Jordan form of the product of two diagonalizable matrices, each of which has two different eigenvalues

Full Text

Понятие собственного значения является важнейшим в теории матриц и линейной алгебре. Нахождение собственных значений данной матрицы составляет, зачастую, не простую вычислительную задачу, поэтому изучению спектральных особенностей классов матриц посвящено большое число работ [1–10].

Цель работы

Цель работы — изучение матричного класса определяемого произведением двух матриц похожих на инволюции, исследованием свойств спектра таких матриц.

Результаты и обсуждение

Каждую матрицу вида, определяемого в названии этой статьи, можно представить в виде некоторого проектора умноженного на число плюс скалярная матрица. Таким образом, в этой работе рассматривается спектр таких выражений F′ = (aR + bI)(αQ + βI), где R и Q два проектора. Деление матрицы F′ на число aα позволяет далее работать только с двумя параметрами:

F′(aα)^–1 =F = (R + μI)(Q + νI); μ = ba^–1, ν = βα^–1. (1)

В работах [11–16] изучаются особенности спектра для простых выражений от двух проекторов. Характерной особенностью спектра для линейной комбинации двух проекторов [14–16] является симметрия относительно некоторого значения β. Если есть несколько клеток J_k(λ), то есть ровно столько же клеток J_k(2β – λ). Для некоторых величин собственного значения λ этой линейной комбинации, указанная симметрия может быть несколько нарушена.

В настоящей работе методы, использованные для получения результатов в работах [14–16], применяются для выражения (1). Сформулируем следующую теорему, основной результат в данной статье.

Теорема 1. Пусть матрицу F можно представить в виде

F = (R + μI)(Q + νI); μ, ν ∉ {0, –1} (2)

от проекторов R и Q и параметров μ, ν.

Определим выражение

ρ = μ(μ + 1)ν(ν + 1),

и множество

σ = {μν, μ(ν + 1), (μ + 1)ν, (μ + 1)(ν + 1)}.

В зависимости от величины λ — собственного значения матрицы F для канонической формы Жордана этой матрицы выполняются следующие условия (необходимые условия):

а) при λ² ≠ ρ и λ ∉ σ в канонической форме Жордана матрицы F если есть несколько клеток J_k(λ), то есть ровно столько же клеток J_k(ρλ^–1);

б) при λ² ≠ ρ и λ ∈ σ в канонической форме Жордана матрицы F вместе с клеткой J_k(λ) с k > 1 имеется клетка J_l(ρλ^–1), где |k – l| ≤ 1. Клетка J₁(λ) может не иметь такой парной клетки;

в) при λ² = ρ и λ ∉ σ клетка J_k(λ) должна иметь четный порядок.

Если собственное значение λ матрицы F из формулы (2) при заданных параметрах μ, ν попадает в области, задаваемые в пунктах а), б) и в) данной теоремы, и выполняются соответствующие условия для канонической формы Жордана матрицы F из этих пунктов, то этого достаточно для того чтобы существовали два проектора R и Q, такие что F = (R + μI)(Q + νI).

В работах [2–6] рассматривается случай произведения двух инволюций. В теореме 4 из работы [2] получен следующий результат. Невырожденная матрица A порядка n тогда и только тогда представима произведением двух инволюций, когда в канонической форме Жордана матрицы A клеток J_k(λ) столько же, сколько клеток J_k(λ^–1).

Каждая инволюция B может быть представлена как линейное выражение от проектора Q: B = 2Q – 1. Таким образом, можно применить теорему 1 из настоящей работы к такой матрице F = (R + μI)(Q + νI), где μ = ν = –0,5; ρ = 1/16; σ = {0,25; –0,25}. Из определения (1) имеем F′ = 4F. С учетом этих параметров можно видеть, что пункт а) приведенной выше теоремы 1 совпадает с результатом, полученным с помощью теоремы 4 в работе [2]. В данном случае — произведения двух инволюций, параметры таковы, что случаи б) и в) в приведенной теореме 1 невозможны.

В теореме 1 нет условия, которое было бы связано с областью величин собственных значений λ, задаваемой как λ² = ρ и λ ∈ σ. Однако возникает вопрос о том, существуют ли два проектора, таких, что выполняется условие (2) в этой области? В настоящей работе дается положительный ответ на этот вопрос. Такой же вопрос для теоремы 4 из работы [2] формулируется в несколько иной форме: можно ли жорданову клетку J_k(±1) представить в виде произведения двух инволюций? Такое представления дано ниже в конце раздела о вычислении матрицы $W\text{'}=\overline{P}W\overline{P}$.

В работе [6] доказана теорема 1 о том, что матрица есть произведение двух инволюций тогда и только тогда, когда эта матрица обратима и подобна своей обратной.

Рассмотрим матрицу F′ = (aR + bI)(αQ + βI). Для простоты считаем, что у матрицы F = F′(aα)^–1 из формулы (1) есть только собственные значения, удовлетворяющие лишь условию а) теоремы 1. Таким образом, матрица F подобна такой:

$\mathrm{diag}\left\{J_{k_1}\left(x_1\right), J_{k_1}\left(\rho x_1^{-1}\right), J_{k_2}\left(x_2\right), J_{k_2}\left(\rho x_2^{-1}\right), ...\right\}.$

Нетрудно показать, что если параметры матрицы F′ удовлетворяют соотношению b(a + b) β(α + β) = 1, то F′ подобна такой матрице

$\mathrm{diag}\left\{J_{k_1}\left({\lambda }_1\right), J_{k_1}\left({\lambda }_1^{-1}\right), J_{k_2}\left({\lambda }_2\right), J_{k_2}\left({\lambda }_2^{-1}\right), ...\right\};$ λ_i = x_iaα.

Таким образом, при этих значениях параметров матрица F′ подобна своей обратной.

Поэтому, в дополнение к результату теоремы 1 из работы [6], можно добавить, что матрица подобная своей обратной может быть представлена не только в виде произведения двух инволюций, но в виде произведения двух матриц вида a ∙ R + b ∙ I, определяемых проекторами R, Q.

Используемые факты и обозначения

Обозначим M_m,n — множество прямоугольных матриц размера m×n, с элементами из поля $\mathrm{ℝ}$ или $\mathrm{ℂ}$. Кроме того, введем еще некоторые обозначения:

M_n — множество квадратных матриц порядка n;

λ(A) — множество собственных значений квадратной матрицы A;

λ_i(A) — i-e собственное значение квадратной матрицы A;

I_n — единичная матрица порядка n (или просто I);

diag(A₁, A₂, …) — блочно-диагональная матрица, на диагонали которой расположены квадратные матрицы A_i.

Матрица Q ∈ M_n называется проектором, если справедливо равенство Q² = Q. Матрица V ∈ M_n называется матрицей инволюции, если для нее выполняется равенство V² = I.

Определим квадратную матрицу T_n порядка n, содержащую n – 1 единицу в соседней с главной диагональю «наддиагонали» и нули во всех остальных позициях матрицы (таким образом, T₁ = 0, (T_n)ⁿ = 0).

Умножение прямоугольной матрицы M на матрицу T слева или справа приводит к сдвигу элементов матрицы M соответственно на одну строку вверх или один столбец вправо. Изобразим это символически

$TM=M\uparrow , MT=\overrightarrow{M};$

$\left(T^{T}M=M\downarrow , M{T}^T=\overleftarrow{M}\right)$ (3)

Жорданову клетку J_n(λ) порядка n можно задать так

J_n(λ) = λI_n + T_n.

Матрица вида $W={\sum }_{k=0}^{n-1}{w}_k{T}_n^k \left(T_n^0=I_n\right)$ является теплицевой верхней треугольной (ТВТ). Назовем множество таких матриц ТВТ-матрицами. Все ТВТ-матрицы перестановочны. Этому множеству принадлежат единичная матрица — I_n, жорданова клетка — J_n(λ) и матрица T_n.

Определим матрицу геометрической прогрессии: S_n(x) = diag(1, x, x², …, x^k–1). Случай x = –1 обозначим особо: S_n(–1) = S_n = S.

Часто будут применяться такие равенства:

S_n(x^–1)T_nS_n(x) = xT_n;

$\left(S_n\left(x^{-1}\right)T_n^m{S}_n\left(x\right)=x^m{T}_n^m\right);$ (4)

J_n(x) = xS_n(x)(I_n + T_n)S_n(x^–1). (5)

Доказательство формул (4), (5) сводится к применению определений участвующих матриц.

О теореме Фландерса

Для обоснования полученных в работах [15, 16] результатов, а также в настоящей работе большое значение имеет теорема, которую иногда называют теоремой Фландерса [17–19]. Эту теорему можно сформулировать так.

Теорема Фландерса 2.

Пусть A ∈ M_m, B ∈ M_n. Для того чтобы система уравнений

$\left\{\begin{array}{l}XY=A\\ YX=B\end{array}\right., X\in M_{m,n}, Y\in M_{n,m},$

относительно неизвестных матриц X и Y имела решение, необходимо и достаточно выполнить следующие условия:

а) канонические формы Жордана матриц A и B имеют одинаковые наборы жордановых клеток для ненулевых собственных значений;

б) если g₁ ≥ g₂ ≥ … ≥ g_s и h₁ ≥ h₂ ≥ … ≥ h_t — это размеры вырожденных жордановых клеток в канонических формах Жордана матриц A и B, то обязательно будут справедливы условия |g_i – h_i|≤ 1, при i ≤ min(s, t). В случае i > min(s, t) числа g_i или h_i, если таковые имеются, будут все равны единице.

О матрице Паскаля

Матрица Паскаля [20] определяется как верхняя треугольная матрица

Р = P_k = {p_ij} (i, j = 1, …, k), где $p_{ij}=\left(\begin{array}{l}j-1\\ i-1\end{array}\right)$.

(Напомним, что биномиальный коэффициент $\left(\begin{array}{l}j\\ i\end{array}\right)$ нулевой при j < i [21]).

Матрица PS является инволюцией

PSPS = I; P^–1 = SPS. (6)

Поскольку эта инволюция далее встречается часто, обозначим ее как

${\overline{P}}_k=P_k{S}_k$. (7)

Доказательства свойств матрицы Паскаля можно найти в работе [20].

Решение однородного дискретного уравнения Сильвестра

В работе [22] представлено решение однородного дискретного уравнения Сильвестра для случая, когда коэффициенты уравнения являются жордановыми клетками

J_m(x)ZJ_n(y) – xyZ = 0; x, y ≠ 0. (8)

Изложим результаты, полученные в работе [22], которые использованы в настоящей работе. Учитывая уравнение (5), сделаем в формуле (8) замену Z = S_m (x)VS_n(y^–1), получим

(I_m + T_m)V(I_n + T_n) – V = 0. (9)

Из полученного уравнения (9) имеем уравнение (I_m + T_m)V=V(I_n + T_n)^–1 и T_mV = V(–T_n + T_n² – …). Следовательно, умножение решения уравнения (9) на ТВТ-матрицу слева можно заменить умножением на некую ТВТ-матрицу справа. Таким образом, получим лемму:

Лемма 1. Если V является решением уравнения (9), то для любой матрицы W₁ ∈ TBT_m существует матрица W₂ ∈ TBT_n так, что W₁V = VW₂. Из уравнения (9) получаем эквивалентное уравнение

T_mV + VT_n + T_mVT_n = 0. (10)

Учитывая перестановочность ТВТ-матриц, получим еще одну лемму:

Лемма 2. Если матрица V является решением уравнения (10), то умножив эту матрицу на ТВТ-матрицу слева или справа, снова получим решение уравнения (10).

Утверждение 1. Решение уравнения (8) дается формулой

Z = S_m(x)WVS_n(y^–1),

где матрица V ∈ M_m,n имеет вид

m = n: V = U; m > n: $V=\left[\begin{array}{l}U\\ 0\end{array}\right];$ m < n: V = [0 U]. (11)

Причем $U=\overline{P}=PS\in M_{\min (m,n)}$ W ∈ M_m — произвольная ТВТ-матрица.

Множители типа S_m(x), W можно «затащить» в блочные матрицы в перечисление формул (11). Так, для умножения ТВТ-матрицы W на блочную матрицу $\left[\begin{array}{l}V\\ 0\end{array}\right]$ можно представить матрицу W в блочном виде и получить

$W\left[\begin{array}{l}V\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}W\text{'} *\\ 0 *\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}V\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}W\text{'}V\\ 0\end{array}\right].$

Здесь W′ также ТВТ-матрица, но меньшего размера, в некотором смысле «вырезка» из исходной матрицы W. Матрицу геометрической прогрессии S_m(x) при m > n можно представить в блочном виде как

S_m(z) = diag{S_m–n(z), z^m–nS_n(z)}.

Учитывая сказанное утверждение 1 можно сформулировать иным образом:

Теорема 3. Решение уравнения (8) при условии, что m = n дается формулой

$Z=S_m\left(x\right)W{\overline{P}}_m{S}_m\left(y^{-1}\right),$ (12)

при m > n:

$Z=\left[\begin{array}{l}{S}_n\left(x\right)W{\overline{P}}_n{S}_n\left(y^{-1}\right)\\ 0_{m-n, n}\end{array}\right],$ (13)

при m < n:

$Z=y^{m-n}\left[0_{n-m, m} S_m\left(x\right)W{\overline{P}}_m{S}_m\left(y^{-1}\right)\right].$ (14)

Здесь матрица W — произвольная ТВТ-матрица соответствующего порядка. Этот произвольный множитель может быть расположен в формулах (12)–(14) после матрицы $\overline{P}$.

Вычисление матрицы $W\text{'}=\overline{P}W\overline{P}$

Если m = n, решение уравнения (10) в соответствии с утверждением 1 будет иметь вид $V=\overline{P}=PS$. Согласно лемме 1 справедливо равенство $W\overline{P}=\overline{P}W\text{'}$. Отсюда следует: $\overline{P}W=W\text{'}\overline{P}$. Возникает вопрос: как по ТВТ-матрице W найти ТВТ-матрицу W′, удовлетворяющую равенству $W\overline{P}=\overline{P}W\text{'}$. Ответ на этот вопрос дает утверждение 2:

Утверждение 2. Пусть $W={\sum }_k{w}_k{T}^k$ и $W\text{'}={\sum }_k{w\text{'}}_k{T}^k$ две ТВТ-матрицы, причем $W\text{'}=\overline{P}W\overline{P}.$

Два строчных вектора w и w′, задаваемых матрицами W и W′, имеют вид

$w=\left(w_0, w_1, ..., w_{n-1}\right);$ $w\text{'}=\left({w\text{'}}_0, {w\text{'}}_1, ..., {w\text{'}}_{n-1}\right).$

Тогда

$w\text{'}=w \mathrm{diag}\left\{1, -{\overline{P}}_{n-1}^{}\right\}.$

Матрица $\overline{P}$ есть решение уравнения (9) — $\left(I+T\right)\overline{P}\left(I+T\right)=\overline{P}$. Отсюда получаем $\left(I+T\right)\overline{P}=\overline{P}{\left(I+T\right)}^{-1}$ или $T\overline{P}=\overline{P}\left(-T+T^2- ... \pm T^{n-1}\right).$

Обозначим матрицу H = –T + T² – … ±T^n–1, тогда для произвольной ТВТ-матрицы $W=\sum _{k=0}^{n-1}{w}_k{T}^k\in M_n$ выполняется равенство

$\begin{array}{c}W\overline{P}=\left(w_{0}I+\sum _{s=1}^{n-1}{w}_s{T}^s\right)\overline{P}=\\ =\overline{P}\left(w_{0}I+\sum _{s=1}^{n-1}{w}_s{H}^s\right)=\overline{P}W\text{'}.\end{array}$ (15)

Отметим, что $w{\text{'}}_0=w_0$.

Вычисление степеней матрицы H производится по формуле

$H^s=\sum _{k=s}^{n-1}\left(\begin{array}{l}k-1\\ s-1\end{array}\right){\left(-1\right)}^k{T}^k,$

поэтому сумма в правой части равенства (15) принимает вид

$\begin{array}{c}\sum _{s=1}^{n-1}{w}_s{H}^s=\sum _{s=1}^{n-1}{w}_s\sum _{k=s}^{n-1}\left(\begin{array}{l}k-1\\ s-1\end{array}\right){\left(-1\right)}^k{T}^k=\\ =\sum _{k=1}^{n-1}{\left(-1\right)}^k{T}^k\sum _{s=1}^{n-1}\left(\begin{array}{l}k-1\\ s-1\end{array}\right) w_s.\end{array}$

Таким образом, получены компоненты вектора $w\text{'}$:

$w{\text{'}}_k={\left(-1\right)}^k\sum _{s=1}^k\left(\begin{array}{l}k-1\\ s-1\end{array}\right) w_s, k=1, ..., n-1.$

Следовательно $w{\text{'}}_{}=w \mathrm{diag}\left\{1, -{\overline{P}}_{n-1}\right\}$, и утверждение 2 доказано.

Отметим, что матрица diag {1, P_n–1} представляет собой модификацию матрицы Паскаля

P_n = (I_n + T_n) diag {1, P_n–1}. (16)

Из формулы (16) получаем:

(I_n + T_n) = (P_nS_n) diag {1, –P_n–1S_n–1},

(I_n – T_n) = (S_nP_n) diag {1, –S_n–1P_n–1}. (17)

Следовательно, жордановы клетки J_n(1), J_n(–1) можно представить в виде произведения двух инволюций.

Функции φ(x), ψ(x), f(x)

Важное значение в настоящей работе имеет функция φ(x) с параметрами μ и ν

φ(x) = (μ + 1) [x² – μ(2ν + 1)x + μ²ν(ν + 1)], (18)

и связанная с ней функция

ψ(x) = μ[x² – (μ + 1)(2ν + 1)x + (μ + 1)²ν(ν + 1)].

Уравнения φ(x) = 0 и ψ(x) = 0 имеют следующие решения:

если φ(x) = 0 то имеем x₁ = μν, x₂ = μ(ν + 1);

если ψ(x) = 0 то имеем x₃ = (μ + 1)ν, x₄ = (μ + 1)(ν + 1). (19)

Решения этих уравнений составляют вместе множество σ из теоремы 1.

Из теоремы 1 приведем константу

ρ = μ(μ + 1)ν(ν + 1)

и определим величину y, связанную с x,

xy = ρ.

Имеют место тождества:

φ(x) – ψ(x) = x² – ρ; (20)

φ(y)(y² – ρ)^–1 = –ψ(x)(x² – ρ)^–1; (21)

φ(x)(x² – ρ)^–1 – [φ(x)(x² – ρ)^–1]² = –φ(x)ψ(x)(x² – ρ)^–2. (22)

Выражение (22) обозначим как функцию

f(x) = –φ(x)ψ(x)(x² – ρ)^–2. (23)

Видно, что x_k из равенств (19) это нули функции f(x). Проверка показывает, что выполняются неравенства:

f ′(x_k) ≠ 0, k = 1, 2, 3, 4. (24)

Функции f(x), φ(x), ψ(x) будут вычисляться от матриц:

$f\left(J_n\left(x\right)\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{\left(k\right)}\left(x\right)T_n^k }{k!}, T_n^0=I_n.$ (25)

f(diag{…, J_n(x)…, J_m(y), …}) = diag{…, f(J_n(x))…, f(J_m(y)), …}. (26)

Функции от матриц и формулы (25), (26) есть в работе [23].

Связь элементов ТВТ-матриц f(J_k(x)) и f(J_k(y)).

Представляет интерес переход от коэффициентов ряда (25) для f(J_n(x)) к коэффициентам ряда (25) для f(J_n(y)). Вначале возьмем эти коэффициенты в несколько измененном виде. Для этого определим вектор-строки:

u = (u₀, …, u_k–1); u_s = x^sf^(s)(x);

v = (v₀, …, v_k–1); v_s = y^sf^(s)(y). (27)

Некая матрица B связывает векторы u и v

u = vB. (28)

Из равенств (21) и (22) следует, что f(x) = f(y).

Дифференцируя, обе части последнего равенства получаем:

$f\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(y\right)y{\text{'}}_x; \Rightarrow xf\text{'}\left(x\right)=-yf\text{'}\left(y\right),$

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)x^2=2f\text{'}\left(y\right)y+f\text{'}\text{'}\left(y\right)y^2,$ и так далее.

Будем вычислять эти производные по рекуррентной формуле

$f^{\left(t\right)}\left(x\right)x^t=\sum _{s=1}^t{b}_{st}{f}^{\left(s\right)}\left(y\right)y^s, 1 \le t \le n-1.$

Коэффициенты b_st являются элементами верхней треугольной матрицы B′ = {b_st}, при этом матрица B′ есть блок в матрице B:

B = diag {1, B′}. (29)

Для этих коэффициентов можно вывести формулу

$b_{st}=(-1{)}^t\left(\begin{array}{l}t-1\\ s-1\end{array}\right)\frac{t!}{s!}, 1\le s, t\le n-1.$

Определяем диагональную матрицу

K = diag{1, …, [(i –1)!]^–1, …}, 1 ≤ i ≤ n. (30)

Тогда имеем равенство K^–1BK = diag(1, P′), где P′ — модификация матрицы Паскаля P′ = –P_n–1S_n–1

$K^{-1}BK=\mathrm{diag}\left\{1, -{\overline{P}}_{n-1}\right\}.$ (31)

Таким образом, определена матрица B связывающая векторы u и v.

Уравнение, связывающее матрицы F и R

Матрица F в формуле (1) представлена в виде произведение линейных биномов от проекторов R и Q:

F = (R + μI)(Q + νI). (32)

Используем следующее свойство линейной комбинации проектора R и единичной матрицы

(R + μI)^–1 = (μ(μ + 1))^–1[(μ + 1)I – R]; μ ≠ 0, –1. (33)

Применив свойство (33) в выражении (32), получаем уравнение

Q = (μ(μ + 1))^–1[(μ + 1)I – R]F – νI, (34)

Обозначим в уравнении (34) выражение в квадратных скобках через L, т. е. L = [(μ + 1)I – R]. Исключим матрицу Q в уравнении (34), для этого возведем его в квадрат и приравняем к правой части (34):

(μ(μ + 1))^–2LFLF – 2ν(μ(μ + 1))^–1LF + ν²I = (μ(μ + 1))^–1LF – νI. (35)

Умножим обе части уравнения (35) слева на (R + μI):

(μ(μ + 1))^–1FLF – 2νF + ν²(R + μI) = F – ν(R + μI)I. (36)

Раскроем в уравнении (36) скобки и умножим на выражение (μ(μ + 1)), получим искомое уравнение

FRF – ρR = (μ + 1)F² – μ(μ + 1)(2ν + 1)F + μρI;

ρ = μ(μ + 1)ν(ν + 1). (37)

Используем функцию φ(x), из определения (18). Она задает правую часть уравнения (37).

Таким образом, связь матриц F и R задается формулой

FRF – ρR = φ(F). (38)

Поскольку все преобразования при получении формулы (38) из формулы (32) обратимы, то матрицу F можно выразить через проекторы в виде произведения (32) тогда и только тогда, когда выполняется равенство (38).

При известной матрице F формулу (38) можно рассматривать как уравнение относительно неизвестной матрицы R. Это матричное уравнение является частным случаем дискретного уравнения Сильвестра.

Известно [24], что дискретное уравнение Сильвестра имеет вид

AXB – X = C,

X, C ∈ M_m,n, A ∈ M_m, B ∈ M_n

и однозначно разрешимо для любой правой части C, если выполняется условие

λ_i(A)λ_j(B) ≠ 1, (39)

Из ограничения (39) следует, что если у матрицы F из уравнения (38) нет собственных значений λ_i и λ_j, таких, что λ_iλ_j = ρ, то уравнение (38) имеет единственное решение

R = (F² – ρI)^–1φ(F). (40)

Необходимо выяснить, какими свойствами должна обладать матрица F для того, чтобы существовало решение-проектор R уравнения (38).

Применим к матрицам F, R, Q подобие, приводящее матрицу F к жордановой нормальной форме. Обозначим полученные подобные матрицы теми же символами. Таким образом, уравнение (38) не изменит своего вида.

Разделим жордановы клетки матрицы F каким-либо образом на две части

$F=\left(\begin{array}{l}G 0\\ 0 H\end{array}\right).$ (41)

Матрицы G и H имеют такой же блочно-диагональный вид, что и матрица F.

Рассмотрим блочное разбиение проектора R, определяемое блоками G и H

$R=\left(\begin{array}{l}A B\\ C D\end{array}\right),$ (42)

где A и D — квадратные матрицы.

Подставив матрицы (41) и (42) в уравнение(38), получаем следующие уравнения:

GAG – ρA = φ(G), (43а)

HDH – ρD = φ(H), (43б)

GBH – ρB = 0, (43в)

HCG – ρC = 0. (43г)

Поместим в матрицу G все жордановы блоки с собственным значением x матрицы F и собственным значением y = ρx^–1

$\begin{array}{c}G=\mathrm{diag}\left\{..., J_{k_i}\left(x\right), ..., J_{l_j}\left(y\right), ...\right\}, \\ xy=\rho , x^2\ne \rho .\end{array}$ (44)

В матрице H будут находиться все остальные жордановы блоки матрицы F.

Рассмотрим уравнение (43в). С таким выбором матриц G и H для него будет выполняться условие однозначности (39) — λ_i(G)λ_j(H) ≠ ρ, $\forall i, j$, поэтому данное уравнение имеет только нулевое решение — B = 0. Аналогично, C = 0. Отсюда заключаем, что матрицы A и D являются проекторами.

Таким образом, задача (38) разделена на две такие же подзадачи — (43а) и (43б). Однако задача (43а) имеет свою особенность, которая заключается в специфической матрице коэффициентов (44). Задачу (43б) можно подразделить на подзадачи, также же, как и задачу (38), и т. д. Таким образом, важно исследовать особенности уравнения (43а) с матрицей G вида (44).

Рассмотрим устройство проектора A и матрицы G подробнее:

$G=\left(\begin{array}{l}g 0\\ 0 h\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{l}a b\\ c d\end{array}\right),$ (45)

$\begin{array}{c}g=\mathrm{diag}\left\{J_{k_1}\left(x\right), ..., J_{k_i}\left(x\right), ..., J_{k_g}\left(x\right)\right\}, k_i\ge k_{i+1},\\ h=\mathrm{diag}\left\{J_{l_1}\left(y\right), ..., J_{l_j}\left(y\right), ..., J_{l_h}\left(y\right)\right\}, l_j\ge l_{j+1},\\ xy=\rho .\end{array}$ (46)

Аналогично уравнениям (43а) — (43г) имеем:

gag – ρa = φ(g), (47а)

hdh – ρd = φ(h), (47б)

gbh – ρb = 0, (47в)

hcg – ρc = 0. (47г)

Учитывая, что матрица A является проектором, получаем еще четыре условия:

bc = a – a², (48а)

cb = d – d², (48б)

ab + bd = b, (48в)

ca + dc = c. (48г)

Далее при выполнении неравенства x² ≠ ρ условие однозначной разрешимости (39) выполняется для уравнений (47а) и (47б), а учитывая замечание (40) получаем такие решения этих уравнений

a = (g² – ρI)^–1φ(g), d = (h² – ρI)^–1φ(h). (49)

Эти решения должны удовлетворять зависимостям (48а) — (48г). Подстановка решений (49) в уравнения (48в) и (48г) с учетом того, что выполняются равенства (47в) и (47г) дает тождественные равенства.

Подставим матрицы (49) в уравнения (48а) и (48б). В вычислении матриц a и d в формулах (49) участвует одна и та же функция (z² – ρ)^–1φ(z). Учитывая тождества (20) — (22) и выражение (23), в вычислении матриц a – a² и d – d² участвует одна и та же функция f(z):

bc = a – a² = f(g), (50)

cb = d – d² = f(h). (51)

Таким образом, если будут найдены матрицы b и c, такие, что выполняются соотношения (50) и (51), то будет найден проектор A, удовлетворяющий равенству (43а). Матрицы b и c определяются из решения уравнений (47в) и (47г) с помощью теоремы 3.

Необходимость условия а) в теореме 1

Случай x² ≠ ρ и x ∉ σ. Учитывая выражения (25) и (26) при x ∉ σ получаем, что матрицы f(g) и f(h) являются невырожденными. Поэтому, из равенств (50) и (51) следует, что матрицы b и c также невырожденные. Из равенства (47в) получаем равенство

b^–1gb = ρh^–1. (52)

Из равенства (52) следует, что каноническая жорданова форма матрицы h^–1 имеет такое же разбиение на жордановы клетки, как и матрица g. А матрица h имеет такой же набор размеров жордановых клеток как и h^–1. Отсюда следует необходимость выполнения условия а) теоремы 1.

Необходимость условия б) в теореме 1

Случай x² ≠ ρ и x ∈ σ. Имеем равенство f(x) = f(y) = 0. Блоки $f\left(J_{k_i}\left(x\right)\right), f\left(J_{lj}\left(y\right)\right)$, составляющие матрицы f(g) и f(h), являются нильпотентными

$\begin{array}{c}f\left(J_m\left(z\right)\right)=\sum _{k=1}^{m-1}{f}^{\left(k\right)}\left(z\right)T_m^k/k!,\\ z\in \{x, y\}.\end{array}$

Из неравенства (24) следует, что f ′(z) ≠ 0. Нетрудно показать [16], что матрица f(J_m(z)) подобна T_m. Таким образом, учитывая (46), получаем

$\begin{array}{c}bc=f\left(g\right) \mathrm{подобна} \mathrm{diag}\left\{T_{k_1}, ..., T_{k_i}, ..., T_{k_g}\right\},\\ cb=f\left(h\right) \mathrm{подобна} \mathrm{diag}\left\{T_{l_1}, ..., T_{l_j}, ..., T_{l_h}\right\}.\end{array}$ (53)

Применение теоремы Фландерса к матрицам (53) доказывает необходимость выполнения условия б) теоремы 1.

Случай x² = ρ. Если для собственного значения x матрицы F выполняется равенство x² = ρ, то из уравнение (43а) уже не удастся выделить две подзадачи (47а) и (47б). Матрица G в уравнении (43а) имеет вид

$G=\mathrm{diag}\left\{..., J_{k_i}\left(x\right), ...\right\}, x^2=\rho .$

Матрица A в уравнении (43а) подразделяется на блоки в соответствии с блочной структурой матрицы G, и для каждого диагонального блока A_d матрицы A выполняется уравнение

J(x)A_dJ(x) – x²A_d = φ(J(x)). (54)

Выполним замену жордановой клетки J(x) в левой части уравнения (54) с помощью равенства (5) – J(x) = xS(x)(I + T)S(x^–1) и соответствующую замену матрицы A_d – A_d = S(x)ZS(x^–1).

Учитывая уравнение (25), получаем

$\begin{array}{c}{x}^{2}S\left(x\right)\left(ZT+TZ+TZT\right)S\left(x^{-1}\right)=\\ =I\phi \left(x\right)+T\phi \text{'}\left(x\right)+0,5T^2\phi \text{'}\text{'}\left(x\right).\end{array}$ (55)

В правой части выражения (55) можно увидеть выражения:

φ(x)x^–2 = 2μ + 1 – (2ν + 1)x((ν + 1))^–1;

φ′(x)x^–1 = φ(x)x^–2 + 1.

Определим новую величину η = φ(x)x^–2.

Поскольку выполняется тождество $S_k\left(x^{-1}\right)T_k^m{S}_k\left(x\right)=x^m{T}_k^m$, и, учитывая равенство x² = ρ, получаем, что каждый диагональный блок Z удовлетворяет уравнению

ZT + TZ + TZT = Iη + T(η + 1) + T²(μ + 1). (56)

Ниже будет найдено решение-проектор этого неоднородного дискретного уравнения Сильвестра.

Необходимость условия в) в теореме 1

Случай x² = ρ и x ∉ σ. Несложно показать, что для случая η ≠ 0 элементы матрицы Z = {z_i,j} при i – j >1 нулевые. Таким образом, матрица Z — это решение уравнения (56) и является хессенберговой.

Обозначим через k порядок этого блока Z. Пусть х₁, х₂, …, x_k–1 — это элементы «поддиагонали» соседней с главной в матрице Z, тогда главная диагональ матрицы T_kZ + ZT_k + T_kZT_k с учетом правил умножения на матрицу T, описанных в соотношении (3), и того, что матрица Z хессенбергова, будет иметь вид

(х₁, х₁ + х₂, х₂ + х₃, …, x_k–2 + x_k–1, x_k–1).

Из уравнения (56) следует, что все элементы последнего вектора должны быть равны η. Это возможно только если порядок k имеет четное значение. При этом элементы поддиагонали такие

х₁ = х₃ = … = x_k–1 = η;

х₂ = х₄ = … = x_k–2 = 0.

Четность порядка k обосновывает необходимость пункта в) в теореме 2.

Достаточность условия а) в теореме 1

Случай x² ≠ ρ и x ∉ σ. Достаточность следует из следующего примера матрицы G и проектора A из строки (45), удовлетворяющих уравнению (43а).

Матрица G имеет вид

G= diag{g, h}; g = J_k(x), h = J_k(y), xy = ρ.

Блоки a и d матрицы A из формулы (45) заданы в выражениях (49). Блоки b и c матрицы A можно получить как решение уравнений (47в, г) с помощью теоремы 3:

$b=S\left(x\right)W_1\overline{P}S\left(y^{-1}\right); c=S\left(y\right)\overline{P}{W}_{2}S\left(x^{-1}\right).$ (57)

В равенствах (57) все матрицы имеют порядок k. Матрицы W₁ и W₂ — это произвольные ТВТ-матрицы. Учитывая тождество $\overline{P}\overline{P}=I$, уравнения (50), (51) примут вид

bc = S(x)W₁W₂S(x^–1) = f(g), (58)

$cb=S\left(y\right)\overline{P}{W}_2{W}_1\overline{P}S\left(y^{-1}\right)=f\left(h\right).$ (59)

Выразим произведение ТВТ-матриц из формулы (58) — W₁W₂, и, учитывая перестановочность ТВТ-матриц, подставим его в уравнение (59). Тогда получим уравнение

$\overline{P}S\left(x^{-1}\right)f\left(g\right)S\left(x\right)\overline{P}=S\left(y^{-1}\right)f\left(h\right)S\left(y\right).$ (60)

Выполнение равенства (60) обеспечивает наличие проектора A, удовлетворяющего уравнению (43а).

В правой и левой частях равенства (60) есть ТВТ-матрицы:

$S\left(x^{-1}\right)f\left(g\right)S\left(x\right)=\sum _{s=0}^{k-1}{x}^s{f}^{\left(s\right)}\left(x\right)T_k^s(s!{)}^{-1},$ (61)

$S\left(y^{-1}\right)f\left(h\right)S\left(y\right)=\sum _{s=0}^{k-1}{y}^s{f}^{\left(s\right)}\left(y\right)T_k^s(s!{)}^{-1}.$ (62)

Для того чтобы доказать равенство матриц в левой и правой частях равенства (60), достаточно доказать, что первые строки этих матриц равны. Вычисляя первые строки, будем исходить из векторов u и v, определенных в равенствах (27).

Основываясь на равенствах (28), (29) и (30), выразим через вектор v первую строку матрицы (61) и получим строку vBK. Тогда первая строка левой части равенства (60), по утверждению 2, будет такой — vBKX, где $X=\mathrm{diag}\left\{1, -{\overline{P}}_{k-1}\right\}.$

Первая строка матрицы (62) будет иметь вид — vK. Для того чтобы выполнялось равенство vBKX = vK достаточно равенства матриц: BKX = K, равносильного равенству

(K^–1BX)X = I_k. (63)

Причем согласно равенству (31) можно записать: K^–1BX = diag{1, –P_k–1S_k–1}.

Таким образом, в левой части равенства (63) вычисляется произведение двух одинаковых инволюций. Равенство (60) поэтому выполняется, и достаточность условия а) теоремы 1 доказана.

Отметим, что никак не было использовано в этом доказательстве достаточности то, что f(x) ≠ 0, поэтому в случае f(x) = 0, приведенном ниже, рассматриваются только неравные размеры блоков g и h.

Достаточность условия б) в теореме 1

Случай x² ≠ ρ и x ∈ σ. Будет построен пример, когда порядки матриц g и h отличаются на единицу

G = diag{g, h}; g = J_k(x), h = J_k+1(y), xy = ρ.

Размеры матрицы A из формул (45) и ее блоков будут такими

A ∈ M_2k+l, a ∈ M_k, d ∈ M_k+1, b ∈ M_{k, k+1}, c ∈ M_{k+1, k}.

Блоки a и d матрицы A снова задают формулы (49).

Блоки b и c матрицы A устроены следующим образом:

b = [0, b′], b′ ∈ M_k; $c=\left[\begin{array}{l}c\text{'}\\ 0\end{array}\right],$ c′ ∈ M_k,

где блоки b′ и c′, как это следует из теоремы 3, имеют вид

$b\text{'}=S\left(x\right)W_1\overline{P}S\left(y^{-1}\right)y^{-1};$ $c\text{'}=S\left(y\right)W_2\overline{P}S\left(x^{-1}\right).$ (64)

В равенствах (64) все матрицы имеют порядок k.

Произведения матриц b и c можно выразить как

bc = b′T_kc′ ∈ M_k; $cb=\left[\begin{array}{l}0 c\text{'}b\text{'}\\ 0 0\end{array}\right]\in M_{k+1}.$

Уравнения (50), (51) после подстановки выражений из уравнений (64) принимают вид

$\begin{array}{c}bc=f\left(g\right)=y^{-1}S\left(x\right)W_1\overline{P}S\left(y^{-1}\right)TS\left(y\right)W_2\overline{P}S\left(x^{-1}\right)=\\ =S\left(x\right)W_1{W\text{'}}_2\overline{P}T\overline{P}S\left(x^{-1}\right),\end{array}$ (65)

(в этих преобразованиях учитывается, что справедливо равенство S(y^–1)TS(y) = yT; матрицы T и W₂ перестановочны; существует ТВТ-матрица $W{\text{'}}_2$, такая, что справедливы равенства: $W{\text{'}}_2\overline{P}=\overline{P}{W}_2,$ и $\overline{P}W{\text{'}}_2=W_2\overline{P}$),

$c\text{'}b\text{'}=y^{-1}S\left(y\right)\overline{P}{W}_{1}W{\text{'}}_2\overline{P}S\left(y^{-1}\right).$ (66)

Выразим ТВТ-матрицу $W_{1}W{\text{'}}_2$ из выражения (66) и подставим в уравнение (65)

$\overline{P}S\left(x^{-1}\right)f\left(g\right)S\left(x\right)\overline{P}=yS\left(y^{-1}\right)(c\text{'}b\text{'})S\left(y\right)T.$ (67)

Левая часть равенства (67) не отличается от левой части равенства (60). С учетом условия f(x) = 0 аналог выражения (61) для левой части равенства (67) примет вид

$S\left(x^{-1}\right)f\left(g\right)S\left(x\right)=\sum _{s=1}^{k-1}{x}^s{f}^{\left(s\right)}\left(x\right)T_k^s(s!{)}^{-1}.$

Что касается правой части равенства (67), то матрица b′c′ порядка k находится в правом верхнем углу треугольной матрицы cb = f(J_k+1(y)) с нулевой главной диагональю, поэтому имеем

$c\text{'}b\text{'}=\sum _{s=0}^{k-1}{f}^{(s+1)}\left(y\right)T_k^s\left(\right(s+1)!{)}^{-1}.$

Учитывая формулы (4) получим

$S\left(y^{-1}\right)c\text{'}b\text{'}S\left(y\right)=\sum _{s=0}^{k-1}{y}^s{f}^{(s+1)}\left(y\right)T_k^s\left(\right(s+1)!{)}^{-1}.$

Правая часть равенства (67) будет имеет вид

$\begin{array}{c}yS\left(y^{-1}\right)f\left(h\right)S\left(y\right)T=\\ ={\sum }_{s=0}^{k-1}{y}^{s+1}{f}^{(s+1)}\left(y\right)T_k^{s+1}\left(\right(s+1)!{)}^{-1}=\\ =\sum _{s=1}^{k-1}{y}^s{f}^{\left(s\right)}(y)T_k^s(s!{)}^{-1}.\end{array}$

Таким образом, равенство (67) свелось к равенству (60), которое уже доказано. Следовательно, доказана достаточность условия б) теоремы 1.

Достаточность условия в) в теореме 1

Случай x² = ρ и x ∉ σ. Определим линейный оператор от квадратных матриц Z

L_n(Z) = ZT_n + T_nZ + T_n ZT_n.

Построим проектор, дающий решение уравнения (56) при четном значении n. Запишем это уравнение в виде

$L_n\left(Z\right)=I_n\eta +T_n(\eta +1)+T_n^2(\mu +1).$ (68)

Определим треугольную матрицу V_n порядка n, у которой первая строка состоит только из единиц, а главная диагональ содержит чередующиеся единицы и нули. Остальные элементы в верхнем треугольнике строятся так же, как элементы матрицы Паскаля — v_{i+1, j} = v_{i, j–1} + v_{i+1, j–1}.

Рассмотрим матрицу U_n = V_nS_n на основе которой построим решение уравнения (68)

$U_n=V_n{S}_n=\left[\begin{array}{cccccccc}1& -1& 1& -1& 1& -1& 1& \\ & 0& 1& -2& 3& -4& 5& \\ & & 1& -2& 4& -7& 11& \\ & & & 0& 2& -6& 13& ...\\ & & & & 1& -3& 9& \\ & & & & & 0& 3& \\ & & & & & & 1& \\ & & & ...& & & & \end{array}\right].$ (69)

Докажем, что матрица U_n для каждого порядка n является проектором. Для этого обоснуем несколько утверждений.

Утверждение 3. ${\left(U_n^2\right)}_{1, n}={\left(U_n^{}\right)}_{1, n}=(-1{)}^{n+1}.$

Определим векторы-столбцы:

$e_n^{}=(0, 0, ..., 0, 1{)}^T; u_n=U_n{e}_n$

и вектор-строку — первую строку матрицы U_n:

m_n = (1, –1, …, (–1)ⁿ⁺¹); m_n = (1, – m_n–1).

Из определения матрицы U_n следует равенство

$u_n^{}=-\left[\begin{array}{l}{u}_{n-1}^{}\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}0\\ u_{n-1}^{}\end{array}\right]+e_n,$ (70)

которое выполняется независимо от четности порядка n.

Получаем выражение

$\begin{array}{c}{\left(U_n^2\right)}_{1,n}=m_n{u}_n^{}=m_n\left(-\left[\begin{array}{l}{u}_{n-1}^{}\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l} 0\\ u_{n-1}^{}\end{array}\right]+e_n\right)=\\ =-m_{n-1}{u}_{n-1}+m_{n-1}{u}_{n-1}+(-1{)}^{n+1}=(-1{)}^{n+1}.\end{array}$

Утверждение 3 доказано.

Матрица U_n, как нетрудно проверить, удовлетворяет равенству

L_n(U_n) = U_nT_n + T_nU_n + T_nU_nT_n = T_n (71)

для любого значения n.

Утверждение 4. Для того чтобы матрица U_n из формулы (69) была проектором, необходимо и достаточно, чтобы для нее выполнялось равенство U_nT_nU_n = 0.

Необходимость: умножим равенство (71) слева на матрицу U

U²T + UTU + UTUT = UT. (72)

Отсюда следует, что справедливы равенства UTU + UTUT = 0 и UTU = 0, поскольку матрица I + T неособенная.

Достаточность: из выражения (72), учитывая равенство UTU = 0, имеем (U² – U)T = 0. Из последнего равенства следует, что матрицы U² и U могут отличаться одна от другой только в последнем столбце. Умножая равенство (71) на матрицу U справа, аналогично получим равенство T(U² – U) = 0, что означает возможность различия между данными матрицами только в первой строке. А из утверждения 3 следует, что последние элементы первых строк у матриц U² и U совпадают. Таким образом, U² = U.

Утверждение 5. Матрица U_n для любого порядка n является проектором.

Докажем индукцией по n. Для малых значений n база индукции очевидно верна. Пусть U_n — проектор. Следует доказать, что тогда и U_n+1 является проектором. Для этого, воспользовавшись утверждением 4, докажем, что из того, что справедливо равенство U_nT_nU_n = 0, следует, что справедливо равенство U_n+1T_n+1U_n+1 = 0.

Матрицу U_n+1 представим в блочном виде

$U_{n+1}=\left[\begin{array}{c}{U}_n\\ 0\end{array}{u}_{n+1}\right].$

Следующее выражение оказывается нулевым:

$$\begin{gathered} U_{n+1}{T}_{n+1}\left[\begin{array}{c}{U}_n\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{U}_n\\ 0\end{array}{u}_{n+1}\right]\left[\begin{array}{c}{T}_n{U}_n\\ 0\end{array}\right]= \\ =\left[\begin{array}{c}{U}_n{T}_n{U}_n\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]. \end{gathered}$$

Поэтому остается доказать, что справедливо равенство U_n+1T_n+1u_n+1 = 0.

Для этого воспользуемся равенством (70):

$$\begin{gathered} T_{n+1}{u}_{n+1}=T_{n+1}\left(-\left[\begin{array}{c}{U}_n\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}0\\ u_n\end{array}\right]+e_{n+1}\right)= \\ =-\left[\begin{array}{c}{T}_n{u}_n\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{U}_n\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{e}_n\\ 0\end{array}\right]. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} U_{n+1}{T}_{n+1}{u}_{n+1}=\left[\begin{array}{c}{U}_n\\ 0\end{array}{u}_{n+1}\right]\left(-\left[\begin{array}{c}{T}_n{u}_n\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{U}_n\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{e}_n\\ 0\end{array}\right]\right)= \\ =-\left[\begin{array}{c}{U}_n{T}_n{u}_n\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{U}_n{u}_n\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{U}_n{e}_n\\ 0\end{array}\right]=0-\left[\begin{array}{c}{u}_n\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{u}_n\\ 0\end{array}\right]=0. \end{gathered}$$

Здесь использовано равенство U_nT_nU_n = 0, из которого следует равенство U_nT_nu_n = 0; а также равенство $U_n^2=U_n$, из которого следует равенство U_nu_n = u_n. Утверждение 5 доказано.

В работе [25] показано, что линейное многообразие матриц вида: $Y+\sum a_i{R}_i$ может состоять из одних проекторов. Из этой работы следует, что для этого между матрицами Y и R_i должны выполняться следующие соотношения:

Y² = Y; YR_i + R_iY = R_i; R_iR_j + R_jR_i = 0. (73)

Определим три матрицы R₁, R₂ и Y порядка n, так чтобы для них выполнялись равенства (73), и матрица Y + μR₁ + ηR₂ удовлетворяла бы уравнению (68). Подчеркнем, что матрица Y + μR₁ + ηR₂ при любых коэффициентах μ, η является проектором при выполнении равенств (73).

$Y=diag\left\{\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right], I_{n-2}-U_{n-2}\right\}.$ (74)

$R_1=diag\left\{0,\left[\begin{array}{cc}0& U_{n-2}\\ 0& 0\end{array}\right]\right\}.$ (75)

R₂ = YT^T; (Y = R₂T). (76)

Из определений (74) и (75) следует тождество

TY – T + R₁ = 0. (77)

Для матриц R₁, R₂ и Y выполняются равенства

L_n(Y) = YT_n + T_nY + T_nYT_n = T_n + T_n², "n. (78)

L_n(R₁) = R₁T_n + T_nR₁ + T_nR₁T_n = T_n², "n. (79)

L_n(R₂) = R₂T_n + T_nR₂ + T_nR₂T_n = I_n + T_n, "n – четное. (80)

Равенства (78) — (80) можно получить из рассмотрения устройства матриц R₁, R₂ и Y. Из равенств (78) — (80) следует, что матрица Y + μR₁ + ηR₂ удовлетворяет уравнению (68)

L(Y + μR₁ + ηR₂) = I_nη + T_n(η + 1) + T_n²(μ + 1). (81)

Для обоснования того, что матрица Y + μR₁ + ηR₂ — проектор, докажем, что для матриц R₁, R₂ и Y выполняются равенства (73).

Y² = Y. Поскольку U — проектор, то из определения (74) следует, что и выражение Y — проектор.

${\mathit{R}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{0}$. Возведем в квадрат матрицу из определения (75)

${\left[\begin{array}{cc}0& U\\ 0& 0\end{array}\right]}^2=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cc}0& U\end{array}\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& \begin{array}{c}U\\ 0\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& UTU\\ 0& 0\end{array}\right].$

Так как U — проектор, то согласно утверждению 4 получаем что справедливо равенство UTU = 0.

R₁Y = 0. Умножим тождество (77) справа на Y

TY² – TY + R₁Y = 0.

YR₁ = R₁. Умножим тождество (77) справа на R₁

_{$TY{R}_1-T{R}_1+R_1^2=0 \Rightarrow T\left(Y{R}_1-R_1\right)=0.$}

Последнее равенство означает, что у матрицы YR₁ – R₁ все строки, кроме может быть, первой, нулевые. Однако у матриц R₁ и Y первые строки нулевые, поэтому и сама матрица YR₁ – R₁ нулевая.

В полученных до сих пор формулах размер квадратных матриц Y и R₁ мог быть любым. Считаем далее, что все матрицы четного порядка n.

${\mathit{R}}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{0}$. Умножим равенство (78) на R₂ слева, учитывая, что Y = R₂T

$R_2^2{T}^2+Y^2+Y^{2}T=Y+YT\Rightarrow R_2^2{T}^2=0.$

Из последнего равенства следует, что у матрицы $R_2^2$ все столбцы, кроме, может быть, двух последних, нулевые. Матрица R₂ — треугольная, это означает, что матрица R₂ порядка n – 2 в квадрате дает нулевую матрицу. Поскольку n можно выбрать любым, это значит, что матрица R₂ любого порядка в квадрате дает нулевую матрицу.

R₂R₁ = 0. Умножим тождество (77) слева на R₂, учитывая, что справедливо равенство Y = R₂T и то, что матрица Y является проектором

R₂TY – R₂T + R₂R₁ = 0.

R₂Y = 0. Поскольку $R_2^2=0$, имеем равенство $R_{2}Y=R_2\left(R_{2}T\right)=R_2^{2}T=0.$

YR₂ = R₂. Умножим равенство (80) слева на R₂:

$R_2^{2}T+R_{2}T{R}_2+R_{2}T{R}_{2}T=R_2+R_{2}T.$

Учитывая равенства $R_2^2=0$, Y = R₂T и то, что Y проектор, получаем равенство:

R₂TR₂ = R₂ или YR₂ = R₂.

R₁R₂ = 0. Из тождества (77) следует равенство TR₂T = T – R₁. Подставив его в равенство (80), имеем уравнение R₂T + TR₂ – R₁ = I. Умножив последнее равенство справа на R₂, получаем равенство:

$R_{2}T{R}_2+T{R}_2^2-R_1{R}_2=R_2.$

Учитывая соотношения и R₂TR₂ = R₂, получаем равенство R₁R₂ = 0.

Таким образом, обоснована достаточность условия в) теоремы 1.

Случай x² = ρ и x ∈ σ. Эта область величин собственных значений x матрицы F, которая не оговаривается условиями в теореме 1. Однако возникает вопрос о существовании двух проекторов, при которых x находится в этой области значений.

Это случай уравнения (56), когда η = 0:

$L\left(Y+\mu R_1\right)=T_n+T_n^2(\mu +1).$

Здесь решение дается матрицей Y + μR₁, которая есть проектор. Порядок этой матрицы произвольный.

Выводы

Доказанная теорема 1 показывает, что спектр произведения двух диагонализируемых матриц имеющих только два различных собственных значения, имеет свойства симметрии, похожие на свойства симметрии спектра произведения двух инволюций. Из случая б) в теореме 1 видно, что эта симметрия может быть несколько нарушена по сравнению с произведением двух инволюций.

About the authors

Aleksandr M. Vetoshkin

BMSTU (Mytishchi branch)

Author for correspondence.
Email: alexander.vetkin@gmail.com

Cand. Sci. (Tech), Associate Professor

Russian Federation, 1, 1st Institutskaya st., 141005, Mytishchi, Moscow reg.

Aleksandr A. Shum

Tver State Technical University named after Afanasy Nikitin

Email: shum@tstu.tver.ru

Cand. Sci. (Phys.-Math.), Associate Professor

Russian Federation, 22, Afanasy Nikitin Emb., 170026, Tver

References

Supplementary files