Том 21, № 3 (2017)

24 мая 2017 г. исполнилось 60 лет доктору физико-математических наук, профессору, иностранному члену Национальной академии наук Республики Армения Александру Владимировичу Манжирову. В настоящей библиографической заметке приводятся биографические сведения об этом крупном ученом, который хорошо известен в России и за рубежом. Представлены сведения о его вкладе в развитие механики и прикладной математики.

Изучается граничная задача для линейной системы дифференциальных уравнений, записанная в виде дифференциально-операторного уравнения $$ aD_t u(t)+bBu(t)=f(t) $$ с нелокальными граничными условиями по $t$. Такую краевую задачу для линейной системы дифференциальных уравнений (в том числе и в частных производных) мы условимся называть нелокальной. Цель работы состоит в изучении спектральных характеристик дифференциальных операторов, порожденных нелокальной задачей для двух линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, рассматриваемых в ограниченной области конечномерного евклидова пространства.

Рассматривается вырождающееся гиперболическое уравнение $$ |y|^{m} u_{xx}-u_{yy}+a |y|^{\frac{m}{2}-1} u_{x}=0. $$ В области, ограниченной характеристиками этого уравнения, исследована нелокальная задача, краевое условие которой содержит линейную комбинацию обобщенных операторов дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре. Единственность решения нелокальной задачи доказана с помощью метода Трикоми, а вопрос о существовании решения эквивалентно сведен к разрешимости сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши.

Система уравнений второй краевой задачи линейной теории упругости для однородного изотропного тела сведена к двум разным интегро-дифференциальным уравнениям фредгольмовского типа, что позволило для их исследования применить теоремы Фредгольма. Определены спектральные радиусы соответствующих операторов и доказано существование и единственность решения второй краевой задачи. Также установлено, что решение второго интегро-дифференциального уравнения можно найти методом последовательных приближений и представить его сходящимся со скоростью геометрической прогрессии рядом Неймана. Применение методики проиллюстрировано на примере расчета остаточных напряжений в закаленном цилиндре.

Сформулирована начально-краевая задача, описывающая динамическое поведение гибких продольно-армированных балок-стенок малой кривизны. Механическое поведение материалов фаз композиции балок описывается определяющими уравнениями теории пластического течения с изотропным упрочнением. Геометрическая нелинейность задачи учитывается в приближении Кармана. Полученные уравнения и соотношения позволяют с разной степенью точности определять напряженно-деформированное состояние рассматриваемых балок, учитывая их ослабленное сопротивление поперечным сдвигам. В первом приближении из построенных соотношений вытекают уравнения, соответствующие второму варианту теории Тимошенко. Для численного интегрирования поставленной задачи используется метод шагов по времени с привлечением центральных разностей для аппроксимации встречающихся производных по времени. Рассматриваются продольно-армированные прямолинейные и слегка искривленные балки-стенки относительно малой высоты. Исследуется динамический отклик таких конструкций в зависимости от поверхности (вогнутой или выпуклой) приложения внешнего давления, вызванного приходом воздушной взрывной волны. Установлено, что при интервалах времени, превышающих несколько десятых долей секунды, упругопластическое поведение гибких армированных прямолинейных и искривленных балок-стенок, определяемое по второму варианту теории Тимошенко, значительно отличается от неупругого динамического отклика, рассчитанного по уточненной теории.

Проблема нелинейного оценивания параметров систем различной физической природы, описываемых нелинейным дифференциальным оператором, является важнейшей проблемой математического моделирования. В статье рассматривается новый численный метод оценки параметров нелинейного дифференциального оператора второго порядка с диссипативной силой, пропорциональной n-ной степени скорости движения. В основе численного метода лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов обобщенной регрессионной модели, построенной с учетом разностных уравнений, описывающих результаты измерений импульсной характеристики системы. Реализованная в методе двухэтапная процедура дифференцированного оценивания параметров динамического процесса позволяет обеспечить высокую адекватность построенной модели данным эксперимента. Применение разработанного численного метода позволяет существенно (в несколько раз) повысить точность оценок параметров нелинейного дифференциального оператора по сравнению с известными методами за счет устранения смещения в оценках, обусловленного использованием аппроксимации при моделировании огибающей амплитуд колебаний.