Construction of a piece-linear autoregression model of an arbitrary order

Full Text

Введение

Весьма часто при построении математических моделей динамических процессов самой различной природы успешно применяются авторегрессионные соотношения, в правые части которых включаются значения зависимых переменных в прошлые по отношению к текущему моменты времени (или за прошлые периоды времени). Так, в работе [1] с помощью авторегрессионной нейронной сети изучается влияние 66 климатических факторов на спрос на электроэнергию. В [2] с использованием векторной авторегрессионной модели, а также реальной и номинальной кривых Нельсона – Зигеля изучается доходность активов. Получены важные результаты, показывающие, что отсроченные аннуитеты с защитой от инфляции важны при наличии риска реального трудового дохода, однако так называемые номинальные отсроченные аннуитеты покупаются как более дешевая альтернатива, если реальная доходность низка или отрицательна. В статье [3] на основе модели авторегрессионного интегрированного скользящего среднего исследуются будущие цены на интеллектуальные системы, позволяя предлагать более доступные товары и услуги. Работа [4] посвящена созданию авторегрессионной модели первого порядка для нерегулярных дискретных временных рядов при изучении разных типов сверхновых, обнаружении и характеристике внесолнечных планет и классифицировании звезд. Весьма интересным представляется исследование [5], в котором изучается вопрос снижения зависимости Саудовской Аравии от нефти и диверсификации ее экономики. Рассматриваются данные о ценах на нефть и инвестициях в акции исламских государств, оценивается их взаимодействие и взаимовлияние с помощью векторного авторегрессионного моделирования и оценки функции импульсного отклика.

Результаты и обсуждение

Пусть поведение некоторого динамического процесса описывается зависимой переменной $y_t$,$t=\overline{\mathrm{1,}n}$ . Тогда линейная авторегрессионная модель порядка p представима в виде:

$y_t=\sum _{i=1}^p{\alpha }_i{y}_{t-i}+{\epsilon }_t,t=\overline{p+\mathrm{1,}n},$ (1)

где ${\alpha }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}p}$ – подлежащие оцениванию параметры,${\epsilon }_t$ , $i=\overline{p+\mathrm{1,}n}$ – ошибки аппроксимации, не имеющие вероятностной природы. Таким образом, на значения переменной у в момент времени t (или за период времени t) влияют ее прошлые значения до момента t-p включительно. Отметим, что проблемам построения авторегрессионных моделей посвящена обширная литература (см., например, [6–8]).

В настоящей работе мы займемся решением проблемы построения кусочно-линейной авторегрессии произвольного порядка p, имеющей вид

$y_t=\min \left\{{\alpha }_1{y}_{t-1},{\alpha }_2{y}_{t-2}\mathrm{,...,}{\alpha }_p{y}_{t-p}\right\}+{\epsilon }_t,t=\overline{p+\mathrm{1,}n}$. (2)

При этом потребуем выполнения условия n-p > p (длина выборки данных должна быть больше числа оцениваемых параметров).

Введем следующие обозначения:

$z_t=\min \left\{{\alpha }_1{y}_{t-1},{\alpha }_2{y}_{t-2}\mathrm{,...,}{\alpha }_p{y}_{t-p}\right\},t=\overline{p+\mathrm{1,}n}.$ (3)

Тогда модель (2) представима в виде:

$y_t=z_t+{\epsilon }_t$.

Неизвестные параметры ${\alpha }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}p}$ будем оценивать посредством реализации метода наименьших модулей (МНМ), минимизируя функцию J $\left(\alpha \right)$:

$J\left(\alpha \right)=\sum _{t=p+1}^n|y_t-z_t|\text{\hspace{0.17em}}\to \min$. (4)

Следует указать, что построению кусочно-линейной регрессии методом наименьших квадратов с произвольными независимыми переменными посвящены, в частности, работы [9, 10].

Для решения задачи (4) воспользуемся подходом, развитым в работах [11– 14] при использовании МНМ для построения кусочно-линейных многофакторных регрессий.

Введем в рассмотрение переменные  и  следующим образом:

$u_t=\left\{\begin{array}{c}{y}_t-z_t,y_t>z_t\\ \mathrm{0,}\begin{array}{ccc}в& противном& случае,\end{array}\end{array}\right.$

$v_t=\left\{\begin{array}{c}{z}_t-y_t,z_t>y_t\\ \mathrm{0,}\begin{array}{ccc}в& противном& случае.\end{array}\end{array}\right.$

Тогда будут справедливы тождества

$z_t+u_t-v_t=y_t,t=\overline{p+\mathrm{1,}n}$. (5)

Из соотношения (3) следует справедливость неравенств

$z_t\le {\alpha }_i{y}_{t-i},t=\overline{p+\mathrm{1,}n},i=\overline{\mathrm{1,}p},$ (6)

причем для каждого t по крайней мере одно из них должно обращаться в строгое равенство.

Для достижения последнего условия введем в рассмотрение $(n-p)p$ булевых переменных ${\sigma }_{ti}$, $t=\overline{p+\mathrm{1,}n}$, $i=\overline{\mathrm{1,}p}$ и сформируем ограничения:

${\alpha }_i{y}_{t-i}-z_t\le \left(1-{\sigma }_{ti}\right)M,t=\overline{p+\mathrm{1,}n},i=\overline{\mathrm{1,}p},$ (7)

$\sum _{i=1}^p{\sigma }_{ti}=1,t=\overline{p+\mathrm{1,}n},$ (8)

${\sigma }_{ti}\in \left\{\mathrm{0,}1\right\},t=\overline{p+\mathrm{1,}n},i=\overline{\mathrm{1,}p},$ (9)

где $M$ – заранее выбранное большое положительное число.

Из определения переменных $u_t$ и $v_t$ следуют следующие равенства

$\left|{\epsilon }_t\right|=u_t+v_t,u_t{v}_t=\mathrm{0,}$

что позволяет представить задачу (4) в виде

$J\left(\alpha \right)=\sum _{t=p+1}^n\left(u_t+v_t\right)\to \min$. (10)

Таким образом, задача (4) поиска значений неизвестных параметров ${\alpha }_i$, $i=\overline{\mathrm{1,}p}$ кусочно-линейной авторегрессии (2) с помощью МНМ свелась к задаче линейно-булевого программирования (5) – (10) с $(n-p)p+3(n-p)+p$ переменными (из которых $(n-p)p$ – булевы) и $2\left(\right(n-p)p+n-p)$ ограничениями.

Важнейшим социальным индикатором эффективности функционирования любого региона является общая площадь жилых помещений, приходящаяся в среднем на одного жителя, выраженная в квадратных метрах. Построим кусочно-линейную авторегрессионную модель (2) динамики этого показателя на основе статистической информации по Иркутской области [15] за 1995–2020 годы (рисунок).

Рисунок – Динамика переменной у за 1995–2020 годы

Решение задачи (5) – (10) с этими исходными данными позволяет представить модель (2) в виде кусочно-линейной авторегрессии третьего порядка:

$y_t=\min \left\{1.016y_{t-1}\mathrm{,1.054}{y}_{t-2}\mathrm{,1.083}{y}_{t-3}\right\},t=\overline{\mathrm{4,26}},$ (11)

Е=0.77, КСП=18.                                    

Здесь в качестве критериев оценки адекватности модели использованы средняя относительная ошибка аппроксимации Е и критерий согласованности поведения расчетных и фактических значений зависимой переменной КСП (см., например, [16]):

$E=\frac{100\%}{n-p}\sum _{t=p+1}^n\frac{|y_t-z_t|}{y_t}$,                                  

$КСП=\sum _{t=p+2}^{n}sign\left[\right(y_t-y_{t-1}\left)\right(z_t-z_{t-1}\left)\right]$,                         

где

$sign\left(a\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,}a\ge 0\\ \mathrm{0,}впротивномслучае.\end{array}\right.$                                                                    

Как следует из значений Е и КСП, модель (11) обладает весьма высокими аппроксимационными характеристиками. Ее анализ позволяет сделать вывод об увеличении значения параметра с ростом порядка авторегрессионной составляющей, что вполне согласуется с динамикой переменной у, представленной на рис. 1.

Кусочно-линейная авторегрессионная модель (11) обеспеченности жильем в Иркутской области может быть успешно использована при решении различных проблем прогнозного характера.

Заключение и выводы

В работе описан способ построения кусочно-линейной авторегрессионной модели произвольного порядка методом наименьших модулей. Показано, что оценивание ее параметров может быть сведено к задаче линейно-булевого программирования. Построена кусочно-линейная авторегрессионная модель обеспеченности жильем на статистическом материале Иркутской области, обладающая высокими аппроксимационными характеристиками. Модель может быть успешно использована при решении различных прогнозных проблем.

About the authors

Sergey I. Noskov

Author for correspondence.
Email: sergey.noskov.57@mail.ru

Doctor of Technical Sciences Professor of the Department
of Information Systems and Information Security

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Figure – Dynamics of the variable y for 1995-2020

Download (35KB)

Indexing metadata