On some classes of coefficient inverse problems for parabolic systems of equations with the ovedetermination date of evolutionary type

Abstract


The article is devoted to the question of wellposedness in the Sobolev spaces of inverse problems on determining the righthand side and coefficients in a parabolic system of equations. The overdetermination conditions are the values of a part of the vector of solutions on some system of surfaces. Under special conditions on the boundary operators the local existence theorem of solutions to the problem is established.


Full Text

Введение

Пусть  – ограниченная область в  с границей  класса  и . Параболическое уравнение имеет вид:

 (1)

где , , , , и  – заданные вектор-функции, причем компоненты векторов  начиная с номера  () равны .  – матричный эллиптический оператор порядка с матричными коэффициентами размерности , представимый в виде

         

Неизвестными в (1) являются решение  и функции  (, ), входящие как в правую часть (1), так и в оператор  как коэффициенты. Уравнение (1) дополняется начальными и граничными условиями

(2)

где , , и .

Обозначим через  вектор длины , координаты которого совпадают с первыми  координатами исходного вектора  длины . Оператор  отождествляем с оператором умножения на матрицу размерности , полученную из единичной  – матрицы путем удаления строк с номерами . Условия переопределения для нахождения функций  имеют вид

  

 (3)

где  – множество гладких -мерных поверхностей, лежащих в , и ,  – заданные вектор функции.

Большое количество обратных коэффициентных задач с условиями переопределения вида (3) при  для параболических уравнений второго порядка было рассмотрено в работах Белова Ю.Я., Аниконова Ю.Е. и ряда других авторов (см. библиографию в [1]). В случае  и  линейные и нелинейные задачи такого вида рассматривались, например, в [2]. В этом случае неизвестные функции  зависят только от , и поверхности  – точки. Можно отметить работы [3], [4], где были рассмотрены задачи вида (1), (2) в общей постановке.

Проблемы подобного вида возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и многих других. Много работ посвящено различным модельным задачам. Одной из моделей, возникающей при описании процессов тепломассопереноса, является система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями для температуры и концентраций переносимых веществ. По данным измерений на сечениях канала или некоторым другим характеристикам определяются те или иные параметры в задаче (коэффициенты уравнений) или плотности источников (правая часть) (см., например, [5], [6], [7], [8]).

В данной работе при выполнении определенных условий получена локальная корректность, т.е. существование, единственность и непрерывная зависимость решений от данных задачи (1) – (3). Полученные результаты, в целом, аналогичны тем, которые были получены в работе [3] и обобщают эти результаты на случай, когда в условиях переопределения задается лишь часть вектора решений.

Определения, обозначения и формулировка основного результата

В работе используются пространства , пространства непрерывно дифференцируемых функций , пространства Соболева , Бесова , определение которых может быть найдено, например, в [9] и [10]. Принадлежность  (или ) для заданной вектор-функции  означает, что каждая компонента принадлежит  (или ). Норма в соответствующем пространстве – сумма норм координат, если не указано другое. Аналогичное соглашение используется и для матриц. Для заданного интервала , положим  и .

Опишем класс областей . Будем считать, что  (определение может быть найдено в [10]). Зафиксируем параметр . Пусть  – шар радиуса  с центром в точке . Запишем условия на область  и поверхности :

(A) a) Случай . Существует область  с границей класса , такая, что ,

                                          

 при всех  и существует константа  такая, что

                                           

для , .

б) Случай . В этом случае в качестве множеств  берем внутренние точки  области . Положим  и выберем число  такое, что  и  для , .

Условие (A) носит геометрический характер; оно используется во всех работах, посвященных рассматриваемым обратным задачам. Условие (A) выполнено, например, если , где  ограниченная область класса .

В дальнейшем, используются следующие обозначения: , , , , , , , , ,  и .

Далее будем считать, что выполнены следующие условия.

Условия согласования и гладкости данных

                                                  (4)

                                    (5)

                                                                                          (6)

где ,  и  – постоянная из условия (А).

Как следствие условий (4) – (6) и известных теорем вложения имеем

                                                                                                                                                                                                         (7)

                        (8)

Эти условия при выполнении условий согласования гарантируют существование функции с вышеуказанными свойствами (4) – (5). Она определяется не единственным образом и может быть построена при помощи теорем о продолжении краевых условий внутрь области, если данные задачи удовлетворяют соответствующим условиям согласования.

Условия на коэффициенты операторов,  более или менее стандартные. Считаем, что

                                                                                                          (9)

                                                                                    (10)

                                                                                                                      (11)

Будем искать функции  в классе непрерывных функций. В связи с этим потребуем также, чтобы

                                                                                    (12)

при всех ,  и .

Рассмотрим матрицу  размера , строчки которой с номерами от  до  занимают вектор столбцы

                                     

Элементы этой матрицы непрерывны и, в частности, вышеприведенные вектора-столбцы в точке  превращаются в столбцы

                                        

Потребуем, чтобы существовала постоянная  такая, что

                                                                                                            (13)

Рассмотрим систему уравнений

                                                                             (14)

где  – вектор-столбец, координаты которого с номерами от  до  представляют собой вектор

                                                                 

При выполнении условия (13), по крайнем мере при , система (14) имеет единственное решение .

Приведенные выше условия на данные задачи гарантируют, что .

Рассмотрим операторы

                                                                          

                                                                      

где , и предположим, что оператор  параболичен, т.е. найдется постоянная  такая, что любой корень  многочлена ( – единичная матрица) удовлетворяет неравенству

                                                                                          (15)

Условие Лопатинского представляется в следующем виде: для любой точки ( запишем операторы  и  (), вычисленные в данной точке в локальной системе координат  и предположим, что система

                                                      (16)

, ,  имеет единственное решение в , убывающее на бесконечности для всех ,  и , таких, что .

Зафиксируем  и перейдем в области , , к переменным , , . При такой замене операторы  и  перейдут в некоторые операторы  и . Обозначим через  и  части операторов  и , не содержащие производных по переменным , а через  и  – остатки. Аналогичный смысл имеют обозначения , , , , , . Опишем связь между производными в новых и старых переменных. Имеем:

                                                            

                                                            

Таким образом,

                                                                                       

                                                                                

Отсюда видно, что при переходе к новым переменным вид операторов  и  не меняется. Рассмотрим оператор . Фиксируем . Сделаем замену переменных , . Пусть  и  элементы матриц  и  соответственно. Обозначим через  матричный оператор с элементами , а через  – матричный оператор с элементами . По определению, . После замены получим операторы  (). Для произвольного вектора  длины  обозначим через  – вектор размера , получаемый из вектора  длины  путем замены нулями его первых  координат. Таким образом,  – оператор умножения на матрицу, полученную из единичной матрицы путем замены нулями первых  строк.

Предположим, что

                                                 (17)

Неравенство (17) означает, что порядок любого дифференциального оператора входящего в матричный дифференциальный оператор  меньше .

(B) для любого  оператор  параболичен в области , и выполнено условие Лопатинского для операторов ,  () в .

Сформулируем, наконец, теорему существования. Она получена при выполнении определенных дополнительных ограничений на граничные операторы. Эти дополнительные условия по существу и при их нарушении возможно отсутствие решений (см. пример, приведенный в конце работы [3]).

Теорема

Пусть условия (A), (B), (4) – (6), (9) – (12), (13), (15) – (17) выполнены. Если  и  на  для всех , , то для некоторого  существует единственное решение ( задачи (1) – (3), отвечающее этим данным, из класса

                                                                                              

Работа поддержана грантом РФФИ №15-01006582.

About the authors

Ekaterina M. Korotkova

Ugra Research Institute of Information Technologies

Author for correspondence.
Email: korotkovaem@uriit.ru

Russian Federation, 151, Mira street, Khanty-Mansyisk, 628011

научный сотрудник

References

  1. Belov, Ya.Ya. Inverse problems for parabolic equations / Utrecht: VSP, 2002
  2. Ivanchov, M. Inverse problems for equations of parabolic type / Math. Studies. Monograph Series, 10 (2003).
  3. Pyatkov, S.G., Samkov, M.L. On some classes of coefficient inverse problems for parabolic systems of equations. // Sib. Adv. in Math. – 2012. – № 4 (22), – С. 287–302.
  4. Pyatkov, S.G. On some classes of inverse problems for parabolic equations. // J. Inv. Ill-Posed problems. – 2011, – № 8 (18). – С. 917–934.
  5. Capatina, A., Stavre, R. A control problem in biconvective flow // J. Math. Kyoto Univ. – 1997. – №4 (37). – С. 585–595.
  6. Babeshko, O. M., Evdokimova, O. V., Evdokimov, S. M. On taking into account the types of sources and settling zones of pollutants // Dokl. Math. – 2000. – № 2 (61). – С. 283–285.
  7. Калинина, Е. А. Численное исследование обратной задачи восстановления плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Дальневосточный матем. жур. – 2004. – № 1 (5). – С. 89–99.
  8. Криксин, Ю.А., Плющев, С.Н., Самарская, Е.А, Тишкин, В.Ф. Обратная задача восстановления плотности источника для уравнения конвекции–диффузии // Матем. моделирование. – 1995. – № 11 (7). – С. 95–108.
  9. Triebel, H. Interpolation Theory. Function Spaces. Di_erential Operators. // Berlin. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. 1978.
  10. Ladyzhenskaya, O.A.; Solonnikov, V.A.; Ural'tseva, N.N. Linear and quasi-linear equations of parabolic type. // Translations of Mathematical Monographs. № 23. American Mathematical Society (AMS). Providence. RI. 1968.

Statistics

Views

Abstract - 277

PDF (Russian) - 158

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX


Copyright (c) 2015 Korotkova E.M.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies