## Inverse problems for mathematical models with the pointwise overdetermination

#### Abstract

In the article we examine well-posedness questions in the Sobolev spaces of an inverse source problem in the case of a quasilinear parabolic system of the second order. These problem arise when describing heat and mass transfer, diffusion, filtration, and in many other fields. The main part of the operator is linear. The unknowns occur in the nonlinear right-hand side. In particular, this class of problems includes the coefficient inverse problems on determinations of the lower order coefficients in a parabolic equation or a system. The overdetermination conditions are the values of a solution at some collection of points lying inside the spacial domain. The Dirichlet and oblique derivative problems under consideration. The problems are studied in a bounded domain with smooth boundary. However, the results can be generalized to the case of unbounded domains as well for which the corresponding solvability theorems hold. The conditions ensuring local (in time) well-posedness of the problem in the Sobolev classes are exposed. The conditions on the data are minimal. The results are sharp. The problem is reduced to an operator equation whose solvability is proven with the use of a priori bounds and the fixed point theorem. A solution possesses all generalize derivatives occurring in the system which belong to the space with and some additional necessary smoothness in some neighborhood about the overdetermination points.

## Введение

Мы рассматриваем вопрос об определении вместе с решением функции источника и коэффициентов, характеризующих параметры среды в квазилинейных математических моделях конвекции-диффузии. Пусть $G$ – область в ${ℝ}^{n}$ с границей $\text{Γ}$ класса ${C}^{2}$ и $Q=\left(0,T\right)×G$. Соответствующая параболическая система имеет вид:

$Lu={u}_{t}+A\left(t,x,D\right)u=f\left(x,t,u,\nabla u\right)+{{\sum }^{r}}_{\left(i=1\right)}{f}_{i}\left(t,x\right){q}_{i}\left(t\right),\left(t,x\right)\in Q,$(1)

где $A$ – матричный эллиптический оператор вида $A\left(t,x,D\right)u=-\sum _{i,j=1}^{n}{a}_{ij}\left(t,x\right){u}_{{x}_{j}{x}_{j}}+\sum _{i=1}^{n}{a}_{i}{u}_{{x}_{i}}+{a}_{0}u,$  матрицы, $u$ – вектор длины $h$ и $\stackrel{\to }{q}\left(t\right)=\left({q}_{1}\left(t\right),{q}_{2}\left(t\right),\dots ,{q}_{m}\left(t\right)\right)$ – неизвестные функции, подлежащие определению вместе с решением $u$, которые входят как в правую часть, так и в сам оператор $A$ как коэффициенты. Структуру оператора $A$ мы опишем ниже. Система (1) дополняется начальными и граничными условиями:

(2)

где $Bu=\sum _{i=1}^{n}{\gamma }_{i}\left(t,x\right){u}_{{x}_{i}}+\sigma \left(t,x\right)u$ или $Bu=u$, -я координата внешней единичной нормали к $\text{Γ}$ и ${\gamma }_{i}\left(t,x\right),\sigma \left(t,x\right)$ матрицы-функции размерности $h×h$, принадлежащие классу ${C}^{1/2,2}\left(\overline{S}\right)$. Условия переопределения записываются в виде:

(3)

Таким образом, дополнительные условия являются данными замеров решения (например, концентрации переносимого вещества) в определенных точках области. Обратная задача состоит в нахождении решения  уравнения (1) и функций ${q}_{i}\left(t\right)\left(i=1,2,\dots ,m\right)$ по данным (2), (3).

Проблемы подобного вида возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и во многих других областях (см. [1]). Большое количество результатов было получено в случае линейной по своим аргументам функции $f$. Можно отметить работу [2], где получена теорема существования и единственности решений задачи (1)–(3) в пространствах Гельдера в случае $h=1,r=1$. В случае $n=1,r=1$ и $G=ℝ$ некоторые результаты получены в работах [3, 4]. В работах [5, 6] была рассмотрена также и задача об определении младшего коэффициента в параболическом уравнении. Общие теоремы о разрешимости абстрактных задач такого вида в квазилинейном случае получены в монографии [7]. Однако стоит отметить, что результаты [7] применимы к задаче (1)–(3) в случае некоторых специальных функций $g$ и в случае краевых условий, таких, что область определения оператора $L$ не зависит от времени. Однако даже в этом случае в [7] используются излишним условиям гладкости и согласования на данные. Ряд задач, входящих в класс (1), был рассмотрен в работе [8]. Численные методы решения различных модельных задач, входящих в класс (1)–(3), рассматривались, например, в работах [9, 10] и многих других. В частности, в работе [10] численно решалась обратная задача (1)–(3) об определении функции источника для квазилинейной системы параболических уравнений. Наши результаты обобщают результаты работы [14] (см. также [15]). В данной работе мы получим локальную теорему о разрешимости задачи.

Опишем содержание работы. В первом параграфе описаны условия на данные задачи и сформулированы основные результаты. Во втором параграфе приведено их доказательство. Обозначения функциональных пространств стандартные (см., например, [12]).

## Определения, обозначения и вспомогательные результаты

Пусть $E$ – банахово пространство. Символом ${L}_{p}\left(G;E\right)$ ($G$ – область в ${ℝ}^{n}$) обозначаем пространство сильно измеримых функций, определенных на $G$ со значениями в $E$ наделенное нормой $‖‖u\left(x\right){‖}_{E}{‖}_{{L}_{p}\left(G\right)}$ [12]. Мы также используем пространства Гельдера ${C}^{\alpha }\left(\overline{G}\right)$. Обозначения  пространств Соболева являются стандартными (см. определения в [12, 13]). Если  или $E={ℂ}^{n}\left(E={ℝ}^{n}\right)$, тогда последнее пространство обозначается через ${W}_{p}^{s}\left(Q\right)$. Аналогично используем обозначения ${W}_{p}^{s}\left(G\right)$ или ${C}^{\alpha }\left(\overline{G}\right)$ вместо ${W}_{p}^{s}\left(G;E\right)$ или ${C}^{\alpha }\left(\overline{G};E\right)$. Таким образом, включение $u\in {W}_{p}^{s}\left(G\right)$ (или $u\in {C}^{\alpha }\left(\overline{G}\right)$) для данной вектор-функции $u=\left({u}_{1},{u}_{2},\dots ,{u}_{k}\right)$ означает, что каждая из ее компонент ${u}_{i}$ принадлежит ${W}_{p}^{s}\left(G\right)$ (или ${C}^{\alpha }\left(\overline{G}\right)$). В этом случае норма вектора есть просто сумма норм координат. То же самое соглашение принимаем для матриц-функций. Для интервала $J=\left(0,T\right)$ положим ${W}_{p}^{s,r}\left(Q\right)={W}_{p}^{r}\left(J;{L}_{p}\left(G\right)\right)\cap {L}_{p}\left(J;{W}_{p}^{s}\left(G\right)\right)$. Соответственно, ${W}_{p}^{s,r}\left(S\right)={W}_{p}^{r}\left(J;{L}_{p}\left(\text{Γ}\right)\right)\cap {L}_{p}\left(J;{W}_{p}^{s}\left(\text{Γ}\right)\right)$. Аналогично определяем пространство Гельдера ${C}^{r,s}\left(\overline{Q}\right)$.

Пусть ${B}_{\delta }\left({x}_{i}\right)$ – шар радиуса $\delta$ с центром в точке ${x}_{i}$. Далее мы используем следующие обозначения: . Дан набор точек $\left\{{x}_{j}\right\}$ из (3), параметр $\delta >0$ назовем допустимым, если  для . Пусть .

Рассмотрим задачу (1), (2) и сформулируем один вспомогательный результат. Мы будем предполагать, что у нас выполнены условия.

Условия на коэффициенты:

(4)

(5)

для некоторого допустимого $\delta >0$ и $s\in \left(\frac{n+2}{p},1]$. Опишем условия параболичности оператора $L$. Рассмотрим матрицу ${A}_{0}\left(t,x,\xi \right)=-\sum _{i,j=1}^{n}{a}_{ij}\left(t,x\right){\xi }_{i}{\xi }_{j}\left(\xi \in {ℝ}^{n}\right)$ и предположим, что найдется постоянная ${\delta }_{1}>0$, такая, что корни $p$ полинома  ( $E$– единичная матрица) удовлетворяют условию

(6)

Пусть ${B}_{0}u=u$ в случае условий Дирихле в (2) и ${B}_{0}u=\sum _{j=1}^{n}{\gamma }_{j}{\partial }_{{x}_{j}}u$ в противном случае. Условие Лопатинского может быть записано в виде: для любой точки $\left({t}_{0},{x}_{0}\right)\in S$, и операторов $A\left(x,t,D\right)$ и ${B}_{0}\left(x,t,D\right)$, записанных в локальной системе координат $y$ в этой точке (ось ${y}_{n}$ направлена по нормали к $S$ и оси ${y}_{1},\dots ,{y}_{n-1}$ лежат в касательной плоскости в точке $\left({x}_{0},{t}_{0}\right)$), система

(7)

где , имеет единственное решение из $C\left({\overline{ℝ}}^{+}\right)$ ограниченное на бесконечности при всех , и ${h}_{j}\in ℂ$ таких, что $\left|{\xi }^{\text{'}}\right|+\left|\lambda \right|\ne 0$. Мы также предполагаем, что

(8)

где ${k}_{0}=1-1/2p$ в случае условия Дирихле и ${k}_{0}=1/2-1/2p$, в противном случае

(9)

Даны постоянные ${\delta }_{1}<{\delta }_{2}<\delta$. Построим вспомогательную функцию $\phi \in {C}_{0}^{\infty }\left({G}_{\delta }\right)$, такую, что $\phi \equiv 1$ в области ${G}_{{\delta }_{1}}$ и $\phi \equiv 0$ в ${G}_{\delta }\setminus {G}_{{\delta }_{2}}$.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)–(9) для некоторого допустимого . Тогда существует единственное решение  задачи:

(10)

Причем . Если $g\equiv 0$, ${u}_{0}\equiv 0$, то справедлива оценка:

$\begin{array}{c}‖u{‖}_{{W}_{p}^{2,1}\left({Q}^{\tau }\right)}+‖\phi {u}_{t}{‖}_{{L}_{p}\left(0,\tau ;{W}_{p}^{s}\left({G}_{\delta }\right)\right)}+‖\phi u{‖}_{{L}_{p}\left(0,\tau ;{W}_{p}^{2+s}\left({G}_{\delta }\right)\right)}\le \\ c\left[‖f{‖}_{{L}_{p}\left({Q}^{\tau }\right)}+‖\phi f{‖}_{{L}_{p}\left(0,\tau ;{W}_{p}^{s}\left({G}_{\delta }\right)\right)}\right],\end{array}$(11)

где постоянная $c$ не зависит от $f$, решения $u$ и $\tau \in \left(0,T]$.

Доказательство. Доказательство этой теоремы может быть найдено в работе [17, Теоремы 1, 2]. Основное утверждение теоремы известно, см., например, [13]. Дополнительная гладкость по существу вытекает из известных результатов о внутренней гладкости решений параболических и эллиптических задач.

## Основные результаты

Рассматривается уравнение

${u}_{t}+Au=f\left(x,t,u,\nabla u\right)+\sum _{i=1}^{r}{f}_{i}\left(x,t\right){q}_{i}\left(t\right)+{f}_{0}\left(x,t\right).$ (12)

Мы рассматриваем задачу (1)–(3) о восстановлении правой части уравнения вида $f=\sum _{i=1}^{r}{f}_{i}\left(x,t\right){q}_{i}\left(t\right)+{f}_{0}\left(x,t\right)$ и коэффициентов, в частности входящих в главную часть уравнения (1). Предположим, что оператор A имеет вид:

$A={L}_{0}-\sum _{\left(k=r+1\right)}^{m}{q}_{k}\left(t\right){L}_{k},$

${L}_{k}u=-\sum _{i,j=1}^{n}{a}_{ij}^{k}\left(t,x\right){u}_{{x}_{j}{x}_{j}}+\sum _{i=1}^{n}{a}_{i}^{k}\left(t,x\right){u}_{{x}_{i}}+{a}_{0}^{k}\left(t,x\right)u,$

где $k=0,r+1,r+2,\dots ,m.$ Поскольку неизвестные могут встречаться в главной части уравнения, мы будем искать их в классе $C\left(\left[0,T\right]\right)$. Построим матрицу $B\left(t\right)$ размерности $m×m,$ чьи строки с числами с $\left(j-1\right)h+1$ по $jh$ занимают вектор-столбцы:

$\left({f}_{1}\left({x}_{j},t\right), {f}_{2}\left({x}_{j},t\right),\dots , {f}_{r}\left({x}_{j},t\right),{L}_{\left(}r+1\right){u}_{0}\left({x}_{j}\right),\dots ,{L}_{m}{u}_{0}\left({x}_{j}\right)\right).$

Мы предполагаем, что

(13)

(14)

(15)

для некоторого допустимого ;

${a}_{i}^{k}\left({x}_{l},t\right),{f}_{a}\left({x}_{l},t\right)\in C\left(\left[0,T\right]\right)$ (16)

для всевозможных значений . Также необходимо выполнение следующего условия:

Условие (A). Существует число ${\delta }_{0}>0,$ такое, что

Заметим, что элементы матрицы $B$ принадлежат $C\left(\left[0,T\right]\right)$. Рассмотрим систему

${\psi }_{jt}\left(0\right)+{L}_{0}{u}_{0}\left({x}_{j},0\right)-f\left(0,{x}_{j},{u}_{0}\left({x}_{j}\right),\nabla {u}_{0}\left({x}_{j}\right)\right)=\sum _{k=1}^{r}{q}_{0k}{f}_{k}\left({x}_{j},0\right)+\sum _{k=r+1}^{m}{q}_{0k}{L}_{k}{u}_{0}\left({x}_{j}\right)$

по отношению к вектору ${\stackrel{\to }{q}}_{0}=\left({q}_{01},{q}_{02},\dots ,{q}_{0{m}_{1}}\right)$. При выполнении условия (А) система имеет единственное решение. Обозначим ${A}_{0}={L}_{0}-\sum _{k=r+1}^{m}{q}_{0k}{L}_{k}$. Пусть ${B}_{R}$ – шар радиуса $R$ с центром в нуле в ${ℝ}^{\left(n+1\right)h}$.

Условие (В). Функция  непрерывна по совокупности переменных ($u,p\in {ℝ}^{\left(n+1\right)h}$), для любого $R>0$ найдется постоянная ${M}_{0}>0,$ такая, что

$\left|f\left(t,x,{u}^{1},{p}^{1}\right)-f\left(t,x,{u}^{2},{p}^{2}\right)\right|\le {M}_{0}\left(\left|{u}_{1}-{u}_{2}\left|+\right|{p}_{1}-{p}_{2}\right|\right),$

для всех

Условие (C). Функция  дифференцируема по параметрам $\left(u,p\right)\in {ℝ}^{\left(n+1\right)h}$ при п.в. $\left(t,x\right)\in {Q}_{\delta }$ и

для любого $R>0$ найдутся функции ${\text{Φ}}_{1}\left(t,x\right),{\text{Φ}}_{2}\left(t,x\right)\in C\left(\left[0,T\right];{L}_{p}\left(G\right)\right),$ такие, что

$\begin{array}{l}‖{f}_{u}\left(t,x,{u}^{1},{p}^{1}\right)-{f}_{u}\left(t,x,{u}^{2},{p}^{2}\right){‖}_{L\left({ℝ}^{h}\right)}\le \\ \le \left|{\text{Φ}}_{1}\left(t,x\right)\right|\left|{u}_{1}-{u}_{2}\left|+\right|{\text{Φ}}_{2}\left(t,x\right)\right|\left|{p}^{1}-{p}^{2}\right|,\end{array}$

$\begin{array}{l}‖{f}_{{p}_{i}}\left(t,x,{u}^{1},{p}^{1}\right)-{f}_{{p}_{i}}\left(t,x,{u}^{2},{p}^{2}\right){‖}_{L\left({ℝ}^{h}\right)}\le \\ \le \left|{\text{Φ}}_{1}\left(t,x\right)\right|\left|{u}_{1}-{u}_{2}\left|+\right|{\text{Φ}}_{2}\left(t,x\right)\right|\left|{p}^{1}-{p}^{2}\right|\end{array}$

для всех $\left({u}^{1},{p}^{1}\right),\left({u}^{2},{p}^{2}\right)\in {B}_{R}$. Здесь величины ${f}_{u},{f}_{{p}_{i}}\left(i=1,2,\dots ,n\right)$ – соответствующие матрицы Якоби и $‖\cdot {‖}_{L\left({ℝ}^{h}\right)}$ – норма в пространстве линейных непрерывных отображений из ${ℝ}^{h}$ в ${ℝ}^{h}$.

При указанных условиях теорема существования примет следующий вид.

Теорема 2. Пусть условия (A)-(C), (13)–(16) выполнены. Предположим также, что оператор ${M}_{0}={\partial }_{t}+{A}_{0}$ параболический и выполнено условие Лопатинского, т. е. условия (6), (7) выполнены. Тогда найдется число ${\tau }_{0}\in \left(0,T]$, такое, что на промежутке $\left[0,{\tau }_{0}\right]$ существует единственное решение $\left(u,{q}_{1},{q}_{2},...,{q}_{m}\right)$ задачи (1)–(3), такое, что /. Кроме того .

Доказательство. Найдем решение задачи.

(17)

По теореме 1 . Из теоремы III 4.10.2 в [11] вытекает, что $\phi \text{Φ}\in C\left(\left[0,T\right];{W}_{p}^{2+s-2/p}\left(G\right)\right)\subset C\left(\left[0,T\right];{C}^{2+s-2/p-n/p}\left(\overline{G}\right)\right)$. Следовательно, $\phi \text{Φ}\in C\left(\left[0,T\right];{C}^{2}\left(G\right)\right)$. Из уравнения (17) вытекает, что ${\text{Φ}}_{t}\left({x}_{j},t\right)\in C\left(\left[0,T\right]\right)$. Сделаем замену переменных  в (1). Получим новую задачу:

(18)

(19)

Стандартные теоремы о разрешимости параболических задач гарантируют локальную разрешимость задачи (18) при фиксированном векторе ${\stackrel{\to }{q}}_{1}$. Однако у нас используются специальные классы данных и решений. Поэтому мы наметим доказательство. Определим пространство  В качестве нормы в этом пространстве возьмем величину

$‖u{‖}_{{H}_{0,\tau }}=‖u{‖}_{{W}_{p}^{1,2}\left({Q}_{\tau }\right)}+‖\phi {u}_{t}{‖}_{{L}_{p}\left(0,\tau ;{W}_{p}^{s}\left(G\right)\right)}+‖\phi u{‖}_{{L}_{p}\left(0,\tau ;{W}_{p}^{2+s}\left(G\right)\right)}.$

Используя теорему 1, можем сказать, что решение  задачи (18) есть решение операторного уравнения:

$v={M}_{0}^{-1}f\left(t,x,v+\text{Φ},\nabla v+\nabla \text{Φ}\right)+\sum _{k=r+1}^{m}{M}_{0}^{-1}{q}_{1k}{L}_{k}v+{M}_{0}^{-1}\sum _{k=1}^{m}{\stackrel{~}{f}}_{k}\left(t,x\right){q}_{1k}\left(t\right),$ (20)

где . Зафиксируем параметр  введем обозначения

$\begin{array}{l}‖g{‖}_{V\left(0,\tau \right)}=‖g{‖}_{{L}_{p}\left(0,\tau ;{L}_{p}\left(G\right)\right)}+‖g\phi {‖}_{{L}_{p}\left(0,\tau ;{W}_{p}^{s}\left(G\right)\right)},\\ ‖v{‖}_{0,\tau }=‖v{‖}_{C\left(\left[0,\tau ;{C}^{1}\left(\overline{G}\right)\right)}+‖\phi v{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right];{C}^{1+{s}_{1}}\left(\overline{G}\right)\right)}.\end{array}$

Теорема 1, условия на функции ${f}_{i}$ и неравенство Гельдера гарантируют оценку

$‖{M}_{0}^{-1}\sum _{k=1}^{m}{\stackrel{~}{f}}_{k}\left(t,x\right)\left({q}_{k}^{1}\left(t\right)-{q}_{k}^{2}\left(t\right)\right){‖}_{{H}_{0,\tau }}\le {c}_{0}‖{\stackrel{\to }{q}}^{\text{\hspace{0.17em}}1}-{\stackrel{\to }{q}}^{\text{\hspace{0.17em}}2}{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)},$ (21)

где ${c}_{0}$ – поcтоянная, не зависящая от параметра $\tau$. Пусть $‖\stackrel{\to }{{q}_{1}}{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}\le {r}_{0}$. Аналогично, используя условия на коэффициенты, получим:

$‖{M}_{0}^{-1}\sum _{k=r+1}^{m}{q}_{1k}{L}_{k}v{‖}_{{H}_{0,\tau }}\le {c}_{1}{r}_{0}‖v{‖}_{{H}_{0,\tau }}.$ (22)

Уравнение (20) можно переписать в виде:

(23)

Покажем, что если параметр ${r}_{0}$ достаточно мал, то на малом промежутке времени уравнение (23) разрешимо в классе ${H}_{0,\tau }$. Фиксируем параметр ${r}_{0}\le 1/4{c}_{1}$ и шар . Фиксируем также шар . Получим оценки. Пусть ${v}_{i}\in {B}_{{R}_{0}}\left(i=1,2\right)$. Имеем, используя теорему 1, условия на $f$ и (22), что

$‖R\left({v}_{1}\right)-R\left({v}_{2}\right){‖}_{{H}_{0,\tau }}\le {c}_{3}‖{v}_{1}-{v}_{2}{‖}_{0,\tau }+{c}_{1}{r}_{0}‖{v}_{1}-{v}_{2}{‖}_{{H}_{0,\tau }}.$ (24)

При оценке нормы $‖f\left(t,x,{v}_{1}+\text{Φ},\nabla {v}_{1}+\nabla \text{Φ}\right)-f\left(t,x,{v}_{2}+\text{Φ},\nabla {v}_{2}+\nabla \text{Φ}\right){‖}_{{V}_{0,\tau }}$ используем неравенства:

$‖f\left(t,x,{v}_{1}+\text{Φ},\nabla {v}_{1}+\nabla \text{Φ}\right)-f\left(t,x,{v}_{2}+\text{Φ},\nabla {v}_{2}+\nabla \text{Φ}\right){‖}_{{L}_{p}\left(0,\tau \right)}\le {c}_{4}‖{v}_{1}-{v}_{2}{‖}_{C\left(\left[0,T\right];{C}^{1}\left(\overline{G}\right)\right),}$ (25)

вытекающее из условия (B), и неравенство

$‖\phi \left(f\left(t,x,{v}_{1}+\text{Φ},\nabla {v}_{1}+\nabla \text{Φ}\right)-f\left(t,x,{v}_{2}+\text{Φ},\nabla {v}_{2}+\nabla \text{Φ}\right)\right){‖}_{{L}_{p}\left(0,\tau ;{W}_{p}^{s}\left(G\right)\right)}\le {c}_{5}‖{v}_{1}-{v}_{2}{‖}_{0,\tau },$ (26)

где постоянные ${c}_{i}$ не зависят от $\tau$. Чтобы получить последнее неравенство, используем представление:

$\begin{array}{l}f\left(t,x,{v}_{2}\left(t,x+h\right)+\text{Φ}\left(t,x+h\right),\nabla \left({v}_{2}\left(t,x+h\right)+\text{Φ}\left(t,x+h\right)\right)\right)-\\ f\left(t,x,{v}_{1}\left(t,x+h\right)+\text{Φ}\left(t,x+h\right),\nabla \left({v}_{1}\left(t,x+h\right)+\text{Φ}\left(t,x+h\right)\right)\right)=\end{array}$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_{u}\left(t,x,{v}_{1}\left(t,x+h\right)+\tau \text{Δ}v,\nabla \left({v}_{1}\left(t,x+h\right)+\tau \text{Δ}v\left(t,x+h\right)\right)\right)\cdot \text{Δ}v\left(t,x+h\right)+$

$\begin{array}{l}f\left(t,x,{v}_{2}\left(t,x\right)+\text{Φ}\left(t,x\right),\nabla \left({v}_{2}\left(t,x\right)+\text{Φ}\left(t,x\right)\right)\right)\\ -f\left(t,x,{v}_{1}\left(t,x\right)+\text{Φ}\left(t,x\right),\nabla \left({v}_{1}\left(t,x\right)+\text{Φ}\left(t,x\right)\right)\right)\end{array}$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_{u}\left(t,x,{v}_{1}\left(t,x\right)+\tau \text{Δ}v\left(t,x\right),\nabla \left({v}_{1}+\tau \text{Δ}v\right)\left(t,x\right)\right)\cdot \text{Δ}v$

$+\sum _{i=1}^{n}{f}_{{p}_{i}}\left(t,x,{v}_{1}+\tau \text{Δ}v,\nabla \left({v}_{1}+\tau \text{Δ}v\right)\right)\text{Δ}{v}_{{x}_{i}}\text{\hspace{0.17em}}d\tau$

и определение нормы в пространстве ${W}_{p}^{s}\left(G\right)$. Оценим правые части в (25), (26). Теорема III 4.10.2 в [11] гарантирует, что  $v\in C\left(\left[0,\tau \right];{W}_{p}^{2-2/p}\left(G\right)\right)$ (класс ${W}_{p}^{1,2}\left({Q}^{\tau }\right)$ вложен в $C\left(\left[0,\tau \right];{W}_{p}^{2-2/p}\left(G\right)\right)$) и что $\phi v\in C\left(\left[0,\tau \right];{W}_{p}^{2-2/p+s}\left(G\right)\right)$. Можем считать, что постоянные вложения в обоих случаях не зависят от $\tau$ (поскольку четное продолжение (относительно точки $\tau$) на промежуток $\left[0,2\tau \right]$ и далее нулем сохраняет норму и класс ${H}_{0,\tau }$ для функций $\nu$, которые обращаются в ноль при t=0). Используя теоремы вложения (см. теорему 4.6.2 в [12]) и интерполяционные неравенства, а также формулу Ньютона-Лейбница, имеем:

$‖v{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right];{C}^{1}\left(\overline{G}\right)\right)}\le {c}_{6}‖v{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right];{W}_{p}^{1+n/p}\left(G\right)\right)}\le \le {c}_{7}‖v{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right];{W}_{p}^{2-2/p}\left(G\right)\right)}^{\theta }‖v{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right];{L}_{p}\left(G\right)\right)}^{1-\theta }\le \phantom{\rule{0ex}{0ex}}\le {c}_{8}‖v{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right];{W}_{p}^{2-2/p}\left(G\right)\right)}^{\theta }‖{v}_{t}{‖}_{{L}_{p}\left({Q}^{\tau }\right)}^{1-\theta }{\tau }^{\left(1-\theta \right)\left(1-1/p\right)}\le \le {c}_{9}‖v{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right];{W}_{p}^{2-1/p}\left(G\right)\right)}^{\theta }‖{v}_{t}{‖}_{{L}_{p}\left({Q}^{\tau }\right)}^{1-\theta }{\tau }^{\left(1-\theta \right)\left(1-1/p\right)}\le \le {c}_{10}‖v{‖}_{{H}_{0,\tau }}{\tau }^{\beta },$ (27)

где ,  и постоянные ${c}_{i}$ не зависят от . Оценим второе слагаемое, входящее в норму . Аналогично имеем:

$‖\phi v{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right];{C}^{1+{s}_{1}}\left(\overline{G}\right)\right)}\le {c}_{11}‖\phi v{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right];{W}_{p}^{1+n/p+{s}_{1}}\left(G\right)\right)}\le {c}_{12}‖\phi v{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right];{W}_{p}^{2-2/p+s}\left(G\right)\right)}^{{\theta }_{1}}‖{v}_{t}{‖}_{{L}_{p}\left({Q}^{\tau }\right)}^{1-{\theta }_{1}}{\tau }^{\left(1-{\theta }_{1}\right)\left(1-1/p\right)}\le \phantom{\rule{0ex}{0ex}}\le {c}_{13}‖\phi v{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right];{W}_{p}^{2-2/p+s}\left(G\right)\right)}^{{\theta }_{1}}‖{v}_{t}{‖}_{{L}_{p}\left({Q}^{\tau }\right)}^{1-{\theta }_{1}}{\tau }^{\left(1-{\theta }_{1}\right)\left(1-1/p\right)}\le \le {c}_{14}‖v{‖}_{{H}_{0,\tau }}{\tau }^{{\beta }_{1}},$ (28)

где  и постоянные ${c}_{i}$ не зависят от  . Таким образом, используя (27), (28), оценку (24) можно переписать в виде

$‖R\left({v}_{1}\right)-R\left({v}_{2}\right){‖}_{{H}_{0,\tau }}\le {c}_{15}{\tau }^{\beta }‖{v}_{1}-{v}_{2}{‖}_{{H}_{0,\tau }}+{c}_{1}{r}_{0}‖{v}_{1}-{v}_{2}{‖}_{{H}_{0,\tau }},$ (29)

где постоянные ${c}_{i}$ не зависят от   – некоторая постоянная.

Выберем ${\tau }_{0}$ такое, что

тогда оператор $R$ удовлетворяет оценке

(30)

В частности, имеем неравенство

(31)

Из (23) вытекает неравенство

(32)

которое гарантирует, что отображение  переводит шар ${B}_{{R}_{0}}$ в себя и является в нем сжимающим. По теореме о неподвижной точке получим, что уравнение (23) разрешимо. Получим необходимую оценку. Пусть  два решения, отвечающие двум различным векторам${\stackrel{\to }{q}}_{i}=\left({q}_{1}^{i},\dots ,{q}_{m}^{i}\right)\left(i=1,2\right)$, из шара ${B}^{{r}_{0}}$. Таким образом,

${v}_{j}={M}_{0}^{-1}\left(f\left(t,x,{v}_{j}+\text{Φ},\nabla {v}_{j}+\nabla \text{Φ}\right)-\sum _{k=r+1}^{m}{q}_{k}^{j}{L}_{k}{v}_{j}+\sum _{i=1}^{m}{\stackrel{~}{f}}_{i}\left(t,x\right){q}_{i}^{j}\left(t\right)\right).$ (33)

Вычитая два уравнения (33) и используя полученные выше оценки, мы выводим

$‖{v}_{1}-{v}_{2}{‖}_{{H}_{0,\tau }}\le {c}_{16}‖{\stackrel{\to }{q}}^{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}-{\stackrel{\to }{q}}^{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{‖}_{C\left(\left[0,\tau \right]},$ (34)

где постоянная ${c}_{16}$ не зависит от $\tau$.

Пусть $v\in {H}_{0,\tau }$. Полагая $x={x}_{j}$ в (18), мы придем к системе равенств

${\stackrel{~}{\psi }}_{jt}+{A}_{0}v\left(t,{x}_{j}\right)-\sum _{k=r+1}^{m}{q}_{1k}{L}_{k}v\left(t,{x}_{j}\right)=f\left(t,{x}_{j},v\left(t,{x}_{j}\right)+\text{Φ}\left(t,{x}_{j}\right),\nabla \left(v+\text{Φ}\right)\left(t,{x}_{j}\right)\right)+\sum _{i=1}^{m}{\stackrel{~}{f}}_{i}\left(t,{x}_{j}\right){q}_{1i}\left(t\right),$ (35)

где $j=1,\dots ,s$. Эта система может быть переписана в виде $B\stackrel{\to }{q}=\stackrel{\to }{\psi }+\stackrel{~}{R}\left(\stackrel{\to }{q}\right),$ где координаты векторов    совпадают с векторами , соответственно. В оператор $\stackrel{~}{R}$ входит функция $v=v\left(\stackrel{\to }{q}\right)$, которая определяется через функцию $\stackrel{\to }{q}$ как решение задачи (18). Таким образом, приходим к системе

$\stackrel{\to }{q}={B}^{-1}\stackrel{\to }{\psi }+{B}^{-1}\stackrel{~}{R}\left(\stackrel{\to }{q}\right),$  (36)

где оператор ${B}^{-1}\stackrel{~}{R}\left(\stackrel{\to }{q}\right):C\left(\left[0,\tau \right]\to C\left(\left[0,\tau \right]$ ограничен. Более того, он удовлетворяет условиям теоремы о неподвижной точке на некотором малом промежутке времени. Получим оценки.

Отметим, что по построению ${\stackrel{\to }{\psi }}_{t}{|}_{t=0}=0$. Следовательно, найдется параметр ${\tau }_{1}\le {\tau }_{0},$ такой, что

(37)

Пусть $\left({q}_{i}\right)⃗\in C\left(\left[0,\tau \right]\right)$ два вектора из шара ${B}^{{r}_{0}}$ и  – соответствующие решению задачи (18). Далее имеем, что $\left(\omega ={v}_{1}-{v}_{2}\right)$

Далее, используя теоремы вложения и оценки (25), (26), оценим правую часть этого неравенства через

$‖{B}^{-1}\stackrel{~}{R}\left(\stackrel{\to }{{q}_{1}}\right)-{B}^{-1}\stackrel{~}{R}\left(\stackrel{\to }{{q}_{1}}\right){‖}_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}\le {\gamma }_{1}\left(\sum _{j=1}^{r}\left(\sum _{\left|\alpha \right|\le 2}‖{D}^{\alpha }\omega \left({x}_{j},t\right){‖}_{C\left(\left[0,\tau \right]}+‖f\left(t,x,{v}_{1}+\text{Φ},\nabla {v}_{1}+\nabla \text{Φ}\right)\left(t,{x}_{j}\right)\right)-f\left(t,x,{v}_{2}+\text{Φ},\nabla {v}_{2}+\nabla \text{Φ}\right)\left(t,{x}_{j}\right)\right){‖}_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}\right).$

Используя рассуждения из доказательства оценок (29) и вышеприведенные неравенства, аналогично получим оценку

$‖{B}^{-1}\stackrel{~}{R}\left(\stackrel{\to }{{q}_{1}}\right)-{B}^{-1}\stackrel{~}{R}\left(\stackrel{\to }{{q}_{1}}\right){‖}_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}\le {\gamma }_{3}{\tau }^{\beta }‖{v}_{1}-{v}_{2}{‖}_{{H}_{0,\tau }},$ (38)

где постоянная ${\gamma }_{3}$ не зависит от $\tau$ и $\beta$ – некоторая положительная постоянная. Выберем ${\tau }_{2}\le {\tau }_{1},$ такое, что ${\gamma }_{3}{\tau }_{2}^{\beta }\le 1/2$. При таком выборе ${\tau }_{2}$ оператор ${B}^{-1}\stackrel{~}{R}\left(\stackrel{\to }{q}\right)$ будет сжимающим и будет переводить шар ${B}^{{r}_{0}}$ в себя. Следовательно, уравнение (36) разрешимо.

Пусть $\nu$ есть соответствующее решение задачи (18). Покажем, что полученные решения $\left(v,\stackrel{\to }{q}\right)$ есть решение обратной задачи (18), (19) эквивалентной нашей. Действительно, полагая $x={x}_{j}$ в (18), придем к равенствам

${v}_{t}\left(t,{x}_{j}\right)+{A}_{0}v\left(t,{x}_{j}\right)-\sum _{k=m+1}^{{m}_{1}}{q}_{1k}{L}_{k}v\left(t,{x}_{j}\right)=f\left(t,{x}_{j},v\left(t,{x}_{j}\right)+\text{Φ}\left(t,{x}_{j}\right),\nabla \left(v+\text{Φ}\right)\left(t,{x}_{j}\right)\right)+\sum _{i=1}^{{m}_{1}}{\stackrel{~}{f}}_{i}\left(t,{x}_{j}\right){q}_{1i}\left(t\right).$

Вычитая эти равенства из (35), получим $v\left(t,{x}_{j}\right)=\psi ~\left(t\right)$. Единственность решений задачи (18), (19) вытекает из полученных в процессе доказательства оценок.

### Valeriy V. Rotko

Yugra State Unversity

Author for correspondence.
Email: v_rotko@ugrasu.ru
16, Chehova street, Khanty-Mansiysk, 628012

Graduate student

1. Marchuk, G. I. Mathematical Models in Environmental Problems [Text] : V. 16: Studies in Mathematics and its Applications / G. I. Marchuk. -Amsterdam : Elsevier Science Publishers, 1986. - 217 p.
2. Прилепко, А. И. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнения параболического типа [Текст] / А. И. Прилепко, В. В. Соловьев // Дифференциальные уравнения. - 1987. - Т. 23. - № 10. - C. 1791-1799.
3. Afinogenova, O. A. Stabilization of the solution to the identification problem of the source function for a one-dimensional parabolic equation [Text] / O. A. Afinogenova, Yu. Ya. Belov, I. V. Frolenkov // Doklady Mathematics. - 2009. - Vol. 79, 1. - P. 70-72.
4. Белов, Ю.Я. О задаче и дентификации функциии сточника для уравнения типа Бюргерса [Текст] / Ю. Я. Белов, К. В. Коршун // J. of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. - 2012. - 5(4). - P. 497-506.
5. Кулиев, М. А. Многомерная обратная задача для параболического уравнения в ограниченной области [Текст] / М. А. Кулиев // Нелинейные граничные задачи. - 2004. - № 14. - C. 138-145.
6. Прилепко, А. И. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении [Текст] / А. И. Прилепко, В. В. Соловьев // Дифференциальные уравнения. - 1987. - Т. 23, 1. - С. 136-143.
7. Prilepko, A. I. Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics [Text] / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. - New-York Marcel Dekker Inc, 1999. - 709 p.
8. Пятков, С. Г. О некоторых классах коэффициентных обратных задач для параболических систем уравнений [Текст] / С. Г. Пятков, М. Л. Самков // Математические труды. - 2012. - Т. 15, 1. - C. 155-177.
9. Ozisik, M. N. Inverse Heat Transfer [Text] / M. N. Ozisik, H. R. B. Orlande. - New York : Taylor & Francis, 2000. - 314 p.
10. Mamonov, A. V. Point source identification in nonlinear advection-diffusion-reaction systems [Text] / A. V. Mamonov, Y-H. R. Tsai // Inverse Problems. - 2013. - V. 29, 3. - 26 p.
11. Amann, H. Linear and quasilinear parabolic problems [Text] : V. 1 Abstract Linear Theory / H. Amann. - Berlin ; Boston ; New-York : Birkhäuser, 1995. - 342 p.
12. Трибель, Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы [Текст] / Х. Трибель. - Москва : Мир, 1980. - 664 c.
13. Denk, R. Optimal Lp-Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data [Text] / R. Denk, M. Hieber, J. Pruss // Math. Z. - 2007. - V. 257, 1. - P. 193-224.
14. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа [Текст] / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. - Москва : Наука, 1967. - 736 c.
15. Пятков, С. Г. Об определении функции источника в квазилинейных параболических задачах с точечными условиями переопределения [Текст] / С. Г. Пятков, В. В. Ротко // Вестник ЮУрГУ. Серия«Математика. Механика. Физика». - 2017.- Т. 9. - № 4. - С. 19-26.
16. Pyatkov, S. G. On some parabolic inverse problems with the pointwise over determination [Electronic resource] / S. G. Pyatkov, V. V. Rotko // AIP Conference Proceedings. - 2017. - V. 1907. - URL: https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.5012619.
17. Pyatkov, S. G. On some parabolic inverse problems with the pointwise overdetermination [Text] / S. G. Pyatkov, V. V. Rotko // AIP Conference Proceedings. - 2017. - V. 1907. - P. 020008.

#### Views

Abstract - 78

PDF (Russian) - 62

#### PlumX

Copyright (c) 2018 Rotko V.V.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.