LOUDNESS OF SOUNDS OF DIFFERENT FREQUENCY AND INTENSITY: THE GENERALIZED WEBER LAW FOR HEARING

Abstract

Aim - rigorous scientificand theoretical substantiation of the Weber law for determination of loudness of sounds of different frequency and intensity. Objects and methods. E.H. Weber's experimental results on subjective perception of objectively measured parameters of external irritants, their theoretical substantiation for sounds of the standard frequency 1 kHz, biophysical and biomathematical modeling of loudness of sounds with different parameters. Results. The Weber law by author for determination of loudness of sounds of different frequency and intensity is evidence based.

Full Text

■ ВВЕДЕНИЕ Восприятие человеком энергии звука в физиологии и психофизике слуха как ощущение оценивается его громкостью и устанавливается законом Вебера - Фехнера [1, 2]. Закон регламентирует соотношение силы раздражителя - относительной интенсивности звука I (или звукового давления Др) относительно пороговой интенсивности Ioc = 10-12Дж/(м2 с) (порогового звукового давления Дрсс = 2'10-5 Па) и их субъективного ощущения - громкости тона Е. Говорят, что громкость тона является психоакустическим коррелятом восприятия слухом энергии (интенсивности, давления) звука. Традиционное обоснование экспериментов Э.Г. Вебера по Г.Т. Фехнеру не дает полного решения проблемы и, естественно, не устанавливает функциональной связи между силой раздражения и ее ощущением при восприятии слухом звуковой энергии произвольных параметров. Закон Вебера - Фехнера для слуха определен в интегральной форме только для стандартной частоты fc = 1 кГц в виде декларативных (условно принятых) соотношений Е, фон = 10 lg у , дБ = 20 lg Дрр , дБ. (1) Io o В общем решении дифференциального уравнения dE = k dI/I[3] как закона Вебера - Фехнера в интеграль- Ovchinnikov EL Samara State Medical University Aim - rigorous scientificand theoretical substantiation of the Weber law for determination of loudness of sounds of different frequency and intensity. Objects and methods. E.H. Weber's experimental results on subjective perception of objectively measured parameters of external irritants, their theoretical substantiation for sounds of the standard frequency 1 kHz, biophysical and biomathematical modeling of loudness of sounds with different parameters. Results. The Weber law by author for determination of loudness of sounds of different frequency and intensity is evidence based. Keywords: Weber law, Weber - Fechner law, Weber surface, Fechner plane. ной форме E = 10 lg(I/Io) единицей измерения правой части является децибел (дБ). На практике громкость тона как ответную реакцию на раздражение (ощущение) оценивают в децибелах громкости, декларативно приравнивая на стандартной частоте децибел громкости тона к децибелу интенсивности звука, называя его фоном. Для произвольных частот и интенсивностей звука закон Вебера - Фехнера определяется только экспериментально и графически отображается кривыми равных громкостей - изофонами; но можно показать, что дифференциальное уравнение, представленное по Фехнеру в виде dE = k dI/I, имеет логическое и вполне определенное решение во всем диапазоне звуковых частот допустимой (комфортной) интенсивности. ■ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 1. Природа равногромких звуков в рецепторном отделе уха. Вначале выясним физический, биофизический, физиологический и психофизический смысл величины Inf/Inc и обоснуем возможность ее расчета. Это отношение интенсивностей равногромких звуков на n-ом уровне громкости: два звука, произвольной f и стандартной fc частот, на n-ом уровне громкости являются равногромкими (производят одинаковое ощущение громкости) при выполнении равенства E*nf = E*nc, (3) W, (2) W W*nc (4) W„ I hf/vf величину £(N) = L0'2"^^ N+N(fa). Тогда расстояния между соседними рецепторами внутреннего ряда 1(f) могут быть рассчитаны по очевидному равенству l(N) = l(N+1) - l(N), а для рецепторов наружных рядов, ответственных за ощущение громкости звуков [3], Л^), - вдвое короче. В том же соотношении (2) t*c и t*f - длительности прохождения волнами сравниваемых частот просвета h между вестибулярной и текториальной мембранами (время переноса энергии в эндолимфатическом протоке). Просвет можно считать постоянным по всей длине улиткового протока (возможно, за исключением небольших его торцовых участков). Результат заметно упрощается, если принять, что величина просвета обратно пропорциональна межрецепторным расстояниям. Тогда К_ - hc/vc _ Af vf * t „ наблюдаемого в рецепторном отделе уха. Равенство громкости тонов отражает ответ равного числа n сенсоров, возбужденных при раздражении, проявляясь в субъективности ощущений. Но, по Веберу, это равенство является объективным для количественных соотношений при преобразовании энергии в рецепторном отделе. Звуки с интенсивностями I*nf и I*nc (соответственно с энергиями W*nf и W*nc) будут равногромкими, если они окажут одинаковое раздражающее действие I* на рецепторы: I*nf = I*nc, или, что то же самое, -^ = 1. nc Вводя морфофункциональные параметры улиткового протока и используя определение интенсивности волн, выражающее их связь с энергией W, получим: Здесь S*c и S*f - площади базилярной мембраны, занимаемые возбуждаемыми наружными во-лосковыми клетками под действием волн стандартной и произвольной частот, пропорциональные квадрату межрецепторных расстояний Дс и Дг Последовательность координатного распределения рецепторов внутреннего ряда l(N) на базилярной мембране длиной Lo, воспринимающих частоту f(N) при максимально воспринимаемой ухом частоте fmo = 20 кГц, удовлетворяет акустоволновой модели [4] 2 lg f- 1 (f) = Lo 2 fmo , где частота f, выражаясь функцией номера N возбуждаемого рецептора произвольной и стандартной частот, подчиняющиеся эффекту дисперсии в жидкостях внутреннего уха согласно акустоволновой модели слуха [4] и удовле- 21g^- творяющих соотношению v(f) = 1 + 2 ™ , - ' vmo Ac vc, где vf и vc - скорости волн I*f W*f S* t* nf nf c c T* = I*~~ Sf tf nc nc f f - lg- Nmo N„ /ут. т\ х- mVlg2 N+N(fa) соотношением t(JN)-tmolU' Л , дает Таким образом, отношение энергии звуковых волн произвольной и стандартной частот для равногромких тонов во внутреннем ухе прямо пропорционально отношению межрецепторных расстояний и обратно пропорционально отношению парциальных скоростей волн в жидких средах внутреннего уха. Безразмерная величина G(f) определяет отношение энергий равногромких тонов: она показывает, во сколько раз одна из них должна быть больше другой для ощущения равно-громкости, и может служить критерием равногром-кости тонов разной высоты (рис. 1а). Особенностью критерия G(f) является его определение через подчиняющиеся акустоволновой модели параметры морфо-структур внутреннего уха (межрецепторные расстояния и просвет эндолимфатического протока) и физические характеристики звука (скорость диспергированных волн в жидкостях улитки). 2. Механизмы равногромкости источников звуков. Интенсивность звука устанавливается ее определением в окружающей среде. Поступающая на барабанную перепонку от источников звука энергия волн произвольной частоты Wnf, отнесенная к энергии волн Wnf Inf стандартной частоты W^, равна -n- = - ,так как ^nc Inc обе величины приходятся на одну и ту же поверхность - на барабанную перепонку (Sfo = const) и длительность прохождения волной расстояния от входного отверстия наружного слухового прохода до нее можно считать одинаковой из-за пренебрежения дисперсией звука в воздухе. Преобразование происходит по закону сохранения и превращения энергии, который в виде W, _ Wf Это означает, что для ощущения звука на частоте, отличной от стандартной, требуется большая энергия, увеличение которой вызвано значительным ростом межсенсорных расстояний Л- при изменении частоты. Возможно, это связано с большим объемом внутрила-биринтных жидкостей над рецепторами, который надо привести в колебательное движение для физиологического ощущения звука той же громкости. Величина G(f) приобретает смысл частотного эквивалента равногромких тонов (рис. 1а). Отметим для него два уложения. Первое устанавливает, что абсолютное приращение относительного уровня интенсивности звука относительно n-ого уровня для равногромких тонов равно абсолютному приращению психофизического эквивалента: приводит к соотношению Wnf _ Inf _ Af vc Ac vf Ас vf nc где vmo = 1600 м/с - скорость в перилимфе звука с максимально воспринимаемой ухом частотой fmo. Окончательно получаем: Wnf _ Af vc _ Рисунок 1. Моделирование равногромкости тонов: а - расчет психофизического частотного эквивалента равногромких тонов G(f); б - расчет частотной функции (E(f). получаем закон Вебера - Фехнера в привычном виде. Граничные условия с частотой fo = 20 Гц и/или fmo = 20 кПц при вторых1- = Imo, Еп-= причем Еmo = Еnc (как для равногромких тонов), а также lg -m = Lmo = Emo (по oc декларативному соглашению) и lg - = Lnc = L, приводит oc к тому, что ЕпС = lg!m + lg Gmo = Lmo + lg Gmo, AInf I, = AG(f), что приводит к соотноше- V^ncy ПС нию Д1п- = Inc ДG(f). Из этого равенства вытекает второе уложение об относительном приращении интенсивности звука по частоте на n-ом уровне, которое составляет _ AInf _ In AG AI -AG = I ) n Inf Ef G lg e lg e L kf Теперь вернемся к экспериментальному закону Вебера, по которому приращение ощущения громкости тона ДЕ пропорционально относительному прираще- Тогда = (L-Lmo). откуда lg e E = L + (LnC - Lmo) IgG mo или IgG lg G lg^-lg^ mo AI AI нию интенсивности звука-, т.е. ДЕ = k -. Но I 1 приращение интенсивности звука Д! может отражать приращение как по уровню интенсивности Д1и так и по частоте Д- и в общем случае представляться суммой с соответствующими коэффициентами пропорциональности kL и kf I E= lg--+ Imo lg G: loc loc ) lg Gmo Отметим две особенности второго слагаемого в решении уравнения. Оно состоит из двух сомножителей. Для lg G на стандартной частоте на любом n-ом уровне lg Gnc = 0, на максимально и минимально воспринимаемых частотах fmo = 20 кГц и fo = 20 Ец lg Gmo‘lg e ^ 1, так что функцию (Е(-) = lg G(f)‘lg ee[0; 1] можно считать нормированной (рис. 1б). Назовем эту функцию (E(f) mo OC OC AI AI AG AE = kL|y /ft+t4Tjn'k4Tjfc+k' Переходя к бесконечно малым, получаем дифференциальное уравнение частотной, при этом Е - L + lg -- (Е. Второй сомножитель то (8) dG G dE = kL | у + kf (5) I L lmo V loc lg7~ =1g = lg -lg = L-L„ I V.1qc V^ocy то у то интегрируя которое в пределах для Е от 0 до Е, для I от Ioc до I и для G от Gnc= 1 до G, имеем - это уровень звука относительно верхней комфортной интенсивности Imo. Назовем его обращенным (versus Level) с обозначением Г. Для L<Imo (для комфортных интенсивностей звука) обращенный уровень Г< 0, и наоборот. В краткой записи итоговый результат Е = L + Г (Е (9) означает, что громкость тона E, ощущаемой на слух от звука произвольной частоты и уровня интенсивности, равна уровню интенсивности звука L, уменьшенному на произведение обращенного уровня интенсивности этого звука и частотной функции на этой частоте. Соотношение (9) - интегральный закон Вебера в авторской форме. Функция (9) геометрически представляется поверхностью, моделирование которой приведено на рис. 2а. Для идентификации назовем ее поверхностью Вебера. Частично прозрачная, она представлена в полной цветовой палитре. Красная вертикальная полупрозрачная плоскость фиксирует уровень интенсивности звуков Е 1 dl °dG I JdE = kL I ^ + kf 1 ^ = kL ln^-- + kf InGoc 0 Ioc 1 ‘ 1 G “I Переход к десятичным логарифмам дает общее решение E=-^ IgT^ + T^ IgG. lg e Ioc lg e (6) Декларативное условие для стандартной частоты f = fc = 1 кГц, для которой Inf = Inc, дает Еп- = Еnc (как для Inc равногромких тонов) и lg i- = Lnc = Enc, а также Gnc = 1, oc kL или lg G = 0, приводит к тому, что ig e = 1. Окончательно для стандартной частоты Е = lg-!- (7) I Рисунок 2. Графическое представление закона Вебера по автору в 3D системе координат LEF, а - поверхность Вебера и реперные плоскости с осью интенсивности звука L, Б, осью десятичного логарифма относительных частот звука F = lg(f/fmo) относительно максимально воспринимаемой fmo = 20 кГц (при этом Fmo = 0 для f = fmo = 20 кГц, Fo = -3 для f = fo = 20 Гц; масштаб 10 ед. = -1); вертикальной осью уровней громкости тонов Е, в фонах; б - поверхность Вебера как гиперболический параболоид с характеристическими плоскостями. L = 5 Б. Серая вертикальная плоскость прямой CD описывает тон произвольных параметров. Голубая вертикальная плоскость соответствует стандартной частоте Бс= lg(fc/fmo) = -1.301, ее сечение поверхности Вебера, - прямая АВ, - описывает тон стандартной высоты 1000 мел произвольной громкости Е, ощущаемый на слух при раздражении рецепторов звуком стандартной частоты 1000 Гц произвольной интенсивности I (произвольного уровня интенсивности L): прямой АВ устанавливается частный случай - закон Вебера - Фехнера для стандартной частоты, поэтому и саму плоскость можно идентифицировать как плоскость Фехнера. Линия OS сечения поверхности Вебера желтой непрозрачной горизонтальной плоскостью фиксирует равногромкие тоны с уровнем громкости Е = 50 фон. Отрезок RS устанавливает то приращение уровня интенсивности звука ДL, которое требуется для поддержания громкости тона на заданном уровне Е, при этом приращение уровня интенсивности звука ДL пропорционально приращению частотной функции ДG, соответствующего отрезку OR. ■ ОБСУЖДЕНИЕ Представленное обоснование не является единственным. Для моделирования и расчета искомой громкости E(I,f) удобнее использовать (9) в виде: E(L,f) = L - ‘(Lmo - L) (E(f). (10) Поверхность Вебера вместе с формулами (9) и (10) изящно иллюстрирует эффект равногромкости тонов и раскрывает механизмы восприятия тонов различных параметров, обусловленных звуками разных частот и интенсивностей. Проекция поверхности Вебера на координатную плоскость FOL описывает картину в плоском варианте (рис. 2а). Изофоны содержатся в параллельных плоскостях. С математической точки зрения уравнение (9) представляет собой функцию второй степени, которая обнаруживает свойства, характерные для гиперболического параболоида (рис. 2б). Поверхность образована параллельным скольжением образующих парабол друг вдоль друга; в горизонтальных сечениях она имеет гиперболы, вырождающиеся в пару прямых; она является линейчатой поверхностью: всегда находится точка, через которую проходит пара прямолинейных образующих. Психофизическая оценка ощущения на слух звукового раздражения заключается в том, чтобы определить предельный уровень громкости того тона, при котором под действием звуков не наблюдалось бы дисфункции слуха и деструкции структур уха. Закон Вебера в авторской форме является биофизической основой разработки психофизических механизмов морфофункциональной природы этих эффектов. ■ ЗАКЛЮЧЕНИЕ Представлен закон Вебера для слуха, основанный на экспериментальных данных и получивший авторское научно-теоретическое обоснование и графическую интерпретацию. Вектор инновационных приложений использования полученных результатов весьма разнообразен. Закон Вебера по автору может служить для многих практических дисциплин, использующих расчет громкости звуков различных частот и интенсивностей: от настройки слуховых имплантов и радиотехнических устройств и мониторинга шумовых производств до проектирования, разработки и использования индивидуальных акустических дозиметров.