Determination of invariant characteristics for digital image and their calculation in the MatLab system

Full Text

Введение

Инвариантные характеристики изображения являются точным математическим инструментом, позволяющим решать широкий класс задач обработки и анализа одноканальных и многоканальных изображений, таких так распознавание образов, поиск объектов по образцу и другие. Инварианты способны передавать характерные особенности изображения и выступать в роли существенных признаков при преобразованиях первичного изображения, таких как сдвиг, поворот, масштабирование, изменения контрастности и яркости. Также инвариантные характеристики характеризуются способностью к обобщению, что в свою очередь является необходимым качеством для моделей и методов искусственного интеллекта, нейронных сетей.

В настоящее время исследования, направленные на поиск и исследование инвариантных характеристик цифрового изображения, являются достаточно актуальными. Они получают развитие в областях распознавания текста, анализа 3D-изображений [1–3]. Однако на практике реальные цифровые содержат помехи, неточности и шумы. Кроме того, цифровые изображения не являются непрерывными, они определятся значениями пикселей в дискретных координатах. Таким образом перед исследователями встает задача определения методов и моделей обработки цифрового дискретного изображения и определения для данного изображения ряда устойчивых инвариантных характеристик [4].

В данной работе представлены инварианты второго порядка (числовые функции, содержащие производные первого и второго порядков) относительно группы аффинных преобразований, а также яркости, контрастности изображения. Использование в методах обработки и анализа цифровых изображений инвариантов второго порядка позволяет найти достаточно устойчивую относительно помех и шума изображения числовую характеристику и существенно снизить сложность метода, что является ощутимым преимуществом при практической реализации алгоритма.

Результаты и обсуждение

Представим цифровое полутоновое изображение в виде непрерывной функции $f(x,y)$. Будем считать, что данная функция цифрового изображения дважды непрерывно дифференцируема. Тогда справедливо разложение Тейлора второго порядка с произвольной точкой рассматриваемой области в виде центра. При помощи простых преобразований любую точку области можно перевести в начало координат. Тогда функция цифрового полутонового изображения будет иметь вид:

$f(x,y)=a+p_1^{}x+p_2^{}y+\frac{1}{2}\left(b_{\left(\mathrm{2,0}\right)}^{}{x}^2+2b_{\left(\mathrm{1,1}\right)}^{}xy+b_{\left(\mathrm{0,2}\right)}^{}{y}^2\right)+o\left(x^2+y^2\right)$

В данной записи коэффициенты разложения представляют собой значения функции, дифференциалов первого и второго порядка в начале координат:

$\begin{array}{l}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}a=f\left(\mathrm{0,0}\right),p_1=\frac{\partial f}{\partial x}\left(\mathrm{0,0}\right),p_2=\frac{\partial f}{\partial y}\left(\mathrm{0,0}\right),\\ b_{\left(\mathrm{2,0}\right)}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\left(\mathrm{0,0}\right),b_{\left(\mathrm{1,1}\right)}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\left(\mathrm{0,0}\right),b_{\left(\mathrm{0,2}\right)}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\left(\mathrm{0,0}\right).\end{array}$

Представим, что цифровое изображение претерпело некоторые преобразования (такие как сдвиг, масштабирование, поворот). Обозначим эту группу преобразований как G. В таком случае можем записать

$G\left(\lambda ,\rho ,\varphi \right):f(x,y)\to e^{\lambda }f\left(e^{\rho }\left(xcos\left(\varphi \right)-ysin\left(\varphi \right)\right),e^{\rho }\left(xsin\left(\varphi \right)+ycos\left(\varphi \right)\right)\right).$

В этой записи коэффициент $e^{\rho }$ соответствует преобразованию плоскости цифрового изображения, угол $\varphi$ – повороту, а множитель $e^{\lambda }$ – можно описать как коэффициент соответствующий частотному диапазону данного изображения, а также как фактор поглощения среды, действующий в окрестности рассматриваемой точки.

Определение. Числовая функция $I$ нетождественно равная константе является инвариантом цифрового изображения порядка $k$, если она сохраняет свое значение под действием преобразований группы $G$.

Замечание. Размерность пространства инвариантов определяется по формуле:

$dimI=dim{J}_3^k-dimG$.

Заметим, что группа преобразований $G\left(\lambda ,\rho ,\varphi \right)$ действует в пространстве параметров $t=\left\{a,p_1,p_2,b_{11},b_{22},b_{12}\right\}$ и образует трехмерную коммутативную группу Ли

$G\left({\lambda }_1,{\rho }_1,{\varphi }_1\right)\circ G\left({\lambda }_2,{\rho }_2,{\varphi }_2\right)=G\left({\lambda }_1+{\lambda }_2,{\rho }_1+{\rho }_2,{\varphi }_1+{\varphi }_2\right)$

Для произвольной функции $\Phi$ параметров $\Phi \left(a,p_1,p_2,b_{11},b_{22},b_{12}\right)$ детерминированы инфинитезимальные дифференциальные операторы $X_{\lambda }\Phi$, $X_{\rho }\Phi$, $X_{\varphi }\Phi$

Теорема 1. Дифференциальные операторы $X_{\lambda }\Phi$, $X_{\rho }\Phi$, $X_{\varphi }\Phi$ представимы в следующем виде

$X_{\lambda }\Phi =\frac{\partial \Phi }{\partial a}a+\frac{\partial \Phi }{\partial p_1}{p}_1+\frac{\partial \Phi }{\partial p_2}{p}_2+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{11}}{b}_{11}+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{22}}{b}_{22}+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{12}}{b}_{12}$,

$X_{\rho }\Phi =\frac{\partial \Phi }{\partial p_1}{p}_1+\frac{\partial \Phi }{\partial p_2}{p}_2+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{11}}2b_{11}+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{22}}2b_{22}+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{12}}2b_{12}$,

$X_{\varphi }\Phi =\frac{\partial \Phi }{\partial p_1}{p}_2-\frac{\partial \Phi }{\partial p_2}{p}_1+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{11}}2b_{12}-\frac{\partial \Phi }{\partial b_{22}}2b_{12}+\frac{\partial F}{\partial b_{12}}\left(-b_{11}+b_{22}\right)$.

Доказательство:

Параметр $t$ преобразуется по формуле $t\to \Omega \left(t\right)$, т.е.

$a\to a{e}^{\lambda }$, $p_1\to e^{\lambda +\rho }{p}_1\cos \left(\varphi \right)+e^{\lambda +\rho }{p}_2\sin \left(\varphi \right)$,

$p_2\to -p_1{e}^{\lambda +\rho }\sin \left(\varphi \right)+p_2{e}^{\lambda +\rho }\cos \left(\varphi \right)$,

$b_{11}\to e^{2\rho +\lambda }{b}_{11}{\cos }^2\left(\varphi \right)+e^{2\rho +\lambda }{b}_{12}\sin \left(\varphi \right)\cos \left(\varphi \right)-e^{2\rho +\lambda }{b}_{22}{\cos }^2\left(\varphi \right)+e^{2\rho +\lambda }{b}_{22}$,

$b_{12}\to e^{2\rho +\lambda }2b_{12}{\cos }^2\left(\varphi \right)+e^{2\rho +\lambda }{b}_{22}\cos \left(\varphi \right)\sin \left(\varphi \right)-e^{2\rho +\lambda }{b}_{11}\sin \left(\varphi \right)\cos \left(\varphi \right)-e^{2\rho +\lambda }{b}_{12}$,

$b_{22}\to e^{2\rho +\lambda }{b}_{11}-e^{2\rho +\lambda }{b}_{11}{\cos }^2\left(\varphi \right)-2e^{2\rho +\lambda }{b}_{12}\sin \left(\varphi \right)\cos \left(\varphi \right)+e^{2\rho +\lambda }{b}_{22}{\cos }^2\left(\varphi \right)$.

Воспользовавшись данным преобразованием, найдем значения следующих дифференциальных операторов:

${\left.\frac{d}{d\lambda }\Phi \left(\Omega \left(t\right)\right)\right|}_{\lambda =\mathrm{0,}\rho =\mathrm{0,}\varphi =0}=X_{\lambda }\Phi$,

${\left.\frac{d}{d\rho }\Phi \left(\Omega \left(t\right)\right)\right|}_{\lambda =\mathrm{0,}\rho =\mathrm{0,}\varphi =0}=X_{\rho }\Phi$,

${\left.\frac{d}{d\varphi }\Phi \left(\Omega \left(t\right)\right)\right|}_{\lambda =\mathrm{0,}\rho =\mathrm{0,}\varphi =0}=X_{\varphi }\Phi$.

Выполнив вычисления с учетом указанных выше начальных условий, получим:

$X_{\lambda }\Phi =\frac{\partial \Phi }{\partial a}a+\frac{\partial \Phi }{\partial p_1}{p}_1+\frac{\partial \Phi }{\partial p_2}{p}_2+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{11}}{b}_{11}+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{22}}{b}_{22}+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{12}}{b}_{12}$,

$X_{\rho }\Phi =\frac{\partial \Phi }{\partial p_1}{p}_1+\frac{\partial \Phi }{\partial p_2}{p}_2+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{11}}2b_{11}+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{22}}2b_{22}+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{12}}2b_{12}$,

$X_{\varphi }\Phi =\frac{\partial \Phi }{\partial p_1}{p}_2-\frac{\partial \Phi }{\partial p_2}{p}_1+\frac{\partial \Phi }{\partial b_{11}}2b_{12}-\frac{\partial \Phi }{\partial b_{22}}2b_{12}+\frac{\partial F}{\partial b_{12}}\left(-b_{11}+b_{22}\right)$.

Теорема доказана.

Теорема 2. Данные функции являются инвариантами цифрового изображения второго порядка относительно группы преобразований, включающих в себя движения, растяжения и калибровку цифрового полутонового изображения:

$\begin{array}{l}In{v}_1=\frac{\left(b_{11}+b_{22}\right)\left(b_{11}{p}_1^2+2b_{12}{p}_1{p}_2+b_{22}{p}_2^2\right)}{\left(p_1^2+p_2^2\right)\left(b_{11}^2+2b_{12}^2+b_{22}^2\right)},\\ In{v}_2=\frac{\left(b_{11}+b_{22}\right)\left(b_{11}{p}_2^2-2b_{12}{p}_1{p}_2+b_{22}{p}_1^2\right)}{\left(p_1^2+p_2^2\right)\left(b_{11}^2+2b_{12}^2+b_{22}^2\right)},\end{array}$

Доказательство.

Проверяется непосредственно.

Замечание. Для представленных инвариантов справедлива следующая оценка:

$\frac{1-\sqrt{2}}{2}\le In{v}_1,In{v}_2\le \frac{1+\sqrt{2}}{2}$

Для выполнения расчетов данных инвариантов в системе Matlab необходимо дополнительно рассмотреть дискретную модель цифрового полутонового изображения.

В силу технических ограничений память компьютера способна хранить и обрабатывать только дискретные числа. Поэтому при оцифровке непрерывная функция изображения $f(x,y)$ превращается в дискретную – возникает прямоугольная решетка точек изображения. И таким образом при любых операциях с использованием цифровых технических средств, таких как хранение, обработка и анализ, полутоновое изображение представляет собой матрицу определенного размера со значениями пикселей в узлах сетки (рис. 1).

 

Рисунок 1 – Дискретная сетка цифрового изображения

 

Система Matlab обладает широкими возможностями обработки и анализа цифровых изображений. При помощи встроенных функций системы была проведена загрузка группы тестовых изображений. Данные группы содержат изображения одной и той же области, но содержащие определенные отличия, такие как уровень яркости, сдвиг по вертикали и горизонтали, угол поворота (рис. 2).

 

Рисунок 2 – Пример группы изображений

 

Для каждого из изображений группы были проведены вычисления инвариантных характеристик $In{v}_1,In{v}_2$. Для оценки результативности характеристик рассматривались значения функции распределения разностей между инвариантными характеристиками вычисленных для значения дискретной функции во всех узлах сетки. Проведенные исследования позволяют сделать вывод: для предполагаемого наличия общих областей на изображениях размером $n\times m$ достаточно, чтобы у ${0.1}^2\times n\times m$ значений сумма попарных разностей по рассмотренным инвариантным характеристикам не превышала величину $\epsilon =200$.

Заключение и выводы

Проведенные теоретические исследования и вычислительные эксперименты позволяют сделать вывод о том, что представленные в данной работе инвариантные характеристики цифрового одноканального изображения относительно группы аффинных преобразований, а также яркости, контрастности изображения можно эффективно использовать при решении различных задач анализа и обработки цифрового изображений, таких как сортировка изображений, поиск снимков по образцу, распознавание изображений и другие.

About the authors

Olga V. Samarina

Yugra State University

Author for correspondence.
Email: O_Samarina@ugrasu.ru

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Head of Engineering school of Digital Technologies

Russian Federation, Khanty-Mansiysk

Valery A. Samarin

Yugra State University

Email: V_Samarin@ugrasu.ru

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor school of Digital Engineering

Russian Federation, Khanty-Mansiysk

References

Supplementary files