Restoration of the function of the source and environmental parameters in heat and mass transfer systems with incomplete data of overdetermination

Abstract

The question of well-posedness of the problem of recovering a source function and parameters of an environment in the heat-and-mass transfer systems with incomplete data of overdetermination is considered. The overdetermination conditions are values of a part of the vector of a solution in interior points of a domain.

Full Text

Введение

Рассмотрим параболическую систему уравнений, записанную в следующем виде:

$u_t+A\left(t,x,D_x\right)u=\sum _{l=1}^rфb_l\left(t,x\right)q_l\left(t\right)+f,\left(t,x\right)\in Q,\left(1\right),$

где $Q=\left(0,T\right)\times G$, а $G$ – ограниченная область в $R^n$ с границей $Г$ класса $C^2$. Здесь $b_{l,}$ $l=1, 2, \dots ,r\text{ и }f$ – заданные вектор-функции, причем компоненты $b_l$, начиная с некоторого номера $r_0+1\left(r_0<h\right)$, равны нулю, а $A$ – матричный эллиптический оператор второго порядка с матричными коэффициентами размерности $h\times h$:

$A\left(t,x,D_x\right)=\sum _{l=r+1}^{s{r}_0}{q}_l\left(t\right)A_l\left(t,x,D_x\right)+A_{s{r}_0+1}\left(t,x,D_x\right),$

$A_l=-\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}^l\left(t,x\right)u_{x_i{x}_j}+\sum _{i=1}^n{a}_i^l\left(t,x\right)u_{x_i}+a_0^l\left(t,x\right)u,l=r+1,\dots ,s{r}_0+1.$

В работе рассматривается коэффициентная обратная задача. В (1) неизвестными являются решение $u$ и функции$q_l\left(t\right)\text{, }l=1, 2,\dots ,s{r}_0\text{, }\left(s{r}_0\ge r\right),$входящие как в правую часть (1), так и в оператор $A$ как коэффициенты, а условия переопределения являются точечными.

Дополним систему (1) начальными и граничными условиями:

$u{|}_{\mathrm{t}=0}=u_0,Bu{|}_{\mathrm{S}}=\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\sigma }_{1\mathrm{i}}\left(\mathrm{t},\mathrm{x}\right)u_{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}+{\sigma }_2\left(\mathrm{t},\mathrm{x}\right)u{|}_{\mathrm{S}}=g\left(\mathrm{t},\mathrm{x}\right),\left(2\right),$

где ${\sigma }_{1i}\left(i=1, 2, \dots ,n\right)\text{, }{\sigma }_2$, – матрицы размера $h\times h\text{ и }S=\left(0,T\right)\times \text{Γ}$. В случае задачи Дирихле, то есть ${\sigma }_{1i}\equiv 0\text{ при }i=1, 2, \dots ,n$ будем считать, что ${\sigma }_2\left(t,x\right)\equiv E\text{, где }E$  – единичная матрица.

Обозначим через $P_0\alpha$ вектор длины $r_{0<}h$, координаты которого совпадают с первыми $r_0$ координатами исходного вектора $\alpha$ длины $h$. Условия переопределения для нахождения функций $q_l$ записываются в следующем виде:

$P_{0}u{\left|}_{\right(}〖x=x{〗}_j)={\psi }_j(t),j=1,2,\dots ,s,(3)$,

где  ${\left\{{\text{x}}_j\right\}}_{j=1}^s$– множество внутренних точек, лежащих в области $G$ и ${\psi }_j,j=1, 2, \dots ,s$ – заданные вектор-функции.

Проблемы такого вида возникают во многих задачах: при описании диффузионных процессов, процессов тепломассопереноса, а также процессов фильтрации. Подобные модели возникают также при описании и ряда других областей (например, модель динамики популяции, модель фазового поля, для изучения фазовых переходов, модель смешивания пресной и морской грунтовых вод, модель диффузии и вязко-упругой релаксации в полимерах). Одной из моделей, возникающих при описании процессов тепломассопереноса, является система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями для температуры и концентраций переносимых веществ. По данным измерений на сечениях канала или некоторым другим характеристикам определяются те или иные параметры в задаче (коэффициенты уравнений) или плотности источников (правая часть).

В одномерном случае, когда $n=1$, такие линейная и нелинейная задачи были изучены в пространствах Гельдера в [1]. Можно отметить работы [2], [3], где были рассмотрены задачи вида (1), (2) в общей постановке. В данной работе при выполнении условия параболичности приводятся оценки устойчивости решений задачи (1)–(3) в пространствах Соболева и получена также локальная по времени корректность, то есть доказано существование, единственность и непрерывная зависимость решений от данных задачи.

Основные результаты

Пусть $E$– банахово пространство. Обозначим через $L_p(G;E)$ пространство сильно измеримых функций, определенных на $G$ со значениями в $E$ и конечной нормой. В работе будут использоваться пространства непрерывно дифференцируемых функций $C^k(G¯)$, пространства Соболева $W_p^s(G;E)$, Бесова $B_p{p}^s(G;E)$. Определение указанных выше пространств может быть найдено в [4]. Будем говорить, что $u\in W_p^s\left(G\right)$ (или $u\in C^k\left(\overline{G}\right)$) для заданной вектор-функции $u$, когда каждая компонента $u_i$ принадлежит $W_p^s\left(G\right)$ (или $C^k\left(\overline{G}\right)$). Норма в соответствующем пространстве – сумма норм координат. Аналогичное соглашение принимается и для матриц.

Для заданного интервала $J=\left(0,T\right)$, положим

$W_p^{s,r}\left(Q\right)=W_p^r\left(J;L_p\left(G\right)\right)\cap L_p\left(J;W_p^s\left(G\right)\right)$

и

$W_p^{s,r}\left(S\right)=W_p^r\left(J;L_p\left(\text{Γ}\right)\right)\cap L_p\left(J;W_p^s\left(\text{Γ}\right)\right).$

Положим ${\text{U}}_{{\text{δ}}_j}=B_{\delta }\left(x_j\right),j= 1,2, \dots , s$. Для упрощения записей в дальнейшем будут использоваться следующие обозначения: $$\begin{gathered} Q^{\text{τ}}=\left(0,\text{τ}\right)\times \text{G},Q_0=\left(0,\text{T}\right)\times \text{ Ω, }{S}^{\text{τ}}=\left(0,\text{τ}\right)\times \partial \text{G},S_0=\left(0,\text{T}\right)\times \partial \text{Ω, }{Q}_0^{\tau }=\left(0,\text{τ}\right)\times {\text{ Ω, G}}_{\text{δ}}={\cup }_i{\text{U}}_{\text{δi}}{\text{, Γ}}_{\text{δ}}=\text{Γ}\cap \partial {\text{ G}}_{\text{δ}}\text{,} \\ {\text{S}}_{\text{δ}}=\left(0,\text{T}\right)\times {\text{Γ}}_{\text{δ}}\text{, }{Q}_{\text{δi}}^{\tau }=\left(0,\text{T}\right)\times {\text{U}}_{\text{δi}}\text{, }{Q}_{\text{δ}}=\left(0,\text{T}\right)\times {\text{G}}_{\text{δ}}\text{, и }{Q}_{\delta }^{\tau }=\left(0,\text{τ}\right)\times {\text{G}}_{\text{δ}} \end{gathered}$$.

Далее всюду будем считать, что параметр $p>n+2$ и зафиксирован. Условия на коэффициенты оператора $A$ и граничный оператор $B$ стандартные (это те же условия, что возникают и при решении прямой задачи для параболических систем). Считаем, что выполнено:

$\begin{array}{l}{a}_i^l\left(t,x\right)\in L_{\infty }\left(Q\right),a_0\left(t,x\right)\in L_{\infty }\left(Q\right),\\ a_{ij}^l\left(t,x\right)\in C\left(\overline{Q}\right),i,j=1,2,\dots ,n,l=r+1,\dots ,s{r}_0+1,\left(4\right)\\ {\sigma }_{1i}\left(t,x\right)\in C^{1/2,1}\left(\overline{S}\right),i=1,2,\dots ,n,{\sigma }_2\left(t,x\right)\in C^{1/2,1}\left(\overline{S}\right).\\ b_j\left(t,x\right)\in L_{\infty }\left(Q\right),{\partial }_{x_i}{b}_j\left(t,x\right)\in L_{\infty }\left(Q_{\delta }\right),i=1,2,\dots ,n,j=1,2,\dots ,r.\left(5\right)\end{array}$

Также запишем дополнительные условия гладкости на коэффициенты:

$\begin{array}{l}{\partial }_{x_i}{a}_{ij}^l,{\partial }_{x_i}{a}_i^l,{\partial }_{x_i}{a}_i^0\in L_{\infty }\left(Q_{\delta }\right),i,j=1,2,\dots ,n,l=r+1,\dots ,s{r}_0+1,\left(6\right)\\ {\partial }_{x_i}{\sigma }_{1j}\left(t,x\right)\in C^{1/2,1}\left(\overline{S_{\delta }}\right),{\partial }_{x_i}{\sigma }_2\left(t,x\right)\in C^{1/2,1}\left(\overline{S_{\delta }}\right),i,j=1,2,\dots ,n.\end{array}$

Положим:

$\begin{array}{l}{A}^0\left(t,x,D_x\right)=\sum _{l=r+1}^{s{r}_0}{q}_l^0\left(0\right)A_l\left(t,x,D_x\right)+A_{s{r}_0+1}\left(t,x,D_x\right),\\ A_0^0\left(t,x,D_x\right)=\sum _{l=r+1}^{s{r}_0}{q}_l^0\left(0\right)A_{0l}\left(t,x,D_x\right)+A_{0s{r}_0+1}\left(t,x,D_x\right),\end{array}$

где $A_{0l}\left(t,x,\xi \right)=-\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}^l\left(t,x\right){\xi }_{x_i{x}_j}$, и предположим, что оператор ${\partial }_t+A^0$ параболичен: найдется постоянная ${\delta }_1>0$ такая, что любой корень $p$ многочлена $\text{det}\left(A_0^0\left(t,x,i\xi \right)+pE\right)=0$ (где $E$ – единичная матрица) удовлетворяет неравенству:

$Rep\le -{\delta }_1|\xi {|}^2\forall \xi \in R^n,\forall (t,x)\in Q.(7)$

Условие Лопатинского сформулируем в следующем виде. Для любой точки $\left(t_0,x_0\right)\in S$ запишем операторы $A_0^0$ и $B_0$ ($B_0$ – главная часть оператора $B$, $B_{0}u=u$ в случае условий Дирихле и $B_{0}u=\sum _{i=1}^n{\sigma }_{1i}{u}_{x_i}$ в противном случае), вычисленные в данной точке в локальной системе координат $y$. Предположим, что система

$\left(\lambda E+A_0\left(i{\xi }^{\text{'}},{\partial }_{y_n}\right)\right)v\left(y_n\right)=0,B_0\left(i{\xi }^{\text{'}},{\partial }_{y_n}\right)v{|}_{y_n=0}=h\in {ℂ}^h,\left(8\right)$

где  ${\xi }^{\text{'}}=({\xi }_1,\dots ,\text{e }{\xi }_{n-1})\text{, }{y}_n\in {ℝ}^{+}$,  имеет единственное решение в $C\left(\overline{{ℝ}^{+}};{ℂ}^h\right)$, убывающее на бесконечности для всех ${\xi }^{\text{'}}\in {ℝ}^{n-1}\text{, }\left|\text{arg}\lambda \right|\le \pi /2\text{ и }h\in {ℂ}^h$, таких, что $\left|{\xi }^{\text{'}}\right|+\left|\lambda \right|\ne 0$.

Запишем условия согласования и гладкости данных. Имеем:

${\psi }_j\left(0\right)=P_0{u}_0\left(x_j\right),B(0,x)u_0{|}_{\Gamma }=g(0,x),\left(9\right)$

$u_0\left(x\right)\in W_p^{(}2-2/p\left)\right(G),\nabla u_0(x)\in W_p^{(}2-2/p)\left(G_{\delta }\right),{\psi }_j\left(t\right)\in C^1\left(\right[0,T\left]\right),\left(10\right)$

$f\in L_p\left(Q\right),{\nabla }_{x}f\in L_p\left(Q_{\delta }\right),f(t,x_j)\in C\left(\right[0,T\left]\right),\left(11\right)$

где $j=1,2, \dots , s,\text{ и δ}>0$ – некоторая постоянная. Функции $q_l$ будем искать в классе непрерывных функций. Следовательно, потребуем, чтобы

$a_{ij}^l\left(t,x_k\right),a_i^l\left(t,x_k\right),a_i^0\left(t,x_k\right)\in C\left(\left[0,T\right]\right),\left(12\right)$

при всех $l=r+1,\dots ,s{r}_0+1,=1,2,\dots ,s\text{, }i,j=1,2,\dots ,n\text{ и }\left|\alpha \right|<2$

Определим матрицу $B$ размера $s{r}_0\times s{r}_0$ следующим образом: строчки которой с номерами $\left(j-1\right)r_0+1$ до $j{r}_0$ занимают вектор-столбцы

$\left(-P_0{b}_1\left(0,x_j\right),\dots ,-P_0{b}_r\left(0,x_j\right),P_0{A}_{r+1}{u}_0\left(x_j\right),\dots ,P_0{A}_{s{r}_0}{u}_0\left(x_j\right)\right).$

Потребуем, чтобы

$\left|\text{det}B\right|>0.\left(13\right)$

Рассмотрим систему уравнений:

$B{\overrightarrow{q}}^0=\overrightarrow{g},{\overrightarrow{q}}^0=\left(q_1^0,q_2^0,\dots ,q_{s{r}_0}^0\right),\left(14\right)$

где $\overrightarrow{g}$ – вектор-столбец, координаты которого с номерами от $\left(j-1\right)r_0+1$ до $j{r}_0$ представляют собой вектор:

$P_0\left(f\left(0,x_j\right)-A_{s{r}_0+1}{u}_0\left(x_j\right)-{\psi }_{jt}\left(0\right)\right).$

При выполнении условия (13) система (14) будет иметь единственное решение: ${\overrightarrow{q}}^0=\left(q_1^0,q_2^0,\dots , q_{s{r}_0}^0\right)$

Запишем теорему существования решения в следующем виде, используя указанные выше.

Теорема 1

Пусть условия (4)–(6), (9)–(13) выполнены. Пусть оператор ${\partial }_t+A^0$ параболичен и для операторов $A_0^0$ и $B$ выполнено условие Лопатинского. Тогда для некоторого ${\tau }_0\le T$ существует единственное решение $\left(u,q_1, \dots , q_{s{r}_0}\right)$ задачи (1)–(3) из класса

$u\in W_p^{1,2}\left(Q^{{\tau }_0}\right):{\nabla }_{x}u\in W_p^{1,2}\left(Q_{{\delta }_2}^{{\tau }_0}\right),{\delta }_1<0,q_l\in C\left(\left[0,{\tau }_0\right]\right),l=1,\dots ,s{r}_0.$

Запишем следующую теорему, являющуюся теоремой об устойчивости решений. При получении оценок устойчивости будет предполагаться, что условия, приведенные выше, в каком-то смысле равномерны по классу данных, который будет рассматриваться.

Теорема 2

Пусть условия (4)–(6), (9)–(13) выполнены. Положим $\left(u, \overrightarrow{q}\right)$ – решение задачи (1)–(3), отвечающее данным $F=(f,{\left\{{\psi }_j\right\}}_{j=1}^s,u_0,g)$, удовлетворяющее условиям (9)–(11) из класса, указанного в теореме 1 с некоторым ${\tau }_0\in \left(0,T\right]$. Зафиксируем некоторую ${\delta }_2<{\delta }_1$. Тогда найдется ${\epsilon }_0>0{\tau }_1\le {\tau }_0$ и , такие, что для данных $(f^1,{\left\{{\psi }_{j=1}^1\right\}}_{j=1}^s,u_1,g^1)$, удовлетворяющих условиям (9)–(11) и таких, что

$\sum _{j=1}^s\left(f\left(t,x_j\right)-f^1{\left(t,x_j\right)}_{C\left(\left[0,{\tau }_0\right]\right)}+{||u_0-u_0^1||}_{W_p^{2-\frac{2}{p}}\left(G\right)}+{||f-f^1||}_{L_p\left(Q^{{\tau }_0}\right)}+{||{\nabla }_x\left(f-f^1\right)||}_{L_p\left(Q_{{\delta }_1}^{{\tau }_0}\right)}\right.$$\left.+{||{\nabla }_x\left(u_0-u_0^1\right)||}_{W_p^{2-\frac{2}{p}}\left(G_{{\delta }_1}\right)}+{||{\psi }_j-{\psi }_j^1||}_{C^1\left(\left[0,{\tau }_0\right]\right)}+{||{\psi }_{jt}-{\psi }_{jt}^1||}_{C^1\left(\left[0,{\tau }_0\right]\right)}\right)\le {\epsilon }_0,$

существует единственное решение задачи (1)–(3) на промежутке $[0,{\tau }_1]$ и справедлива оценка устойчивости:

${||u-u^1||}_{W_p^{1,2}\left(Q^{{\tau }_1}\right)}+{||{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}\left(u-u^1\right)||}_{W_p^{1,2}\left(Q_{{\delta }_2}^{{\tau }_1}\right)}+\sum _{j=1}^{s{r}_0}{||q_j-q_j^1||}_{C\left(\left[0,{\tau }_1\right]\right)}$$\begin{array}{l}\le c\left({||u_0-u_1||}_{W_p^{2-\frac{2}{p}}\left(G\right)}+{||{\nabla }_x\left(u_0-u_1\right)||}_{W_p^{2-\frac{2}{p}}\left(G_{{\delta }_1}\right)}+{||f-f^1||}_{L_p\left(Q^{{\tau }_1}\right)}\right.\\ +{||{\nabla }_x\left(f-f^1\right)||}_{L_p\left(Q_{{\delta }_1}^{{\tau }_1}\right)}\\ \left.+\sum _{j=1}^s\left({||f\left(t,x_j\right)-f^1\left(t,x_j\right)||}_{C\left(\left[0,{\tau }_1\right]\right)}+{||{\psi }_j-{\psi }_j^1||}_{C^1\left(\left[0,{\tau }_1\right]\right)}+{||{\psi }_{jt}-{\psi }_{jt}^1||}_{C^1\left(\left[0,{\tau }_1\right]\right)}\right)\right)\end{array}$

Вспомогательные утверждения

При выполнении условий (4), (7), (8) справедлива следующая теорема (смотри теорему 10.4 главы 7 в [4]).

Теорема 3

Пусть $G$ – ограниченная область с границей класса $C^2$. Тогда, если  $g\in L_p\left(Q^{\tau }\right)\left(\tau \le T\right)$, то существует единственное решение $u\in W_p^{1,2}\left(Q^{\tau }\right)$ задачи:

$u_t+A^0\left(t,x,D_x\right)u=f,u{|}_{t=0}=u_0\left(x\right),Bu{|}_S=g,$

удовлетворяющее оценке:

$\parallel u{\parallel }_{W_p^{1,2}\left(Q\right)}\le c\left[\parallel f{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}+g_{W_p^{1,2}\left(S\right)}+\parallel u_0{\parallel }_{B_{pp}^{2-\frac{2}{p}}\left(G\right)}\right].$

Лемма 1

Если $u\in W_p^{1,2m}\left(Q^{\tau }\right)(\tau >0),p>n+2m$, то производная вида $D_x^{\alpha }u$ при $\left|\alpha \right|\le 2m-1$ быть может после изменения на множестве меры ноль, принадлежит $C\left(\overline{Q^{\tau }}\right)$, и если $u\left(0,x\right)=0$, то для всех $\alpha \text{ c }\left|\alpha \right|<2m$ справедлива оценка:

$\parallel D^{\alpha }u{\parallel }_{C\left(\overline{Q^{\tau }}\right)}\le c\parallel u{\parallel }_{W_p^{1,2m}\left(Q^{\tau }\right)}{\tau }^{\beta },$

где $\beta , c$ – некоторые положительные постоянные, не зависящие от $u\text{ и }\tau \in \left(0,1\right].$

Доказательство этой леммы можно найти в [3].

Лемма 2

Пусть условия (4)–(8), (12) выполнены. Пусть также данные $(f,{\left\{{\psi }_j^1\right\}}_{j=1}^s,u_0,g)$ условиям (4)–(6). Определим вектор-функцию ${\overrightarrow{q}}^0\left(t\right)$ как решение системы (14). Тогда найдется число ${\tau }_1\le T$, такое, что при $\tau \le {\tau }_1$ задача

$u_t+A_0\left(t,x,D_x\right)u=g\in L_p\left(Q^{\tau }\right),Bu=0,u{|}_{t=0}=0,$

где $A_0\left(t,x,D_x\right)=\sum _{i=1+1}^{s{r}_0}{q}_i^0\left(t\right)A_i\left(t,x,D_x\right)+A_{s{r}_0+1}\left(t,x,D_x\right)$ имеет единственное решение из класса $u\in W_p^{1,2}\left(Q^{\tau }\right)$ и справедлива оценка:

$u_{W_p^{1,2}\left(Q^{\tau }\right)}\le c{g}_{L_p\left(Q^{\tau }\right)},$

где постоянная  не зависит от данных задачи.

Доказательство леммы несложно провести с использованием следствий теоремы 3.

Доказательство теоремы 1

Пусть $u$ – решение задачи (1)–(2). Установим некоторые оценки. Сделаем замену $q_i\left(t\right)={\mu }_i\left(t\right)+q_i^0\left(t\right)$ и $u=v+\text{Φ}$, где $\mathrm{Ф}$ – решение следующей задачи.

$\begin{array}{l}{\text{Φ}}_t+A_0\text{Φ}=f+\sum _{i=1}^r{b}_i\left(t,x\right)q_i^0\left(t\right),\\ \text{Φ}{|}_{t=0}=u_0\left(x\right),B\text{Φ}{|}_{\text{Γ}}=g\left(t,x\right),\end{array}$

где $A_0=A_{s{r}_0+1}+\sum _{i=1}^r{q}_i^0\left(t\right)A_i,j=1,2,\dots ,s$.

Имеем, что

$\begin{array}{l}{v}_t+A_0\left(t,x,D\right)v=\left(A_0-A\right)\left(v+\text{Φ}\right)+\sum _{i=1}^r{b}_i\left(t,x\right){\mu }_i\left(t\right),\left(t,x\right)\in Q.\left(15\right)\\ v{|}_{t=0}=0,Bv{|}_S=0,\left(16\right)\\ v\left(x_j,t\right)={\tilde{\psi }}_j={\psi }_j\left(t\right)-\text{Φ}\left(x_j,t\right)\in C^1\left(\left[0,T\right]\right),{\tilde{\psi }}_j\left(0\right)={\tilde{\psi }}_{jt}\left(0\right)=0.\left(17\right)\end{array}$

Таким образом, свели задачу (1)–(3) к эквивалентной и более простой задаче (15)–(17), которую и будем исследовать. Фиксируя функции ${\mu }_j\in C\left(\left[0,\tau \right]\right)$ и находя решение $\nu$ задачи (15)–(16) на интервале $\left(0,\tau \right)$, получим отображение $v=v\left(\overrightarrow{\mu }\right)\overrightarrow{\mu }=\left({\mu }_1,\dots ,{\mu }_{s{r}_0}\right)$. Далее изучим его свойства.

Положим $\parallel \overrightarrow{\mu }{\parallel }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}=\sum _{i=1}^{s{r}_0}\parallel {\mu }_i{\parallel }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}$. Найдем параметр ${\tau }_1$, указанный в лемме 2. Далее считаем, что $\tau \le {\tau }_1$. Используя вспомогательную лемму 2, из (15) получим равенство:

$\begin{array}{c}v={({\partial }_t+A_{s{r}_0+1})}^{-1}\left(A_{s{r}_0+1}-A\right)\left(v+\text{Φ}\right)+\\ +{({\partial }_t+A_{s{r}_0+1})}^{-1}\sum _{i=1}^r{b}_i\left(t,x\right){\mu }_i\left(t\right).\end{array}\left(18\right)$

Обозначим через $H_{\tau }$ пространство функций из $W_p^{1,2}\left(Q^{\tau }\right)$, удовлетворяющих условиям (16) (граничное условие выполняется на соответствующем интервале $\left(0,\tau \right)$). Имеем:

$\begin{array}{c}\parallel {({\partial }_t+A_{s{r}_0+1})}^{-1}\left(A_{s{r}_0+1}-A\right)v{\parallel }_{W_p^{1,2}\left(Q^{\tau }\right)}\le c\parallel \left(A_{s{r}_0+1}-A\right)v{\parallel }_{L_p\left(Q^{\tau }\right)}\\ \le c{c}_1\parallel v{\parallel }_{W_p^{1,2}\left(Q^{\tau }\right)}\parallel \overrightarrow{\mu }{\parallel }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)},\end{array}$

где постоянная $C_1$ зависит от норм коэффициентов операторов $A_i$ в $L_{\infty }\left(Q\right)$ и не зависит от $\tau$. Выберем шар, в котором мы будем искать решение $\overrightarrow{\mu }$. Далее считаем, что

$\parallel \overrightarrow{\mu }{\parallel }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}\le \frac{1}{2c{c}_1}=r_1.\left(19\right)$

При выполнении этого условия оператор $Sv={\left({\delta }_t+A_{s{r}_0+1}\right)}^{-1}\left(A_{s{r}_0+1}-A\right)v, S:H_{\tau }\to H_{\tau },$ в правой части уравнения (18) является сжимающим, и уравнение имеет единственное решение $v\in W_p^{1,2}\left(Q^{\tau }\right)$, удовлетворяющего начально-краевым условиям и оценке

$\parallel v{\parallel }_{W_p^{1,2}\left(Q^{\tau }\right)}\le c_2\left(r_1\right)=R.\left(20\right)$

Здесь и далее через $c_i\left(R\right)$ обозначаем постоянные, не зависящие от конкретных данных задачи $f,g,u_0,{\psi }_j$.

Полученное решение обладает большей гладкостью в областях $Q_{\delta j}^{\tau }$. Зафиксируем ${\delta }_2<{\delta }_1$. Повторив рассуждения аналогично с [5] и используя лемму 4.6 главы 2 в [6], получим, что обобщенная производная ${\partial }_{x_i}v$ принадлежит $W_p^{1,2}\left(Q_{{\delta }_{2}j}^{\tau }\right)$ и удовлетворяет оценке

$\parallel v_{x_i}{\parallel }_{W_p^{1,2}\left(Q_{{\delta }_{2}j}^{\tau }\right)}\le c_3\left(R\right).\left(21\right)$

В силу произвольности ${\delta }_2<{\delta }_1,\text{ i и j}$ заключаем, что решение $v$ обладает свойством $v_{x_i}\in W_p^{1,2}\left(Q_{{\delta }_{2}j}^{\tau }\right)$ для любого ${\delta }_2<{\delta }_1,i=1,\dots ,n\text{ и }j=1, 2,\dots ,s$. Таким образом, имеем оценку:

$\parallel {\nabla }_{x}v{\parallel }_{W_p^{1,2}\left(Q_{{\delta }_{2}j}^{\tau }\right)}\le {\tilde{c}}_3\left(R\right).\left(22\right)$

Теперь рассмотрим два решения $v_{1, }{v}_2$ задачи (15)–(16), отвечающие двум различным наборам ${\overrightarrow{\mu }}^i=\left({\mu }_1^i,{\mu }_2^i,\dots ,{\mu }_{s{r}_0}^i\right)i=1,2$ в правой части уравнения (15). Считаем, что для каждого из этих наборов выполнено условие (19). Вычитая второе уравнение из первого, получим, что разность $\omega =v\left({\overrightarrow{\mu }}^1\right)-v\left({\overrightarrow{\mu }}^2\right)$ удовлетворяет уравнению

$\begin{array}{c}{\omega }_t+A_0\omega =\sum _{j=r+1}^{s{r}_0}({\mu }_j^2-{\mu }_j^1)A_j\left(t,x,D\right)\left(v_2+\text{Φ}\right)\\ -\sum _{j=r+1}^{s{r}_0}{\mu }_j^1{A}_j\left(t,x,D\right)\omega +\sum _{j=1}^r{b}_j\left(t,x\right)\left({\mu }_j^1\left(t\right)-{\mu }_j^2\left(t\right)\right).\end{array}\left(23\right)$

Можно получить оценку

$\parallel \omega {\parallel }_{W_p^{1,2}(Q^{\tau )}}\le c_4\left(R\right)\parallel {\overrightarrow{\mu }}^1-{\overrightarrow{\mu }}^2{\parallel }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}.\left(24\right)$

Дифференцируя равенство (22) по переменным , получим также оценку вида:

$\sum _{j=1}^s\parallel {\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}\omega {\parallel }_{W_p^{1,2}\left(Q_{{\delta }_{3}j}^{\tau }\right)}\le c_5\left(R\right)\parallel {\overrightarrow{\mu }}^1-{\overrightarrow{\mu }}^2{\parallel }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)},\left(25\right)$

где ${\delta }_3<{\delta }_1$ – произвольное фиксированное число.

Докажем разрешимость задачи. Пусть $u, \overrightarrow{\mu }$ – решение задачи (15)–(17) и, таким образом, $v=v\left(\overrightarrow{\mu }\right)$. В силу построения функции  (15) можно переписать в виде:

$v_t+Av=\sum _{i=1}^r{b}_i\left(t,x\right){\mu }_i\left(t\right)-\sum _{i=r+1}^{s{r}_0}{\mu }_i\left(t\right)A_i\left(t,x,D_x\right)\text{Ф}.$

Применим $P_0$ и полагая $x=x_j$ получим:

${\tilde{\psi }}_{jt}-P_0{A}^{}v\left(t,x_j\right)=P_0\sum _{i=r+1}^{s{r}_0}{\mu }_i\left(t\right)A_i\left(t,x_j,D_x\right)\text{Ф}\left(t,x_j\right)-P_0\sum _{i=1}^r{b}_i\left(t,x_j\right){\mu }_i\left(t\right).\left(26\right)$

Таким образом, построим систему уравнений для величин ${\mu }_i$:

$\overrightarrow{\mu }\left(t\right)={B_{\text{Ф}}}^{-1}H\left(\overrightarrow{\mu }\right)\left(t\right)=R\left(\overrightarrow{\mu }\right),\left(27\right)$

где $B_{Ф}$ – матрица размера $s{r}_0\times s{r}_0$, строчки которой с номерами $\left(j-1\right)r_0+1$ до $j{r}_0$ занимают вектор-столбцы:

$\left(-P_0{b}_1\left(t,x_j\right),\dots ,-P_0{b}_r\left(t,x_j\right),P_0{A}_{r+1}\text{Ф}\left(t,x_j\right),\dots ,P_0{A}_{s{r}_0}\text{Ф}\left(t,x_j\right)\right).$

Имеем, что $B_{Ф}\left(0\right)=B$, и, значит, без ограничения общности можем считать, что функция det $B_{Ф}\left(t\right)$  отделена от нуля на промежутке $\left[0,{\tau }_1\right]$, иначе уменьшим параметр ${\tau }_1$.$H(\mu ⃗ )$ – вектор-столбец, координаты которого с номерами от $\left(j-1\right)h+1$ до $jh (j=1,2,...,s)$ есть векторы ${\tilde{\psi }}_{jt}-P_0{A}^{}v\left(t,x_j\right)$.

Покажем, что можно найти такое ${\tau }_2\le {\tau }_1$, что оператор

$\begin{array}{c}R\left(\overrightarrow{\mu }\right)={B_{\text{Ф}}}^{-1}H\left(\overrightarrow{\mu }\right)\left(t\right),R:C\left(\left[0,{\tau }_2\right]\right)\to \left(\left[0,{\tau }_2\right]\right),\end{array}$(28)

определен, переводит шар $B_{r_1}\left({\tau }_2\right)=\left\{\overrightarrow{\mu }\in C\left(\left[0,{\tau }_2\right]\right):\parallel \overrightarrow{\mu }{\parallel }_{C\left(\left[0,{\tau }_2\right]\right)}\le r_1\right\}$ в пространстве $C\left(\right[0,{\tau }_2\left]\right)$ в себя и является в нем сжимающим. Фиксируем ${\delta }_2<{\delta }_1$.

Используя (23), (25), получим неравенство:

$\parallel R\left(\overrightarrow{{\mu }^1}\right)-R\left(\overrightarrow{{\mu }^2}\right){\parallel }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}\le c_7\left(R\right){\tau }^{\beta }\parallel {\mu }^1-{\mu }^2{\parallel }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}.\left(29\right)$

Выберем ${\tau }_2$ такое, что $\sum _{i=1}^s\parallel {\tilde{\psi }}_{jt}{\parallel }_{C\left(\left[0,{\tau }_2\right]\right)}{c}_6\le r_1/2\text{ и }{c}_7\left(R\right){\tau }_2^{\beta }\le \frac{1}{2},$ где постоянная $c_6$ – норма оператора ${B_{\text{Ф}}}^{-1}:C\left(\left[0,{\tau }_1\right]\right)\to C\left(\left[0,{\tau }_1\right]\right)$. Тогда из (28), (29) вытекает, что оператор $R$ определен, переводит шар $B_{r_1}\left({\tau }_2\right)$ в себя и является в нем сжимающим. Применяя теорему о неподвижной точке, получим, что в шаре $B_{r_1}\left({\tau }_2\right)$ существует единственное решение системы (24).

Положим $v=v\left(\overrightarrow{\mu }\right)$. Покажем, что построенная функция удовлетворяет условиям (17). По построению $v$ – решение задачи (15)–(16). Применим $P_0$ и, полагая $x=x_j$, вместо (15), (16) получим равенства:

${\tilde{\psi }}_t^j-P_0{A}^{}v=\sum _{i=1}^r{P}_0{b}_i\left(t,x_j\right){\mu }_i\left(t\right)-\sum _{i=r+1}^{s{r}_0}{\mu }_i\left(t\right)P_0\left(A_i\text{Φ}\left(t,x_j\right)\right)$

Учитывая (26), получим:

${\tilde{\psi }}_t^j=v_t\left(t,x_j\right),j=1,2,\dots ,s.$

Значит, ${\tilde{\psi }}^j\equiv v\left(t,x_j\right)$ и, следовательно, $v$ удовлетворяет условиям переопределения (17).

Доказательство теоремы 2. Утверждение теоремы 2 легко получается с использованием оценок приведенных в доказательстве теоремы 1, мы его опустим.