Within the framework of strain gradient elasticity of n-th order we introduce ellipticity and strong ellipticity conditions. In this theory a density of potential energy depends on deformation gradients up to n-th order. As a result, static equations constitute a system of three nonlinear partial differential equations of order 2n with respect to vector of displacements. This model is used for description of long-range interactions, which are essential at small scales. Indeed, the strain gradient elasticity describes size-effects observed at the micro- and nano-scales. In nonlinear theory of elasticity the conditions of ordinary ellipticity and strong ellipticity could be treated as constitutive inequalities among others. In particular, ellipticity is related to an infinitesimal material instability. From the mathematical point of view, ellipticity is a natural property of equations of statics, which guarantees certain properties of corresponding boundary-value problems, such as, for example, smoothness of solutions, solvability, properties of spectrum. In comparison to nonlinear theory of elasticity the conditions of strong ellipticity in gradient media are less examined. Here ellipticity conditions imply constraints on the dependence of constitutive equations on the deformation gradient of n-th order. Precisely, ellipticity implies constraints on the tangent stiffness moduli of highest order and does not imply any on the dependence of deformation gradients of smaller order. Strain gradient elasticity of n-th order could be treated as a certain gradient regularization of the model of order n-1 for any number n. From this point of view one can avoid the violation of ellipticity considering deformation gradients of higher order.
В рамках градиентной теории упругости n-го порядка введены условия эллиптичности и сильной эллиптичности уравнений равновесия. В рассматриваемой модели плотность энергии деформации зависит от градиентов деформации до n-го порядка включительно. В результате уравнения равновесия представляют собой систему трех нелинейных уравнений в частных производных порядка 2n относительно вектора перемещений. Данная модель используется для описания дальнодействующих взаимодействий, особенно важных в случае моделирования материалов на малых масштабах. Действительно, градиентная теория упругости описывает масштабные эффекты, наблюдаемые на микро- и наноуровне. В нелинейной теории упругости условия сильной и ординарной эллиптичности рассматриваются как одни из определяющих неравенств. В частности, эллиптичность связывается с устойчивостью материала в малом. С математической точки зрения эллиптичность является естественным свойством уравнений статики, гарантирующим определенные свойства соответствующих краевых задач, такие как, например, гладкость решений, разрешимость, свойства спектра. В отличие от нелинейной теории упругости условия сильной эллиптичности в градиентных средах исследованы в меньшей степени. Здесь условия эллиптичности налагают ограничения на форму зависимости уравнений состояния от градиентов деформации n-го порядка. Именно эллиптичность влечет ограничения на касательные модули максимального порядка и не накладывает никаких ограничений на зависимость от градиентов деформации меньшего порядка. Градиентная теория упругости n-го порядка может рассматриваться как своего рода градиентная регуляризация модели n-1-го порядка для любого номера n. С этой точки зрения нарушения эллиптичности можно избежать, рассматривая градиенты деформации более высоких порядков.