Отправить статью по E-mail Потенциалы для трехмерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом и их применение
- Авторы: Эргашев Т.Г.1,2
-
Учреждения:
- Институт математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан
- Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства
- Выпуск: Том 25, № 2 (2021)
- Страницы: 257-285
- Раздел: Дифференциальные уравнения и математическая физика
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/60038
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1810
- ID: 60038
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Рассматривается теория потенциала для трехмерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом. В рассмотрение вводятся потенциалы двойного и простого слоев с неизвестной плотностью, которые выражаются через фундаментальное решение названного эллиптического уравнения. При исследовании этих потенциалов используются свойства гипергеометрической функции Гаусса.
Доказаны теоремы о предельных значениях введенных потенциалов и их конормальных производных, которые позволяют эквивалентным образом свести краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений к интегральному уравнению второго рода, к которому применима теория Фредгольма.
В качестве приложения изложенной теории в области, ограниченной координатной плоскостью \(x=0\) и поверхностью Ляпунова при \(x>0\), для трехмерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом решается задача Хольмгрена. Единственность решения поставленной задачи доказывается известным методом \(abc\), а существование — методом функции Грина, регулярная часть которой ищется в виде потенциала двойного слоя с временно неизвестной плотностью. Решение задачи Хольмгрена находится в виде, удобном для дальнейших исследований.
Об авторах
Тухтасин Гуламжанович Эргашев
Институт математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан; Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства
Автор, ответственный за переписку.
Email: ergashev.tukhtasin@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-3542-8309
Scopus Author ID: 57204027944
http://www.mathnet.ru/person37309
доктор физико-математических наук; лаб. дифференциальных уравнений и их приложений; доцент; каф. высшей математики
Узбекистан, 100174, Ташкент, ул. Университетская, 4-а; Узбекистан, 100000, Ташкент, ул. Кары-Ниязи, 39Список литературы
- Кондратьев Б. П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями. М.: Мир, 2007. 512 с.
- Ergashev T. G. Fundamental solutions for a class of multidimensional elliptic equations with several singular coefficients // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2020. vol. 13, no. 1. pp. 48–57. https://doi.org/10.17516/1997-1397-2020-13-1-48-57.
- Ergashev T. G. Fundamental solutions of the generalized Helmholtz equation with several singular coefficients and confluent hypergeometric functions of many variables // Lobachevskii J. Math, 2020. vol. 41, no. 1. pp. 15–26. https://doi.org/10.1134/S1995080220010047.
- Hasanov A. Fundamental solutions bi-axially symmetric Helmholtz equation // Complex Var. Elliptic Equ., 2007. vol. 52, no. 8. pp. 673–683. https://doi.org/10.1080/17476930701300375.
- Hasanov A., Karimov E. T. Fundamental solutions for a class of three-dimensional elliptic equations with singular coefficients // Appl. Math. Letters, 2009. vol. 22, no. 12. pp. 1828–1832, arXiv: 0901.0468 [math-ph]. https://doi.org/10.1016/j.aml.2009.07.006.
- Urinov A. K., Karimov E. T. On fundamental solutions for 3D singular elliptic equations with a parameter // Appl. Math. Letters, 2011. vol. 24, no. 3. pp. 314–319. https://doi.org/10.1016/j.aml.2010.10.013.
- Ergashev T. G. On fundamental solutions for multidimensional Helmholtz equation with three singular coefficients // Comp. Math. Appl., 2019. vol. 77, no. 1. pp. 69–76, arXiv: 1804.04363 [math.AP].
- Уринов A. K., Эргашев T. Г. Конфлюэнтные гипергеометрические функции многих переменных и их применение к нахождению фундаментальных решений обобщенного уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2018. № 55. С. 45–56. https://doi.org/10.17223/19988621/55/5.
- Mavlyaviev R. M., Garipov I. B. Fundamental solution of multidimensional axisymmetric Helmholtz equation // Complex Var. Elliptic Equ., 2017. vol. 63, no. 3. pp. 287–296. https://doi.org/10.1080/17476933.2016.1218853.
- Мавлявиев Р. М. Построение фундаментальных решений B-эллиптических уравнений с младшими членами // Изв. вузов. Матем., 2017. № 6. С. 70–75.
- 11. Уринов А. К., Каримов К. Т. Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 4. С. 665–683. https://doi.org/10.14498/vsgtu1559.
- Shishkina E. L. The Dirichlet problem for an elliptic singular equation // Complex Var. Elliptic Equ., 2020. vol. 65, no. 7. pp. 1210–1218. https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1588259.
- Эргашев T. Г. Обобщённая задача Хольмгрена для эллиптического уравнения с несколькими сингулярными коэффициентами // Диффер. уравн., 2020. Т. 56, № 7. С. 872–886, arXiv: 1910.05264 [math.AP]. https://doi.org/10.1134/S0374064120070043.
- Gellerstedt S. Sur un problème aux limites pour l’équation \(y^{2s}z_{xx}+z_{yy}=0\) // Ark. Mat. Astron. Fys. A, 1935. vol. 25, no. 10. pp. 1–12 (In French).
- Франкль Ф. И. К теории уравнения \(y\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=0\) // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1946. Т. 10, № 2. С. 135–166.
- Пулькин С. П. Некоторые краевые задачи для уравнения \(u_{xx}\pm u_{yy}+{p}{x^{-1}}u_x=0\) // Уч. зап. Куйбышев. пед. ин-та., 1958. Т. 21. С. 3–55.
- Смирнов M. M. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.
- Srivastava H. M., Hasanov A., Choi J. Double-layer potentials for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation // Sohag J. Math., 2015. vol. 2, no. 1. pp. 1–10, arXiv: 0810.3979 [math.AP].
- Berdyshev A. S., Hasanov A., Ergashev T. G. Double-layer potentials for a generalized biaxially symmetric Helmholtz equation. II // Complex Var. Elliptic Equ., 2020. vol. 65, no. 2. pp. 316–332. https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1583219.
- Эргашев Т. Г. Третий потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Уфимск. матем. журн., 2018. Т. 10, № 4. С. 111–122, arXiv: 1807.00903 [math.AP].
- Эргашев Т. Г. Четвертый потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика, 2017. № 50. С. 45–56. https://doi.org/10.17223/19988621/50/4.
- Мухлисов Ф. Г., Нигмедзянова А. М. Решение краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго рода методом потенциалов // Изв. вузов. Матем., 2009. № 8. С. 57–70.
- Ergashev T. G. Potentials for three-dimensional singular equation and their application to the solving a mixed problem // Lobachevskii J. Math., 2020. vol. 41, no. 6. pp. 1067–1077. https://doi.org/10.1134/S1995080220060086.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.
- Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит, 1962. 1100 с.
- Сабитов К. Б. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2013. 352 с.
Дополнительные файлы
