Restoration of the function of the source and environmental parameters in heat and mass transfer systems with incomplete data of overdetermination

Abstract


The question of well-posedness of the problem of recovering a source function and parameters of an environment in the heat-and-mass transfer systems with incomplete data of overdetermination is considered. The overdetermination conditions are values of a part of the vector of a solution in interior points of a domain.


Введение

Рассмотрим параболическую систему уравнений, записанную в следующем виде:

ut+At,x,Dxu=l=1rфblt,xqlt+f, t,xQ, 1,

где Q=0,T×G, а G – ограниченная область в Rn с границей Г класса C2. Здесь bl, l=1, 2, ,r и f – заданные вектор-функции, причем компоненты bl, начиная с некоторого номера r0+1r0<h, равны нулю, а A – матричный эллиптический оператор второго порядка с матричными коэффициентами размерности h×h:

At,x,Dx= l=r+1sr0qltAlt,x,Dx+ Asr0+1t,x,Dx ,

Al= i,j=1naijlt,xuxixj+i=1nailt,xuxi+a0lt,xu, l=r+1,,sr0+1.

В работе рассматривается коэффициентная обратная задача. В (1) неизвестными являются решение u и функцииqltl=1, 2,,sr0sr0r,входящие как в правую часть (1), так и в оператор A как коэффициенты, а условия переопределения являются точечными.

Дополним систему (1) начальными и граничными условиями:

u|t=0=u0, B u|S=i=1nσ1it,xuxi+σ2t,xu|S=gt,x, 2,

где σ1ii=1, 2, ,nσ2, – матрицы размера h×h и S=0,T×Γ. В случае задачи Дирихле, то есть σ1i0 при i=1, 2, ,n будем считать, что σ2t,xE, где E  – единичная матрица.

Обозначим через P0α вектор длины r0<h, координаты которого совпадают с первыми r0 координатами исходного вектора α длины h. Условия переопределения для нахождения функций ql записываются в следующем виде:

P0u|(x=xj)=ψj(t),j=1,2,,s,(3),

где  {xj}j=1s– множество внутренних точек, лежащих в области G и ψj, j=1, 2, ,s – заданные вектор-функции.

Проблемы такого вида возникают во многих задачах: при описании диффузионных процессов, процессов тепломассопереноса, а также процессов фильтрации. Подобные модели возникают также при описании и ряда других областей (например, модель динамики популяции, модель фазового поля, для изучения фазовых переходов, модель смешивания пресной и морской грунтовых вод, модель диффузии и вязко-упругой релаксации в полимерах). Одной из моделей, возникающих при описании процессов тепломассопереноса, является система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями для температуры и концентраций переносимых веществ. По данным измерений на сечениях канала или некоторым другим характеристикам определяются те или иные параметры в задаче (коэффициенты уравнений) или плотности источников (правая часть).

В одномерном случае, когда n=1, такие линейная и нелинейная задачи были изучены в пространствах Гельдера в [1]. Можно отметить работы [2], [3], где были рассмотрены задачи вида (1), (2) в общей постановке. В данной работе при выполнении условия параболичности приводятся оценки устойчивости решений задачи (1)–(3) в пространствах Соболева и получена также локальная по времени корректность, то есть доказано существование, единственность и непрерывная зависимость решений от данных задачи.

Основные результаты

Пусть E– банахово пространство. Обозначим через Lp(G;E) пространство сильно измеримых функций, определенных на G со значениями в E и конечной нормой. В работе будут использоваться пространства непрерывно дифференцируемых функций Ck(G¯), пространства Соболева Wps(G;E), Бесова Bpps(G;E). Определение указанных выше пространств может быть найдено в [4]. Будем говорить, что uWpsG (или uCkG¯) для заданной вектор-функции u, когда каждая компонента ui принадлежит WpsG (или CkG¯). Норма в соответствующем пространстве – сумма норм координат. Аналогичное соглашение принимается и для матриц.

Для заданного интервала J=0,T, положим

Wps,rQ=WprJ;LpG LpJ;WpsG

и

Wps,rS=WprJ;LpΓ LpJ;WpsΓ.

Положим Uδj=Bδxj,j= 1,2, , s. Для упрощения записей в дальнейшем будут использоваться следующие обозначения: Qτ=0,τ×G, Q0=0,T× Ω, Sτ=0,τ×G, S0=0,T× Ω, Q0τ=0,τ× Ω, Gδ=iUδi, Γδ=Γ Gδ,Sδ=0,T×ΓδQδiτ=0,T×UδiQδ= 0,T×Gδ, и Qδτ= 0,τ ×Gδ.

Далее всюду будем считать, что параметр p>n+2 и зафиксирован. Условия на коэффициенты оператора A и граничный оператор B стандартные (это те же условия, что возникают и при решении прямой задачи для параболических систем). Считаем, что выполнено:

ailt,xLQ, a0t,xLQ,aijlt,xCQ¯, i,j=1,2, , n, l=r+1,,sr0+1, 4σ1it,xC1/2,1S¯, i=1,2, , n, σ2t,xC1/2,1S¯.bjt,xLQ, xibjt,xLQδ, i=1,2, , n, j=1,2, , r. 5

Также запишем дополнительные условия гладкости на коэффициенты:

xiaijl, xiail, xiai0LQδ, i,j=1,2, , n, l=r+1,,sr0+1, 6xiσ1jt,xC1/2,1Sδ¯, xiσ2t,xC1/2,1Sδ¯, i,j=1,2, , n.

Положим:

A0t,x,Dx= l=r+1sr0ql00Alt,x,Dx+ Asr0+1t,x,Dx ,A00t,x,Dx= l=r+1sr0ql00A0lt,x,Dx+ A0sr0+1t,x,Dx,

где A0lt,x,ξ=i,j=1naijlt,xξxixj, и предположим, что оператор t+A0 параболичен: найдется постоянная δ1>0 такая, что любой корень p многочлена detA00t,x,iξ +pE=0 (где E – единичная матрица) удовлетворяет неравенству:

Rep-δ1|ξ|2ξRn,(t,x)Q.(7)

Условие Лопатинского сформулируем в следующем виде. Для любой точки t0,x0S запишем операторы A00 и B0 (B0 – главная часть оператора B, B0u=u в случае условий Дирихле и B0u=i=1nσ1iuxi в противном случае), вычисленные в данной точке в локальной системе координат y. Предположим, что система

λE+A0iξ',ynvyn=0, B0iξ',ynv|yn=0=hh, 8

где  ξ'=(ξ1, ,ξn1)yn+,  имеет единственное решение в C+¯;h, убывающее на бесконечности для всех ξ'n1argλπ/2 и hh, таких, что |ξ'|+|λ|0.

Запишем условия согласования и гладкости данных. Имеем:

ψj(0)=P0u0(xj),B(0,x)u0|Γ=g(0,x),(9)

u0(x)Wp(2-2/p)(G),u0(x)Wp(2-2/p)(Gδ),ψj(t)C1([0,T]),(10)

fLp(Q),xfLp(Qδ),f(t,xj)C([0,T]),(11)

где j=1,2, , s, и δ>0 – некоторая постоянная. Функции ql будем искать в классе непрерывных функций. Следовательно, потребуем, чтобы

aijlt,xk, ailt,xk, ai0 t,xk C0,T, 12

при всех l=r+1,,sr0+1, =1,2, , si,j=1,2, , n и α<2

Определим матрицу B размера sr0×sr0 следующим образом: строчки которой с номерами j1r0+1 до jr0 занимают вектор-столбцы

P0b10,xj, , P0br0,xj,P0Ar+1u0xj, ,P0Asr0u0xj.

Потребуем, чтобы

detB>0. 13

Рассмотрим систему уравнений:

Bq0=g, q0=q10,q20,, qsr00, 14

где g – вектор-столбец, координаты которого с номерами от j1r0+1 до jr0 представляют собой вектор:

P0f0,xjAsr0+1u0xjψjt0.

При выполнении условия (13) система (14) будет иметь единственное решение: q0=q10,q20,, qsr00

Запишем теорему существования решения в следующем виде, используя указанные выше.

Теорема 1

Пусть условия (4)–(6), (9)–(13) выполнены. Пусть оператор t+A0 параболичен и для операторов A00 и B выполнено условие Лопатинского. Тогда для некоторого τ0T существует единственное решение u,q1, , qsr0 задачи (1)–(3) из класса

uWp1,2Qτ0: xuWp1,2Qδ2τ0, δ1<0, qlC0,τ0, l=1, , sr0.

Запишем следующую теорему, являющуюся теоремой об устойчивости решений. При получении оценок устойчивости будет предполагаться, что условия, приведенные выше, в каком-то смысле равномерны по классу данных, который будет рассматриваться.

Теорема 2

Пусть условия (4)–(6), (9)–(13) выполнены. Положим u, q – решение задачи (1)–(3), отвечающее данным F=(f,ψjj=1s,u0,g), удовлетворяющее условиям (9)–(11) из класса, указанного в теореме 1 с некоторым τ00,T. Зафиксируем некоторую δ2<δ1. Тогда найдется ε0>0τ1τ0 и , такие, что для данных (f1,ψj=11j=1s,u1,g1), удовлетворяющих условиям (9)–(11) и таких, что

j=1sft,xjf1t,xjC0,τ0+u0u01Wp22pG+ff1LpQτ0+xff1LpQδ1τ0+xu0u01Wp22pGδ1+ψjψj1C10,τ0+ψjtψjt1C10,τ0ε0,

существует единственное решение задачи (1)–(3) на промежутке [0,τ1] и справедлива оценка устойчивости:

uu1Wp1,2Qτ1+x''uu1Wp1,2Qδ2τ1+j=1sr0qjqj1C0,τ1cu0u1Wp22pG+xu0u1Wp22pGδ1+ff1LpQτ1+xff1LpQδ1τ1+j=1sft,xjf1t,xjC0,τ1+ψjψj1C10,τ1+ψjtψjt1C10,τ1

Вспомогательные утверждения

При выполнении условий (4), (7), (8) справедлива следующая теорема (смотри теорему 10.4 главы 7 в [4]).

Теорема 3

Пусть G – ограниченная область с границей класса C2. Тогда, если  gLpQτ τT, то существует единственное решение uWp1,2Qτ задачи:

ut+A0t,x,Dxu=f, u|t=0=u0x, Bu|S=g ,

удовлетворяющее оценке:

uWp1,2QcfLpQ+gWp1,2S+u0Bpp22pG.

Лемма 1

Если uWp1,2mQτ (τ>0), p>n+2m, то производная вида Dxαu при α2m1 быть может после изменения на множестве меры ноль, принадлежит CQτ¯, и если u0,x=0, то для всех α c α<2m справедлива оценка:

DαuCQτ¯cuWp1,2mQττβ,

где β, c – некоторые положительные постоянные, не зависящие от u и τ0,1.

Доказательство этой леммы можно найти в [3].

Лемма 2

Пусть условия (4)–(8), (12) выполнены. Пусть также данные (f,ψj1j=1s,u0,g) условиям (4)–(6). Определим вектор-функцию q0t как решение системы (14). Тогда найдется число τ1T, такое, что при ττ1 задача

ut+A0t,x,Dxu=gLpQτ, Bu=0, u|t=0=0,

где A0t,x,Dx=i=1+1sr0qi0tAit,x,Dx+Asr0+1t,x,Dx имеет единственное решение из класса uWp1,2Qτ и справедлива оценка:

uWp1,2QτcgLpQτ,

где постоянная  не зависит от данных задачи.

Доказательство леммы несложно провести с использованием следствий теоремы 3.

Доказательство теоремы 1

Пусть u – решение задачи (1)–(2). Установим некоторые оценки. Сделаем замену qit=μit+qi0t и u=v+Φ, где Ф – решение следующей задачи.

Φt+A0Φ=f+i=1rbit,xqi0t,Φ|t=0=u0x, BΦ|Γ=gt,x,

где A0=Asr0+1+i=1rqi0tAi, j=1,2,,s.

Имеем, что

vt+A0t,x,Dv=A0Av+Φ+i=1rbit,xμit, t,xQ. 15v|t=0=0, Bv|S=0, 16vxj,t=ψ~j=ψjtΦxj,tC10,T, ψ~j0=ψ~jt0=0. 17

Таким образом, свели задачу (1)–(3) к эквивалентной и более простой задаче (15)–(17), которую и будем исследовать. Фиксируя функции μjC0,τ и находя решение ν задачи (15)–(16) на интервале 0,τ, получим отображение v=vμ μ=μ1,,μsr0. Далее изучим его свойства.

Положим μC0,τ=i=1sr0μiC0,τ. Найдем параметр τ1 , указанный в лемме 2. Далее считаем, что ττ1. Используя вспомогательную лемму 2, из (15) получим равенство:

v=(t+Asr0+1)1Asr0+1Av+Φ++(t+Asr0+1)1i=1rbit,xμit. 18

Обозначим через Hτ пространство функций из Wp1,2Qτ, удовлетворяющих условиям (16) (граничное условие выполняется на соответствующем интервале 0,τ). Имеем:

(t+Asr0+1)1Asr0+1AvWp1,2QτcAsr0+1AvLpQτcc1vWp1,2QτμC0,τ,

где постоянная C1 зависит от норм коэффициентов операторов Ai в L(Q) и не зависит от τ. Выберем шар, в котором мы будем искать решение μ. Далее считаем, что

μC0,τ12cc1=r1. 19

При выполнении этого условия оператор Sv=δt+Asr0+1-1Asr0+1Av, S:HτHτ, в правой части уравнения (18) является сжимающим, и уравнение имеет единственное решение vWp1,2Qτ, удовлетворяющего начально-краевым условиям и оценке

vWp1,2Qτc2r1=R. 20

Здесь и далее через ciR обозначаем постоянные, не зависящие от конкретных данных задачи f,g,u0,ψj.

Полученное решение обладает большей гладкостью в областях Qδjτ. Зафиксируем δ2<δ1. Повторив рассуждения аналогично с [5] и используя лемму 4.6 главы 2 в [6], получим, что обобщенная производная xiv принадлежит Wp1,2Qδ2jτ и удовлетворяет оценке

vxiWp1,2Qδ2jτc3R. 21

В силу произвольности δ2<δ1, i и j заключаем, что решение v обладает свойством vxiWp1,2Qδ2jτ для любого δ2<δ1, i=1,,n и j=1, 2,,s. Таким образом, имеем оценку:

xvWp1,2Qδ2jτc~3R. 22

Теперь рассмотрим два решения v1, v2 задачи (15)–(16), отвечающие двум различным наборам μi=μ1i,μ2i,,μsr0i i=1,2 в правой части уравнения (15). Считаем, что для каждого из этих наборов выполнено условие (19). Вычитая второе уравнение из первого, получим, что разность ω=vμ1vμ2 удовлетворяет уравнению

ωt+A0ω=j=r+1sr0(μj2μj1)Ajt,x,Dv2+Φj=r+1sr0μj1Ajt,x,Dω+j=1rbjt,xμj1tμj2t. 23

Можно получить оценку

ωWp1,2(Qτ)c4Rμ1μ2C0,τ. 24

Дифференцируя равенство (22) по переменным , получим также оценку вида:

j=1sx''ωWp1,2Qδ3jτc5Rμ1μ2C0,τ, 25

где δ3<δ1 – произвольное фиксированное число.

Докажем разрешимость задачи. Пусть u, μ – решение задачи (15)–(17) и, таким образом, v=vμ. В силу построения функции  (15) можно переписать в виде:

vt+Av=i=1rbit,xμiti=r+1sr0μitAit,x,DxФ.

Применим P0 и полагая x=xj получим:

ψ~jtP0Avt,xj=P0i=r+1sr0μitAit,xj,DxФt,xjP0i=1rbit,xjμit. 26

Таким образом, построим систему уравнений для величин μi:

μt=BФ1Hμt=Rμ, 27

где BФ – матрица размера sr0×sr0, строчки которой с номерами j1r0+1 до jr0 занимают вектор-столбцы:

P0b1t,xj, , P0brt,xj,P0Ar+1Фt,xj, ,P0Asr0Фt,xj.

Имеем, что BФ0=B, и, значит, без ограничения общности можем считать, что функция det BФt  отделена от нуля на промежутке 0,τ1, иначе уменьшим параметр τ1.H(μ  ) – вектор-столбец, координаты которого с номерами от j1h+1 до jh (j=1,2,...,s) есть векторы ψ~jtP0Avt,xj.

Покажем, что можно найти такое τ2τ1, что оператор

Rμ=BФ1Hμt, R:C0,τ20,τ2,(28)

определен, переводит шар Br1τ2=μC0,τ2: μC0,τ2r1 в пространстве C([0,τ2]) в себя и является в нем сжимающим. Фиксируем δ2<δ1.

Используя (23), (25), получим неравенство:

Rμ1Rμ2C0,τc7Rτβμ1μ2C0,τ. 29

Выберем τ2 такое, что i=1sψ~jtC0,τ2c6r1/2 и c7Rτ2β12, где постоянная c6 – норма оператора BФ1: C0,τ1C0,τ1. Тогда из (28), (29) вытекает, что оператор R определен, переводит шар Br1τ2 в себя и является в нем сжимающим. Применяя теорему о неподвижной точке, получим, что в шаре Br1τ2 существует единственное решение системы (24).

Положим v=vμ. Покажем, что построенная функция удовлетворяет условиям (17). По построению v – решение задачи (15)–(16). Применим P0 и, полагая x=xj, вместо (15), (16) получим равенства:

ψ~tjP0Av=i=1rP0bit,xjμiti=r+1sr0μitP0AiΦt,xj

Учитывая (26), получим:

ψ~tj=vtt,xj, j=1,2,,s.

Значит, ψ~jvt,xj и, следовательно, v удовлетворяет условиям переопределения (17).

Доказательство теоремы 2. Утверждение теоремы 2 легко получается с использованием оценок приведенных в доказательстве теоремы 1, мы его опустим.

Ekaterina M. Korotkova

Ugra Research Institute of Information Technologies

Author for correspondence.
Email: korotkovaem@uriit.ru

Russian Federation, 151, Mira street, Khanty-Mansyisk, 628011

Candidate of Physical and Mathematical Sciences

Deputy Director

  1. Ivanchov, M. Inverse problems for equations of parabolic type [Text] / M. Ivanchov. - Lviv : WNTL Publishers, 2003. - 346 p.
  2. Pyatkov, S. G. On some classes of inverse problems for parabolic and elliptic equations type [Text] / S. G. Pyatkov, B. N. Tsybikov // J. Evol. Equat. - 2011. - Vol. 11. - P. 155-186.
  3. Пятков, С. Г. О некоторых классах коэффициентных обратных задач для параболических систем уравнений [Текст] / С. Г. Пятков, М. Л. Самков // Математические труды. - 2012. - № 15. - С. 155-177.
  4. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа [Текст] / А. О. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. - Москва : Наука, 1967. - 736 с.
  5. Пятков, С. Г. Об одной линейной обратной задаче для параболической системы уравнений [Текст] / С. Г. Пятков, Е. М. Короткова // Математические заметки СВФУ. - 2014. - Т. 21, № 3. - С. 36-86.
  6. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа [Текст] / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. - Москва : Наука, 1973. - 576 с.

Views

Abstract - 75

PDF (Russian) - 36

PlumX


Copyright (c) 2018 Korotkova E.M.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.