Investigation of heat transfer in a porous material based on triply periodic surfaces of minimal energy

Full Text

Введение

В настоящее время широкое применение во всех областях промышленности находят пористые композиционные материалы. Так, например, в работе [1] авторами используется класс материалов, представляющих собой металлоорганические каркасы (MOF). Благодаря своей сверхбольшой площади поверхности и регулируемой химической структуре эти пористые материалы находят применение в проведении таких процессов, как катализ и адсорбция. На сегодняшний день MOF не были широко представлены в промышленности из-за трудности изготовления формы. Однако развитие 3D-печати позволяет создать универсальный подход к формированию структуры MOF с последующим применением их в промышленности, например, в хранении и распределении газа. Особое внимание авторами уделяется 3D-печати MOFs, что позволит использовать данные наработки в области энергетики и защиты окружающей среды.

Под пористым материалом понимают тело, имеющее в своем объеме свободное пространство, представленное в виде пор или каналов. Притом геометрические размеры поры меньше размеров тела. Если рассматривать область применения таких материалов, то они наиболее распространены в качестве теплоизоляционного и строительного материала. Связано это, в первую очередь, со значением коэффициента эффективной теплопроводности, при этом λ сильно зависит от плотности материала и размера пор. Так, авторами работы [2] введено понятие эквивалентного коэффициента теплопроводности условного сплошного шарового включения, заменяющего пору, а также проведен сравнительный анализ оценок истинного значения эффективного коэффициента в диапазоне изменения пористости.

Среди пористых материалов наибольший интерес представляют трижды периодические минимальные поверхности TPMS. Так, исследованию теплофизических и прочностных свойств таких поверхностей посвящены, например, работы [3–7].

Одним из возможных способов изучения свойств TPMS структур является математическое моделирование. При моделировании теплофизических процессов, протекающих в пористых структурах, возможно применение численных методов [8, 9], а также точных и приближенных аналитических методов. Например, в работах [10, 11] авторами предложено решение задачи теплопроводности аналитическими методами, основанными на введении дополнительных граничных условий и дополнительных граничных функций.

В данной статье приведено решение задачи теплопроводности для пористой пластины, изготовленной из пластика PETG (рис. 1). Решение осуществлялось методом конечных разностей в ПО Mathcad.

Формирование тпмп I-WP

На рис. 1 представлена пластина, структура которой основана на повторяющихся элементарных ячейках. Элементарные ячейки представляют собой трижды периодические минимальные поверхности I-WP. Толщина данным ячейкам придается с помощью формирования твердотельного слоя, ограниченного исходной минимальной поверхностью. В дальнейшем, последовательно соединяя полученные ячейки, возможно получение материала с заданными характеристиками, такими как объем тела, пористость материала и т. д.

 

Рисунок 1 – Пористая пластина, имеющая упорядоченную структуру, основанную на TPMS I-WP

 

Постановка задачи

Общая запись уравнения теплового баланса имеет вид [12]:

$c\text{ρ}\frac{\partial T\text{(}x,t\text{)}}{\partial t}=-div\overrightarrow{q}$,                                      (1)

где $c$ – теплоемкость; $\rho$ – плотность; $T$ – температура; $t$ – время; $x$ – пространственная координата.

Согласно закону Фурье тепловой поток примет вид:

$\overrightarrow{q}=-\lambda gradT$.                                           (2)

При постоянных теплофизических свойствах справедливо:

$c\text{ρ}\frac{\partial T\text{(}x,t\text{)}}{\partial t}=-\lambda div\left(gradT\right)$.                              (3)

Принимая во внимание, что $div\left(gradT\right)=\Delta T={\nabla }^{2}T$, то уравнение (3) примет следующий вид:

 $\frac{\partial T\text{(}x,t\text{)}}{\partial t}=a\Delta T$,                                          (4)

где $a$ – температуропроводность. Коэффициент температуропроводности пористого материала определяется следующим выражением:

$a=\frac{\lambda \left(\text{φ}\right)}{с\text{ρ(φ)}}=\frac{\mathrm{0,1759}-\mathrm{0,1776}\text{φ}}{с{\text{ρ}}_{\text{м}}(1-\text{φ})}$,                            (5)

где $\lambda \left(\text{φ}\right)=\mathrm{0,1759}-\mathrm{0,1776}\text{φ}$ – коэффициент теплопроводности, изменяющийся по линейному закону согласно [15]; $\text{φ}$ – пористость материала, изменятся в пределах от 0 до 1; $\text{ρ(φ)}={\text{ρ}}_{\text{м}}(1-\text{φ})$ – плотность пористой пластины, ${\text{ρ}}_{\text{м}}$ – плотность материала. Свойства материала, из которого изготавливается пористая пластина, приняты в соответствии с работой [16].

 

Таблица 1 – Свойства материала пористой пластины

Материал	Теплоемкость, Дж/кг℃	Плотность, кг/м3
PETG	1050	1300

 

Уравнение (4) в общем виде с учетом декартовой системы координат:

$\frac{\partial T\text{(}x,t\text{)}}{\partial t}=\frac{\mathrm{0,1759}-\mathrm{0,1776}\text{φ}}{с{\text{ρ}}_{\text{м}}(1-\text{φ})}\frac{{\partial }^{2}T\text{(}x,t\text{)}}{\partial x^2}\text{\hspace{0.33em}.}$                  (6)

Краевые условия для данной задачи имеют вид:

$T\left(x\mathrm{,0}\right)=T_0$;                                             (7)

$T(l,t)=T_{\text{ст}}$;                                             (8)

$T\left(\mathrm{0,}t\right)=T_{\text{ст}}$.                                             (9)

Результаты и обсуждение

Решение задачи (6)–(9) отыскивается путем осуществления метода конечных разностей [13, 14]. Метод конечных разностей заключается в построении пространственно-временной сетки с шагами по координате $\text{Δ}x$ и по времени $\text{Δ}t$. В данной задаче применялась сетка вида:

$x_i=i\text{Δ}x,i=\overline{\mathrm{0,}I}; t_k=k\text{\hspace{0.17em}Δ}t,k=\overline{\mathrm{0,}K}$,                 (10)

где $I,K$ – число шагов по пространственной координате $x$ и по времени $t$.

Согласно выбранному методу, на (10) вводятся сеточные функции $T_i^k=T\text{(}{x}_i,t_k)$. Приняв явную разностную схему решения для задачи (6)–(9), математическая постановка примет вид:

$\frac{T_i^{k+1}-T_i^k}{\text{Δ}t}=\frac{\mathrm{0,1759}-\mathrm{0,1776}\text{φ}}{с{\text{ρ}}_{\text{м}}(1-\text{φ})}\frac{T_{i-1}^k-2T_i^k+T_{i+1}^k}{\text{Δ}{x}^2}$;             (11)

$T_0^k=T_0$;                                               (12)

$T_l^k=T_{\text{ст}}$;                                              (13)

$T_i^0=T_{\text{ст}}$.                                              (14)

Заключение и выводы

Согласно уравнению (5), коэффициент температуропроводности зависит от пористости, теплоемкости и плотности материала. При постоянном теплоемкости $с$ изменение пористости $\text{φ}$ не приводит к изменению температуропроводности $a$, так как отношение $\frac{\lambda \left(\text{φ}\right)}{\text{ρ(φ)}}$ сохраняет постоянное значение (см. рис. 2), в связи с чем коэффициент пористости $\text{φ}$ приводит не к изменению температурных кривых в теле, а лишь к изменению количества энергии, протекающего через тело. В настоящей работе исследовано температурное состояние пористой пластины для значений пористости  в диапазоне 0,4…0,8.

 

Рисунок 2 – Зависимость отношения λ(φ)/ρ(φ) от пористости материала

 

На рис. 3 представлено численное решение задачи теплопроводности в пористой пластине при значении пористости $\text{φ}=0.9$, а также при значениях температуры в начальный момент времени $T_0=20°C$ и значении температуры на поверхности стенки $T_{\text{ст}}=100°C$. Процесс нагрева пористой пластины можно условно разделить на две стадии. На первой стадии происходит прогревание пластины от поверхности к центру, при этом температура при $x=\text{0,005}$ (т. е. в центре пластины) остается неизменной. Во второй стадии происходит нагрев пластины во всем исследуемом объеме.

 

Рисунок 3 – Распределение температуры по координате x

 

На рис. 4 представлена зависимость распределения плотности теплового потока $q$ в пористой пластине во времени от значений пористости $\text{φ}$. Пунктирной линией представлена плотность теплового потока для сплошного тела, то есть при пористости $\text{φ}=\text{0}$. Из анализа данного рисунка следует, что при варьировании коэффициента пористости возможно регулирование значения плотности теплового потока. Следовательно, на основании полученных зависимостей возможно создание пористого материала с заданными теплофизическими свойствами. Полученные результаты могут иметь практическое значение в изучении теплоизоляционных материалов, что связано с возможностью изменения толщины материала и регулирования проходящего теплового потока.

 

Рисунок 4 – Зависимость распределения теплового потока в пористой пластине от пористости материала

About the authors

Anton V. Eremin

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: a.v.eremin@list.ru

Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Head of the Department "Industrial Heat Power Engineering", Faculty of Heat and Power Engineering

Russian Federation, Samara

Sofya A. Zinina

Samara State Technical University

Email: sofazinina4@gmail.com

Postgraduate Student, Assistant of the Department of "Industrial Heat Power Engineering", Faculty of Heat and Power Engineering

Russian Federation, Samara

Olatui Oluvapelumi Johnson

Samara State Technical University

Email: olatuyi.oluwapelumi@gmail.com

Postgraduate Student, Department of "Industrial Heat Power Engineering"

Russian Federation, Samara

References

Supplementary files