DISPERSIVE CHARACTERISTICS OF THE ROUND OPTICAL WAVEGUIDE WITH CONSIDERATION FOR MATERIAL CHIRALITY

Full Text

Введение Современный этап развития оптики характеризуется активным исследованием метаматериалов и фотонных кристаллов. Во многих случаях для подобных структур материальные уравнения обобщаются и в них входит, наряду с диэлектрической и магнитной проницаемостями, как минимум еще один параметр, который определяет дополнительную связь между векторами напряженностями электрического и магнитного полей [1-3]. Такой параметр может определять степень киральности или оптической активности среды [4-6]. В большинстве случае в оптике учет эффектов оптической активности не сильно влияет на процессы распространения волны и отбрасывается. Цель статьи - анализ влияния параметра оптической активности на распространение волн в круглом оптическом волноводе с целью определения границ использования классических материальных уравнений и необходимости использования более сложных форм материальных уравнений. Оптически активные волноведущие структуры Как известно, большинство кристаллических материалов, используемых при создании активных и пассивных оптических волокон, являются оптически активными. Сразу же оговоримся, что под оптической активностью материала понимается возможность поворачивать плоскость поляризации оптической волны, а под активностью материала - возможность её усиления. В данной работе нелинейные эффекты, связанные с усилением мощности волны, не рассматриваются. Как известно, в случае оптически активных сред при постановке краевых задач, нельзя использовать классические материальные уравнения для анизотропного кристалла вида [7]: (1) где - векторы электрической и магнитной индукций; - векторы напряженностей электрического и магнитного полей; - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума; - тензор диэлектрической проницаемости кристалла. В случае активных материалов диагональные элементы тензора в общем случае являются комплексными величинами вида , где мнимая часть и определяет усиление в среде за счет инверсии населенностей. Недиагональные элементы тензора равны нулю, то есть . Однако при такой постановке задачи не учитывается оптическая активность материала. Поэтому необходимо использовать более общие материальные уравнения для оптически активной анизотропной среды вида [4-6]: (2) где - относительный параметр оптической активности вещества. В дальнейшем уравнения (2) будем записывать в гауссовой системе единиц для гармонической зависимости векторов поля от времени [4-6]: (3) где и - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости оптически активной среды (ОАС) (у большинства материалов, используемых оптике ); - относительный (безразмерный) параметр оптической активности. Доказательство скалярной формы материальных уравнений для оптически активной среды приведено в [8]. Верхние знаки соответствуют ОАС на основе правых форм атомов, а нижние знаки - ОАС на основе левых форм. Строение атомов ОАС является зеркально асимметричным. Материальные уравнения для ОАС связывают векторы электрической и магнитной индукций как с напряженностью электрического , так и магнитного полей. Это является следствием того, что падающее на зеркально асимметричную структуру электрическое поле волны индуцирует на нем не только электрический дипольный момент, но также и магнитный дипольный момент. В свою очередь, переменное магнитное поле в зеркально асимметричной структуре создает как магнитный, так и электрический дипольный момент. В данной работе рассматривается поход к исследованию распространения собственных волн круглых оптических волноводов с учетом оптической активности (киральности). Геометрия задачи показана на рисунке 1. Рисунок 1. Структура круглого оптического волновода Для геометрического описания волновода будем использовать цилиндрическую систему координат. Координата - радиальная координата, направленная по радиусу; - азимутальная координата, направленная по окружности в поперечной плоскости волновода; - продольная координата, направленная вдоль распространения оптической волны (вдоль волновода). Волновод состоит из сердцевины радиуса и оболочки радиуса с различными показателями преломления. Внешняя область представляет собой воздух. Сердцевина волновода создана на основе оптически активной структуры. Для решения задачи будем использовать метод частичных областей. Электромагнитное поле в цилиндрическом оптически активном волноводе Запишем уравнения Максвелла для электромагнитного поля (ЭМП) в оптически активном волноводе с учетом материальных уравнений (3) [8]: (4) где - волновое число для плоской однородной волны в вакууме. В проекциях на оси цилиндрической системы координат получаем систему шести дифференциальных уравнений первого порядка: (5) Будем считать зависимость векторов ЭМП от координаты гармонической: (6) где - неизвестная пока постоянная распространения собственной волны. Векторы и в соотношениях (6) описывают распределения напряженностей электрического и магнитного полей в поперечном сечении линии передачи. Используя зависимость векторов поля от продольной координаты, несложно получить , (7) Учитывая гармоническую зависимость поля от продольной координаты, из системы уравнений (5) и (6) получаем: (8) (9) При получении соотношений (8) и (9) были учтены формулы (6) и поэтому данные выражения получены уже для случая зависимости векторов ЭМП оптической волны от продольной координаты. Из системы уравнений (8) и (9) азимутальные составляющие и выражаются через продольные компоненты векторов поля и: (10) где При формулы (10) переходят в соотношения для случая диэлектрического цилиндрического волновода [9]: , (11) Продольные составляющие и определяются из системы дифференциальных уравнений второго порядка [8]: (12) где В случае диэлектрической среды () из системы (12) получаются два несвязанных уравнения Гельмгольца, описывающих распространение волн E- и H-типа в диэлектрической среде с материальными параметрами и [8]: (13) Для решения системы дифференциальных уравнений (13) представим функции и в виде полей волн с правой (ПКП) и левой круговыми поляризациями (ЛКП) [4-6]: (14) Подставив (14) в систему (13) относительно функций и , получим (15) Обозначая через постоянные распространения волн ПКП и ЛКП в области 1 и через , получаем: (16) Заметим, что в оптически активной среде волны ПКП и ЛКП обладают различными постоянными распространения и, следовательно, разными фазовыми скоростями. Причём, в оптически активной среде на основе правовинтовых спиралей волна ЛКП всегда распространяется с большей фазовой скоростью, чем волна ПКП. Обратно, в оптически активной среде на основе левовинтовых спиралей волна ПКП всегда распространяется с большей фазовой скоростью, чем волна ЛКП. Используя выражения для поперечного оператора Лапласа в цилиндрической системе координат , перепи-шем уравнения (16) следующим образом: (17) Уравнения (17) являются двумерными и решаются методом разделения переменных. Их решения представляются в виде произведения двух независимых функций радиальной и азимутальной координаты (18) Подставляя решения (18) в уравнения (17), деля обе части полученных уравнений на и умножая на, получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка: (19) Данное равенство может быть удовлетворено только в том случае, когда правая и левая части одновременно равны одной и той же постоянной. Обозначая постоянную разделения переменных через, после преобразований получаем следующие дифференциальные уравнения относительно функций и: (20) где - постоянная разделения переменных. Первое уравнение (20) есть уравнение Бесселя, которое для внутренних задач оптики имеет решение вида (21) где - неизвестные постоянные; - функция Бесселя первого рода порядка; - функция Неймана порядка. Второе уравнение (20) известно из теории колебаний и имеет гармоническое решение (22) где и - неизвестные постоянные. С учетом (21) и (22) для функций получаем следующие выражения: (23) Продольные составляющие и определяются из соотношений (14) с учетом выражений (23): (24) Таким образом, ЭМП в сердцевине оптически активного цилиндрического волновода определяется следующими соотношениями: (25) В диэлектрической оболочке поле определяется следующим образом: (26) где . Вывод дисперсионного уравнения. Граничные условия Воспользуемся классическими граничными условиями при , которые сводятся к требованию непрерывности тангенциальных компонент векторов поля на границах раздела: (27) Составляющие поля находятся из выражений (25) и (26) при . После подстановки их в граничные условия (27) была получена система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных. Приравнивая нулю определитель данной системы, получаем дисперсионное уравнение для собственных волн круглого оптически активного волновода. В результате дисперсионное уравнение имеет следующий вид: (28) где Для случая оптически неактивной среды в выражениях (28) необходимо положить: . Здесь: - показатель преломления оболочки, - показатель преломления сердцевины; - параметр оптической активности сердцевины; - порядковый номер моды (для случая одномодовых волноводов он равен нулю). Численные результаты Дисперсионная характеристика представ-ляет собой график, отображающий решение нелинейного дисперсионного уравнения, то есть графическая зависимость нормированной постоянной распространения от нормированной частоты . При заданной частоте расчета численно решалось дисперсионное уравнение (28) при помощи метода хорд. На рисунке 2 приведены нормированные дисперсионные характеристики волны для кварцевого оптического волновода. Нормированная частота изменялась от 0 до 2,4; в результате чего в волноводе сохраняется одномодовый режим. При расчетах были выбраны следующие параметры волновода: На рисунке 2 сплошной линией приведена нормированная дисперсионная характеристика основной моды при учете оптической активности кварца (), полученная путем численного расчета из уравнения (28). Штриховой линией показана дисперсионная характеристика того же самого оптического волновода только без учета оптической активности, полученная из численного решения уравнения (28). Рисунок 2. Дисперсионные характеристики для кварцевого волновода Как видно из приведенных графиков, вблизи частоты отсечки влияние оптической активности на дисперсионное характеристику минимальное, что свидетельствует об отсутствии необходимости учета оптической активности при расчете. Однако с ростом частоты различие в значениях постоянных распространения увеличивается и влияние оптической активности становится всё более сильным. В связи с этим можно заметить, что для кварцевого круглого оптического волновода учет оптической активности кварца является необязательным. Далее аналогичные дисперсионные характеристик были рас-считаны для волновода из ниобата лития. Рисунок 3. Дисперсионные характеристики для волновода из ниобата лития На рисунке 3 сплошной линией приведена нормированная дисперсионная характеристика основной моды при учете оптической активности ниобата лития (), полученная путем численного расчета из уравнения (28). Штриховой линией показана дисперсионная характеристика того же самого оптического волновода только без учета оптической активности, полученная из численного решения уравнения (28). Как видно из приведенных графиков, вблизи частоты отсечки влияние оптической активности на дисперсионное характеристику значительно больше, чем в рассмотренном ранее случаем кварцевого волновода. Причем с ростом частоты различие в постоянные распространения возрастает сильнее и учет оптической активности является необходимым. Это объясняется тем, что параметр оптической активности кварца на порядок (приблизительно в 10 раз) меньше, чем параметр оптической активности ниобата лития. Более того, можно обобщить это утверждение: чем больше в кристалле двулучепреломление, тем принципиальней учет при расчетах оптической активности. Заключение В работе показано, что для используемых в настоящее время одномодовых оптических волокон учет оптической активности является некритичным. Как показал численный расчет, при удалении частоты сигнала от критической частоты разность постоянных распространения при учете оптической активности и без него увеличивается растет с ростом частоты. Доказано, что с увеличением параметра оптической активности дисперсионные характеристики все больше расходятся и учет оптической активности становится важным.

About the authors

Oleg Vladimirovich Osipov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: o.osipov@psuti.ru

Ekaterina Alekseevna Sukhova

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: e.suhova@psuti.ru

Dmitry Sergeevich Kushnir

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: d.kushnir@psuti.ru

References

Supplementary files