On some classes of inverse problems with point overdirection for mathematical models of heat and mass transfer

Full Text

Введение

Мы рассматриваем обратные задачи с точечным переопределением для параболической системы вида

$Lu=u_t+A(t, x, D)u=f(x, t), (t, x)\in Q=(0, T) \times G, G\subset {\mathrm{ℝ}}^n$, (1)

где $A(t, x, D)u=-\sum _{i, j=1}^n{a}_{ij}(t, x)u_{x_j{x}_j}+\sum _{i=1}^n{a}_i(t, x)u_{x_i}+a_0(t, x)u$

G – ограниченная область с границей $\Gamma \in C^2$,$a_{ij}$, $a_i$ матрицы размера h×h и u – вектор длины h. Система (1) дополняется начальными и граничными условиями

$u{|}_{t=0}=u_0, Bu{|}_S=g, S=(0, T)\times Г$,(2)

где $Bu=\sum _{i=1}^n{\gamma }_i(t, x)u_{xi}+{\gamma }_0(t, x)u$. Условия переопределения записываются в виде:

$u(x_i, t)={\psi }_i\left(t\right), i=1, 2, ..., r$.(3)

 Правая часть имеет вид $f=\sum _{i=1}^m{f}_i(x, t)q_i\left(t\right)+f_0(x, t)$. Задача состоит в определении неизвестных функций q_i(t) и решения  системы (1), удовлетворяющего условиям (2), (3).

1. Проблемы подобного вида возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и во многих других областях (см. [1, 2]. Прежде всего мы сошлемся на работу [3], где получена теорема существования и единственности решений задачи (1)-(3) в пространствах Гельдера в случае h=r=1, s=1. В случае n=1, r=1 и G=ℝ аналогичный результат получен в работах [4, 5]. Общие теоремы о разрешимости абстрактных задач такого вида в квазилинейном случае получены в монографии [6, 6.6,9.4] в пространствах функций, удовлетворяющих условию Гельдера по t в случае, когда главная часть оператора A не зависит от неизвестных функций и D(A) не зависит от времени. Результаты применимы и к задачам вида (1)-(3), и при выполнении некоторых (довольно жестких и, вообще говоря, значительно завышенных) условий на данные задачи, которые гарантируют локальную по времени разрешимость. Задачи вида (1)-(3) были рассмотрены в работах авторов в [7, 8, 9] (здесь условия на данные минимальны), а квазилинейные задачи того же вида в работе [8], где были ослаблены условия на данные по сравнению с теми, которые были использованы в [6, 9.4]. В отличие от этих результатов в данной работе мы рассматриваем случай, когда точки замеров {x_i} могут лежать и на границе области G. Этот случай труднее того, что уже был рассмотрен. В приложениях такая ситуация также возникает, и имеется ряд работ, посвященных численным методам решения этой задачи, в том числе и в случае точечных источников (см., например, [10]). Отметим, что численные методы решения различных модельных задач, входящих в класс (1)-(3), рассматривались, например, в книгах [2, 3] и большом количестве работ (см., например, [11, 12]), выделим работу [13], где рассматривался случай квазилинейной параболической системы.

1. Вспомогательные результаты

Вначале приведем некоторые обозначения. Пусть E – банахово пространство. Через L_p(G; E) (G – область в ℝⁿ) обозначается пространство сильно измеримых функций, определенных на G со значениями в E и конечной нормой ∥∥u(x)∥_E∥_Lp(G) [14]. Мы также используем пространства $C^k(\overline{G}; E)$, состоящие из функций, имеющих в G все производные до порядка k включительно, непрерывные в G и допускающие непрерывное продолжение на замыкание $\overline{G}$. Обозначения для пространств Соболева $W_p^s(G; E)$, $W_p^s(Q; E)$ и т. д. – стандартные (см. [14, 15, 16]). При нецелых s пространство Соболева $W_p^s(G; E)$ совпадает с пространством Бесова $B_{p,p}^s(G; E)$. Если E=ℂ или E=ℂn, то последнее пространство обозначаем просто через $B_{p,p}^s\left(G\right)$. Аналогично вместо $W_p^s(G; E)$ или $C^k(\overline{G}; E)$ используем обозначение $W_p^s\left(G\right)$ или $C^k\left(\overline{G}\right)$. Таким образом, включение $u\in W_p^s\left(G\right)$ (или $u\in C_{}^p\left(\overline{G}\right)$) для данной вектор-функции u=(u₁, u₂, …, u_k) означает, что каждая из компонент u_i принадлежит пространству $W_p^s\left(G\right)$ (или $C^k\left(\overline{G}\right)$). В этом случае под нормой вектора понимаем сумму норм координат. Будем считать, что аналогичное соглашение справедливо и для матриц, т. е. включение $a\in W_p^s\left(G\right)$ для данной матрицы-функции $a={\left\{a_{ij}\right\}}_{j, i=1}^k$ означает, что $a_{ij}\left(x\right)\in W_p^s\left(G\right)$ для всех i, j. Для данного интервала J=(0,T), положим, $W_p^{s, r}\left(Q\right)=W_p^s(J; L_p(G\left)\right)\cap L_p(J; W_p^r(G\left)\right)$, соответственно, $W_p^{s, r}\left(S\right)=W_p^s(J; L_p(Г\left)\right)\cap L_p(J; W_p^r(Г\left)\right)$. Аналогично определяем анизотропные пространства Гельдера $C^{\alpha ,\beta }\left(\overline{Q}\right)$, $C^{\alpha ,\beta }\left(\overline{S}\right)$.

Определение вложения Γ∈C² может быть найдено в [17, Гл. 1]. Далее мы считаем, что параметр p>n+2 зафиксирован. Пусть $B_{\delta }\left(x_i\right)$ – шар радиуса $\delta$ с центром в точке $x_i$ (см. условие (3)). Будем считать, что точки ${\left\{x_i\right\}}_{i=1}^s$ – граничные, а точки ${\left\{x_i\right\}}_{i=s+1}^r$ – внутренние. Параметр $\delta >0$ назовем допустимым, если $\overline{B_{\delta }\left(x_i\right)}\subset G$ для внутренних точек $x_i\in G$, $\overline{B_{\delta }\left(x_i\right)}\cap \overline{B_{\delta }\left(x_j\right)}=\varnothing$ для i≠j, i,j=1,2,…,r. Пусть $Q^{\tau }=(0, \tau )\times G$, $G_{\delta }={\cup }_i{B}_{\delta }\left(x_i\right)$, ${\tilde{G}}_{\delta }={\cup }_{i=1}^s{B}_{\delta }\left(x_i\right)$, $Q_{\delta }=(0,T)\times G_{\delta }$, $Q_{\delta }^{\tau }=(0,\tau )\times G_{\delta }$.

Наложим условия на коэффициенты операторов A и B: найдется допустимое δ>0 такое, что

$a_{ij}\in C\left(\overline{Q}\right)$, $a_k\in L_p\left(Q\right)$, ${\gamma }_i\in C^{1/2,1}\left(\overline{S}\right)$, $a_{ij}\in L_{\infty }(0,T; W_{\infty }^1(G_{\delta }\cap G\left)\right)$ (4)

$a_k\in L_p(0, T; W_p^1(G_{\delta }\cap G\left)\right), i, j=1, 2, \dots , n, k=0, 1, \dots , n$(5)

 Также предполагается, что L – параболический оператор и выполнено условие Лопатинского. Сформулируем эти условия. Рассмотрим матрицу $A_0(t, x, \xi )=-{\sum }_{i,j=1}^n‍a_{ij}(t, x){\xi }_i {\xi }_j (\xi \in {\mathrm{ℝ}}^n)$ и предположим, что существует постоянная δ₁>0, такая что корни  полинома

$det\left(A_0\right(t ,x, i\xi )+pE)=0$

(E – единичная матрица) удовлетворяют условию

$Rep\le -{\delta }_1|\xi {|}^2\forall \xi \in {\mathrm{ℝ}}^n\forall (x, t)\in Q$(6)

 Условие Лопатинского может быть сформулировано следующим образом: для любой точки (t₀, x₀)∈S и операторов A₀(x,t,D) и $B_0(x, t, D)={\sum }_{i=1}^n‍{\gamma }_i(t,x)\partial x_i$, записанных в локальной системе координат  в этой точке (ось  направлена по нормали к S, и оси y₁, …, y_n−1 лежат в касательной плоскости в точке (x₀, t₀)), система

$(\lambda E+A_0(x_0, t_0, i\xi \text{'},{\partial }_{y_n}\left)\right)v\left(z\right)=0, B_0(x_0, t_0, i\xi \text{'},{\partial }_{y_n})v\left(0\right)=h_j$(7)

где $\xi \text{'}=({\xi }_1, \dots , {\xi }_{n-1})$, $y_n\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$, имеет единственное решение из $C\left({\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+}\right)$, убывающее на бесконечности при всех $\xi \text{'}\in {\mathrm{ℝ}}^{n-1}$, $\left|arg\lambda \right|\le \pi /2$ и $h_j\in \mathrm{ℂ}$ таких, что $|\xi \text{'}|+\left|\lambda \right|\ne 0$.

Алгебраические условия, гарантирующие выполнение (7), могут быть найдены, например, в [17]. Дополнительно к условию Лопатинского для задачи (1)-(3) мы также будем предполагать, что существует постоянная  ${\epsilon }_1>0$, такая, что

$Re(-A_0(t, x, \xi )\eta , \eta )\ge {\epsilon }_1\left|\xi {|}^2\right|\eta {|}^2\forall \xi \in {\mathrm{ℝ}}^n,\eta \in {\mathrm{ℂ}}^h$(8)

где скобки  обозначают скалярное произведение в . Последнее условие называется условием сильной эллиптичности (см. [17, определение 7, § 8, Гл. 7]). Как показано в работе [18], условие (8) влечет, что выполнено условие параболичности и условие Лопатинского на  для задачи (1)-(3), где условие третьей краевой задачи заменено условием Дирихле, т. е. .

Без ограничения общности можем считать, что

$\left|det\right({\sum }_{i=1}^n‍{\gamma }_i{\nu }_i\left)\right|\ge {\epsilon }_0>0$(9)

 где ν – внешняя единичная нормаль к Γ и ε₀ – некоторая положительная постоянная. Основные условия на данные имеют вид

$u_0\left(x\right)\in W_p^{2-2/p}\left(G\right)$, $g\in W_p^{2k_0,k_0}\left(S\right)$, $B(x, 0)u_0\left(x\right){|}_{\Gamma }=g(x, 0)\forall x\in \Gamma$ (10),

 где k₀=1/2−1/2p. Фиксируем допустимое δ>0. Построим функцию $\phi \left(x\right)\in C_0^{\infty }\left(G_{\delta }\right)$ такую, что $\phi \left(x\right)=1$ в $G_{\delta /2}$ и $\phi \left(x\right)=0$ в $G\backslash G_{3\delta /4}$. В силу допустимости в этом случае $\phi ={\sum }_{i=1}^r‍{\phi }_i\left(x\right)$, ${\phi }_i\left(x\right)\in C_0^{\infty }\left(B_{\delta }\right(x_i\left)\right)$ и эти функции имеют непересекающиеся носители. Дополнительно предположим, что

$\phi \left(x\right)u_0\left(x\right)\in W_p^{3-2/p}\left(G\right)$ (11)

Поскольку Г принадлежит классу C², найдется число δ₀>0 такое, что для любой X₀∈Γ найдется окрестность U (координатная окрестность) этой точки, и система координат  (локальная система координат), полученная с помощью поворота и переноса начала координат из исходной такая, что ось y_n направлена по внутренней нормали в Г в точке x₀ и уравнение границы U∩Γ имеет вид y_n=ω(y′), ω(0)=0, |y′|<δ₀, y′=(y₁, …, y_n−1), причем $\omega \in C^2\left(\overline{B_{{\delta }_0}\text{'}\left(0\right)}\right)$ ($B_{{\delta }_0}\text{'}\left(0\right)=\{z\text{'}:|z\text{'}|<{\delta }_0\}$) и $G\cap U=\{y:|y\text{'}|<{\delta }_0,0<y_n-\omega (y\text{'})<{\delta }_1\}$, $(R^n\backslash G)\cap U=\{y:|y\text{'}|<{\delta }_0,-{\delta }_1<y_n-\omega (y\text{'})<0\}$. Числа δ₀, δ₁ для области G фиксированы. Отметим, что мы всегда сможем считать, что δ₁>(M+1)δ₀, где M – постоянная Липшица функции ω. Это условие обеспечивает включение $B_{{\delta }_0}\left(x_0\right)\subset U_i$. Ниже без ограничения общности мы считаем, что допустимый параметр δ в вышеприведенных условиях на данные таков, что δ=δ₀ (иначе мы уменьшим значения параметров). Обозначим через U_i координатные окрестности, отвечающие точкам x_i (i=1, …, s). Дополнительно к условию Γ∈C² мы предположим, что

$\Gamma \cap B_{\delta }\left(x_i\right)\in C^3, i=1, 2, \dots , s$ (12)

т. е. имеем ω(y′)∈C3(B_δ′(0)) для соответствующих функций ω.

Мы используем выпрямление границы. Это преобразование zn=yn−ω(y′), z′=y′. При выполнении условия (12) оно и обратное к нему yn=zn+ω(z′), y′=z′ принадлежат классу C³ в области U_i.

Пусть $S_{\delta }=(0,T)\times {\cup }_{{}_{i=1}}^s(\Gamma \cap B_{\delta }(x_i\left)\right)$. Фактически это множество состоит из s непересекающихся компонент связности. По аналогии с условием (11) введем условие

$\phi g\in W_p^{k_1, 2k_1}\left(S\right)(k_1=1-1/2p), {\nabla }_z\text{'}{\gamma }_k\left(x\right(z\text{'}, 0\left)\right),\in C^{1/2,1}\left(S_0\right)$ (13)

 где k=0, 1, 2, …, n, S0=(0, T)×B_δ′(0) и последнее включение выполнено для любой из областей U_i и соответствующего преобразования координат z. Для удобства записи мы опускаем индекс i в обозначениях систем координат.

Применяя лемму 7.2 в [19], можем отметить, что первое включение в (13) влечет, что

${\nabla }_{z^{\text{'}}}\phi g(t, x(z\text{'},0\left)\right)\in W_p^{k_0, 2k_0}\left(S_0\right),\parallel {\nabla }_{z\text{'}}\phi g(t, x(z\text{'}, 0\left)\right){\parallel }_{W_p^{k_0, 2k_0}\left(S_0\right)}\le c\parallel \phi g{\parallel }_{W_p^{k_1,2k_1}\left(S\right)},$ (14)

где c – некоторая положительная постоянная. Приведем некоторые вспомогательные результаты.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)–(13) для некоторого достаточно малого допустимого δ>0 и соответствующей функции φ, $f\in L_p\left(Q^{\tau }\right)$, $f\phi \in L_p(0, \tau ; W_p^1(G\left)\right)$ и $\tau \in (0,T]$. Тогда существует единственное решение $u\in W_p^2, 1\left(Q^{\tau }\right)$ задачи

$Lu=u_t+Au=f\left(\right(x, t)\in Q), u{|}_{t=0}=u_0\left(x\right),Bu{|}_S=g$ (15)

Причем $\phi u_t\in L_p(0, \tau ; W_p^1(G\left)\right)$, $\phi u\in L_p(0, \tau ; W_p^3(G\left)\right)$. Если g≡0, u₀≡0, то справедливы оценки

$\parallel u{\parallel }_{W_p^{1,2}\left(Q^{\tau }\right)}\le c\parallel f{\parallel }_{L_p\left(Q^{\tau }\right)}$, $\parallel u{\parallel }_{W_p^{1,2}\left(Q^{\tau }\right)}+\parallel \phi u_t{\parallel }_{L_p(0,\tau ;W_p^1(G\left)\right)}+\parallel \phi u{\parallel }_{L_p(0,\tau ;W_p^3(G\left)\right)}\le c[\parallel f{\parallel }_{L_p\left(Q^{\tau }\right)}+\parallel \phi f{\parallel }_{L_p(0,\tau ;W_p^1(G\left)\right)}]$ (16)

где постоянная c не зависит от f, решения u и τ∈(0,T].

 Доказательство. Вначале считаем, что τ=T. Как вытекает из известных результатов (см., например, теорему 10.4 гл. 7 [4]), существует единственное решение задачи (15) из класса $u\in W_p^{1,2}\left(Q\right)$, удовлетворяющее оценке

$\parallel u{\parallel }_{W_p^{1,2}\left(Q\right)}\le c(\parallel f{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}+\parallel u_0{\parallel }_{W_p^{2-2/p}\left(G\right)}+\parallel g\parallel {}_{W_p^{1/2-1/2p,1-1/p}\left(S\right)})$ (17)

 Утверждение теоремы о дополнительной гладкости решений в Q может быть обосновано с применением результатов и рассуждений из гл. 3 (§ 12) и гл. 4 в [4]. В случае, если все точки x_i внутренние, аналогичное утверждение получено в теореме 1.1 работы [21]. Поэтому мы остановимся на более сложном случае граничной точки x_i и приведем только схему доказательства без подробных выкладок. Возьмем точку x_i ∈ Γ и отвечающую окрестности U_i функцию φ_i (i≤s). Умножая уравнение на φ_i, имеем

$Lv=v_t+Av={\phi }_{i}f+[{\phi }_i, A]u=\tilde{f}, v={\phi }_i u$,

$v{|}_{t=0}={\phi }_i{u}_0\left(x\right), Bv{|}_S={\phi }_{i}g+[{\phi }_i, B]u$ (18)

 где $[{\phi }_i, A]u={\phi }_{i }Au-A\left({\phi }_{i}u\right)=2{\sum }_{l,k=1}^n‍a_{l\mathit{k}}{u}_{x_k}{\phi }_{i{x}_l}-{\sum }_{k=1}^n{a}_k{\phi }_{i{x}_k}u$, $[{\phi }_i,B]u=-{\sum }_{k=1}^n‍{\gamma }_k{\phi }_{i{x}_k}u$ (т. о. квадратные скобки обозначают соответствующий коммутатор). Выпрямим границу преобразованием $z_n=y_n-\omega (y\text{'})$, z′=y′ и перейдем к новым координатам z в уравнении. Получим задачу

$Lv=v_t+\tilde{A}v=\tilde{f}, v{|}_{t=0}={\tilde{u}}_0\left(z\right)=\phi \left(x\right(z\left)\right)u_0\left(x\right(z\left)\right)$,

 (19)

где Ã, B̃ – операторы A,B, записанные в системе координат z с коэффициентами ${\tilde{a}}_{kl}, {\tilde{a}}_k, {\tilde{\gamma }}_k$. Уравнение рассматривается в соответствующей окрестности {$z:|z\text{'}|<\delta , 0<z_n<{\delta }_1$}. Пусть  Δ_jv=(v(z+e_jη)−v(z))/η (e_j – j-й координатный вектор), где |η|<δ/4 и j≤n−1. Тогда функция w=Δ_jv есть решение задачи

$w_t+\tilde{A}(t, z, D)w=[\tilde{A}, {\Delta }_j]v+{\Delta }_{j}f~={\tilde{f}}_0$,

$\tilde{B}w{|}_{z_n=0}=[\tilde{B}, {\Delta }_j]v+{\Delta }_{j }\tilde{g}={\tilde{g}}_0, w{|}_{t=0}={\Delta }_{j }{\tilde{u}}_0={\tilde{u}}_{01}$ (20)

 где $[\tilde{A}, {\Delta }_j]v={\sum }_{k, l=1}^n‍{\Delta }_j {\tilde{a}}_{kl}{v}_{z_k{z}_l}-{\sum }_{k=1}^n‍{\Delta }_j {\tilde{a}}_k{v}_{z_k}-{\Delta }_j{\tilde{a}}_{0}u$, $[\tilde{B}, {\Delta }_j]v=-{\sum }_{k=1}^n‍{\Delta }_{j }{\tilde{\gamma }}_k{v}_{z_k}-{\Delta }_{j }{\tilde{\gamma }}_{0}v$. Вернемся к переменным x и продолжим все функции в (20) нулем вне U_j∩G.. Тогда функция $w\in W_p^{1, 2}\left(Q\right)$ есть решение задачи (15) с некоторыми новыми правыми частями в граничном условии и уравнении, т. е.

$Lw=w_t+Aw={\tilde{f}}_0\left(\right(x, t)\in Q),w{|}_{t=0}={\tilde{u}}_{0}1, Bu{|}_S={\tilde{g}}_0$ (21)

Далее нам нужны некоторые оценки. Они более или менее очевидны. Мы используем леммы 4.10, 4.11 гл. 2 в [4] о свойствах конечных разностей и теоремы о точечных мультипликаторах (см., например, [22, теорема 3.3.2, c. 198]), а также наши условия на коэффициенты и теоремы о следах. Имеем, что

$\parallel {\tilde{u}}_{01}{\parallel }_{W_p^{2-2/p}(U_i\cap G)}\le c\parallel \phi u_0\left(x\right(z\left)\right){\parallel }_{W_p^{3-2/p}(B_{\delta }\text{'}(0\left)\right)}\le c_1\parallel \phi u_0{\parallel }_{W_p^{3-2/p}\left(G\right)},$ (22)

где постоянная c₁ не зависит от величины η. Используя также (14) и лемму 3.4 гл. 2 в [4], имеем

$\parallel {\tilde{g}}_0{\parallel }_{W_p^{1/2-1/2p,1-1/p}\left(S_0\right)}\le c(\parallel u{\parallel }_{W_p^{1, 2}\left(Q\right)}+\parallel \phi g{\parallel }_{W_p^{1-1/2p,2-1/p}\left(S\right)})$ (23)

где опять постоянная  не зависит от η. Наконец, имеем оценку

$\parallel {\tilde{f}}_0{\parallel }_{L_p\left(\right(0,T)\times U_i\cap G)}\le c(\parallel u{\parallel }_{W_p^{1, 2}\left(Q\right)}+\parallel {\phi }_i f{\parallel }_{L_p(0,T;W_p^1(G\left)\right)})$ (24)

Используя оценку (17) для решений задачи (21) для каждого j=1, 2…, n−1 и i=1, 2, …, s и переходя к переменным z в координатных окрестностях U_i, получим, что

$\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^s\parallel {\Delta }_j{\phi }_{i}u{\parallel }_{W_p^{1, 2}\left(\right(0,T)\times B_{\delta }\text{'}(0)\times (0,{\delta }_1\left)\right)}$, $\le C_0$

где постоянная C₀ не зависит от параметра η и есть сумма соответствующих правых частей неравенств (22)-(24), умноженная на некоторую постоянную. Тогда лемма 4.11 гл. 2 в [4] гарантирует, что

${\nabla }_z\text{'}{\phi }_{i}u\left(x\right(z\left)\right)\in W_p^{1, 2}\left(\right(0,T)\times B_{\delta }\text{'}(0)\times (0,{\delta }_1\left)\right)$ (25)

 для каждого i. Таким образом, мы показали, что касательные производные обладают необходимой гладкостью. Покажем это для нормальной производной $u_{z_n}$. Фиксируем параметр i и рассмотрим равенства (19). Перепишем уравнение и граничные условия в виде

$v_t-{\tilde{a}}_{nn}(t, z)v_{z_n{z}_n}=\tilde{f}+\sum _{k,l=1,k+l<2n}^n‍{\tilde{a}}_{kl}{v}_{z_k{z}_l}-\sum _{k=1}^n{\tilde{a}}_k{u}_{z_k}-{\tilde{a}}_{0}u=f_{0}2(t, z)$,

$V{|}_{t=0}=\phi \left(x\right(z\left)\right)u_0\left(x\right(z\left)\right)=u_{02}\left(z\right)$,

$v_{z_n}{|}_{z_n=0}={\tilde{\gamma }}_n^{-1}\left(\tilde{g}\right(t, z\text{'})-\sum _{n-1}^{k=1}‍{\tilde{\gamma }}_k{v}_{z_k}-{\gamma }_{0}v)=g_{02}(z\text{'})$. (26)

Отметим, что $det{\tilde{\gamma }}_n=(-1{)}^n(1+|\nabla \omega {|}^2{)}^{n/2}det(\sum _{i=1}^n‍{\gamma }_{i }{\nu }_i)\ne 0$ (см. (9)). Отметим, что условие (8) сохраняется при невырожденном преобразовании координат. В частности, для предыдущего уравнения будет выполнено условие

$Re({\tilde{a}}_{nn}{\xi }^2\eta , \eta )\ge {\epsilon }_2\left|\xi {|}^2\right|\eta {|}^2, {\epsilon }_2>0,\forall \xi \in \mathrm{ℝ}, \eta \in {\mathrm{ℂ}}^h$ (27)

для всех t∈(0,T), z∈B_δ′(0)×(0,δ₁). Предыдущее условие есть таким образом просто условие положительной определенности матрицы ${\tilde{a}}_{nn}$. Мы можем ее продолжить на всю область z_n>0 c сохранением этого условия. Например, нужное нам продолжение можно осуществить следующим образом. Построим функцию $\psi \left(z\right)\in C_0^{\infty }\left(B_{\delta }\right(0\left)\right)$ такую, что $\psi =1$ на $B_{3\delta /4}\left(0\right)$, $\psi \ge 0$ и $\psi =0$ при $z\notin B_{\delta }\left(0\right)$. Таким образом, ψ равна 1 на носителе φ_i(x(z)). В качестве новой матрицы возьмем матрицу $E(1-\psi )+\psi {\tilde{a}}_{nn}$. Она удовлетворяет всем условиям и совпадает с единичной матрицей при z→∞. Для продолжения сохраним то же самое обозначение. Продолжим функцию  и данные задачи нулем на всю область z_n>0. Функция  будет решением задачи (26) уже в области z_n>0. В силу включения (25) правая часть f₀₂ в уравнении принадлежит $L_p(0, T; W_p^1({\mathrm{ℝ}}^n\left)\right)$, соответственно,  $u_{02}\in W_p^{3-2/p}\left({\mathrm{ℝ}}_{+}^n\right)$ (${\mathrm{ℝ}}_{+}^n=\{z:z_n>0\}$), $g_{02}\in W_p^{1-1/2p, 2-1/p}\left({\mathrm{ℝ}}^{n-1}\right)$. Рассмотрим задачу

$v_{0}t-{\tilde{a}}_{nn}\left(z\right)v_{0z_n{z}_n}-{\tilde{a}}_{nn{z}_n}{v}_{0z_n}=f_{02z_n}(t,z)$,

$v_0{|}_{t=0}=u_{02z_n}\left(z\right), v_0{|}_{z_n=0}=g_{02}(z\text{'})$ (28)

 для $z\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^n$. В силу общей теории (см. теорему 10.4 в [4]) и выполнения условия (27) существует единственное решение задачи из класса $W_p^{1, 2}\left(\right(0,T)\times {\mathrm{ℝ}}_{+})$ при п.в. z′ и справедлива оценка

$\parallel v_0(t, z){\parallel }_{W_p^{1, 2}\left(\right(0, T)\times {\mathrm{ℝ}}_{+})}\le c(\parallel f_{02z_n}(t,z){\parallel }_{W_p^{1,2}\left(\right(0,T)\times {\mathrm{ℝ}}_{+})}+\parallel u_{02}{\parallel }_{W_p^{3-2/p}\left({\mathrm{ℝ}}_{+}\right)}+\parallel g_{02}(z\text{'}){\parallel }_{W_p^{1/2-1/2p,1-1/p}\left(\right(0,T)\times {\mathrm{ℝ}}_{+}))}$

 Используя известные свойства интеграла Лебега, заключаем, что

$v_0\in L_p({\mathrm{ℝ}}^{n-1}; W_p^{1, 2}((0,T)\times {\mathrm{ℝ}}_{+})$

В силу компактности носителей данных полученное решение обладает свойством, что $(1+|z{|}^2{)}^{\beta }{v}_0\in L_p(R^{n-1}; W_p^{1, 2}((0,T)\times {\mathrm{ℝ}}_{+})$ для всех β>0. Установить это факт несложно. На первом шаге умножим уравнение (28) и начально-краевые условия на ${(1+|z\left|2\right)}^{1/2}$ и обозначим $v_1=(1+|z{|}^2{)}^{1/2}{v}_0$. Существует единственная функция $v_1\in L_p({\mathrm{ℝ}}^{n-1}; W_p^{1, 2}((0,T)\times {\mathrm{ℝ}}_{+})$ являющаяся решением полученной задачи. Функция ${\tilde{v}}_0=v_1/(1+|z{|}^2{)}^{1/2}$ есть уже решение исходной задачи, и в силу единственности получим, что v₀=ṽ₀. Таким образом, $(1+|z{|}^2{)}^{1/2}{v}_0\in L_p({\mathrm{ℝ}}^{n-1}; W_p^{1, 2}((0,T)\times {\mathrm{ℝ}}_{+})$. Повторяя рассуждение, мы установим нужное вложение. Положим, $w_0=-{\int }_{z_n}^{\infty }‍v_0(t, z\text{'}, \xi )d\xi$. Функция w₀ удовлетворяет уравнению и граничным условиям в (26) и w_{0, $w_{0z_n}\in L_p({\mathrm{ℝ}}^{n-1}; W_p^{1, 2}((0,T)\times {\mathrm{ℝ}}_{+})$}. В силу теоремы единственности заключаем, что w₀=v. Следовательно, существует обобщенная производная $v_{z_n}\in L_p({\mathrm{ℝ}}^{n-1};W_p^{1, 2}((0,T)\times {\mathrm{ℝ}}_{+}\left)\right)$. Отсюда заключаем, что ${\nabla }_{z}v\in W_p^{1, 2}\left(Q\right)$. В исходных переменных x мы получим, что ${\nabla }_x{\phi }_{i}u\in W_p^{1, 2}\left(Q\right)$. Оценка из условия теоремы очевидным образом вытекает из вышеприведенных рассуждений. Чтобы показать, что оценка справедлива в области Q^τ и постоянные не зависят от τ, используется следующее доказательство. Фиксируем τ∈(0,T). Строим функцию f_τ(t,x)=f(t,x) на (0,τ) и равную 0 при t>τ. Соответствующее решение в Й удовлетворяет оценке (16), где τ=T, т. е. оценке

$\parallel u{\parallel }_{W_p^{1, 2}\left(Q\right)}+\parallel \phi u_t{\parallel }_{L_p(0, T; W_p^1(G\left)\right)}+\parallel \phi u{\parallel }_{L_p(0, T; W_p^3(G\left)\right)}\le c[\parallel f_{\tau }{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}+\parallel \phi f_{\tau }{\parallel }_{L_p(0, T; W_p^1(G\left)\right)}]$ (29)

 Здесь постоянная с не зависит от τ. Однако в Q^τ это решение будет совпадать с решением задачи (15). Следовательно, имеет место оценка (16), поскольку

$\parallel f_{\tau }{\parallel }_{L_p\left(Q\right)}+\parallel \phi f_{\tau }{\parallel }_{L_p(0, T; W_p^1(G\left)\right)}=\parallel f{\parallel }_{L_p\left(Q^{\tau }\right)}+\parallel \phi f_{\tau }{\parallel }_{L_p(0,\tau ;W_p^1(G\left)\right)}$

2. Главные результаты

Опишем дополнительные условия на данные. Фиксируем достаточно малое δ>0 и построим функцию φ, описанную перед теоремой 1. Предположим, что

${\psi }_j\in W_p^1(0, T), u_0\left(x_j\right)={\psi }_j\left(0\right), j=1, 2, \dots , r$, (30)

$f_i\in L_{\infty }(0, T; L_{p}G)), \phi (x)f_i\in L_{\infty }(0, T; W_p^1\left(G\right)\left)\right(i=1, \dots , m), m=rh$

$f_0\in L_p\left(Q\right), \phi \left(x\right)f_0\in L_p(0, T; W_p^1(G_{\delta }\cap G\left)\right)$ (31)

 Построим матрицу B(t) размерности m×m, чьи строки с номерами с (j−1)h+1 до jh состоят из вектор-столбцов (f₁(x_j, t), f₂(x_j, t), …, f_m(x_j, t)). Отметим, что при выполнении условий (31) имеем $\phi f_i\in W_p^1(G; L_p(0,T\left)\right)$ и, следовательно, можем считать, что $\phi f_i\in C^{1-n/p}(\overline{G}; L_p(0,T\left)\right)$ (см. [13, вложение (5.4)] и [23, соотношения~(3.3), (3.6)]). Таким образом, определены следы f_k(t,xj) при всех i, j. Более того, имеем неравенство

$\parallel f_k(t, x_j){\parallel }_{L_{\infty }(0,T)}\le c\parallel \parallel {\phi }_k{f}_k(t,x){\parallel }_{W_p^1\left(G\right)}{\parallel }_{L_{\infty }(0,T)}\le c\parallel {\phi }_k{f}_k(t, x){\parallel }_{L_{\infty }(0,T;W_p^1(G\left)\right)}$,

откуда вытекает, что $f_k(t, x_j)\in L_{\infty }(0, T)$. Далее считаем параметр δ>0 фиксированным. Нам также необходимо следующее условие: существует число δ₀>0 такое, что

|det B(t)|≥δ₀ п.в.на (0,T). (32)

Отметим, что элементы матрицы  принадлежат L_∞(0,T). Теперь мы можем сформулировать наш основной результат.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (4)–(13), (30)–(32) для некоторого достаточно малого допустимого δ>0. Тогда существует единственное решение (u, q1, q2, ..., qm) задачи (1)-(3) такое, что $u\in W_p^{1, 2}\left(Q\right)$, $q_i \left(t\right)\in L_p(0, T)$, $i=1, \dots , m$. Более того, $\phi u\in L_p(0, T; W_p^3(G\left)\right)$, $\phi u_t\in L_p(0, T; W_p^1(G\left)\right)$.

 Доказательство. Сначала мы строим функцию  как решение задачи

$L\Phi =f_0\left(\right(x,t)\in Q),\Phi {|}_{t=0}=u_0\left(x\right),B\Phi {|}_S=g$(33)

 По теореме 1 $\Phi \in W_p^{1, 2}\left(Q\right)$, $\phi {\Phi }_t\in L_p(0, T; W_p^1(G\left)\right)$, $\phi \Phi \in L_p(0, T; W_p^3(G\left)\right)$. По теореме Фубини ${\Phi }_t\in W_p^1(G; L_p(0, T\left)\right)$ и поэтому ${\Phi }_t\in C(\overline{G}; L_p(0, T\left)\right)$ (см. [13, 23]). Вследствие этого $\Phi (t, x_j)\in W_p^1(0, T)$. Функция w=u−Φ, где u – решение задачи (1)-(3), есть решение задачи

$Lw=\sum _{i=1}^{{}^m}‍f_i{q}_i=F\left(\right(x,t)\in Q),w{|}_{t=0}=0, Bw{|}_S=0$,(34)

$w(x_j, t)={\tilde{\psi }}_j\left(t\right)={\psi }_j\left(t\right)-\Phi (x_j, t)\in W_p^1(0, T), j=1, 2, \dots , r$. (35)

Зафиксируем функцию q_j∈L_p(0, τ) и найдя решение w задачи (34) на интервале (0,τ), построим отображение $w=w(q⃗)=L^{-1}F$ ($q⃗=(q_1, \dots , q_m)$). Из теоремы 1 следует, что это отображение переводит L_p(0, τ) в класс $w\in W_p^{1, 2}\left(Q^{\tau }\right)$, $\phi w\in L_p(0, \tau ; W_p^3(G\left)\right)$, $\phi w_t\in L_p(0, \tau ; W_p^1(G\left)\right)$ для всех δ₁<δ. Используя теорему 1 и условия (31), получим

$\parallel w{\parallel }_{W_p^{1, 2}\left(Q^{\tau }\right)}+\parallel \phi w_t{\parallel }_{L_p(0, \tau ; W_p^1(G\left)\right)}+\parallel \phi w{\parallel }_{L_p(0, \tau ; W_p^3(G\left)\right)}\le c\parallel q⃗{\parallel }_{L_p(0, \tau )}$, (36)

где постоянная c не зависит от τ. Предположим, что  является решением задачи (34), (35). Возьмем x=x_j в (34). Заметим, что эти следы существуют, поскольку w_t и все слагаемые в выражении Aw принадлежат пространству $W_p^1(G; L_p(0, T\left)\right)$. В силу теорем вложения для векторнозначных пространств Соболева (см. [13, вложение (5.4)] и [23, соотношения~(3.3), (3.6)])) они принадлежат $C^{\alpha }(\overline{G}; L_p(0,T\left)\right)\subset C(\overline{G}; L_p(0, T\left)\right)$ с $\alpha \le s-n/p$. Получим систему

${\tilde{\psi }}_{j_t}+Aw(x_j, t)=\sum _{i=1}^m‍f_i(x_j, t)q_i \left(t\right), j=1, 2, \dots , r$, (37)

 которую можно записать в виде $B\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\psi }+R\left(\overrightarrow{q}\right)$, где координаты векторов $\overrightarrow{\psi }$ and $R\left(\overrightarrow{q}\right)$ с числами от (j−1)h+1 до jh совпадают с векторами $\overrightarrow{\psi }{{}_j}_{{}_t}$ и $Aw(x_j, t)$ ($w=w\left(\overrightarrow{q}\right)$) соответственно. Таким образом, мы приходим к интегральному уравнению

$q⃗=B^{-1}\psi ⃗+B^{-1}R(q⃗)$ (38)

где оператор $B^{-1}R(q⃗):L_p(0, \tau )\to L_p(0, \tau )$ ограничен. Получим соответствующие оценки. С учетом условия (32) получим

$\parallel B^{-1}R(q⃗){\parallel }_{L_p(0,\tau )}\le c_1\parallel R(q⃗){\parallel }_{L_p(0,\tau )}$ (39)

Для оценки правой части мы используем (36) и теоремы вложения. Легко заметить, что

$\parallel R(q⃗){\parallel }_{L_p(0,\tau )}\le c_2\sum _{j=1}^r‍({\sum }_{\left|\alpha \right|=2}‍\parallel D^{\alpha }w(x_j, t){\parallel }_{L_p(0,\tau )}+(\parallel \nabla u(x_j, t){\parallel }_{L_{\infty }(0,\tau )}+\parallel u(x_j,t){\parallel }_{L_{\infty }(0,\tau )}\left)\right)$, (40)

где константа c₂ зависит от величины $\parallel a_{ij}{\parallel }_{L_{\infty }\left(Q\right)}$ и $\parallel a_i(x_j, t){\parallel }_{L_p(0,T)}$. Мы можем оценить последнюю величину $\parallel a_i{\parallel }_{L_p(0, T; W_p^1(G_{\delta }\left)\right)}$. Оценим старшие производные. Оставшиеся оценки проще. Имеем для n/p<s1<1, и |α|=2, что                                                                         

$\parallel D^{a}w(x_j, t){\parallel }_{L_p(0, \tau )}\le c_3\parallel {\phi }_{j}w{\parallel }_{L_p(0,\tau ;W_p^{2+s_1}(G\left)\right)}\le$

$c_4\parallel {\phi }_{j}w{\parallel }_{L_p(0,\tau ;W_p^3(G\left)\right)}^{\theta }\parallel {\phi }_j w{\parallel }_{L_p(0,\tau ;L_p(G\left)\right)}^{1-\theta }\le$

$c_5\parallel {\phi }_j w{\parallel }_{L_p(0,\tau ;W_p^3(G\left)\right)}^{{}^{\theta }}{\tau }^{1-\theta }\parallel {\phi }_{j}w{\parallel }_{W_p^{1,2}\left(Q^{\tau }\right)}^{{}^{1-\theta }}\le c_6\parallel q⃗{\parallel }_{L_p(0,\tau )}^{}{\tau }^{1-\theta }$.(41)

 В последнем неравенстве θ=(2+s1)/3 и мы используем (36) интерполяционные неравенства [10] и известное неравенство

$\parallel \omega {\parallel }_{L_p(0,\tau )}\le c\tau \parallel {\omega }_t{\parallel }_{L_p(0,\tau )}, \omega \left(0\right)=0$.

Неравенства (39)-(41) дают оценку

$\parallel B^{-1}R(q⃗){\parallel }_{L_p(0,\tau )}\le c_7\parallel q⃗{\parallel }_{L_p(0,\tau )}{\tau }^{1-\theta }$ (42)

где константа c₇ не зависит от τ. Эта оценка говорит, что оператор B⁻¹R является сжимающим, например, если  $\tau \le {\tau }_0=1/(2c_7{)}^{1/(1-\theta )}$, и тогда уравнение (38) разрешимо. Покажем, что пара $w\left(\overrightarrow{q}\right)$, $\overrightarrow{q}$ является решением задачи (34), (35), которая эквивалентна нашей исходной задаче (1)-(3). Возьмем x=x_j in (34). Получаем систему

$w_t(x_j, t)+Aw(x_j, t)=\sum _{i=1}^m‍f_i (x_j, t)q_{i }\left(t\right), j=1, 2, \dots , r$ (43)

 С другой стороны, мы имеем равенства (37), которые эквивалентны уравнению (38). Вычитая (37) и (43), мы получаем, что $w_t(x_j, t)={\tilde{\psi }}_{jt}$. Интегрируя это равенство по  и используя (30), мы получим $w(x_j, t)={\tilde{\psi }}_j\left(t\right)$.

Далее мы продолжаем по индукции. Достаточно продемонстрировать второй шаг процедуры. Дальнейшие рассуждения очевидны. Положим, $\overrightarrow{q}=\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{q}, t\le {\tau }_0\\ 0, t >{\tau }_0\end{array}\right.$. Сделаем замену переменных $\overrightarrow{q}={\overrightarrow{q}}_1={\overrightarrow{q}}_0$. Новая функция ${\overrightarrow{q}}_1$ удовлетворяет уравнению

${\overrightarrow{q}}_{{}_1}=B^{-1}\overrightarrow{\psi }+B^{-1}R\left({\overrightarrow{q}}_1\right)+B^{-1}R\left({\overrightarrow{q}}_0\right)-{\overrightarrow{q}}_0$. (44)

 В силу единственности решений мы можем заключить, что $\overrightarrow{q}=0$on $(0,{\tau }_0)$. Соответствующая функция $w_1=w_1\left({\overrightarrow{q}}_1\right)$ является решением задачи

$L{w}_1=\sum _{i=1}^m‍f_i{q}_{1i}=F\left(\right(x,t)\in Q)$, $w_1{|}_{t=0}=0, B{w}_1{|}_S=0$ (45)

 и, следовательно, w₁=0 на (0,τ₀). Далее оценим норму

$\parallel B^{-1}R\left({\overrightarrow{q}}_1\right){\parallel }_{L_p({\tau }_0, \tau )}\le c\parallel {\overrightarrow{q}}_1{\parallel }_{L_p({\tau }_0, \tau )}(\tau -{\tau }_0{)}^{1-\theta }$,

и без ограничения общности можно считать, что постоянная c здесь совпадает с постоянной c₇ in (42). Таким образом, если мы берем τ₁=2τ₀, то уравнение (44) разрешимо, а соответствующий оператор есть сжатие. Чтобы доказать разрешимость уравнения (38) на всем интервале (0, T), достаточно повторить рассуждения несколько раз.

Далее мы покажем, что наши условия являются достаточно точными.

Замечание 1. Если матрица  вырождена, то задача (1)-(3) значительно усложняется и, возможно, некорректна в классах конечных гладкостей. Тип некорректности зависит от поведения этой матрицы-функции. Приведем простейший пример. Рассмотрим задачу:

$u_t-\Delta u=f(x,t)q\left(t\right),u{|}_{t=0}=0,u{|}_S=0,u(x_0,t)=\psi \left(t\right)(x_0\in G).$ (46)

 Если условие (32) выполняется, то $\left|f\right(x_0, t\left)\right|\ge {\delta }_2>0$ for почти всех t∈(0,T), где δ₂ – некоторая постоянная. Неизвестными являются функции u и q(t). Если мы предположим, что f(x,t) обращается в нуль на некотором множестве вида ${\Omega }_{\delta }=B_{\delta }\left(x_0\right)\times [0,T]\subset Q$, то задача (46) уже некорректна в классах конечной гладкости, и можно указать классы данных, удовлетворяющих условиям теоремы, для которых задача неразрешима. Доказательство этого факта можно найти в замечании 1 в [9].

Замечание 2. Отметим также, что условие дополнительной гладкости данных в некоторой окрестности точек x_i также является точным в определенном смысле. Мы ограничимся случаем уравнения (46). Предположим, например, что $f\in L_{\infty }(0,T;L_p(G\left)\right)$ и $f\notin L_{\infty }(0,T;W_p^s(B_{\delta }\left(x_0\right)\cap G\left)\right)$ для $s\ge n/p$ и некоторого $\delta >0$. В этом случае в любой окрестности f можно найти функции f как угодно гладкие, для которых задача неразрешима (см. [9]).

Заключение

В работе рассмотрен вопрос о корректности в пространствах Соболева обратных задач о восстановлении функции источников специального вида для математических моделей конвекции-диффузии и тепломассопереноса. Неизвестные функции, зависящие от времени, входят в функцию источника. Показано, что при определенных условиях на данные задача является корректной в пространствах Соболева. Получены теоремы существования и единственности решений. В качестве метода используется теорема о неподвижной точке и априорные оценки. Условия на данные задачи близки к минимальным.

 

About the authors

Vladislav A. Baranchuk

Yugra State University

Author for correspondence.
Email: Vladinho@mail.ru

GUI Designer, Customer Support

Russian Federation

Sergey G. Pyatkov

Yugra State University

Email: s_pyatkov@ugrasu.ru

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Institute of Digital Economy

Russian Federation

References

Supplementary files