Training and educational problems solving in the study of mathematics at university

Full Text

Профессиональное воспитание студента как реальный процесс совершенствования человека в конкретной деятельности и конкретном социуме становиться в настоящее время ведущим блоком образовательной деятельности вуза, базой формирования нового типа профессионала-специалиста и главным средством развития личности [1]. А общекультурное, личностное и познавательное развитие обучаемых – целью образования. Оно непосредственно связано с воспитательной деятельностью в целостной системе подготовки специалистов и определяет её приоритет.

К сожалению, появление в нашей стране различных моделей обучения привело к рассогласованию и ослаблению преемственности в образовательном процессе на различных ступенях образования, что отрицательно сказалось на учебно-воспитательной деятельности учебных заведений. В настоящее время наблюдается недооценка важности формирования личностных качеств будущих специалистов, которые необходимы для освоения общепрофессиональных и метапредметных компетенций. Для преодоления этого противоречия необходимо обеспечить преемственность педагогической деятельности преподавателей вузов в выполнении требований и правил принципа единства обучения и воспитания, руководствуясь положением о том, что обучение всегда воспитывает, а воспитание – обучает [2].

Опираясь на принцип преемственности в образовании, можно заключить, что в процессе реализации Федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования (ФГОС ВО) нового поколения актуальным становится рассмотрение компетентности с точки зрения метапредметного подхода, который в настоящее время рассматривается как ядро российского образования, позволяющее сохранить и отстоять в обществе культуру мышления и формирования целостного, межпрофессионального мировоззрения; вобрать в себя лучшие дидактико-методические образцы развития предметной формы знания, но при этом открыть новые перспективы развития такой образовательной формы, как учебный предмет и учебное занятие. А.Г. Асмоловым, Г.В. Бурменским и И.А. Володарской выделены основные виды универсальных учебных действий (УУД): личностные (самоопределение, смыслообразование и действие нравственно-этического оценивания), регулятивные (целеобразование, планирование, контроль, коррекция, оценка, прогнозирование), познавательные (общеучебные, логические и знаково-символические) и коммуникативные [3]. Анализируя ФГОС, Б.А. Крузе [4] и Е.В. Еремеева [5] констатировали три уровня планируемых результатов образования:

– под личностными результатами понимается готовность и способность обучающихся к саморазвитию, сформированность мотивации к обучению, познанию, выбору индивидуальной образовательной траектории, ценностно-смысловые установки обучающихся, отражающие их личностные позиции, социальные компетенции, сформированность основ гражданской идентичности;

– под предметными результатами понимается освоенный обучающимися в ходе изучения учебного предмета опыт специфической для данной предметной области деятельности по получению нового знания, его преобразованию и применению, а также система основополагающих элементов научного знания, лежащая в основе современной научной картины мира;

– под метапредметными результатами понимаются освоенные обучающимися универсальные учебные действия (познавательные, регулятивные и коммуникативные), обеспечивающие овладение ключевыми компетенциями, составляющими основу умения учиться, и межпредметные понятия.

Достижение метапредметных результатов связано с природой универсальных учебных действий: личностных, регулятивных, общепознавательных и коммуникативных. В силу своей природы, являясь, по сути, функционально ориентировочными действиями, метапредметные действия составляют психологическую основу учебно-воспитательного процесса и главное условие успешности решения обучающимися предметных задач.

Универсальный характер учебных действий проявляется в том, что они носят надпредметный, метапредметный характер; обеспечивают целостность общекультурного, личностного, познавательного развития и саморазвития личности, Преемственность всех ступеней образовательного процесса [6–8] лежит в основе организации и регуляции любой деятельности индивидуума независимо от её специально предметного содержания. Н.В. Громыко отмечает [9; 10], что метапредметный подход в образовании разработан для решения проблемы разобщенности, оторванности друг от друга разных научных дисциплин и, как следствие, учебных предметов.

В связи с выше сказанным, согласно действующему приоритету профессионального воспитания и принципу преемственности в рабочие программы различных дисциплин следует вводить вопросы, связанные с формированием коммуникативных компетентностей и личностных универсальных учебных действий. Рассмотрим, например, задание «Общее мнение» [3], которое в модернизированном виде можно выдавать первокурсникам в начале семестра с целью выработки правил поведения в вузе при общении с преподавателями и однокурсниками. Это задание носит творческий проектный характер. Студентам предлагается выделить, обсудить и выработать 5–7 правил (справедливости, равноправия, вежливости, честности, взаимопомощи и т.д.), которые будут общими при общении с окружающими в вузе.

Обучаемым даётся время на формулирование, обдумывание, обсуждение и составление набора необходимых правил. С этой целью группа делиться на подгруппы по 3–5 человек, и каждая подгруппа готовит текст, состоящий из причин, по которым следует выполнять то или иное правило. Затем представители от подгрупп объединяются и обсуждают общие правила для группы, которые оформляются в виде плаката, на котором расписываются все члены группы, чем подтверждают своё согласие следовать записанным правилам. Эта деловая игра может проводиться у первокурсников при изучении различных дисциплин, В итоге можно выработать общие правила поведения в группе. Возможно выполнение подобного задания через год-два-три, чтобы проследить динамику изменения в формулировании общих правил.

Не менее эффективными являются деловые игры, за основу в которых взяты задания «Эмпирические исследования», «Выстраивание поиска решения задач», «Дискуссия», «Кто прав?» «Совместное проектирование (конструирование, решение, формулирование теоремы и пр.) [3] и т.д. Все они направлены на формирование личностных качеств и умственных действий студентов, связанных с умением слушать и слышать собеседника, понимать возможность разных оснований для оценки одного и того же предмета, учитывать разные мнения и уметь обосновать собственное, развивать способности к анализу содержания моральных и нравственно-этических норм и необходимости их соблюдения, формировать ориентировки сознания через дискуссию и аргументацию.

Отметим, что подобные деловые игры не требуют больших временных затрат в аудитории, так как выполняются студентами самостоятельно во внеучебное время, а обсуждаются и оцениваются по определённым критериям с преподавателем(ями) той дисциплины(н), который(е) проявил(и) инициативу проведения данного задания. Причём выполнять такие деловые игры творческо-проектного характера могут в рамках практически любой дисциплины: для этого требуется желание преподавателя, способного организовать выполнение подобного задания в рамках изучения своего предмета.

Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (ФГОС ООО), утверждённый приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 декабря 2010 г. № 1897, представляет собой совокупность требований, обязательных при реализации основной образовательной программы основного общего образования образовательными учреждениями, имеющими государственную аккредитацию [11]. Стандарт устанавливает требования к личностным, метапредметным и предметным результатам освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования.

В научных публикациях, посвященных метапредметному подходу в образовании, нет однозначного толкования понятия «метапредметные компетенции». А.В. Хуторской [12; 13] считает, что метапредметные компетенции обеспечивают реализацию основных универсальных учебных действий: регулятивных, коммуникативных, познавательных. Все ключевые компетенции определяют регулятивные учебные действия. Коммуникативные учебные действия служат установлению правильных взаимоотношений с обучаемыми, обеспечивают эффективность педагогического общения. Познавательные – характеризуют освоение знаний и способов их применения в целях познания и лучшего понимания реалий окружающей действительности. Все они являются способами деятельности, которые осваиваются обучающимися на базе одного, нескольких или всех учебных предметов и которые могут быть применены как в рамках образовательного процесса, так и при решении проблем в реальных жизненных ситуациях.

Формирование метапредметных компетенций в процессе обучения студентов представляет собой сочетание различных технологий (личностно-деятельностных, проектных, проблемных, рефлексивных и т.д.), методов и форм обучения. Важно научить студентов правильно отражать и осмысливать внешнюю информацию, анализировать, алгоритмировать и обобщать ее; получать новые знания, управлять собственным речемыслительным процессом; свободно владеть письменной и устной речью в различных жанрах научного и делового стиля; аргументировано излагать собственную точку зрения, вести полемики и дискуссии.

Для формирования метапредметных компетенций и оценивания уровня их сформированности у студентов можно применять познавательно-деятельностную матрицу [14; 15]. Матрица размера 4×4 состоит из познавательных уровней усвоения учебной информации $\psi$_i , i=$\overline{1,4}$ и деятельностных – d_j , j=$\overline{1,4}$. Каждый элемент этой матрицы определяет универсальное учебное действие, соответствующее сочетанию пар Ψ_i, d_j: элемент – отражение на уровне узнавания; осмысление на уровне узнавания; – алгоритмирование на уровне узнавания; контролирование на уровне узнавания, отражение на уровне воспроизведения; – осмысление на уровне воспроизведения; – алгоритмирование на уровне воспроизведения; контролирование на уровне воспроизведения. Соответственно элементы Y13, Y23, Y33 и Y43 представляют собой отражение, осмысление, алгоритмирование и контролирование на уровне применения, а элементы Y14, Y24, Y34 и Y44 – отражение, осмысление, алгоритмирование и контролирование на уровне творчества.

Использование познавательно-деятельностной матрицы позволяет представить освоение обучаемыми учебного материала как «движение» по элементам – матрицы размера 4×4, составленной из перечисленных выше познавательных и деятельностных уровней. При этом каждый элемент матрицы, в результате выполненного определённого универсального учебного действия, будет соответствовать вполне определенному количеству усвоенного учебного материала, начиная с самого элементарного уровня (узнавание на уровне отражения) и заканчивая самым высоким уровнем – исследованием с контролем собственных действий.

Применение данной матрицы позволяет систематизировать учебный материал по сложности его освоения, формировать метапредметные компетенции студентов и проводить контроль познавательной деятельности на различных этапах образовательного процесса.

Рассмотрим пример [16] решения задачи профессионально-направленного содержания второго уровня сложности, структурируя её с помощью познавательно-деятельностной матрицы (таблица 1).

Задание. Предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием 4-х видов сырья. Нормы расходов сырья даны как элементы матрицы А:

$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 3& 4& 1\\ 1& 2& 5& 6\\ 5& 2& 5& 1\\ 4& 3& 2& 2\end{array}\right)$

В матрице А столбцы определяют виды сырья, а строки – виды изделий. Требуется найти общие затраты на сырьё и его перевозку для каждого вида продукции, если известны себестоимости каждого вида сырья и его доставки (соответственно 4, 5, 6, 7 и 2, 3, 1, 2 денежных ед.).

Составим матрицу себестоимостей сырья и его доставки (соответственно 1-я и 2-я строки):

$C=\left(\begin{array}{cccc}4& 5& 6& 7\\ 2& 3& 1& 2\end{array}\right)$

 

Таблица 1 – Поэтапное решение задачи

Учебные элементы	Последовательность действий
Y₁₁ – отражение на уровне узнавания	Представляет собой понимание того, требуется найти общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку, для чего потребуется вычислить матрицу Р=АСT.
Y₁₂ – отражение на уровне воспроизведения	Первоначально следует транспонировать матрицу – себестоимостей сырья С размера (2×4)
Y₂₁ – осмысление на уровне узнавания	Транспонированная матрица – это матрица, у которой строки переходят в столбцы, а столбцы – в строки. Ее размер будет (4×2).
Y₂₂ – осмысление на уровне воспроизведения	Произведение матриц норм расходов сырья А размера (4×4) и СТ размера (4×2) возможно. В результате получим матрицу Р размера (4×2).
Y₃₁ – алгоритмирование на уровне узнавания	$C^T=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 5& 3\\ 6& 1\\ 7& 2\end{array}\right)$
Y₃₂ – алгоритмирование на уровне воспроизведения	$P=A*C^T=\left(\begin{array}{cccc}2& 3& 4& 1\\ 1& 2& 5& 6\\ 5& 2& 5& 1\\ 4& 3& 2& 2\end{array}\right)*\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 5& 3\\ 6& 1\\ 7& 2\end{array}\right)$
Y₄₁ – контролирование на уровне узнавания	Представляет собой запись: $P=\left(\begin{array}{cccc}2*4+& 3*5+& 4*1+& 1*7\\ 1*4+& 2*5+& 5*6+& 6*7\\ 5*4+& 2*5+& 5*6+& 1*7\\ 4*4+& 3*5+& 2*6+& 2*7\end{array} \begin{array}{cccc}2*2+& 3*3+& 4*1+& 1*2\\ 1*2+& 2*3+& 5*1+& 6*2\\ 5*2+& 2*3+& 5*1+& 1*2\\ 4*2+& 3*3+& 2*1+& 2*2\end{array}\right)$
Y₄₂ – контролирование на уровне воспроизведения	Окончательный ответ: $P=\left(\begin{array}{cc}34& 19\\ 86& 25\\ 67& 23\\ 57& 23\end{array}\right)$ Цифры первого столбца – общие затраты для каждого вида продукции; цифры второго столбца – затраты на перевозку каждого вида продукции.
Ответ: общие затраты на сырье для каждого вида продукции составляют 34, 86, 67 и 57 ден. ед., общие затраты на перевозку каждого вида продукции составляют 19, 25, 23 и 23 ден. ед. Применим познавательно-деятельностную матрицу к оцениванию учебной деятельности студентов [17; 18].

 

Приведем пример задания в тестовой форме второго уровня сложности в виде таблицы (таблица 2).

Задание. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах

$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}$и $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$, если $\left|\overrightarrow{a}\right|=4, \left|\overrightarrow{b}\right|=2,$$(\overrightarrow{a }$^$\wedge$$\overrightarrow{b})$=60º

 

Таблица 2 – Задание в тестовой форме II уровня сложности

Этапы решения		Варианты ответов
Y₁₁	Условие задачи заключается в нахождении площади …	1) параллелограмма, построенного на векторах $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ ; 2) квадрата, построенного на векторах $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ ; 3) треугольника, которая является половиной площади параллелограмма, построенного на векторах $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$
Y₁₂	Площадь параллелограмма находится по формуле…	1) $S=\left|(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})·(4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})\right|$; 2) $S=\left|(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})+(4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})\right|$; 3) $S=\left|(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})\times (4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})\right|$
Y₂₁	Для нахождения векторного произведения выполним действия…	1) $(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})·(4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})$; 2) $(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})\times (4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})$ ; 3) $(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})+(4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})$
Y₂₂	Для вычисления векторного произведения воспользуемся свойствами…	1) $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$2; $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$ 2) $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=0$; $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$ 3) $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$2, $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$
Y₃₁	Результат векторного произведения…	1) $(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}) +(4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})=6\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$; 2) $(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})·(4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})=8\stackrel{\to 2}{a}-14\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}-15\stackrel{\to 2}{b}$; 3) $(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})\times (4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})=6\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}-20\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$
Y₃₂	Площадь параллелограмма вычисляется…	1) $S=\left|(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})·(4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})\right|=\left|8·4^2-14·4·2\right|\cos \left(60°\right)$; 2) $S=\left|(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b)}\times (4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})\right|=\left|26\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|=26\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|$$\sin \left(60°\right)$ ; 3) $S=\left|(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})\times (4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})\right|=\left|26\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|=26\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \left(60°\right)$
Y₄₁	Площадь параллелограмма равна…	1) $S=26\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|\sin \left(60°\right)=26·4·2·\frac{\sqrt{3}}{2}=104\sqrt{3}$ кв.ед. 2)  $S=\left|8·4^2-14·4·2\right|\cos \left(60°\right)=16·\frac{1}{2}=8$ кв.ед. 3)  $S=26\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \left(60°\right)=26·4·2·\frac{1}{2}=104$ кв.ед.
Y₄₂	Окончательный ответ:	1) S=104 кв.ед.; 2) S=8 кв.ед.; 3) S=104$\sqrt{3}$ кв.ед.

 

Задания в тестовой форме второго уровня сложности проверяют умения студента воспроизводить усвоенную информацию в различных сочетаниях и комбинациях, обнаруживая различные логические связи и аналоги на уровне воспроизведения.

Поэтапное выполнение тестовых заданий представляет собой взаимосвязанную последовательность учебных элементов, определяемую алгоритмом и логикой решения учебной задачи, что позволяет их использовать не только для качественной и количественной оценки учебных достижений студентов, но и реализовать их обучающий потенциал.

Метапредметную компетентность можно представить как интегративную дефиницию, основными компонентами которой являются ценностно-личностный, регулятивный, коммуникативный и познавательный. Из представленных компонентов можно выделить общий для всех ценностный, мировоззренческий компонент. К сожалению, реальность свидетельствует о том, что в настоящее время практически во всех сторонах социальной и культурной деятельности человека в его сознании прочно утвердилось представление об исключительности только своего социума и освобождённости его от подчинения метапредметным закономерностям, что объясняется недостаточной мировоззренческой подготовкой. Именно поэтому наполняемость этого понятия ценностно-личностной составляющей необходима.

Важно отметить, что сегодня радикально увеличивается роль каждой дисциплины в развитии метапредметной компетентности личности. В частности, усиливается значение геометрических компетентностей в формировании ценностно-смысловых, общекультурных, учебно-познавательных, информационных и других составляющих мировоззренческого компонента метапредметной компетентности [19; 20].

Приведем другие примеры возможностей математической науки [21]. Одним из первичных мировоззренческих неопределяемых математических понятий является понятие множества, описательное объяснение которого – совокупность, объединение объектов любой природы, называемых элементами множества (это могут быть числа, функции, явления природы, предметы, вещи и т.п.). Именно поэтому теория множеств имеет самое широкое приложение. Мировоззренческий компонент метапредметной компетентности можно интерпретировать как некоторое множество U, состоящее из бесконечного числа элементов, и, следовательно, являющееся бесконечным множеством. Множество М называется подмножеством множества U, если каждый элемент множества М принадлежит множеству U (рис. 1). Обозначают М ⊂ U и говорят, что «М – подмножество U» или «М включается в U». Множества, подмножества и отношения между ними принято иллюстрировать геометрически с помощью диаграмм (кругов) Эйлера-Венна. Точки внутри фигуры считаются элементами множества.

Составляющую мировоззренческой подготовки М, формируемую при изучении математики, закономерно считать подмножеством множества U. Подмножествами U можно считать и другие составляющие мировоззренческой подготовки. К ним можно отнести гуманитарную G, научную N, техническую T, прикладного характера P, бытовую B и другие составляющие. Эти подмножества могут объединяться и пересекаться причудливым образом, образуя новое интегрированное знание (рис. 2). Множество, относительно которого все множества, рассматриваемые в задаче, являются подмножествами, называется универсальным. В рассматриваемом случае универсальным является множество U, соответствующее мировоззренческому компоненту метапредметной компетентности. Его принято обозначать буквами U или I и изображать в виде прямоугольника на диаграммах Эйлера-Венна.

 

Рисунок 1 – Интерпретация математической составляющей М в общей мировоззренческой подготовке U

 

Рисунок 2 – Интерпретация взаимодействия различных составляющих в общей мировоззренческой подготовке U

 

Одной из важнейших задач метапредметной подготовки является формирование вербальных компетенций будущих инженеров, что приводит к необходимости разработки теории и методики системы развития речевой культуры студентов в процессе изучения блоков общеобразовательных и специальных дисциплин [22; 23]. Требуется проектирование и разработка новых технологий обучения, включающих в себя дополнительные формы и методы проведения лабораторных работ, деловых игр, семинаров, написания самостоятельных заданий в виде эссе, пояснительных записок и т.д.

Обобщая изложенное выше, полагаем, что введение в образовательную практику упражнений, разработанных на основе междисциплинарного подхода, позволит расширить кругозор личности студента, развить аналитические умения, способности обобщать и мыслить интегративно, что является основой для успешного формирования метапредметнной компетентности. Для реализации метапредметного подхода в учебно-воспитательной деятельности вуза каждому педагогу следует проанализировать структуру и содержание преподаваемой дисциплины с целью выявления её воспитательного потенциала и проектировать учебно-воспитательный процесс на основе связи программного материала с профессиональной деятельностью, соотнося комплекс методов, форм, приёмов и средств преподавания с целями воспитания.

About the authors

Vladimir Nicolaevich Aniskin

Samara State University of Social Sciences and Education

Author for correspondence.
Email: vnaniskin@gmail.com

candidate of pedagogical sciences, associate professor, dean of the Faculty of Mathematics, Physics, and Computer Science

Russian Federation, Samara

Elena Nicolaevna Ryabinova

Samara State Technical University

Email: eryabinova@mail.ru

doctor of pedagogical sciences, professor of the Chair of Higher Mathematics and Applied Computer Science

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files