Quasi-finite element model of rolling elastic wheels on uneven deformable substructure in nonlinear motion of a wheeled vehicle

Full Text

Введение Одним из основных направлений экономического развития России было и должно оставаться ускоренное развитие районов Севера и Северо-Востока, занимающих более 60% территории страны. Дальнейшее освоение этих территорий требует новых подходов и новых технологий для решения транспортно-технологических задач при перемещении грузов и людей в условиях, когда полотном пути является бездорожье. При этом движение транспортно-технологических машин не только затруднено, но в ряде случае исключается совсем. Существующие модели колесных, гусеничных и роторно-винтовых машин не отвечают поставленным функциональным требованиям, требованиям эффективности, надежности и экологичности движителей машин при эксплуатации в северных регионах страны, имеющих слабонесущие опорные поверхности. Таким образом, в настоящее время существует техническая, экономическая и социальная потребность в создании и использовании транспортных средств на пневмоколесных движителях, в том числе сверхнизкого давления, удовлетворяющих поставленным требованиям. Следует отметить, что в настоящее время наша страна не располагает необходимым парком энергоэффективных машин высокой проходимости. Существующая вездеходная техника, выполненная по старым традиционным схемам и серийно выпускаемая промышленностью, не отвечает требованиям, определяющим эффективность и экологичность движителей машин в сложных природно-климатических условиях эксплуатации. В сложившейся ситуации задача прогнозирования проходимости колесных машин (КМ) по опорной поверхности со слабыми несущими свойствами является актуальной [1, 2]. Одним из основных методов прогнозирования проходимости является имитационное моделирование движения КМ в различных условиях эксплуатации, которое основано на математических моделях взаимодействия эластичной шины с деформируемыми неровностями опорного основания. Установлено [3, 4], что на опорно-тяговую проходимость КМ взаимно влияют как деформативные свойства шин, так и физико-механические характеристики грунта: нормальный прогиб шины и глубина колеи; изменение площади опорного пятна контакта в зависимости от нагрузки и давления воздуха в шине; наличие гистерезисных потерь в материале шины, которые влияют на сопротивление качению, обусловленное трением в пятне контакта о почву; создание касательных реакций почвы по всей площади контакта. Наряду с определением зависимостей для описания процессов «распределение давления в пятне контакта - деформирование грунта» и «нагрузка - деформирование движителя» не менее важной задачей является вопрос выбора модели расчета вертикальных деформаций грунта при контакте с пневматической шиной. От правильности выбора типа и вида аппроксимационной зависимости во многом определяется как качественная, так и количественная стороны общего решения задачи контактного взаимодействия эластичного движителя с деформируемым полотном пути [5]. В настоящее время при теоретическом исследовании взаимодействия движителей с грунтом сформировались два основных направления: аналитический метод, предусматривающий математическое описание исследуемого процесса [6 - 8] и конечно-элементный метод (МКЭ), основанный на компьютерном моделировании [9 - 13]. В области исследования взаимодействия колесных движителей с грунтом аналитический метод нашел широкое применение. Разработанные математические модели взаимодействия шины с грунтом позволяют решать различные задачи. Эти модели используются как при исследовании процессов взаимодействия одиночного колесного движителя с грунтовым массивом, так и при исследованиях динамических моделей мобильных машин, эксплуатируемых в специфических дорожно-грунтовых условиях (ДГУ) с неоднородными физико-механическими показателями. Одним из самых значимых недостатков этих моделей является описание взаимодействия колеса с ровным деформируемым основанием, в то время как профиль реальной опорной поверхности может иметь значительную высоту неровностей, соизмеримую с радиусом колеса. Исследования процессов, протекающих в грунтовом массиве при воздействии колесного движителя методом конечных элементов, являются относительно новыми, получившими в последнее время наибольшее применение. Этот метод лучше других обеспечен численными процедурами исследования математических моделей объектов. Наиболее важным его преимуществом является наличие неявных методов интегрирования систем дифференциальных уравнений. Применение данного метода позволяет наиболее точно описать процесс взаимодействия колесных движителей с грунтом, определить напряжения в грунтовом массиве, деформацию шины и грунта, уплотнение грунта. В отличие от аналитических методов определяется форма пятна контакта эластичной шины с опорной поверхностью, зависящая от конкретных характеристик грунта и конструктивных и эксплуатационных параметров движителя [13]. Однако существенным недостатком метода является его высокая вычислительная трудоемкость, поэтому при существующих на сегодняшний день компьютерах применять эти модели в составе общей модели движения многоосных колесных машин затруднительно. Целью данного исследования является разработка математической модели качения эластичного колеса по деформируемому неровному опорному основанию с учетом изменяющейся деформации пятна контакта в каждой конечной элементарной площадке. Математическая модель взаимодействия эластичной шины с неровностями деформируемого опорного основания В предлагаемой модели используются две различные системы координат (рис. 1), что обусловлено структурой и формой уравнений движения объекта. Первая, неподвижная система координат (НСК) O2X2Y2Z2, служит для моделирования заданных дорожно-грунтовых условий движения. Начало координат системы, точка О2, совпадает с началом моделируемой трассы. Для определения сил, действующих на автомобиль со стороны грунта, введем микроподвижную систему координат (МПСК), под которой будем понимать систему OTXTYTZT, центр которой ОТ совпадает с геометрическим центром вращения колеса, ось ОTXT совпадает с проекцией продольной оси симметрии колеса на опорную поверхность. Основные допущения 1. Нормальное давление в пятне контакта распределено пропорционально прогибу шины на каждом элементарном участке контактной площадки. 2. Сила взаимодействия колеса с опорным основанием направлена в обратную сторону от скорости проскальзывания. Рассмотрим расчетную схему движения колеса на рис. 1. Для разработки модели воспользуемся результатами работы [14]. На нижней полуокружности недеформированного профиля колеса выберем некоторое количество точек n, положение которых будем определять углом αi между вертикалью, опущенной из центра колеса на ось Х2, и лучом, соединяющим точку недеформированного профиля колеса с его центром (рис. 1). Количество точек выбирается исходя из компромисса между точностью модели и ее быстродействием. Определим координаты Х2i и Y2i выбранных точек профиля в НСК (рис. 2). где Х20, Y20 - координаты центра колеса О в НСК. Рис. 1. Расчетная схема качения колеса по неровностям опорного основания: 1 - деформированный профиль грунта; 2 - деформируемый профиль грунта; 3 - недеформированный профиль грунта; O - центр колеса; Z2O, X2O - координаты центра колеса в НСК; ωк - угловая скорость вращения колеса; Мк - крутящий момент, приложенный к колесу; V0x - продольная скорость центра колеса; РZ, РX - вертикальная и продольная силы, приложенные к центру колеса со стороны оси КМ; Rr, Rτ - радиальная и тангенциальная проекции реакции взаимодействия колеса с опорным основанием; Rлоб - сила лобового сопротивления качению колеса; rк - свободный радиус колеса; Z2gri, X2i - координаты точки опорного основания под i-й точкой недеформированного профиля колеса; αi - угол между вертикальной осью и i-й точкой недеформированного профиля колеса; αэкв - эквивалентный угол точки приложения суммарной реакции; dri - прогиб шины в радиальном направлении для i-й точки недеформированного профиля колеса; hгi - глубина колеи под i-й точкой недеформированного профиля колеса Рис. 2. Расчетная схема для определения силы взаимодействия колеса с опорной поверхностью: - вектор линейной скорости центра колеса; - вектор реакции взаимодействия колеса с опорным основанием; θ - угол между продольной осью машины и осью Х2 НСК; β - угол поворота управляемого колеса; γ - угол между плоскостью симметрии колеса и вектором Вертикальную координату Z2i i-й точки недеформированного профиля колеса в НСК определим по формулам: , где Z20 - вертикальная координата центра колеса в НСК. Формирование продольного профиля проводится по следующему алгоритму: , где - вертикальная осадка грунта под i-й элементарной площадкой пятна контакта (см. далее); - вертикальная координата недеформированного профиля колеи (моделируется заранее по известной методике, изложенной, например, в [15]). Прогиб шины dri в радиальном направлении для i-й точки недеформированного профиля находим из следующих соотношений: где Z2gri - вертикальная координата профиля опорного основания под i-й точкой колеса. Таким образом, для определения реакций взаимодействия колеса с опорной поверхностью Rx и Rz в МПСК при наличии нескольких зон перекрытия профилем опорного основания недеформированного контура колеса необходимо определить эквивалентный угол αэкв точки приложения суммарной радиальной реакции Rr в радиальном направлении и тангенциальной реакции Rτ (рис. 1). Определим αэкв как взвешенное среднее значение: . Радиальная реакция Rr является суммой двух составляющих: упругой Rrу и демпфирующей Rrд: Rr = Rrу + Rrд. Rrу зависит от эквивалентного прогиба шины: , где nk - количество точек недеформированного профиля, находящихся в контакте с опорной поверхностью. Rrд зависит от скорости прогиба шины в радиальном направлении. Для этого определим проекции скорости точек контура колеса на оси ХТ и ZТ: где ωк - угловая скорость вращения колеса; V0XТ и V0ZТ - проекции вектора скорости центра колеса (точка О) на оси ХТ и ZТ соответственно. Вектор линейной скорости i-й точки недеформированного профиля колеса в радиальном направлении: Скорость деформации профиля i-й точки в радиальном направлении: Эквивалентная скорость прогиба: Далее, зная упругую и демпфирующую характеристики шины в радиальном направлении, находим Rr. Cила взаимодействия -го колеса с грунтом в плоскости X2OY2: , где - коэффициент трения частичного скольжения, Ni - нормальная реакция, - вектор скорости скольжения колеса. , здесь - коэффициент трения полного скольжения для данного угла δ поворота вектора скорости скольжения, - коэффициент буксования, - константа. Данное выражение справедливо для несвязных грунтов. Величина определяет максимальное значение функции , а в совокупности с константой S0 - градиент функции в начале координат, отражающий свойства грунта при малых скольжениях. Для связных грунтов может быть принято следующее выражение : , где - константа. Коэффициент трения полного скольжения в соответствии с представлениями об эллипсе трения [16] можно представить в виде: , где , - параметры эллипса трения (рис. 3). Коэффициент буксования: - для тягового режима качения колеса; - для тормозного или ведомого режима качения колеса, где VKXT - проекция линейной скорости центра колеса на ось XT микроподвижной системы координат. Рис. 3. Эллипс трения Рассмотрим одно из колес МКМ (рис. 2). Координаты центра i-го колеса в НСК: , где - радиус-вектор положения центра масс КМ в НСК; - радиус-вектор центра i-го колеса к корпусу в ПСК. Вектор линейной скорости центра колеса в ПСК: , где - вектор скорости центра масс машины в ПСК; - вектор угловой скорости центра масс машины; - радиус-вектор крепления центров колес к корпусу. Раскроем векторное произведение : , где - проекции радиус-вектора крепления подвески к корпусу в ПСК. Вектор линейной скорости центра колеса в НСК: Проекции вектора линейной скорости центра колеса в МПСК: где φ, ψ - углы продольного и поперечного наклона корпуса машины соответственно. Определим скорость скольжения колеса в микроподвижной системе координат: Угол δ между вектором скорости центра колеса и осью ХТ определяется следующим образом. Если , то: , иначе . Если wкrк0 ¹ 0, то: , иначе: . Реакции взаимодействия шины с опорным основанием в МПСК: ; ; ; , где - силы лобового сопротивления грунта качению колеса (бульдозерный эффект) и бокового отпора, которые определяются по методике, изложенной в работе [17]. , , , , , , , , , где - ширина шины, - удельный вес грунта, МН/м3; - соответственно угол внутреннего терния грунта и угол трения грунта о стенку шины, град. Графики для определения представлены в работе [17]. Проекции реакции взаимодействия шины с опорным основанием в ПСК: Численное моделирование движения автомобиля проводят для различных типов твердого опорного основания со следующими параметрами. Динамика вращения колеса представлена на рис. 1 и описывается уравнениями: , , , где - крутящий момент, подводимый к колесу; - тормозной момент на колесе; - момент сопротивления качению колеса за счет смещения реакции ; - проекция силы взаимодействия колеса с грунтомв МПСК на ось ОХТ; - момент сопротивления, вызванный вертикальной деформацией грунта [17]. Определение параметров пятна контакта и глубины колеи hг Площадь i-й элементарной площадки пятна контакта (рис. 4) определим по формуле: , , (1) где - ширина шины. Рис. 4. Расчетная схема для определения площади пятна контакта Дискретный аналог формулы (1) можно записать так: . Определим нормальные давления в i-й элементарной площадке пятна контакта. Каждая такая площадка (рис. 4) образуется двумя плоскостями, проходящими через ось вращения колеса и повернутыми друг относительно друга на угол . По формуле Бернштейна-Летошнева [17]: , где с - коэффициент деформации грунта; μ - показатель плотности грунта. С другой стороны: , , , где - вертикальная нагрузка на колесо; - коэффициент Покровского, учитывающий влияние времени действия нагрузки на деформативные свойства грунта [18]; - время действия нагрузки, с; - число проходов колеса по колее (учет цикличности нагружения грунта). Тогда: . Общая длина L пятна контакта по средней линии может быть определена как сумма длин элементарных площадок Li: , . Влияние грунтозацепов на параметры движения колеса При наличии грунтозацепов необходимо дополнительно вычислить касательные силы в зонах выступов и впадин, а также вынос грунта из зоны контакта в случае интенсивного буксования колеса. Дополнительное вертикальное заглубление центра колеса в грунт, вызванное экскавацией грунта из зоны контакта, вычисляют по формуле [18]: , , где - длина впадины грунтозацепа; - высота грунтозацепа; - шаг грунтозацепа; - общее количество грунтозацепов по длине окружности шины. Тогда суммарное вертикальное заглубление центра колеса: . Будем считать, что если , то происходит потеря подвижности машины вследствие вывешивания корпуса на грунте. Для определения дополнительных касательных сил в зонах выступов и впадин грунтозацепов (рис. 5) воспользуемся результатами, полученными в работе [18]: , , , где - площадь лобовой проекции грунтозацепа; - максимальный сдвиг грунта, при котором связанность частиц грунта не нарушена; - текущий сдвиг грунта; - путь, пройденный центром колеса за время ; - текущая угловая скорость вращения колеса. Рис. 5. Расчетная схема для определения касательных сил в зонах выступов и впадин грунтозацепов Суммарная касательная сила в проекции на ось МПСК по всем m грунтозацепам, находящимся в зоне контакта колеса с опорным основанием: , . Тогда выражение для определения продольной реакции колеса с опорным основанием в проекции на ось МПСК: . Учет сцепных свойств грунтового основания в горизонтальном направлении при действии вертикальной нагрузки Величина горизонтальной реакции может быть ограничена двумя факторами [18]: скольжением колеса по поверхности уплотненного грунта и сдвигом массы грунта в сторону действия горизонтальной реакции. И если сцепные свойства учитываются коэффициентом , то сдвиг грунта можно оценить путем сравнения действующих касательных напряжений с максимально допустимыми напряжениями . Максимальное касательное напряжение в пятне контакта вычисляют с использованием выражения Кулона: , где - коэффициент связанности (сцепления) грунта, МПа. Действующее касательное напряжение определим по формуле [17]: . Окончательно выражение для примет вид: , где . Учет влияния состояния грунта на его физические и механические характеристики Большое влияние на характеристики грунта оказывает его влажность [18]. Целесообразным, подтвержденным практикой является способ учета влияния влажности, основанный на применении математических выражений, полученных в работе [18] в результате статистической обработки большого числа экспериментальных данных. По ним можно определить механические инварианты грунта, зная его гранулометрический состав и физическое состояние. Для угла внутреннего трения в грунте: . Для коэффициента связанности грунта: , где - плотность грунта в текущем состоянии; - плотность сухого грунта; - относительная влажность грунта; - влажность предела текучести. Выводы Разработана математическая модель криволинейного качения эластичного колеса по неровному деформируемому опорному основанию, учитывающая деформацию пятна контакта в каждой конечной элементарной площадке и изменение направления радиальной и тангенциальной реакций.

About the authors

N. S Volskaja

Bauman MSTU

Dr.Eng.

M. M Zhileykin

Bauman MSTU

Dr.Eng.

A. J Zakharov

Bauman MSTU

Email: zakharov-al@mail.ru
Ph.D.

M. V Panshin

Bauman MSTU

References

Supplementary files