Inverse problems for mathematical models with the pointwise overdetermination

Full Text

Введение

Мы рассматриваем вопрос об определении вместе с решением функции источника и коэффициентов, характеризующих параметры среды в квазилинейных математических моделях конвекции-диффузии. Пусть $G$ – область в ${ℝ}^n$ с границей $\text{Γ}$ класса $C^2$ и $Q=\left(0,T\right)\times G$. Соответствующая параболическая система имеет вид:

$Lu=u_t+A(t,x,D)u=f(x,t,u,\nabla u)+{{\sum }^r}_{(i=1)}{f}_i(t,x)q_i\left(t\right),(t,x)\in Q,$(1)

где $A$ – матричный эллиптический оператор вида $A\left(t,x,D\right)u=-\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\left(t,x\right)u_{x_j{x}_j}+\sum _{i=1}^n{a}_i{u}_{x_i}+a_{0}u,$ $a_{ij},a_i–h\times h$ матрицы, $u$ – вектор длины $h$ и $\overrightarrow{q}\left(t\right)=\left(q_1\left(t\right),q_2\left(t\right),\dots ,q_m\left(t\right)\right)$ – неизвестные функции, подлежащие определению вместе с решением $u$, которые входят как в правую часть, так и в сам оператор $A$ как коэффициенты. Структуру оператора $A$ мы опишем ниже. Система (1) дополняется начальными и граничными условиями:

$u{|}_{t=0}=u_0, Bu{|}_S=g, S=\left(0,T\right)\times \text{Γ},$(2)

где $Bu=\sum _{i=1}^n{\gamma }_i\left(t,x\right)u_{x_i}+\sigma \left(t,x\right)u$ или $Bu=u$, $n_i–i$-я координата внешней единичной нормали к $\text{Γ}$ и ${\gamma }_i\left(t,x\right),\sigma \left(t,x\right)$ матрицы-функции размерности $h\times h$, принадлежащие классу $C^{1/2,2}\left(\overline{S}\right)$. Условия переопределения записываются в виде:

$u\left(x_i,t\right)={\psi }_i\left(t\right), i=1,2,\dots ,s, m=hs.$(3)

Таким образом, дополнительные условия являются данными замеров решения (например, концентрации переносимого вещества) в определенных точках области. Обратная задача состоит в нахождении решения  уравнения (1) и функций $q_i\left(t\right)(i=1,2,\dots ,m)$ по данным (2), (3).

Проблемы подобного вида возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и во многих других областях (см. [1]). Большое количество результатов было получено в случае линейной по своим аргументам функции $f$. Можно отметить работу [2], где получена теорема существования и единственности решений задачи (1)–(3) в пространствах Гельдера в случае $h=1,r=1$. В случае $n=1,r=1$ и $G=ℝ$ некоторые результаты получены в работах [3, 4]. В работах [5, 6] была рассмотрена также и задача об определении младшего коэффициента в параболическом уравнении. Общие теоремы о разрешимости абстрактных задач такого вида в квазилинейном случае получены в монографии [7]. Однако стоит отметить, что результаты [7] применимы к задаче (1)–(3) в случае некоторых специальных функций $g$ и в случае краевых условий, таких, что область определения оператора $L$ не зависит от времени. Однако даже в этом случае в [7] используются излишним условиям гладкости и согласования на данные. Ряд задач, входящих в класс (1), был рассмотрен в работе [8]. Численные методы решения различных модельных задач, входящих в класс (1)–(3), рассматривались, например, в работах [9, 10] и многих других. В частности, в работе [10] численно решалась обратная задача (1)–(3) об определении функции источника для квазилинейной системы параболических уравнений. Наши результаты обобщают результаты работы [14] (см. также [15]). В данной работе мы получим локальную теорему о разрешимости задачи.

Опишем содержание работы. В первом параграфе описаны условия на данные задачи и сформулированы основные результаты. Во втором параграфе приведено их доказательство. Обозначения функциональных пространств стандартные (см., например, [12]).

Определения, обозначения и вспомогательные результаты

Пусть $E$ – банахово пространство. Символом $L_p\left(G;E\right)$ ($G$ – область в ${ℝ}^n$) обозначаем пространство сильно измеримых функций, определенных на $G$ со значениями в $E$ наделенное нормой $\Vert \Vert u\left(x\right){\Vert }_E{\Vert }_{L_p\left(G\right)}$ [12]. Мы также используем пространства Гельдера $C^{\alpha }\left(\overline{G}\right)$. Обозначения $W_p^s\left(G;E\right), W_p^s\left(Q;E\right)$ пространств Соболева являются стандартными (см. определения в [12, 13]). Если $E=ℂ \left(E=ℝ\right)$ или $E={ℂ}^n\left(E={ℝ}^n\right)$, тогда последнее пространство обозначается через $W_p^s\left(Q\right)$. Аналогично используем обозначения $W_p^s\left(G\right)$ или $C^{\alpha }\left(\overline{G}\right)$ вместо $W_p^s\left(G;E\right)$ или $C^{\alpha }\left(\overline{G};E\right)$. Таким образом, включение $u\in W_p^s\left(G\right)$ (или $u\in C^{\alpha }\left(\overline{G}\right)$) для данной вектор-функции $u=\left(u_1,u_2,\dots ,u_k\right)$ означает, что каждая из ее компонент $u_i$ принадлежит $W_p^s\left(G\right)$ (или $C^{\alpha }\left(\overline{G}\right)$). В этом случае норма вектора есть просто сумма норм координат. То же самое соглашение принимаем для матриц-функций. Для интервала $J=\left(0,T\right)$ положим $W_p^{s,r}\left(Q\right)=W_p^r\left(J;L_p\left(G\right)\right)\cap L_p\left(J;W_p^s\left(G\right)\right)$. Соответственно, $W_p^{s,r}\left(S\right)=W_p^r\left(J;L_p\left(\text{Γ}\right)\right)\cap L_p\left(J;W_p^s\left(\text{Γ}\right)\right)$. Аналогично определяем пространство Гельдера $C^{r,s}\left(\overline{Q}\right)$.

Пусть $B_{\delta }\left(x_i\right)$ – шар радиуса $\delta$ с центром в точке $x_i$. Далее мы используем следующие обозначения: $Q^{\tau }=\left(0,\tau \right)\times G, S^{\gamma }=\left(0,\gamma \right)\times \text{Γ}$. Дан набор точек $\left\{x_j\right\}$ из (3), параметр $\delta >0$ назовем допустимым, если $\overline{B_{\delta }\left(x_i\right)}\subset G, \overline{B_{\delta }\left(x_i\right)}\cap \overline{B_{\delta }\left(x_j\right)}=\varnothing$ для $i\ne j, i,j=1,2,\dots ,r$. Пусть $G_{\delta }={\cup }_i{B}_{\delta }\left(x_i\right), Q_{\delta }=\left(0,T\right)\times G_{\delta }, Q_{\delta }^{\tau }=\left(0,\tau \right)\times G_{\delta }$.

Рассмотрим задачу (1), (2) и сформулируем один вспомогательный результат. Мы будем предполагать, что у нас выполнены условия.

Условия на коэффициенты:

$a_{ij}\in C\left(\overline{Q}\right), a_k\in L_p\left(Q\right), {\gamma }_i,\sigma \in C^{1/2,2}\left(\overline{S}\right), p>n+2;$ (4)

$a_{ij}\in L_{\infty }\left(0,T;W_p^s\left(G_{\delta }\right)\right), a_k\in L_p\left(0,T;W_p^s\left(G_{\delta }\right)\right), i,j=1,2,\dots ,n, k=0,1,\dots ,n,$ (5)

для некоторого допустимого $\delta >0$ и $s\in \left(\frac{n+2}{p},1\right]$. Опишем условия параболичности оператора $L$. Рассмотрим матрицу $A_0\left(t,x,\xi \right)=-\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\left(t,x\right){\xi }_i{\xi }_j\left(\xi \in {ℝ}^n\right)$ и предположим, что найдется постоянная ${\delta }_1>0$, такая, что корни $p$ полинома $\text{det }(A_0\left(t,x,i\xi \right)+pE)=0$ ( $E$– единичная матрица) удовлетворяют условию

$\text{Re\hspace{0.17em}}p\le -{\delta }_1|\xi {|}^2 \forall \xi \in {ℝ}^n \forall \left(x,t\right)\in Q.$ (6)

Пусть $B_{0}u=u$ в случае условий Дирихле в (2) и $B_{0}u=\sum _{j=1}^n{\gamma }_j{\partial }_{x_j}u$ в противном случае. Условие Лопатинского может быть записано в виде: для любой точки $\left(t_0,x_0\right)\in S$, и операторов $A\left(x,t,D\right)$ и $B_0\left(x,t,D\right)$, записанных в локальной системе координат $y$ в этой точке (ось $y_n$ направлена по нормали к $S$ и оси $y_1,\dots ,y_{n-1}$ лежат в касательной плоскости в точке $\left(x_0,t_0\right)$), система

$\left(\lambda E+A_0\left(x_0,t_0,i{\xi }^{\text{'}},{\partial }_{y_n}\right)\right)v\left(z\right)=0, B_0\left(x_0,t_0,i{\xi }^{\text{'}},{\partial }_{y_n}\right)v\left(0\right)=h_j,$ (7)

где ${\xi }^{\text{'}}=\left({\xi }_1,\dots ,{\xi }_{n-1}\right), y_n\in {ℝ}^{+}$, имеет единственное решение из $C\left({\overline{ℝ}}^{+}\right)$ ограниченное на бесконечности при всех ${\xi }^{\text{'}}\in {ℝ}^{n-1}, \left|\text{arg }\lambda \right|\le \pi /2$, и $h_j\in ℂ$ таких, что $\left|{\xi }^{\text{'}}\right|+\left|\lambda \right|\ne 0$. Мы также предполагаем, что

$\begin{array}{l}{u}_0\left(x\right)\in W_p^{2-\frac{2}{p}}\left(G\right), g\in W_p^{2k_0,k_0}\left(S\right),\\ B\left(x,0\right)u_0\left(x\right){|}_{\text{Γ}}=g\left(x,0\right) \forall x\in \text{Γ},\end{array}$(8)

где $k_0=1-1/2p$ в случае условия Дирихле и $k_0=1/2-1/2p$, в противном случае

$\begin{array}{l}{u}_0\left(x\right)\in W_p^{2+s-\frac{2}{p}}\left(G_{\delta }\right) \text{для некоторого допустимого }\delta >0 \text{и}\\ s\in \left(\left(n+2\right)/p,1\right].\end{array}$(9)

Даны постоянные ${\delta }_1<{\delta }_2<\delta$. Построим вспомогательную функцию $\phi \in C_0^{\infty }\left(G_{\delta }\right)$, такую, что $\phi \equiv 1$ в области $G_{{\delta }_1}$ и $\phi \equiv 0$ в $G_{\delta }\setminus G_{{\delta }_2}$.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)–(9) для некоторого допустимого $\delta >0\text{ и }s\in \left(\left(n+2\right)/p,1\right],\text{ }f\in L_p\left(Q^{\tau }\right)\text{, }f\phi \in L_p\left(0,\tau ;W_p^s\left(G_{\delta }\right)\right)\text{ и }\tau \in \left(0,T\right]$. Тогда существует единственное решение  задачи:

$Lu=u_t+Au=f \left(\left(x,t\right)\in Q\right), u{|}_{t=0}=u_0\left(x\right), Bu{|}_S=g.$ (10)

Причем $\phi u_t\in L_p\left(0,\tau ;W_p^s\left(G_{\delta }\right)\right), \text{}\phi u\in L_p\left(0,\tau ;W_p^{2+s}\left(G_{\delta }\right)\right)$. Если $g\equiv 0$, $u_0\equiv 0$, то справедлива оценка:

$\begin{array}{c}\Vert u{\Vert }_{W_p^{2,1}\left(Q^{\tau }\right)}+\Vert \phi u_t{\Vert }_{L_p\left(0,\tau ;W_p^s\left(G_{\delta }\right)\right)}+\Vert \phi u{\Vert }_{L_p\left(0,\tau ;W_p^{2+s}\left(G_{\delta }\right)\right)}\le \\ c\left[\Vert f{\Vert }_{L_p\left(Q^{\tau }\right)}+\Vert \phi f{\Vert }_{L_p\left(0,\tau ;W_p^s\left(G_{\delta }\right)\right)}\right],\end{array}$(11)

где постоянная $c$ не зависит от $f$, решения $u$ и $\tau \in \left(0,T\right]$.

Доказательство. Доказательство этой теоремы может быть найдено в работе [17, Теоремы 1, 2]. Основное утверждение теоремы известно, см., например, [13]. Дополнительная гладкость по существу вытекает из известных результатов о внутренней гладкости решений параболических и эллиптических задач.

Основные результаты

Рассматривается уравнение

$u_t+Au=f\left(x,t,u,\nabla u\right)+\sum _{i=1}^r{f}_i\left(x,t\right)q_i\left(t\right)+f_0\left(x,t\right).$ (12)

Мы рассматриваем задачу (1)–(3) о восстановлении правой части уравнения вида $f=\sum _{i=1}^r{f}_i\left(x,t\right)q_i\left(t\right)+f_0\left(x,t\right)$ и коэффициентов, в частности входящих в главную часть уравнения (1). Предположим, что оператор A имеет вид:

$A=L_0-\sum _{(k=r+1)}^m{q}_k\left(t\right)L_k,$

$L_{k}u=-\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}^k\left(t,x\right)u_{x_j{x}_j}+\sum _{i=1}^n{a}_i^k\left(t,x\right)u_{x_i}+a_0^k\left(t,x\right)u,$

где $k=0,r+1,r+2,\dots ,m.$ Поскольку неизвестные могут встречаться в главной части уравнения, мы будем искать их в классе $C\left(\left[0,T\right]\right)$. Построим матрицу $B\left(t\right)$ размерности $m\times m,$ чьи строки с числами с $\left(j-1\right)h+1$ по $jh$ занимают вектор-столбцы:

$\left(f_1\right(x_j,t),\hspace{0.17em}{f}_2(x_j,t),\dots ,\hspace{0.17em}{f}_r(x_j,t),L_{(}r+1)u_0\left(x_j\right),\dots ,L_m{u}_0\left(x_j\right)).$

Мы предполагаем, что

$$\begin{gathered} {\psi }_j\in C^1\left(\right[0,T\left]\right),u_0\left(x_j\right)={\psi }_j\left(0\right)(j=1,2,\dots ,s,), \\ {\gamma }_i,\sigma \in C^{1/2,2}\left(\overline{S}\right), p>n+2, \end{gathered}$$ (13)

$\begin{array}{l}{a}_{ij}^k\in C\left(\overline{Q}\right)\cap L_{\infty }\left(0,T;W_p^s\left(G_{\delta }\right)\right), a_l^k\in L_p\left(Q\right)\cap L_p\left(0,T;W_p^s\left(G_{\delta }\right)\right)\\ \left(i,j=1,\dots ,n, l=0,1,\dots n\right),\end{array}$ (14)

$f_i\in L_p\left(Q\right)\cap L_p\left(0,T;W_p^s\left(G_{\delta }\right)\right) \left(i=1,\dots ,m\right),$(15)

для некоторого допустимого $\delta >0,s>\left(2+n\right)/p\text{, и }k=0,r+1,\dots ,m$;

$a_i^k\left(x_l,t\right),f_a\left(x_l,t\right)\in C\left(\left[0,T\right]\right)$ (16)

для всевозможных значений $i, j, k, l, a$. Также необходимо выполнение следующего условия:

Условие (A). Существует число ${\delta }_0>0,$ такое, что

$\left|\text{det\hspace{0.17em}}B\left(t\right)\right|\ge {\delta }_0\text{ на}\left(0,T\right).$

Заметим, что элементы матрицы $B$ принадлежат $C\left(\left[0,T\right]\right)$. Рассмотрим систему

${\psi }_{jt}\left(0\right)+L_0{u}_0\left(x_j,0\right)-f\left(0,x_j,u_0\left(x_j\right),\nabla u_0\left(x_j\right)\right)=\sum _{k=1}^r{q}_{0k}{f}_k\left(x_j,0\right)+\sum _{k=r+1}^m{q}_{0k}{L}_k{u}_0\left(x_j\right)$

по отношению к вектору ${\overrightarrow{q}}_0=\left(q_{01},q_{02},\dots ,q_{0m_1}\right)$. При выполнении условия (А) система имеет единственное решение. Обозначим $A_0=L_0-\sum _{k=r+1}^m{q}_{0k}{L}_k$. Пусть $B_R$ – шар радиуса $R$ с центром в нуле в ${ℝ}^{\left(n+1\right)h}$.

Условие (В). Функция $f\left(t,x,u,p\right)$ непрерывна по совокупности переменных ($u,p\in {ℝ}^{\left(n+1\right)h}$), для любого $R>0$ найдется постоянная $M_0>0,$ такая, что

$\left|f\left(t,x,u^1,p^1\right)-f\left(t,x,u^2,p^2\right)\right|\le M_0\left(\left|u_1-u_2\left|+\right|p_1-p_2\right|\right),$

для всех $\left(u^1,p^1\right),\left(u^2,p^2\right)\in B_R,f\left(t,x,u,p\right)\in C\left(\left[0,T\right]\times \overline{B_R};W_p^s\left(G_{\delta }\right)\right).$

Условие (C). Функция $f\left(t,x,u,p\right)$ дифференцируема по параметрам $\left(u,p\right)\in {ℝ}^{\left(n+1\right)h}$ при п.в. $\left(t,x\right)\in Q_{\delta }$ и

$f_u\left(t,x,u,p\right),f_{p_i}\left(t,x,u,p\right)\in C\left(\left[0,T\right]\times \overline{B_R};W_p^s\left(G_{\delta }\right)\right)\forall R>0,$

для любого $R>0$ найдутся функции ${\text{Φ}}_1\left(t,x\right),{\text{Φ}}_2\left(t,x\right)\in C\left(\left[0,T\right];L_p\left(G\right)\right),$ такие, что

 $\begin{array}{l}\Vert f_u\left(t,x,u^1,p^1\right)-f_u\left(t,x,u^2,p^2\right){\Vert }_{L\left({ℝ}^h\right)}\le \\ \le \left|{\text{Φ}}_1\left(t,x\right)\right|\left|u_1-u_2\left|+\right|{\text{Φ}}_2\left(t,x\right)\right|\left|p^1-p^2\right|,\end{array}$

$\begin{array}{l}\Vert f_{p_i}\left(t,x,u^1,p^1\right)-f_{p_i}\left(t,x,u^2,p^2\right){\Vert }_{L\left({ℝ}^h\right)}\le \\ \le \left|{\text{Φ}}_1\left(t,x\right)\right|\left|u_1-u_2\left|+\right|{\text{Φ}}_2\left(t,x\right)\right|\left|p^1-p^2\right|\end{array}$

для всех $\left(u^1,p^1\right),\left(u^2,p^2\right)\in B_R$. Здесь величины $f_u,f_{p_i}(i=1,2,\dots ,n)$ – соответствующие матрицы Якоби и $\Vert \cdot {\Vert }_{L\left({ℝ}^h\right)}$ – норма в пространстве линейных непрерывных отображений из ${ℝ}^h$ в ${ℝ}^h$.

При указанных условиях теорема существования примет следующий вид.

Теорема 2. Пусть условия (A)-(C), (13)–(16) выполнены. Предположим также, что оператор $M_0={\partial }_t+A_0$ параболический и выполнено условие Лопатинского, т. е. условия (6), (7) выполнены. Тогда найдется число ${\tau }_0\in \left(0,T\right]$, такое, что на промежутке $\left[0,{\tau }_0\right]$ существует единственное решение $\left(u,q_1,q_2,...,q_m\right)$ задачи (1)–(3), такое, что /$u\in L_p\left(0,{\tau }_0;W_p^2\left(G\right)\right),u_t\in L_p\left(Q^{{\tau }_0}\right),q_i\left(t\right)\in C\left(\left[0,{\tau }_0\right]\right),i=1,\dots ,m$. Кроме того $\phi u\in L_p\left(0,{\tau }_0;W_p^{2+s}\left(G\right)\right),\phi u_t\in L_p\left(0,{\tau }_0;W_p^s\left(G\right)\right)$.

Доказательство. Найдем решение задачи.

${\text{Φ}}_t+A_0\text{Φ}=\sum _{k=1}^r{q}_{0i}{f}_i \left(\left(x,t\right)\in Q\right), \text{Φ}{|}_{t=0}=u_0\left(x\right), B\text{Φ}{|}_S=g.$ (17)

По теореме 1 $\text{Φ}\in W_p^{2,1}\left(Q\right)\text{, }\phi {\text{Φ}}_t\in L_p\left(0,T;W_p^s\left(G\right)\right)\text{, }\phi \text{Φ}\in L_p\left(0,T;W_p^{2+s}\left(G\right)\right)$. Из теоремы III 4.10.2 в [11] вытекает, что $\phi \text{Φ}\in C\left(\left[0,T\right];W_p^{2+s-2/p}\left(G\right)\right)\subset C\left(\left[0,T\right];C^{2+s-2/p-n/p}\left(\overline{G}\right)\right)$. Следовательно, $\phi \text{Φ}\in C\left(\left[0,T\right];C^2\left(G\right)\right)$. Из уравнения (17) вытекает, что ${\text{Φ}}_t\left(x_j,t\right)\in C\left(\left[0,T\right]\right)$. Сделаем замену переменных $\overrightarrow{q}={\overrightarrow{q}}_0+{\overrightarrow{q}}_1\text{ и }u=v+\text{Φ}$ в (1). Получим новую задачу:

$Lv=v_t+A_{0}v-\sum _{k=r+1}^m{q}_{1k}{L}_{k}v\begin{array}{c}\\ =f\left(t,x,v+\text{Φ},\nabla v+\nabla \text{Φ}\right)+\sum _{i=1}^r{f}_i{q}_{1i}+\sum _{i=r+1}^m{q}_{1i}{L}_i\text{Φ}=F,\\ v{|}_{t=0}=0, Bv{|}_S=0, \end{array}$ (18)

$v\left(x_j,t\right)=\tilde{\psi }\left(t\right)={\psi }_j\left(t\right)-\text{Φ}\left(x_j,t\right)\in C^1\left(\left[0,T\right]\right), \tilde{\psi }\left(0\right)={\tilde{\psi }}_t\left(0\right)=0.$ (19)

Стандартные теоремы о разрешимости параболических задач гарантируют локальную разрешимость задачи (18) при фиксированном векторе ${\overrightarrow{q}}_1$. Однако у нас используются специальные классы данных и решений. Поэтому мы наметим доказательство. Определим пространство $H_{0,\tau }=\left\{u\in W_p^{1,2}\left(Q_{\tau }\right): \phi u_t\in L_p\left(0,\tau ;W_p^s\left(G\right)\right),\phi u\in L_p\left(0,\tau ;W_p^{2+s}\left(G\right)\right)\right\}.$ В качестве нормы в этом пространстве возьмем величину

$\Vert u{\Vert }_{H_{0,\tau }}=\Vert u{\Vert }_{W_p^{1,2}\left(Q_{\tau }\right)}+\Vert \phi u_t{\Vert }_{L_p\left(0,\tau ;W_p^s\left(G\right)\right)}+\Vert \phi u{\Vert }_{L_p\left(0,\tau ;W_p^{2+s}\left(G\right)\right)}.$

Используя теорему 1, можем сказать, что решение  задачи (18) есть решение операторного уравнения:

$v=M_0^{-1}f\left(t,x,v+\text{Φ},\nabla v+\nabla \text{Φ}\right)+\sum _{k=r+1}^m{M}_0^{-1}{q}_{1k}{L}_{k}v+M_0^{-1}\sum _{k=1}^m{\tilde{f}}_k\left(t,x\right)q_{1k}\left(t\right),$ (20)

где $M_{0}u=u_t+A_{0}u,{\tilde{f}}_k=f_k\text{ при }k\le r\text{ и }{\tilde{f}}_k=L_k\text{Φ при }k>r$. Зафиксируем параметр $s_1\in \left(s,\text{min }(1,1-\left(n+2\right)/p+s\right)\left)\right),$ введем обозначения

$\begin{array}{l}\Vert g{\Vert }_{V\left(0,\tau \right)}=\Vert g{\Vert }_{L_p\left(0,\tau ;L_p\left(G\right)\right)}+\Vert g\phi {\Vert }_{L_p\left(0,\tau ;W_p^s\left(G\right)\right)},\\ \Vert v{\Vert }_{0,\tau }=\Vert v{\Vert }_{C(\left[0,\tau ;C^1\left(\overline{G}\right)\right)}+\Vert \phi v{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right];C^{1+s_1}\left(\overline{G}\right)\right)}.\end{array}$

Теорема 1, условия на функции $f_i$ и неравенство Гельдера гарантируют оценку

$\Vert M_0^{-1}\sum _{k=1}^m{\tilde{f}}_k\left(t,x\right)\left(q_k^1\left(t\right)-q_k^2\left(t\right)\right){\Vert }_{H_{0,\tau }}\le c_0\Vert {\overrightarrow{q}}^1-{\overrightarrow{q}}^2{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)},$ (21)

где $c_0$ – поcтоянная, не зависящая от параметра $\tau$. Пусть $\Vert \overrightarrow{q_1}{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}\le r_0$. Аналогично, используя условия на коэффициенты, получим:

$\Vert M_0^{-1}\sum _{k=r+1}^m{q}_{1k}{L}_{k}v{\Vert }_{H_{0,\tau }}\le c_1{r}_0\Vert v{\Vert }_{H_{0,\tau }}.$ (22)

Уравнение (20) можно переписать в виде:

$v=R\left(v\right)+f_0, f_0=M_0^{-1}\sum _{k=1}^m{\tilde{f}}_k\left(t,x\right)q_{1k}\left(t\right).$ (23)

Покажем, что если параметр $r_0$ достаточно мал, то на малом промежутке времени уравнение (23) разрешимо в классе $H_{0,\tau }$. Фиксируем параметр $r_0\le 1/4c_1$ и шар $B^{r_0}=\left\{\overrightarrow{q}\in C\left(\left[0,\tau \right]\right): \Vert \overrightarrow{q}{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}\le r_0\right\}$. Фиксируем также шар $B_{R_0}=\left\{v\in H_{0,\tau }: \Vert v{\Vert }_{H_{0,\tau }}\le R_0\right\}\text{ с }{R}_0=2\left(\Vert R\left(0\right){\Vert }_{H_{0,\tau }}+c_1{r}_0\right)$. Получим оценки. Пусть $v_i\in B_{R_0}(i=1,2)$. Имеем, используя теорему 1, условия на $f$ и (22), что

 $\Vert R\left(v_1\right)-R\left(v_2\right){\Vert }_{H_{0,\tau }}\le c_3\Vert v_1-v_2{\Vert }_{0,\tau }+c_1{r}_0\Vert v_1-v_2{\Vert }_{H_{0,\tau }}.$ (24)

При оценке нормы $\Vert f\left(t,x,v_1+\text{Φ},\nabla v_1+\nabla \text{Φ}\right)-f\left(t,x,v_2+\text{Φ},\nabla v_2+\nabla \text{Φ}\right){\Vert }_{V_{0,\tau }}$ используем неравенства:

$\Vert f\left(t,x,v_1+\text{Φ},\nabla v_1+\nabla \text{Φ}\right)-f\left(t,x,v_2+\text{Φ},\nabla v_2+\nabla \text{Φ}\right){\Vert }_{L_p\left(0,\tau \right)}\le c_4\Vert v_1-v_2{\Vert }_{C\left(\left[0,T\right];C^1\left(\overline{G}\right)\right),}$ (25)

вытекающее из условия (B), и неравенство

$\Vert \phi \left(f\left(t,x,v_1+\text{Φ},\nabla v_1+\nabla \text{Φ}\right)-f\left(t,x,v_2+\text{Φ},\nabla v_2+\nabla \text{Φ}\right)\right){\Vert }_{L_p\left(0,\tau ;W_p^s\left(G\right)\right)}\le c_5\Vert v_1-v_2{\Vert }_{0,\tau },$ (26)

где постоянные $c_i$ не зависят от $\tau$. Чтобы получить последнее неравенство, используем представление:

$\begin{array}{l}f\left(t,x,v_2\left(t,x+h\right)+\text{Φ}\left(t,x+h\right),\nabla \left(v_2\left(t,x+h\right)+\text{Φ}\left(t,x+h\right)\right)\right)-\\ f\left(t,x,v_1\left(t,x+h\right)+\text{Φ}\left(t,x+h\right),\nabla \left(v_1\left(t,x+h\right)+\text{Φ}\left(t,x+h\right)\right)\right)=\end{array}$ 

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_u\left(t,x,v_1\left(t,x+h\right)+\tau \text{Δ}v,\nabla \left(v_1\left(t,x+h\right)+\tau \text{Δ}v\left(t,x+h\right)\right)\right)\cdot \text{Δ}v\left(t,x+h\right)+$

 $\sum _{i=1}^n{f}_{p_i}\left(t,x,v_1+\tau \text{Δ}v,\nabla \left(v_1+\tau \text{Δ}v\right)\right)\cdot \text{Δ}{v}_{x_i}\left(t,x+h\right)d\tau ,\text{ Δ}v=v_2-v_1,$

$\begin{array}{l}f\left(t,x,v_2\left(t,x\right)+\text{Φ}\left(t,x\right),\nabla \left(v_2\left(t,x\right)+\text{Φ}\left(t,x\right)\right)\right)\\ -f\left(t,x,v_1\left(t,x\right)+\text{Φ}\left(t,x\right),\nabla \left(v_1\left(t,x\right)+\text{Φ}\left(t,x\right)\right)\right)\end{array}$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_u\left(t,x,v_1\left(t,x\right)+\tau \text{Δ}v\left(t,x\right),\nabla \left(v_1+\tau \text{Δ}v\right)\left(t,x\right)\right)\cdot \text{Δ}v$

$+\sum _{i=1}^n{f}_{p_i}\left(t,x,v_1+\tau \text{Δ}v,\nabla \left(v_1+\tau \text{Δ}v\right)\right)\text{Δ}{v}_{x_i}d\tau$

и определение нормы в пространстве $W_p^s\left(G\right)$. Оценим правые части в (25), (26). Теорема III 4.10.2 в [11] гарантирует, что  $v\in C\left(\left[0,\tau \right];W_p^{2-2/p}\left(G\right)\right)$ (класс $W_p^{1,2}\left(Q^{\tau }\right)$ вложен в $C\left(\left[0,\tau \right];W_p^{2-2/p}\left(G\right)\right)$) и что $\phi v\in C\left(\left[0,\tau \right];W_p^{2-2/p+s}\left(G\right)\right)$. Можем считать, что постоянные вложения в обоих случаях не зависят от $\tau$ (поскольку четное продолжение (относительно точки $\tau$) на промежуток $\left[0,2\tau \right]$ и далее нулем сохраняет норму и класс $H_{0,\tau }$ для функций $\nu$, которые обращаются в ноль при t=0). Используя теоремы вложения (см. теорему 4.6.2 в [12]) и интерполяционные неравенства, а также формулу Ньютона-Лейбница, имеем:

$$\begin{gathered} \Vert v{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right];C^1\left(\overline{G}\right)\right)}\le c_6\Vert v{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right];W_p^{1+n/p}\left(G\right)\right)}\le \le c_7\Vert v{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right];W_p^{2-2/p}\left(G\right)\right)}^{\theta }\Vert v{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right];L_p\left(G\right)\right)}^{1-\theta }\le \\ \le c_8\Vert v{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right];W_p^{2-2/p}\left(G\right)\right)}^{\theta }\Vert v_t{\Vert }_{L_p\left(Q^{\tau }\right)}^{1-\theta }{\tau }^{\left(1-\theta \right)\left(1-1/p\right)}\le \le c_9\Vert v{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right];W_p^{2-1/p}\left(G\right)\right)}^{\theta }\Vert v_t{\Vert }_{L_p\left(Q^{\tau }\right)}^{1-\theta }{\tau }^{\left(1-\theta \right)\left(1-1/p\right)}\le \le c_{10}\Vert v{\Vert }_{H_{0,\tau }}{\tau }^{\beta }, \end{gathered}$$ (27)

где , $\theta =\left(p+n\right)/\left(2p-2\right)\text{, }\beta =\left(1-\theta \right)\left(1-1/p\right)$ и постоянные $c_i$ не зависят от $\tau \text{ и }\nu$. Оценим второе слагаемое, входящее в норму . Аналогично имеем:

$$\begin{gathered} \Vert \phi v{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right];C^{1+s_1}\left(\overline{G}\right)\right)}\le c_{11}\Vert \phi v{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right];W_p^{1+n/p+s_1}\left(G\right)\right)}\le c_{12}\Vert \phi v{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right];W_p^{2-2/p+s}\left(G\right)\right)}^{{\theta }_1}\Vert v_t{\Vert }_{L_p\left(Q^{\tau }\right)}^{1-{\theta }_1}{\tau }^{\left(1-{\theta }_1\right)\left(1-1/p\right)}\le \\ \le c_{13}\Vert \phi v{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right];W_p^{2-2/p+s}\left(G\right)\right)}^{{\theta }_1}\Vert v_t{\Vert }_{L_p\left(Q^{\tau }\right)}^{1-{\theta }_1}{\tau }^{\left(1-{\theta }_1\right)\left(1-1/p\right)}\le \le c_{14}\Vert v{\Vert }_{H_{0,\tau }}{\tau }^{{\beta }_1}, \end{gathered}$$ (28)

где ${\theta }_1=\left(1+n/p+s_1\right)/\left(2+s-2/p\right),{\beta }_1=\left(1-{\theta }_1\right)\left(1-1/p\right)$ и постоянные $c_i$ не зависят от  $\tau \text{ и }\nu$. Таким образом, используя (27), (28), оценку (24) можно переписать в виде

$\Vert R\left(v_1\right)-R\left(v_2\right){\Vert }_{H_{0,\tau }}\le c_{15}{\tau }^{\beta }\Vert v_1-v_2{\Vert }_{H_{0,\tau }}+c_1{r}_0\Vert v_1-v_2{\Vert }_{H_{0,\tau }},$ (29)

где постоянные $c_i$ не зависят от  $\tau \text{ и }\beta >0$ – некоторая постоянная.

Выберем ${\tau }_0$ такое, что

${\tau }_0^{\beta }{c}_{15}\le 1/4,c_{15}=c_{15}\left(R_0\right),$

тогда оператор $R$ удовлетворяет оценке

$\Vert R\left(v_1\right)-R\left(v_2\right){\Vert }_{H_{0,\tau }}\le \Vert v_1-v_2{\Vert }_{H_{0,\tau }}/2 \forall v_i\in B_{R_0}, \tau \le {\tau }_0,\overrightarrow{q_1}\in B^{r_0}.$ (30)

В частности, имеем неравенство

$\Vert R\left(v\right)-R\left(0\right){\Vert }_{H_{0,\tau }}\le \Vert v{\Vert }_{H_{0,\tau }}/2 \forall v\in B_{R_0}, \tau \le {\tau }_0,\overrightarrow{q_1}\in B^{r_0}.$ (31)

Из (23) вытекает неравенство

$\Vert R\left(v\right)+f_0{\Vert }_{H_{0,\tau }}\le \Vert v{\Vert }_{H_{0,\tau }}/2+R_0/2\le R_0, \forall v\in B_{R_0},$ (32)

которое гарантирует, что отображение $R\left(v\right)+f_0$ переводит шар $B_{R_0}$ в себя и является в нем сжимающим. По теореме о неподвижной точке получим, что уравнение (23) разрешимо. Получим необходимую оценку. Пусть $v_1, v_1$ два решения, отвечающие двум различным векторам${\overrightarrow{q}}_i=\left(q_1^i,\dots ,q_m^i\right)\left(i=1,2\right)$, из шара $B^{r_0}$. Таким образом,

$v_j=M_0^{-1}\left(f\left(t,x,v_j+\text{Φ},\nabla v_j+\nabla \text{Φ}\right)-\sum _{k=r+1}^m{q}_k^j{L}_k{v}_j+\sum _{i=1}^m{\tilde{f}}_i\left(t,x\right)q_i^j\left(t\right)\right).$ (33)

Вычитая два уравнения (33) и используя полученные выше оценки, мы выводим

$\Vert v_1-v_2{\Vert }_{H_{0,\tau }}\le c_{16}\Vert {\overrightarrow{q}}^1-{\overrightarrow{q}}^2{\Vert }_{C(\left[0,\tau \right]},$ (34)

где постоянная $c_{16}$ не зависит от $\tau$.

Пусть $v\in H_{0,\tau }$. Полагая $x=x_j$ в (18), мы придем к системе равенств

${\tilde{\psi }}_{jt}+A_{0}v\left(t,x_j\right)-\sum _{k=r+1}^m{q}_{1k}{L}_{k}v\left(t,x_j\right)=f\left(t,x_j,v\left(t,x_j\right)+\text{Φ}\left(t,x_j\right),\nabla \left(v+\text{Φ}\right)\left(t,x_j\right)\right)+\sum _{i=1}^m{\tilde{f}}_i\left(t,x_j\right)q_{1i}\left(t\right),$ (35)

где $j=1,\dots ,s$. Эта система может быть переписана в виде $B\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\psi }+\tilde{R}\left(\overrightarrow{q}\right),$ где координаты векторов  $\overrightarrow{\psi }\text{ и }R\left(\overrightarrow{q}\right)\text{ с номерами от }\left(j-1\right)h+1\text{ до }jh$  совпадают с векторами ${\widetilde{{\psi }_j}}_t-f\left(t,x_j,\text{Φ}\left(t,x_j\right),\nabla \text{Φ}\left(t,x_j\right)\right)\text{ и }{A}_{0}v\left(t,x_j\right)-\sum _{k=r+1}^m{q}_{1k}{L}_{k}v\left(t,x_j\right)-f\left(t,x_j,v\left(t,x_j\right)+\text{Φ}\left(t,x_j\right),\nabla v\left(t,x_j\right)+\nabla \text{Φ}\left(t,x_j\right)\right)+f\left(t,x_j,\text{Φ}\left(t,x_j\right),\nabla \text{Φ}\left(t,x_j\right)\right)$, соответственно. В оператор $\tilde{R}$ входит функция $v=v\left(\overrightarrow{q}\right)$, которая определяется через функцию $\overrightarrow{q}$ как решение задачи (18). Таким образом, приходим к системе

$\overrightarrow{q}=B^{-1}\overrightarrow{\psi }+B^{-1}\tilde{R}\left(\overrightarrow{q}\right),$  (36)

где оператор $B^{-1}\tilde{R}\left(\overrightarrow{q}\right):C(\left[0,\tau \right]\to C(\left[0,\tau \right]$ ограничен. Более того, он удовлетворяет условиям теоремы о неподвижной точке на некотором малом промежутке времени. Получим оценки.

Отметим, что по построению ${\overrightarrow{\psi }}_t{|}_{t=0}=0$. Следовательно, найдется параметр ${\tau }_1\le {\tau }_0,$ такой, что

$\Vert \overrightarrow{\psi }{\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}\le r_0/2 \forall \tau \le {\tau }_0.$ (37)

Пусть $\left(q_i\right)⃗\in C\left(\right[0,\tau \left]\right)$ два вектора из шара $B^{r_0}$ и $v_1, v_1$ – соответствующие решению задачи (18). Далее имеем, что $(\omega =v_1-v_2)$

Далее, используя теоремы вложения и оценки (25), (26), оценим правую часть этого неравенства через

$\Vert B^{-1}\tilde{R}\left(\overrightarrow{q_1}\right)-B^{-1}\tilde{R}\left(\overrightarrow{q_1}\right){\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}\le {\gamma }_1\left(\sum _{j=1}^r\right(\sum _{\left|\alpha \right|\le 2}\Vert D^{\alpha }\omega \left(x_j,t\right){\Vert }_{C(\left[0,\tau \right]}+\Vert f\left(t,x,v_1+\text{Φ},\nabla v_1+\nabla \text{Φ}\right)\left(t,x_j\right))-f\left(t,x,v_2+\text{Φ},\nabla v_2+\nabla \text{Φ}\right)\left(t,x_j\right)){\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}).$

Используя рассуждения из доказательства оценок (29) и вышеприведенные неравенства, аналогично получим оценку

$\Vert B^{-1}\tilde{R}\left(\overrightarrow{q_1}\right)-B^{-1}\tilde{R}\left(\overrightarrow{q_1}\right){\Vert }_{C\left(\left[0,\tau \right]\right)}\le {\gamma }_3{\tau }^{\beta }\Vert v_1-v_2{\Vert }_{H_{0,\tau }},$ (38)

где постоянная ${\gamma }_3$ не зависит от $\tau$ и $\beta$ – некоторая положительная постоянная. Выберем ${\tau }_2\le {\tau }_1,$ такое, что ${\gamma }_3{\tau }_2^{\beta }\le 1/2$. При таком выборе ${\tau }_2$ оператор $B^{-1}\tilde{R}\left(\overrightarrow{q}\right)$ будет сжимающим и будет переводить шар $B^{r_0}$ в себя. Следовательно, уравнение (36) разрешимо.

Пусть $\nu$ есть соответствующее решение задачи (18). Покажем, что полученные решения $\left(v,\overrightarrow{q}\right)$ есть решение обратной задачи (18), (19) эквивалентной нашей. Действительно, полагая $x=x_j$ в (18), придем к равенствам

$v_t\left(t,x_j\right)+A_{0}v\left(t,x_j\right)-\sum _{k=m+1}^{m_1}{q}_{1k}{L}_{k}v\left(t,x_j\right)=f\left(t,x_j,v\left(t,x_j\right)+\text{Φ}\left(t,x_j\right),\nabla \left(v+\text{Φ}\right)\left(t,x_j\right)\right)+\sum _{i=1}^{m_1}{\tilde{f}}_i\left(t,x_j\right)q_{1i}\left(t\right).$

Вычитая эти равенства из (35), получим $v(t,x_j)=\psi ~\left(t\right)$. Единственность решений задачи (18), (19) вытекает из полученных в процессе доказательства оценок.

About the authors

Valeriy V. Rotko

Author for correspondence.
Email: v_rotko@ugrasu.ru

Graduate student

References

Supplementary files