16}. Это решение описывает вязкое сжимаемое течение Куэтта между нижней неподвижной пластиной и~параллельной ей верхней пластиной, движущейся со скоростью $u_1$, для общего случая, когда коэффициент вязкости и~температура связаны формулой Сазерленда \eqref{kho:eq1}, коэффициент теплопроводности и~температура связаны формулой \eqref{kho:eq3}, а~верхняя подвижная пластина теплоизолирована. В связи со сложностью полученных формул для демонстрации свойств решения в следующих разделах будут приведены профили безразмерных скорости, температуры и напряжения трения $u$, $T$ и $\tau$. \smallskip \Section{Профили скорости и температуры} На рис. \ref{kho:fig2} представлена функция зависимости безразмерного значения температуры $\overline{T}$ от безразмерного значения поперечной координаты $\overline{y}$ при различных значениях параметров $T_0$ и $u_1$. Как можно видеть из графика, при увеличении скорости верхней пластины $u_1$ температура верхней (теплоизолированной) пластины $\overline{T}\vert_{\overline{y}=1}$ возрастает. Однако при постоянном значении $u_1$ чем выше значение температуры нижней пластины $T_0$, тем незначительнее отличается от нее температура верхней пластины $\overline{T}\vert_{\overline{y}=1}$. \begin{figure}[p!] \noindent \centering \includegraphics[scale=1.5]{kho_2} \caption{Профили температур для различных значений $T_0$ и $u_1$ \label{kho:fig2} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{kho:fig2}. The temperature profiles for various values of $T_0$ and $u_1$] \bigskip \includegraphics[scale=1.5]{kho_3} \caption{Центральная часть профилей скорости при значительном приближении для различных значений $T_0$ и $u_1$ \label{kho:fig3} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{kho:fig3}. Central part of velocity profiles with a significant increase for various values of~$T_0$~and~$u_1$] \end{figure} \begin{figure}[p!] \noindent \centering \includegraphics[scale=1.5]{kho_4} \caption{Профили температур при теплоизолированной верхней пластине для различных значений $T_0$ и $u_1=150$~м/c; сплошные линии --- по теории авторов; штриховые линии --- по данным работы [9] \label{kho:fig4}} \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{kho:fig4}. The temperature profiles in the presence of thermal insulation on the top plate for various values of $T_0$ and $u_1=150$~m/s; solid lines are consistent with this study; dashed lines correspond to data from [9]] \bigskip \includegraphics[width=0.8\textwidth]{kho_5} \caption{Зависимость напряжения трения от числа Маха ${\sf M}_1$ при теплоизолированной верхней пластине для различных значений $T_0$; сплошные линии --- по теории авторов; штриховые линии --- по данным работы [9] \label{kho:fig5}} \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{kho:fig5}. The dependence of the friction stress on the Mach number ${\sf M}_1$ in the presence of thermal insulation on the top plate for various values of $T_0$; solid lines are consistent with this study; dashed lines correspond to data from [9]] \end{figure} При различных значениях параметров $T_0$ и $u_1$ профиль скорости близок к прямолинейному отрезку, соединяющему начальную и конечную точки профиля, так что визуально на графике это незаметно. При значительном приближении к центральной части профиля (рис. \ref{kho:fig3}) можно заметить, что по мере увеличения скорости верхней стенки $u_1$ и уменьшения температуры нижней стенки $T_0$ растет отличие профиля скорости от отрезка прямой. \smallskip \Section{О применимости аналогии Рейнольдса} Как было упомянуто выше, в статье [9] получено точное решение для течения Куэтта вязкого газа с~использованием формулы Сазерленда \eqref{kho:eq1}. Однако в~[9] осталось в силе предположение о линейной связи между коэффициентами вязкости и теплопроводности (аналогия Рейнольдса). Полученное в данной статье точное решение вместе с решением [9] позволило оценить влияние упрощающего предположения о линейной связи коэффициентов вязкости и теплопроводности на результаты расчетов для течения Куэтта. Для этого расчеты профилей температур и зависимостей напряжения трения от числа Маха ${\sf M}_1$ при теплоизолированной верхней пластине были проведены как по полученным в~данной статье формулам, так и по формулам [9]. Сравнение профилей температур проведено при $u_1=150~\text{м}/\text{с}$. Как можно видеть из рис. \ref{kho:fig4}, все выводы, сделанные в предыдущем разделе относительно профилей температуры, справедливы и в случае линейной зависимости. Однако для одинаковых значений температуры нижней пластины $T_0$ температура верхней пластины $\overline{T}|_{\overline y=1}$ в предположении о линейной связи оказывается больше. \smallskip \Section{Напряжение трения} Как показывает уравнение \eqref{kho:eq4}, напряжение трения $\tau=\mu u'_y$ одинаково во всех точках течения и может быть вычислено, например, на нижней пластине. Для исследования влияния сжимаемости введем безразмерный коэффициент напряжения трения $\overline{\tau}_0={\tau_0}/\tau_{00}$, где $\tau_{00}=(\mu_0u_1)/H$ --- коэффициент напряжения трения для несжимаемого течения Куэтта с постоянным коэффициентом динамической вязкости $\mu_0$. А~также введем безразмерный коэффициент --- число Маха: ${\sf M}_1=u_1/a_0$, где $u_1$ --- скорость верхней пластины, а $a_0$ --- скорость звука на нижней пластине, которая вычисляется по формуле $a_0=\sqrt{kRT_0}$, $k=C_p/C_v$ (для рассматриваемого диапазона температур принималось значение $k=1.365$). На рис. \ref{kho:fig5} представлены зависимости безразмерного коэффициента напряжения трения $\overline{\tau}_0$ от числа Маха ${\sf M}_1$, которые вычислены при разных значениях температуры нижней пластины $T_0$. Из графиков на рис. \ref{kho:fig5} следует, что при теплоизолированной верхней пластине сжимаемость газа приводит только к увеличению напряжения трения. Однако при линейной зависимости между коэффициентами вязкости и теплопроводности прирост напряжения трения оказывается недооцененным примерно в два раза. %\newpage \Section[n]{Заключение} Найдено точное решение уравнений движения горячего вязкого газа, в которых формулы для вязкости и теплопроводности имеют точность не хуже 2\,{\%}. Вязкость зависит от температуры по формуле Сазерленда \eqref{kho:eq1}, а теплопроводность --- по формуле \eqref{kho:eq3}. Решение описывает плоское стационарное сдвиговое течение горячего ($800~{\rm K} \le T \le 1500\rm ~ K$) газа между двумя параллельными пластинами, вызванное движением одной из них (сжимаемое течение Куэтта). Полученное точное решение позволило исследовать качественное влияние сжимаемости на напряжение трения и на профили температуры и скорости. Несмотря на то, что расчеты, проведенные с использованием аналогии Рейнольдса, показывают аналогичные качественные эффекты, в полной мере количественное влияние сжимаемости для течения Куэтта исследовано именно в данной работе.

Об авторах

Александр Николаевич Хорин

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

без ученой степени, без звания

Анастасия Анатольевна Конюхова

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

без ученой степени, без звания

Список литературы

Дополнительные файлы