INVERSE PROBLEMS OF DETERMINING BOUNDARY REGIMES

Abstract


In the article we consider inverse problems for convective heat transfer models. We determine un- knowns occurring in the boundary conditions together with a solution to a parabolic second order system. The overdetermination conditions are integrals of a solution with weight. The existence and uniqueness theo- rems of solutions to this inverse problem is established.

Ведение В работе рассматриваются математические модели, описываемые параболическими системами вида: ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) где - ограниченная область с границей , ( ), ( ), - матрицы размерности и вектор-функция длины . Положим ( ) , ( ) . Уравнение дополняется краевыми и начальными условиями вида ( ) ( ) , ( ), (2) где ∑ ( ) ( ) и ( ) - внешняя единичная нормаль к . Обратная задача состоит в нахождении решения задачи (1)-(2) и функции вида ∑ ( ) ( ), где функции неизвестны, по данным переопределения ∫ 〈 ( ) ( )〉 ( ), , (3) где 〈 ( ) ( )〉 - скалярное произведение в . Положим ⃗ ( ). Обратные задачи о нахождения неизвестных граничных режимов, в частности, задачи конвек- тивного теплообмена, являются классическими (см., например, [1-10]). Они возникают в самых раз- личных задачах математической физики: управление процессами теплообмена и проектирование теп- ловой защиты, диагностика и идентификация теплопередачи в сверхзвуковых гетерогенных потоках, идентификация и моделирование теплопереноса в теплозащитных материалах и покрытиях, модели- рование свойств и тепловых режимов многоразовой тепловой защиты аэрокосмических аппаратов, исследование композиционных материалов и т. п. Математические модели и соответствующие об- ратные задачи описываются, например, в монографии [1]. Здесь основное внимание уделено числен- ным метода решения этих задач, а также некоторым результатам в виде теорем единственности и оценок устойчивости. Отметим также монографию [2], посвященную в основном численным методам решения, где в одномерной ситуации рассматриваются разнообразные постановки обратных задач для параболических уравнений, в том числе и задачи определения граничных режимов. Здесь данные переопределения - значения решения в точках, лежащих внутри пространственной области. Эти за- Обратные задачи об определении граничных режимов дачи изучались и в других постановках в зависимости от типа условий переопределения. Очень часто они некорректны в смысле Адамара, в частности, в тех случаях, когда данные переопределения - зна- чения решения в отдельных точках или на поверхностях, лежащих внутри области определения (см. [1]). В данной работе мы рассматриваем задачи с условиями переопределения в виде некоторых инте- гралов от решения с весом по пространственной области. Отметим, что условия такого вида очень часто используются в литературе и возникают в приложениях. Обратные задачи об определении ко- эффициентов уравнения или правой части с интегральными условиями переопределения рассматри- вались в работах [11-17] и монографиях [18], [19], и некоторых других работах. В частности теорема существования и единственности обобщенного решения задачи (1)-(3) (из класса ( ))в слу- чае , была получена в работе [8], а в [9] аналогичный результат был получен для системы тепломассопереноса, состоящей из системы Навье-Стокса и параболического уравнения для концен- трации переносимого вещества. В работе [10] была доказана регулярная разрешимость ( ( )) также для случая . Однако условия на данные здесь более сильные, чем наши, в частности, имеются и условия на нормы данных (см. [10, теорема 1]). Наши результаты получены при более сла- бых условиях на данные условия на данные и немного в других функциональных классах, решение уравнение (1) в нашем случае ищется в классе ( ). Аналогичные результаты получены в работе [25], но в случае . Мы обобщаем результаты этой работы на случай . Вспомогательные результаты Пусть - банахово пространство. Через ( ) ( - область в ) обозначается пространство сильно измеримых функций, определенных на со значениями в и конечной нормой ‖‖ ( )‖ ‖ ( ) [20]. Мы также используем пространства ( ), состоящие из функций, имеющих в все производные до порядка включительно, непрерывные в и допускающие непрерывное про- должение на замыкание . Обозначения для пространств Соболева ( ), ( ) и т. д. - стан- дартные (см. [22, 20]). Если или , то последнее пространство обозначаем просто рез ( ). Аналогично вместо ( ) или ( ) используем обозначение ( ) или ( ). Таким образом, включение ( ) (или ( )) для данной вектор-функции ( ) означает, что каждая из компонент принадлежит пространству ( ) (или ( )). В этом случае под нормой вектора понимаем сумму норм координат. Для данного интервала ( ), положим ( ) ( ( )) ( ( )). Соответственно, ( ) ( ( )) ( ( )). Определения пространств Гельдера ( ), ( ) могут быть найдены, например, в [21]. Все рассматриваемые пространства и коэф- фициенты уравнения (1) мы считаем вещественными. Далее считаем, что - ограниченная область в с границей класса (см. определение, например, в [21, 17]). Пусть ( ) ∫ ( ) ( ) , если и скалярные функции и ( ) ∫ 〈 ( ) ( )〉 , если и вектора длины , ( ) и ( ) . Мы будем использовать в пространстве ( ) ( ( )) - банахово пространство) норму ⁄ ‖ ( ) ) , ‖ ( )‖ ‖ ( ) ( )‖ ( ) (‖ ∫ ∫ . Если , то мы получим обычное пространство ( ). При ( ⁄ положим ̃ ̃ ( ) ( ) ( ) ( ) . Это банахово пространство с нормой ‖ ‖ . В нем также ( ) можно определить и эквивалентную норму ‖ ( )‖ ‖ ‖ . Эквивалентность ( ) вытекает, например, из леммы 1 пункта 3.2.6 [20]. Аналогично определяем пространства ( ( )), ̃ ( ), состоящее из функций ( ) из ( ( )) и ( ), соответ- ̃ ственно, таких, что ( ) . Новые нормы ‖ ‖ ̃ , ‖ ‖ ( ) определяются естественным ( ( )) ̃ образом с использованием вышеприведенной нормы в ̃ ( ). Ниже мы приведем лемму, докоза- тельсво которой может быть найдено в [25]. Лемма 1. Пусть ( ⁄ ) и ( ). Тогда справедливы следующие утверждения. Пусть ( ) ( ) ( ( ). Тогда после может быть изменения на множестве меры ноль ( ). Если ( ) и ̃ продолжение нулем функции при , то справедлива оценка М. А. Вержбицкий ‖ ̃‖ ‖ ‖ , ( ) ( ) где постоянная не зависит от ( ) и . ̃ ( ) Произведение функций класса ( ) ( ( ) снова принадлежит ( ), а если ̃ ( ) и ( ), то ̃ ( ) и справедлива оценка ‖ ̃‖ ( ) ‖ ‖ ̃ ( ) ( ‖ ‖ ( ) ), ( ) где постоянная не зависит от ( и . Если функция строго отделена от нуля на , т. е. ( ) , то отношение ⁄ функций класса ( ) ( ( ) снова принадлежит ( ) и справедлива оценка ‖ ⁄ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ , ( ) ( ) ( ) ( ) где постоянная не зависит от функции , но зависит от и стремится к при . 4. Пусть ( ) ̃ ( ) ( ( ), ( ) ( ) и ( ) ( ). Тогда ̃ ( ) и ̃ ( ) и справедливы оценки ‖ ‖ ̃ ‖ ‖ ‖ ‖ , ( ) ( ) ̃ ( ) ( ) ( ) ‖ ‖ ̃ ( ) ‖ ‖ ̃ где постоянная не зависит от ( ‖ ‖ ( ), ( ) Приведем используемые ниже условия на данные задачи. Зафиксируем число ⁄ ⁄ . Условия на коэффициенты: ( ( )) ( ̅ ( )), ⁄ ( ̅), ( ) где , - положительное число. ( ( )), , ( ). ( ) Считаем, что существует постоянная такая, что ∑ 〈 〉 ∑ ( ) , . ( ) Условия на данные задачи: ⁄ ( ) ( ) ( ), (12) ( ), ( ) ( ) , ( ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ), . (14) Как следствие из теоремы 10.4 гл. 7 в [21] и пункта 4.3 в [26] имеем: Теорема 1. Пусть - ограниченная область с границей класса и выполнены условия ( ) ( ). Тогда существует единственное решение задачи ( ) ( ) такое, что удовлетворят оценке ( ). Решение ‖ ‖ ( ) (‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ⁄ ( ) ‖ ‖ ⁄ ⁄ ⁄ ( )). Как следствие теоремы 1 имеем: Теорема 2. Пусть - ограниченная область с границей класса , и выполнены условия ( ) ( ), где и . Пусть ( . Тогда на промежутке ( ) существует единственное решение задачи ( ) ( ) такое, что ( ). Решение удовлетворяет оценке ‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ⁄ ⁄ ⁄ ( )), где постоянная не зависит от ( и . ̃ Доказательство. Продолжим нулем при , и пусть ̃ { ( ) ( ) . Очевидно, что ̃ ( ) ( ) ( ⁄ ⁄ ). Используя теорему 1, построим решение задачи (1)-(2), где , и ̃ такое, что ( ). По теореме 1 имеем: ‖ ‖ ( ) ‖ ̃‖ ⁄ ⁄ ⁄ ( ). Оценим правую часть. Имеем, используя лемму 1, что ‖ ̃‖ ( ) ‖ ̃‖ (( ) ) Обратные задачи об определении граничных режимов (‖ ̃‖ (( ) ) ‖ ̃‖ (( ) ))) ‖ ‖ ( ). Мы здесь использовали аддитивность пространств Соболева относительно разбиения области (см. замечание 3 пункта 4.4.1 в [20]) и определение соответствующей нормы. Основные результаты В дополнение к приведенным выше условиям на данные мы потребуем, чтобы: ( ) , ( ) где ( ) - матрица с элементами ∫ 〈 ( ) 〉( ) ( ); ∫ 〈 ( ) 〉( ) ( ), ; (16) ( ) функция ( ) ( ) принадлежит линейной оболочке вектор-функций ( ) ( ). Основной результат работы - это следующая теорема (как и ранее ⁄ ⁄ ). Теорема 3. Пусть - ограниченная область с границей класса и выполнены условия ( ) ( ), ( ) ( ) и условие ( ). Тогда существует единственное решение ( ⃗) ( ⃗ ( ))задачи ( ) ( ) такое, что ( ), ⃗ ( ). Решение удовлетворят оценке ( ) ‖ ‖ ( ) ‖ ⃗‖ (‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ⁄ ( ) ∑ (‖ ‖ ( ) ‖( )‖ )). ( ) Доказательство. Пусть ( ) есть решение задачи ( ) ( ), где ∑ . В силу условий ( ) и (A) найдутся постоянные, определяемые единственным образом, такие, что ( ) ∑ ( ) ( ). Положим ∑ ( ) ( ) ( ), и обозначим через ( ) решение задачи (см. теорему 1) , ( ), ( ). (17) Пусть ⃗ ( ). По условиям ( ). Тогда по лемме 1 ( ) ( ) ( ) и соответственно ( ). Сделаем замену . Тогда функция ( ) есть решение задачи , , . (18) Условие (3) преобразуется к виду ∫ 〈 ( )〉 ∫ 〈 ( ) ( )〉 , . (19) В силу условия (16), ̃ ( ) и по крайней мере ̃ ( ) ( ). Ниже мы покажем, что ̃ ( ) ( ). Умножим уравнение в (18) на ( ) и интегрируем по области . Получим ( ) ( ). Здесь ∑ ∑ . ̃ ( ) ( ) ∫ 〈 〉 ∑ ̃ ( ) ∫ 〈 ( ), 〉 , , ̃ ( ) ( ) где ( ) ∫ в виде: ∑ 〈 〉 〈(∑ ) 〉 . Последнее равенство можно записать ∑ ̃ ( ) ∫ 〈 〉 ̃ ( ) ( ) ∫ 〈 〉 (20) или в виде: ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗, ⃗ ( ) , ̃ ( ) ∫ 〈 〉 , (21) где ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ̃ ̃ ) . Функция , участвующая в (21), есть решение прямой задачи (18). Элементы матрицы обладают тем свойством, что ( ), более того справедлива очевидная оценка: ‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ( ( ))‖ ‖ ( ). Как было отмечено в доказательстве леммы 1, теоремы вложения гарантируют, что ( ) ( ). Следовательно, без ограничения общности можем считать, что ( ). Используя условие (15), можем записать М. А. Вержбицкий ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗) ⃗ (⃗⃗⃗⃗ ⃗), (22) где ⃗ и k-я координата вектора имеет вид ( ) ̃ ( ). Это искомое уравнение для ( ) нахождения ⃗⃗⃗⃗ ⃗. Рассмотрим промежуток . Оценим ‖ (⃗⃗⃗⃗ ⃗)‖ ̃ . В силу второго и третьего утверждения леммы 1, элементы обратной матрицы также принадлежат классу ( ). Тогда в силу оценки (7) из леммы 1 получим неравенство ‖ (⃗⃗⃗⃗ ⃗)‖ ̃ ∑ (‖ ( )‖ ‖∫ 〈 〉 ‖ ). (23) ( ) ̃ ( ) ̃ ( ) Оценим каждое из слагаемых, входящих в ( ): ( ) ∫ 〈∑ 〉 〈(∑ ) 〉 . В силу неравенства Минковского, неравенства Гельдера и леммы 1 имеем, что ⁄ ‖∫ 〈 〉 ‖ ∫ ‖ ‖ ̃ (∫ ‖ ‖ ( ) ) . (24) Отметим, что ̃ ( ) ( ) ̃ ∫ ‖ ‖ ̃ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) . (25) ( ) Здесь под понимаем ∑ , ( ). Воспользовавшись неравенством (вытекающем из равенства ( ) ( ) ⁄ ( ), теорема 4.3.1 в [20]) ‖ ‖ ⁄ ‖ ‖ ⁄ , ‖ ‖ ( ) для первого слагаемого в правой части имеем ( ) ( ) ⁄ ‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ⁄ ( ( )) ‖ ‖ . ( ) Из формулы Ньютона-Лейбница имеем ‖ ‖ ⁄ ‖ ‖ . Тогда последнее неравенство записывается в виде ( ) ( ) ‖ ‖ ⁄ ‖ ‖ . (26) ( ) ( ) Оценим второе слагаемое в правой части (25). Имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ⁄ . (27) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⁄ Далее построим продолжение функции из области на все с сохранением класса такое, что - линейный оператор, удовлетворяющий оценкам: ‖ ‖ ‖ ‖ , ‖ ‖ ( ) ( ) ( ) ‖ ‖ ( ) для всех ( ) или соответственно ( ), где постоянная не зависит от . Такой оператор существует, например, это метод Хестенса продолжения функций (см. метод, описанный в лемме 2.9.3 в [20] для полупространства и многократно использованный позднее уже для произвольных областей). Имеем, что (( ) ) и ‖ ‖ (( ) ) ‖ ‖ ( ), где постоянная не зависит от и . Отметим, что ( ) . Имеем ( ) ( ) ( ) ( ) . (28) ∫ ∫ ∫ ⁄ ∫ ∫ ∫ ⁄ Сделаем замену переменных ( ), √ . Тогда последний интеграл примет вид ( ̃ ( ) ( √ )). ⁄ ∫ ∫ ∫ | ̃ ( ) ̃ ( )| . (29) ⁄ Если (( ) ), то (см., например, лемму 3.8 в [22], или вложения перед леммой 7.2 и лемму 7.2 в [23], или теорему 18.4 в [24]) (( ) ) справедлива оценка ‖ ‖ ‖ ‖ (( ) ), (( ) ) где постоянная не зависит от . Тогда интеграл в (29) оценивается через Обратные задачи об определении граничных режимов ⁄ ‖ ̃ ‖ ⁄ ∫ ∫ | ̃ | ∑ |( ̃ ) | , (30) (( ) ) где мы используем в (( ) - одну из эквивалентных норм. Возвращаясь к старым переменным ( ) и используя вышеприведенную оценку для оператора , получим ‖ ‖ , (31) ( ) где постоянная не зависит от . Из (24)-(31) вытекает оценка ⁄ , (32) ‖∫ 〈 〉 ‖ ̃ ( ) ‖ ‖ ( ) где постоянная не зависит от . Слагаемые вида ∫ в выражении ( ) оцениваются точно так же. Слагаемое ∫ оценивается проще. Имеем в силу леммы 1, что ‖ ‖ ̃ ∫ ‖ ‖ ‖ ‖ , (33) ( ) ̃ ( ) ̃ ( ( )) ( ) ( ) ‖ ‖ ̃ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . (34) ( ( )) Используя представление ( ) ( ) ∫ ( ) во втором интеграле и равенство ( ) ∫ ( ) в первом, а также неравенство Гельдера, получим оценку ‖ ‖ ̃ ‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ⁄ ⁄ . (35) ( ( )) Тогда будем иметь, что ̃ ( ( )) ⁄ ⁄ ‖∫ 〈 〉 ‖ ‖ ‖ ̃ ‖ ‖ ( ) , (36) ̃ ( ) ( ( )) где - постоянная, не зависящая от . Легко увидеть, что в процессе доказательства оценок (26), (31), мы также получили неравенство ‖ ‖ ̃ ⁄ ‖ ‖ ( ), (37) ( ( )) где постоянная не зависит от . Действительно, используя определение нормы, мы получим ‖ ( ) ( )‖ ‖ ‖ ̃ ∫ ‖ ‖ ∫ ∫ ( ) ( ) . (38) ( ( )) Необходимая оценка первого слагаемого вытекает из оценок (28), (36). Оценка второго интеграла вытекает из оценок (27)-(31), (35). Оценим последнее слагаемое ‖∫ ‖ ̃ ( ) . Имеем, что ⁄ ∫ ‖ ‖ ̃ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ( ). (39) ( ) ̃ ( ( )) ̃ ( ( )) Здесь мы воспользовались неравенством Гельдера, вложением ( ) ( ) и оценкой (37). Из оценок (23), (32), (36), (39) вытекает, что ‖ (⃗⃗⃗⃗ ⃗)‖ ̃ ⁄ ‖ ‖ ̃ ( ) , (40) где постоянная не зависит от . В силу теоремы 2 имеем, что ‖ ‖ ( ) ‖ ̃‖ ̃ ( ). (41) В силу леммы 1 имеет место оценка ‖ ̃‖ ̃ ( ) ∑ ‖ ̃ ‖ ̃ . ( ) Здесь постоянная зависит от величин ‖ ‖ ( ). Тогда из (40), (41) получим оценку ‖ (⃗⃗⃗⃗ ⃗)‖ ̃ ⁄ ∑ ‖ ̃ ‖ ⁄ ‖( ⃗⃗⃗⃗⃗)‖ , (42) ( ) ̃ ( ) ̃ ( ) где постоянная не зависит от и ⃗⃗⃗⃗ ⃗. Оценка (42) говорит о том, что при ⁄ оператор сжимающий и, следовательно, уравнение (22) имеет единственное решение из пространства ( ) при условии, конечно, что ( ). По условию ( ). Покажем, что М. А. Вержбицкий ∫ 〈 ( ) ( )〉 ( ), т. е. ∫ 〈 ( ) ( )〉 ( ). Умножим уравнение в (17) на и проинтегрируем по области . Получим равенство ( ) ( ) ∫ 〈 〉 ∑ ̃ ( ) ∫ 〈 〉 ( ), . (43) ( ) Повторяя рассуждения, используемые при оценке нормы ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ ̃ , но только уже на всем промежутке [0,T], и вместо этой нормы берем стандартную норму в пространстве ( ), можем легко показать, что правая часть в этом равенстве принадлежит пространству ( ) и, таким образом, ( ). Таким образом, уравнение (22) имеет единственное решение на промежутке . Найдем решение ( ) задачи (18). Покажем, что выполнены условия (19). Умножим уравнение в (18) на и интегрируем по области . Используя (17), (18) и интегрирование по частям, получим ∫ ( ) ∫ 〈 〉 ∑ ̃ ( ) ∫ 〈 〉 , . Вектор-функция ⃗⃗⃗⃗ ⃗ удовлетворяет системе (20), складывая -е уравнение с полученным равенством и сокращая, придем к равенству ∫ ̃ , , интегрируя которое по и пользуясь начальным условием, получим (19) на . Покажем далее, что решение продолжимо на весь промежуток [0,T]. Мы определили векторфункцию ⃗⃗⃗⃗ ⃗ только на . Продолжим найденную вектор-функцию ⃗⃗⃗⃗ ⃗ нулем при и положим ⃗⃗⃗⃗ ⃗( ) ( ) . Координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗ обозначим через . Построенная вектор- ⃗⃗⃗⃗ ⃗ {⃗⃗⃗⃗⃗( ) функция принадлежит ( ). Сделаем замену ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗. Построенная вектор-функция с координатами удовлетворяет системе ∑ ( ) ̃ ( ) ( ) ∫ 〈 〉 ∑ ( ) . (44) В силу определения ⃗⃗⃗⃗ ⃗ правая часть в этом равенстве и соответственно вектор ⃗ обращаются в ноль на . Пусть - решение задачи , ∑ , . (45) Тогда функция есть решение задачи , ∑ , . (46) В силу теоремы 1, при . Таким образом, задача о продолжении вектор-функции ⃗⃗⃗⃗ ⃗ сводится к построению решения системы где ∑ ( ) ( ) ( ) ∫ 〈 〉 , (47) ̃ ( ) ( ) ∫ 〈 〉 ∑ ( ) , и функция - решение задачи (46). Решение системы при обращается в ноль. Мы пришли к той же системе, но нулевые данные Коши у нас уже задаются в точке , и изменилась правая часть системы, точнее вектор ⃗. Далее мы повторяем рассуждения и оценки уже на промежутке . Рассуждения те же самые, и более того без ограничения общности можем считать, что и все постоянные, возникающие при оценке нормы оператора , также те же самые. Таким образом, си- стема (47) разрешима на промежутке . Повторяя рассуждения на и т. д., мы построим решение на всем . Оценка из утверждения теоремы фактически была получена в процессе дока- зательства.

Mark Andreevich Verzhbitskiy

  • Алифанов, O. M. Обратные задачи сложного теплообмена [Текст] / О. М. Алифанов, Е. А. Артюхов, А. В. Ненароком. - Москва : Янус-К, 2009.
  • Ozisik, M. N. Inverse heat transfer [Text] / M. N. Ozisik, H. A. B. Orlando. - New-York : Taylor & Francis, 2000.
  • Костин, А. Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения, I. [Текст] / А. Б. Костин, А. И. Прилепко // Дифференц. уравнения. - 1996. - Т. 32, № 1. - С. 1319-1328.
  • Борухов, В. Т. Применение неклассических краевых задач для восстановления граничных режимов процессов переноса [Текст] / В. Т. Борухов, В. И. Корзюк // Вестник Белорусского университета. - 1998. - Сер. 1, № 3. - C. 54-57.
  • Tryanin, A. P. Determination of heat-transfer coefficients at the inlet into a porous body and inside it by solving the inverse problem [Text] / A. P. Tryanin // Inzhenerno-Fizicheskii Zhurnal. - 1987. - Vol. 52, № 3. - Pp. 469-475.
  • Борухов, В. Т. Сведение одного класса обратных задач теплопроводности к прямым начально-краевым задачам [Текст] / В. Т. Борухов, П. Н. Вабищевич, В. И. Корзюк // Инжин.-физический журнал. - 2000. - Т. 73, № 4. - C. 742-747.
  • Короткий, А. И. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции несжимаемой жидкости [Текст] / А. И. Короткий, Д. А. Ковтунов // Тр. ИММ ДВО АН. - 2006. - Т. 12. - C. 88-97.
  • Абылкаиров, У. У. Обратная задача интегрального наблюдения для общего параболического уравнения [Текст] / У. У. Абылкаиров // Математический журнал. - 2003. - Т. 3, № 4(10). - С. 5-12.
  • Абылкаиров, У. У. Обратная задача для системы тепловой конвекции [Текст] / У. У. Абылкаиров, А. А. Абиев, С. Е. Айтжанов // Молодежная международная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». - Новосибирск, 2009. - C. 10-11.
  • Кожанов, А. И. Линейные обратные задачи для некоторых классов нелинейных нестационарных уравнений [Текст] / А. И. Кожанов // Сиб. электр. известия. - 2015. - Т. 12. - C. 264-275.
  • Iskenderov, A. D. Inverse problem for a linear system of parabolic equations [Text] / A. D. Iskenderov, A.Ya. Akhundov // Doklady Mathematics. - 2009. - Vol. 79, № 1. - Pp. 73-75.
  • Ismailov, M. I. Inverse problem of finding the time-dependent coefficient of heat equation from integral overdetermination condition data [Text] / M. I. Ismailov, F. Kanca // Inverse Problems in Science and Engineering. - 2012. - Vol. 20, № 24. - P. 463-476.
  • Jing Li, Youjun Xu An inverse coefficient problem with nonlinear parabolic equation [Text] / Jing Li // J. Appl. Math. Comput. - 2010. - Vol. 34. - Pp. 195-206.
  • Kerimov, N. B. An inverse coefficient problem for the heat equation in the case of nonlocal boundary conditions [Text] / N. B. Kerimov, M. I. Ismailov // J. of Mathematical Analysis and Applications. - 2012. - № 396, № 2. - Pp. 546-554.
  • Кожанов, А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени [Текст] / А. И. Кожанов // Ж. Вычисл. Матем. и матем. физ. - 2005. - Т. 45, № 12. - C. 2168-2184.
  • Пятков, С. Г. Об определении функции источника в математических моделях конвекции-диффузии [Текст] / С. Г. Пятков, А. Е. Сафонов // Математические заметки СВФУ. - 2014. - Т. 21, № 2. - C. 117-130.
  • Криксин, Ю. А. Обратная задача восстановления плотности источника для уравнения конвекции-диффузии [Текст] / Ю. А. Криксин, С. Н. Плющев, Е. А. Самарская [и др.] // Матем. моделирование. - 1995. - Т. 7, № 11. - С. 95-108.
  • Prilepko, A. I. Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics [Text] / A. I. Prilepko, Orlovsky, I. A. Vasin. - New-York : Marcel Dekker, Inc, 1999.
  • Ivanchov, M. Inverse problems for equations of parabolic type [Text] / M. Ivanchov // Math. Studies. Monograph Series. V. 10. - Lviv: WNTL Publishers, 2003.
  • Трибель, Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы [Текст] / Х. Трибель. - Москва : Мир, 1980.
  • Ladyzhenskaya, O. A. Linear and quasi-linear equations of parabolic type [Text] : Translations of Mathematical Monographs / O. A. Ladyzhenskaya, V. A. Solonnikov, N. Ural'tseva ; 23. American Mathematical Society. - Providence: AMS, RI, 1968.
  • Denk, R. Optimal-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data [Text] / R. Denk, M. Hieber, J. Pruss // Math. Z. - 2007. - Vol. 257, № 1. - Pp. 193-224.
  • Grisvard, P. Equations differentielles abstraites [Text] / P. Grisvard // Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. series. - 1969. - Vol. 2. - Pp. 311-395.
  • Бесов, O. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения [Текст] / О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. - Москва : Наука, 1975.
  • Пятков, С. Г. Обратные задачи об определении граничных данных [Текст] / С. Г. Пятков, М. А. Вержбицкий // Математические заметки СВФУ. - 2016. - Т. 23, № 2. - С. 3-18.
  • Amann, H. Nonhomogeneous linear and quasilinear elliptic and parabolic boundary-value problems [Text] / H. Amann // in: Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis (Friedrichroda, 1992), - 1993. - Vol. 133. - Pp. 9-126.

Views

Abstract - 5

PDF (Russian) - 3


Copyright (c) 2017 Verzhbitskiy M.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.