Static thermal stability of a shallow geometrically irregular shell made of orthotropic temperature-sensitive material

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 24, 4. С. 769-779 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) https://doi.org/10.14498/vsgtu1784 УДК 517.958:539.3(1) Статическая термоустойчивость пологой геометрически нерегулярной оболочки из ортотропного термочувствительного материала © М. В. Вильде, О. А. Мыльцина, С. А. Григорьев, Г. Н. Белосточный Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского (национальный исследовательский университет), Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83. Аннотация Рассматривается пологая ортотропная геометрически нерегулярная оболочка (ГНО) постоянного кручения, термомеханические параметры которой линейно зависят от температуры. При достижении темпера- туры определенного значения происходит скачкообразно смена формы равновесия, что вызывает изменение первоначальной геометрии оболоч- ки. Эти значения температур называют критическими. Для практики значительный интерес представляют соотношения, свя- зывающие критические температуры с геометрическими и термомехани- ческими параметрами ГНО. Решение задач статической термоустойчи- вости ГНО, как правило, начинается с анализа их исходного безмомент- ного состояния. Тангенциальные усилия, вызванные нагревом оболоч- ки, определяются как решения системы сингулярных дифференциаль- ных уравнений безмоментной термоупругости. Эти усилия содержатся в формах Брайена или Рейсснера в уравнениях статической термоустой- чивости, и от их структуры существенно зависит успех в дальнейшем решении задачи. В работе решение сингулярной безмоментной термоупругости найде- но в элементарных функциях. Уравнения моментной термоупругости, Краткое сообщение cb Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования В и л ь д е М. В., М ы л ь ц и н а О. А., Г р и г о р ь е в С. А., Б е л о с т о ч н ы й Г. Н. Статическая термоустойчивость пологой геометрически нерегулярной оболочки из ортотропного термо- чувствительного материала // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 24, 4. С. 769-779. https://doi.org/10.14498/vsgtu1784. Сведения об авторах Мария Владимировна Вильде https://orcid.org/0000-0001-8198-3368 доктор физико-математических наук; профессор; каф. математической теории упругости и биомеханики; e-mail: mv_wilde@mail.ru Ольга Анатольевна Мыльцина https://orcid.org/0000-0003-4718-2772 кандидат физико-математических наук; доцент; каф. теории функций и стохастического анализа; e-mail: omyltcina@yandex.ru Степан Андреевич Григорьев; аспирант; каф. математической теории упругости и биоме- ханики; e-mail: kafedramtuibm@yandex.ru Григорий Николаевич Белосточный https://orcid.org/0000-0001-6949-4174 доктор технических наук, профессор; профессор; каф. математической теории упругости и биомеханики; e-mail: belostochny@mail.ru © Самарский государственный технический университет 769 В и л ь д е М. В., М ы л ь ц и н а О. А., Г р и г о р ь е в С. А., Б е л о с т о ч н ы й Г. Н. записанные в компонентах поля перемещений, методом функции пере- мещений сведены к одному сингулярному дифференциальному уравне- нию в частных производных восьмого порядка. Решение записывает- ся в виде двойного тригонометрического ряда, коэффициенты которого на основании процедуры Галёркина определяются как решения линей- ной однородной алгебраической системы уравнений. Из равенства нулю определителя этой системы (в первом приближении) получено алгебраи- ческое уравнение пятой степени для относительной критической темпе- ратуры, наименьший положительный действительный корень которого и есть искомая температура. Проводится количественный анализ влия- ния геометрических и термомеханических параметров ГНО на величины критических температур. Ключевые слова: ортотропность, термочувствительность, статика, термоустойчивость, сингулярность, пологая оболочка, кручение, темпе- ратура. Получение: 12 мая 2020 г. / Исправление: 14 октября 2020 г. / Принятие: 16 ноября 2020 г. / Публикация онлайн: 21 декабря 2020 г. Введение. В известных областях современной техники используются кон- струкции, содержащие элементы в виде геометрически нерегулярных оболо- чек (ГНО), выполненных из ортотропных чувствительных к нагреву матери- алов. Штатные условия эксплуатации предусматривают в ряде случаев сохра- нение их первоначальной геометрии при воздействии температурных и си- ловых факторов со стороны рабочей среды. Это одна из основных причин, требующая предварительного предельно точного анализа статической и ди- намической термоустойчивости объектов указанного класса -- геометрически нерегулярных ортотропных пологих оболочек, обширный класс которых об- разуют ребристые оболочки. Несмотря на значительное число научных работ, посвященных гладким оболочкам, информация о термоустойчивости ГНО в открытой печати практически отсутствует. Целью настоящей работы является решение задачи статической термо- устойчивости ортотропной ГНО из термочувствительного материала на ос- новании строгой континуальной модели [1, 2]. Уравнение для критической температуры получено в предположении линейной зависимости термомеха- нических параметров от температуры. Количественные результаты представлены в виде таблиц, наглядно ил- люстрирующих влияние геометрических и термомеханических параметров на величины критических температур. 1. Методика решения задачи статической термоустойчивости ГНО из термочувствительного материала. Рассмотрим геометрически нерегулярную пологую ортотропную оболочку постоянного кручения, урав- нение срединной поверхности которой имеет вид [3, 4] 3(1, 2) = ~ 12, 770 Статическая термоустойчивость пологой. . . где ~ -- наибольший подъем оболочки над ее прямоугольным планом в ко- ординатной плоскости 1(1, 2) со сторонами и . Оболочка выполнена из термочувствительного материала, модули упругости и коэффициенты линей- ного расширения линейно зависят от постоянной температуры [5, 6]: = 0(1 - ), = 0(1 + ), = 1, 2. Здесь 0 и 0 -- соответственно модули упругости и коэффициенты линей- ного расширения материала при нулевой температуре; , -- известные по- стоянные. Тангенциальные усилия , возникающие в ГНО при нагреве до посто- янной температуры , когда она находится в безмоментном состоянии, удо- влетворяют сингулярным дифференциальным уравнениям [7-10]: ~11 ,1 + ~12 ,2 + =1 12 ,2(1 - 1) = 0, ~22 ,2 + ~12 ,1 + =1 22 ,2(1 - 1) = 0, ~12 = 0, (1) где ~11 = 1[~,1 + 2~,2 - (1 + 22)], ~22 = 2[~,2 + 1~,1 - (2 + 11)], ~12 = (~,2 + ~,1) - 212 ~, (1 - 1) -- сдвинутая -функция Дирака, 1 = 1 1 - 12 , 2 = 2 1 - 12 , 12 = 3,12 = ~ , 12 = ~,2, 22 = 2(~,2 - 2); -- ширина -того ребра, -- высо- та -того ребра, -- число ребер, -- коэффициенты Пуассона, = 1, 2; ~(~, ~, ~) -- компоненты поля перемещений в безмоментном состоянии ГНО, -- модуль сдвига. Решение сингулярной системы (1) в случае краевых условий ~ = 0, ~12 = 0 при 1 = 0, 1 = , ~ = 0, ~12 = 0 при 2 = 0, 2 = запишется в элементарных функциях [11, 12]: ~ = 0, ~12 = 0, ~11 = -1(1 + 22), ~22 = -2(2 + 11). (2) Тангенциальные усилия (2) содержатся в сингулярных уравнениях стати- ческой термоустойчивости ГНО, которая в компонентах поля перемещений имеет следующий вид: ,11 + 1 ,22 + ( 2 + 1 ) ,12 - 2 1 12,2 = 0, ,22 + 2 ,11 + ( 1 + 2 ) ,12 - 2 2 12,1 = 0, 1,1111 + 2(11 + 2),1122 + 2,2222 + 42 12- (3) 771 В и л ь д е М. В., М ы л ь ц и н а О. А., Г р и г о р ь е в С. А., Б е л о с т о ч н ы й Г. Н. -212(,2 + ,1) + =1 (2,2222 + 22 ,22)(1 - 1)+ + ~11 ,11 + 2 ~12 ,12 + ~22 ,22 = 0. Здесь 1 = 13 12(1 - 12) , 2 = 23 12(1 - 12) , = 3 12 , 22 = -22, = 3 12 . Обращаясь к методу функций перемещений [3, 4], система (3) подстановкой = 212 2 (2 1 3 3 1 - 2 3 2 12 ) , = 212 2 (3 3 1 - 2 3 12 2 ) , = 2 (4 4 1 + (2 - 22 ) 4 2 12 2 + 2 1 4 4 2 ) сводится к сингулярному дифференциальному уравнению восьмого порядка относительно функции (1, 2): 8 8 1 + [2 + 4(1 - 12) 1 ] 8 6 12 2 + + 2 [2 1 + (2 - 22 )( 2 + 2(1 - 12) ) 1 ] 8 4 14 2 + + [2 + 4(1 - 12) 1 ]2 1 8 2 16 2 + (2 1 )2 8 8 2 + + 48 22 2 1 ( ~ )2 (1 - 12) 4 2 12 2 + + =1 { 2 1 [ 8 4 14 2 + (2 - 22 ) 8 2 16 2 + 2 1 8 8 2 ] + + 22 1 [ 6 4 12 2 + (2 - 22 ) 6 2 14 2 + 2 1 6 6 2 ] } (1 - 1)- - 1 1 ( ~11 2 2 1 + 2 ~12 2 12 + ~22 2 2 2 ) [4 4 1 + (2 - 22 ) 4 2 12 2 + 2 1 4 4 2 ] = 0. (4) В этом уравнении тангенциальные усилия определяются соотношениями (2). Рассмотрим случай шарнирно-подвижного опирания краев оболочки: = 0, 12 = 0, 11 = 0, = 0 при 1 = 0, 1 = , = 0, 12 = 0, 22 = 0, = 0 при 2 = 0, 2 = , (5) где 11 = -1(,11 + 2,22), 22 = -2(,22 + 1,11). 772 Статическая термоустойчивость пологой. . . Краевые условия (5) перепишутся через функцию перемещений (1, 2) в виде 2 1 3 3 2 - 2 3 2 12 = 0, 4 4 1 - 2 4 2 12 2 = 0, 4 4 1 - (2 - 22 ) 4 2 12 2 + 2 1 4 4 2 = 0, 2 2 1 (4 4 1 + (2 - 22 ) 4 2 12 2 + 2 1 4 4 2 ) = 0, при 1 = 0, 1 = ; (6) 2 1 4 4 2 - 2 4 2 12 2 = 0, 3 3 1 - 2 3 12 2 = 0, 4 4 1 - (2 - 22 ) 4 2 12 2 + 2 1 4 4 2 = 0, 2 2 2 (4 4 1 + (2 - 22 ) 4 2 12 2 + 2 1 4 4 2 ) = 0, при 2 = 0, 2 = . (7) Функцию (1, 2), тождественно удовлетворяющую всем условиям (6), (7), зададим в виде двойного тригонометрического ряда с постоянными коэф- фициентами: (1, 2) = , sin 1 sin 2 . (8) Подстановка (8) в уравнение (4) с последующим обращением к проце- дуре Галёркина приводит к однородной алгебраической системе уравнений относительно коэффициентов ряда (8) [13]. Из равенства нулю определителя этой системы получим алгебраическое уравнение относительно безразмер- ной величины * = (/)210. Наименьший положительный корень этого уравнения и есть искомая относительная критическая температура * , при достижении которой возможен скачкообразный переход термоупругой систе- мы к новой форме равновесия. В первом приближении это уравнение пятой степени запишется в виде 5(, )5 * + 4(, )4 * + [ 3() + 3 (, )]3 * + + [ 2() + 2 (, )]2 * + [ 1() + 1 ()]* + 0 = 0, где 0 = 11 + 12 20 + 13 10 + 14 20 10 + + 15 10 (20 10 )2 + 16 (20 10 )2 + 17 10 (20 10 )2 , 773 В и л ь д е М. В., М ы л ь ц и н а О. А., Г р и г о р ь е в С. А., Б е л о с т о ч н ы й Г. Н. 1() = - [ 2111 + 12 20 (21 + 2) + 13 10 1 + 14 20 10 (1 + 2) + + 15 10 (20 10 )2 (22 + 1) + 216 (20 10 )2 2 + 17 10 20 10 2 ] , 1 () = -12 [ 11 + 12 20 10 + 13 20 - 14 (20 10 )2 + 15 10 (20 10 )2 + + 16 20 10 + 17 20 10 20 10 + 18 20 10 20 + + 19 20 10 10 (20 10 )2 + 19 20 10 (20 10 )2] , 2() = 112 2 + 12 20 (2 1 + 212) + 14 20 10 12 + + 15 10 (20 10 )2 (2 2 + 212) + 16 (20 10 )2 2 2, 2 (, ) = -12 [ 11(1 - 21) + 12 20 10 (1 - 1 - 2) + + 13 20 (1 - 21 - 2) + 14 (20 10 )2 (1 - 22) + + 15 10 (20 10 )2 (1 - 22 - 1) + 16 20 10 (2 - 21) + + 17 20 10 20 10 (2 - 1 - 2) + 18 20 10 20 (2 - 21 - 2) + + 19 20 10 20 (20 10 )2 (2 - 22 - 1) + 10 20 10 (20 10 )2 (2 - 22) ] , 3() = - [ 12 20 2 12 + 15 10 (20 10 )2 12 2 ] , 3 (, ) = -12 [ 11(2 1 - 211) + 12 20 10 (12 - 11 - 12) + + 13 20 (2 1 + 212 - 211 - 12) + 14 (20 10 )2 (2 2 - 212) + + 15 10 (20 10 )2 (2 2 + 212 - 11 - 212) + 16 20 10 (2 1 - 212) + + 17 20 10 20 10 (12-21-22) + 18 20 10 20 (2 1 +212-212 - 22) + + 19 20 10 10 (20 10 )2 (2 2 +221-222-21)+10 20 10 (20 10 )2 (2 2 -222) ] , 774 Статическая термоустойчивость пологой. . . 4(, ) = -12 [ 1112 1 + 12 20 10 112 + 13 20 (12 1 + 2121 - 22 1) + + 14 (20 10 )2 12 2 + 15 10 (20 10 )2 (12 2 + 2 112 - 12 2) + + 16 20 10 22 1 + 17 20 10 20 10 212 + 18 20 10 20 (22 1 + 2212 - 2 12) + + 19 20 10 10 (20 10 )2 (22 2 + 2212 - 12 2) + 10 20 10 (20 10 )2 22 2 ] , 5(, ) = 12 [ 13 20 12 12 + 15 10 (20 10 )2 112 2 + + 16 20 10 20 22 12 + 19 20 10 (20 10 )2 212 2 ] ; 11 = 2 [ 1 - 42 2 ( )4] , 12 = 2 [( )2 + 22 ( )4] , 13 = 42 (1 - 12) [( )2 - 22 ( )4] , 17 = 42 (1 - 12) ( )6 , 14 = 2 ( )4[ 2 + 4(1 - 12) + 43 ( )2( ~ )2 4 + + 24(1 - 12) [ 1 - 22 ( )2]2 1 =1 3 sin2 1 ] , 15 = 2 ( )6[ 1 + 24(1 - 12) 2 1 =1 3 sin2 1 ] , 16 = 2 ( )8[ 1 + 24(1 - 12) 2 1 =1 3 sin2 1 ] ; 11 = 1 - 22 ( )2 , 12 = ( )2[( )2 (1 - 212) + 1 ] , 13 = ( )2 , 14 = 1 ( )6 , 15 = 1 ( )4 , 16 = [ 2 - 22 2 ( )2] (1 + ), 17 = [ 2 ( )4 + ( )2 - 22 ( )4] (1 + ), 18 = 2 ( )2 (1 + ), 19 = ( )4 (1 + ), 10 = ( )6 (1 + ); = =1 sin2 1 . Результаты расчетов. Значения относительных критических темпера- тур при различных величинах геометрических и термомеханических пара- метров приводятся в табл. 1, 2 для материала стеклопластик КАСТ-Б 775 В и л ь д е М. В., М ы л ь ц и н а О. А., Г р и г о р ь е в С. А., Б е л о с т о ч н ы й Г. Н. Таблица 1 Величины относительных температур при различных значениях геометриче- ских параметров оболочки [Relative temperatures for different values of the shell geometric parameters] ~/ /(3 ) * , / = 0.5 * , / = 0.9 = 1 0 2.7531 1.2064 1 0.01 3.1801 1.2898 0.05 4.8912 1.6232 0 3.3985 1.6717 5 0.01 3.8226 1.7550 0.05 5.5366 2.0885 = 3 0 2.7531 1.2064 1 0.01 3.6083 1.3781 0.05 7.0294 2.0400 0 3.3984 1.6717 5 0.01 4.2537 1.8384 0.05 7.6748 2.5052 Таблица 2 Величины абсолютных критических температур (в ) для оболочки из тер- мочувствительного материала [The absolute critical temperatures (in ) for a thermosensitive shell] / = = 0 = 0, = 0 = 0, = 0 55.7989 56.9019 100 56.8054 2 54.8596 2 57.0024 3 54.6269 3 57.1073 97.8897 101.2973 75 100.9874 2 95.1357 2 101.6312 3 94.4720 3 101.9925 212.6090 228.8675 50 227.2217 2 201.0799 2 230.8364 3 198.4670 3 233.2451 (10 = 213 · 108 Н/м2, 20 = 121 · 108 Н/м2, = 20.3 · 108 Н/м2, 2 = 0.19), везде / = 0.01. В табл. 2 приводятся значения истинных критических температур при замороженных параметрах: 1 = 2 = , 1 = 2 = , / = 0.5, / = 3.9, ~/ = 2.5, = 3. На величины критических температур существенное влияние оказыва- ют параметры / и ~/ -- абсолютные высоты ребер и кручение оболочки. С увеличением длины ребер их влияние заметно уменьшается. Учет зависи- мости термомеханических характеристик материала ГНО вносит в значения критических температур тем большие поправки, чем больше относительная толщина оболочки -- параметр /. 776 Статическая термоустойчивость пологой. . . Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разра- ботке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования. Библиографический список 1. Жилин П. А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. МТТ, 1970. 4. С. 150-162. 2. Белосточный Г. Н., Ульянова О. И. Континуальная модель композиции из оболочек вращения с термочувствительной толщиной // Изв. РАН. МТТ, 2011. 2. С. 32-40. 3. Назаров А. А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. Л., М.: Стройиздат, 1966. 4. Красюков В. П., Панкратов Н. Д., Рассудов В. М. Метод тригонометрических рядов в решении температурных задач теории пологих оболочек. Саратов: СГУ, 1974. 5. Подстригач Я. С., Коляно Ю. М. Обобщенная термомеханика. Киев: Наук. думка, 1976. 6. Коляно Ю. М., Кулик А. Н. Температурные напряжения от объемных источников. Киев: Наук. думка, 1983. 7. Мыльцина О. А., Белосточный Г. Н. Устойчивость нагретой ортотропной геометриче- ски нерегулярной пластинки в сверхзвуковом потоке газа // Вестник Пермского наци- онального исследовательского политехнического университета, 2017. 4. С. 109-120. https://doi.org/10.15593/perm.mech/2017.4.08. 8. Белосточный Г. Н., Рассудов В. М. Континуальный подход к термоустойчивости упру- гих систем пластинка-ребра / Прикладная теория упругости. Саратов: Сарат. по- литехн. ин-т, 1980. С. 94-99. 9. Огибалов П. М., Грибанов В. Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. М.: МГУ, 1958. 10. Огибалов П. М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. М.: МГУ, 1963. 11. Белосточный Г. Н. Аналитические методы определения замкнутых интегралов сингу- лярных дифференциальных уравнений термоупругости геометрически нерегулярных оболочек // Доклады Академии военных наук, 1999. 1. С. 14-25. 12. Мыльцина О. А., Белосточный Г. Н. Термоупругость подкрепленной пластинки под действием быстропеременных температурно-силовых воздействий на границе // Вест- ник Московского авиационного института, 2014. Т. 21, 2. С. 169-174. 13. Канторович Л. В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физ- матлит, 1962. 777 Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 769-779 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) https://doi.org/10.14498/vsgtu1784 MSC: 74F05, 74K20 Static thermal stability of a shallow geometrically irregular shell made of orthotropic temperature-sensitive material © M. V. Wilde, O. A. Myltcina, S. A. Grigoriev, G. N. Belostochny N. G. Chernyshevsky Saratov State University (National Research University), 83, Astrakhanskaya st., Saratov, 410012, Russian Federation. Abstract A flat orthotropic geometrically irregular shell of constant torsion, whose thermomechanical parameters are linearly dependent on temperature, is con- sidered. When the temperature reaches a certain value, the change in the shape of the equilibrium occurs abruptly, which causes a change in the initial geometry of the shell. These temperatures are called critical. For practice, the relationships connecting the critical temperatures with the geometrical and thermomechanical parameters of the geometrically ir- regular shell are of considerable interest. The solution of the problems of static thermal stability of geometrically irregular shells usually begins with an analysis of their initial momentless state. Tangential forces caused by shell heating are defined as solutions of a system of singular differential equations of momentless thermoelasticity. These efforts are contained in the Brian or Reissner forms in the equations of static thermal stability and the further solution of the problem essentially depends on their structure. In this paper, the solution of singular momentless thermoelasticity is found by elementary functions. Using the method of displacement functions, the equations of moment thermoelasticity, written in the components of the displacement field, are reduced to a single singular differential equation in partial derivatives of the eighth order depending on the temperature, which is assumed to be constant. The solution is written as a double trigonometric series. The coefficients of the series, based on the Galerkin procedure, are de- termined as solutions to a linear homogeneous algebraic system of equations. From the equality to zero of the determinant of this system, an algebraic Short Communication cb The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this paper in press as: W i l d e M. V., M y l t c i n a O. A., G r i g o r i e v S. A., B e l o s t o c h n y G. N. Static thermal stability of a shallow geometrically irregular shell made of orthotropic temperature-sensitive material, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 769-779. https://doi.org/10.14498/vsgtu1784 (In Russian). Authors' Details: Maria V. Wilde https://orcid.org/0000-0001-8198-3368 Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Mathematic Theory of Elasticity & Biomechanics; e-mail: mv_wilde@mail.ru Olga A. Myltcina https://orcid.org/0000-0003-4718-2772 Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Functions & Approxmation Theory; e-mail: omyltcina@yandex.ru Stepan A. Grigoriev ; Postgraduate Student; Dept. of Mathematic Theory of Elasticity & Biomechanics; e-mail: kafedramtuibm@yandex.ru Grigory N. Belostochny https://orcid.org/0000-0001-6949-4174 Dr. Techn. Sci.; Professor; Dept. of Mathematic Theory of Elasticity & Biomechanics; e-mail: belostochny@mail.ru 778 © Samara State Technical University Static thermal stability of a shallow geometrically irregular shell. . . equation of the fifth degree is obtained for the relative critical temperature. The smallest positive real root of which is the desired temperature. A quan- titative analysis of the influence of the geometrical and thermomechanical parameters of the geometrically irregular shell on the value of the critical temperature is carried out. Keywords: orthotropic, thermosensitive, statics, thermal stability, singu- larity, shallow shell, torsion, temperature. Received: 12th May, 2020 / Revised: 14th October, 2020 / Accepted: 16th November, 2020 / First online: 21st December, 2020 Competing interests. We declare that we have no conflicts of interest in the authorship and publication of this article. Author's Responsibilities. We take full responsibility for submitting the final manu- script in print. We approved the final version of the manuscript. Funding. This research received no specific grant from any funding agency in the public, commercial, or not-for-profit sectors. References 1. Zhilin P. A. The linear theory of ribbed shells, Izv. Akad. Nauk SSSR, Mekh. Tverd. Tela, 1970, no. 4, pp. 150-162 (In Russian). 2. Belostochnyi G. N., Ul'yanova O. I. Continuum model for a composition of shells of revolu- tion with thermosensitive thickness, Mech. Solids, 2011, vol. 46, no. 2, pp. 184-191. https:// doi.org/10.3103/S0025654411020051. 3. Nazarov A. A. Osnovy teorii i metody rascheta pologikh obolochek [Fundamentals of the Theory and Methods of Calculating Shallow Shells]. Leningrad, Moscow, Stroiizdat, 1966, In Russian pp. 4. Krasyukov V. P., Pankratov N. D., Rassudov V. M. Metod trigonometricheskikh riadov v reshenii temperaturnykh zadach teorii pologikh obolochek [The Trigonometric Series Method in Solving Temperature Problems in the Shallow Shell Theory]. Saratov, Saratov State Univ., 1974 (In Russian). 5. Podstrigach Ya. S., Kolyano Yu. M. Obobshchennaia termomekhanika [Generalized Ther- momechanics]. Kiev, Nauk. Dumka, 1976 (In Russian). 6. Kolyano Yu. M., Kulik A. N. Temperaturnye napriazheniia ot obemnykh istochnikov [Tem- perature Stresses from Bulk Sources]. Kiev, Nauk. Dumka, 1983 (In Russian). 7. Myltcina O. A., Belostochny G. N. Stability of heated orthotropic geometrically irregular plate in a supersonic gas flow, PNRPU Mechanics Bulletin, 2017, no. 4, pp. 109-120 (In Russian). https://doi.org/10.15593/perm.mech/2017.4.08. 8. Belostochny G. N., Rassudov V. M. Continuum approach to the thermal stability of the elastic plate-ribs systems, In: Prikladnaia teoriia uprugosti [Applied Elasticity Theory]. Saratov, Saratov Politekhn. Inst., pp. 94-99 (In Russian). 9. Ogibalov P. M., Gribanov V. F. Termoustoichivost' plastin i obolochek [Thermal Stability of Plates and Shells]. Moscow, Moscow State Univ., 1958 (In Russian). 10. Ogibalov P. M. Voprosy dinamiki i ustoichivosti obolochek [Problems in Dynamics and Sta- bility of Shells]. Moscow, Moscow State Univ., 1963 (In Russian). 11. Belostochny G. N. Analytical methods for determination of closed integrals of singular differential equations of thermoelasticity of geometrically irregular shells, Dokl. Akad. Voen. Nauk, 1999, no. 1, pp. 14-25 (In Russian). 12. Myltcina O. A., Belostochny G. N. Thermoelasticity of the reinforced plate under influence of quick change for coordinate of thermal and force factors on the boundary, Aerospace MAI Journal, 2014, vol. 21, no. 2, pp. 169-174 (In Russian). 13. Kantorovich L. V., Krylov V.I. Priblizhennye metody vysshego analiza [Approximate Meth- ods of Higher Analysis]. Moscow, Fizmatlit, 1962 (In Russian). 779

About the authors

Maria Vladimirovna Wilde

Saratov State University

Email: mv_wilde@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

Olga Anatol'evna Myltcina

Saratov State University

Email: omyltcina@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

Stepan Andreevich Grigoriev

Saratov State University

Email: kafedramtuibm@yandex.ru

Grigorii Nikolaevich Belostochny

Saratov State University

Email: belostochny@mail.ru
Doctor of technical sciences, Professor

References

Supplementary files