Dr. Sc. (Phys. and Math.), Associate Professor, Professor of the Department of Applied Mathematics
доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры прикладной математики
Cand. Sc. (Technical Sciences), Associate Professor, Associate Professor of the Department of Applied Mathematics and Data Analysis
кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и анализа данных
Graduate Student, Siberian Federal University; Engineer, JSC “RESHETNEV”
аспирант, Сибирский федеральный университет; инженер, АО «РЕШЕТНЁВ»
Leading Specialist
ведущий специалист
Graduate student of the Department of Applied Mathematics
аспирант кафедры прикладной математики
In this paper, an analytical method is proposed for solving the problem of magnetometer calibration for a model that takes into account the vector of temperature dependence of zero offsets for each of the measuring axes of the magnetometer unit and the matrix of linear temperature dependence of each of the members of the sensitivity matrix, scaling the signal based on the actual sensitivity of each axis and including linear off-axis effects. When solving the problem of determining the calibration parameters of the magnetometer unit, it is taken into account that for measurements with any spatial orientation of the magnetometer unit, the magnitude of the measured magnetic field strength vector is preserved and is a known model value. A penalty function of 24 variables equal to the sum of the squares of the residuals is introduced into consideration. The algorithm for solving the problem of calibrating the measuring axes of the magnetometer unit is reduced to searching by the method of least squares for such values of the variables of this function that, with a given set of vectors of magnetometer measurements, provide it with a minimum. For this purpose, the specified function is examined for an extremum. Based on the necessary condition for the extremum of the penalty function, a system of 24 equations in the 24 variables is formed, which, for convenience, is divided into three systems (each of them is a system of 8 linear algebraic equations in the 8 variables). It is proved that the main matrix of each of these three systems is an invertible, from which it follows that each of them has a solution, and only one. The components of the solutions of these systems (the coordinates of the stationary point of the penalty function) are found using Cramer's rule. It is proved that the second differential of the penalty function at the found stationary point is positive, from which it follows that this point really provides the minimum of the specified function.
В настоящей работе предложен аналитический метод решения задачи калибровки магнитометра для модели, учитывающей вектор температурной зависимости смещений нуля для каждой из измерительных осей блока магнитометра и матрицу линейной температурной зависимости каждого из членов матрицы чувствительности, масштабирующей сигнал на основе реальной чувствительности каждой оси и включающей линейные внеосевые эффекты. При решении задачи определения калибровочных параметров блока магнитометра учитывается, что для измерений с любой пространственной ориентацией блока магнитометра величина измеряемого вектора магнитной индукции сохраняется и является известной модельной величиной. Вводится в рассмотрение штрафная функция 24 переменных, равная сумме квадратов невязок. Алгоритм решения задачи калибровки измерительных осей блока магнитометра сводится к поиску методом наименьших квадратов таких значений переменных этой функции, которые при заданном наборе векторов измерений магнитометра доставляют ей минимум. С этой целью указанная функция исследуется на экстремум. Исходя из необходимого условия экстремума штрафной функции, формируется система 24 уравнений относительно 24 неизвестных, которая для удобства разбивается на три системы (каждая из них есть система 8 линейных алгебраических уравнений относительно 8 неизвестных). Доказывается, что основная матрица каждой из этих трех систем не вырождена, откуда следует, что каждая из них имеет решение, и притом только одно. Компоненты решений этих систем (координаты стационарной точки штрафной функции) находятся по правилу Крамера. Доказывается, что второй дифференциал штрафной функции в найденной стационарной точке положителен, откуда следует, что эта точка действительно доставляет минимум указанной функции.