INVERSE PROBLEMS OF DETERMINING BOUNDARY REGIMES

Abstract

In the article we consider inverse problems for convective heat transfer models. We determine un- knowns occurring in the boundary conditions together with a solution to a parabolic second order system. The overdetermination conditions are integrals of a solution with weight. The existence and uniqueness theo- rems of solutions to this inverse problem is established.

Full Text

Введение

В работе рассматриваются математические модели, описываемые параболическими системами вида:

где  – ограниченная область с границей , , ,  – матрицы размерности  и  вектор-функция длины . Положим , . Уравнение (1) дополняется краевыми и начальными условиями вида

                                           , ,                                      (2)

где  и  – внешняя единичная нормаль к . Обратная задача состоит в нахождении решения  задачи (1)-(2) и функции  вида , где функции  неизвестны, по данным переопределения

                                             , ,                                         (3)

где  – скалярное произведение в . Положим .

Обратные задачи о нахождения неизвестных граничных режимов, в частности, задачи конвективного теплообмена, являются классическими (см., например, [1–10]). Они возникают в самых различных задачах математической физики: управление процессами теплообмена и проектирование тепловой защиты, диагностика и идентификация теплопередачи в сверхзвуковых гетерогенных потоках, идентификация и моделирование теплопереноса в теплозащитных материалах и покрытиях, моделирование свойств и тепловых режимов многоразовой тепловой защиты аэрокосмических аппаратов, исследование композиционных материалов и т. п. Математические модели и соответствующие обратные задачи описываются, например, в монографии [1]. Здесь основное внимание уделено численным метода решения этих задач, а также некоторым результатам в виде теорем единственности и оценок устойчивости. Отметим также монографию [2], посвященную в основном численным методам решения, где в одномерной ситуации рассматриваются разнообразные постановки обратных задач для параболических уравнений, в том числе и задачи определения граничных режимов. Здесь данные переопределения – значения решения в точках, лежащих внутри пространственной области. Эти задачи изучались и в других постановках в зависимости от типа условий переопределения. Очень часто они некорректны в смысле Адамара, в частности, в тех случаях, когда данные переопределения – значения решения в отдельных точках или на поверхностях, лежащих внутри области определения (см. [1]). В данной работе мы рассматриваем задачи с условиями переопределения в виде некоторых интегралов от решения с весом по пространственной области. Отметим, что условия такого вида очень часто используются в литературе и возникают в приложениях. Обратные задачи об определении коэффициентов уравнения или правой части с интегральными условиями переопределения рассматривались в работах [11–17] и монографиях [18], [19], и некоторых других работах. В частности теорема существования и единственности обобщенного решения задачи (1)–(3) (из класса )в случае ,  была получена в работе [8], а в [9] аналогичный результат был получен для системы тепломассопереноса, состоящей из системы Навье-Стокса и параболического уравнения для концентрации переносимого вещества. В работе [10] была доказана регулярная разрешимость ( ) также для случая . Однако условия на данные здесь более сильные, чем наши, в частности, имеются и условия на нормы данных (см. [10, теорема 1]). Наши результаты получены при более слабых условиях на данные условия на данные и немного в других функциональных классах, решение уравнение (1) в нашем случае ищется в классе . Аналогичные результаты получены в работе [25], но в случае . Мы обобщаем результаты этой работы на случай .

Вспомогательные результаты

Пусть – банахово пространство. Через  (  – область в ) обозначается пространство сильно измеримых функций, определенных на  со значениями в  и конечной нормой  [20]. Мы также используем пространства , состоящие из функций, имеющих в  все производные до порядка  включительно, непрерывные в  и допускающие непрерывное продолжение на замыкание . Обозначения для пространств Соболева ,  и т. д. – стандартные (см. [22, 20]). Если  или , то последнее пространство обозначаем просто через . Аналогично вместо  или  используем обозначение  или . Таким образом, включение  (или ) для данной вектор-функции  означает, что каждая из компонент  принадлежит пространству  (или ). В этом случае под нормой вектора понимаем сумму норм координат. Для данного интервала , положим .

Соответственно, . Определения пространств Гельдера ,  могут быть найдены, например, в [21]. Все рассматриваемые пространства и коэффициенты уравнения (1) мы считаем вещественными.

Далее считаем, что  – ограниченная область в  с границей  класса  (см. определение, например, в [21, 17]). Пусть , если  и  скалярные функции и , если  и  вектора длины ,  и .

Мы будем использовать в пространстве    – банахово пространство) норму , .

Если , то мы получим обычное пространство . При  положим . Это банахово пространство с нормой . В нем также можно определить и эквивалентную норму . Эквивалентность вытекает, например, из леммы 1 пункта 3.2.6 [20]. Аналогично определяем пространства , , состоящее из функций  из  и , соответственно, таких, что . Новые нормы ,  определяются естественным образом с использованием вышеприведенной нормы в . Ниже мы приведем лемму, докозательсво которой может быть найдено в [25].

Лемма 1. Пусть  и . Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Пусть . Тогда после может быть изменения на множестве меры ноль . Если  и  продолжение нулем функции  при , то справедлива оценка

                                                          ,                                                    

где постоянная  не зависит от  и .

2. Произведение функций класса    снова принадлежит , а если  и , то  и справедлива оценка

                                           ,                                     

где постоянная не зависит от  и .

3. Если функция строго отделена от нуля на , т. е. , то отношение  функций класса    снова принадлежит  и справедлива оценка

                                                  ,                                            

где постоянная  не зависит от функции , но зависит от  и стремится к  при .

4. Пусть ,  и . Тогда  и  и справедливы оценки

                                                    ,                                              

                                                 ,                                           

где постоянная  не зависит от

Приведем используемые ниже условия на данные задачи. Зафиксируем число .

Условия на коэффициенты:

                                , ,                          

где ,  – положительное число.

                                              , , .                                      

Считаем, что существует постоянная  такая, что

                                  , .                        

Условия на данные задачи:

                                                          ,                                                  (12)

                                                   , ,                                           

                   , , , , .             (14)

Как следствие из теоремы 10.4 гл. 7 в [21] и пункта 4.3 в [26] имеем:

Теорема 1. Пусть  – ограниченная область с границей класса  и выполнены условия . Тогда существует единственное решение  задачи  такое, что . Решение удовлетворят оценке

.

Как следствие теоремы 1 имеем:

Теорема 2. Пусть  – ограниченная область с границей класса , и выполнены условия , где  и . Пусть . Тогда на промежутке  существует единственное решение  задачи  такое, что . Решение удовлетворяет оценке

,

где постоянная  не зависит от  и .

Доказательство. Продолжим  нулем при , и пусть .

Очевидно, что   . Используя теорему 1, построим решение задачи (1)-(2), где ,  и  такое, что . По теореме 1 имеем:

.

Оценим правую часть. Имеем, используя лемму 1, что

.

Мы здесь использовали аддитивность пространств Соболева относительно разбиения области (см. замечание 3 пункта 4.4.1 в [20]) и определение соответствующей нормы.

Основные результаты

В дополнение к приведенным выше условиям на данные мы потребуем, чтобы:

                                                           ,                                                 

где  – матрица с элементами ;

                                               , ;                                         (16)

 функция  принадлежит линейной оболочке вектор-функций

.

Основной результат работы – это следующая теорема (как и ранее ).

Теорема 3. Пусть  – ограниченная область с границей класса  и выполнены условия ,  и условие . Тогда существует единственное решение   задачи  такое, что , . Решение удовлетворят оценке

.

Доказательство. Пусть  есть решение задачи , где . В силу условий  и (A) найдутся постоянные, определяемые единственным образом, такие, что . Положим , и обозначим через  решение задачи (см. теорему 1)

                                                  , , .                                            (17)

Пусть . По условиям . Тогда по лемме 1  и соответственно . Сделаем замену . Тогда функция  есть решение задачи

                                                  , , .                                            (18)

Условие (3) преобразуется к виду

                             , .                      (19)

В силу условия (16),  и по крайней мере . Ниже мы покажем, что . Умножим уравнение в (18) на  и интегрируем по области . Получим . Здесь .

, ,

,

где . Последнее равенство можно записать в виде:

                                                           (20)

или в виде:

                              , , ,                        (21)

где . Функция , участвующая в (21), есть решение прямой задачи (18). Элементы матрицы  обладают тем свойством, что , более того справедлива очевидная оценка:

.

Как было отмечено в доказательстве леммы 1, теоремы вложения гарантируют, что . Следовательно, без ограничения общности можем считать, что . Используя условие (15), можем записать

                                                        ,                                                 (22)

где  и k-я координата  вектора  имеет вид . Это искомое уравнение для нахождения . Рассмотрим промежуток . Оценим . В силу второго и третьего утверждения леммы 1, элементы обратной матрицы  также принадлежат классу . Тогда в силу оценки (7) из леммы 1 получим неравенство

                        .                  (23)

Оценим каждое из слагаемых, входящих в :

.

В силу неравенства Минковского, неравенства Гельдера и леммы 1 имеем, что

                  .           (24)

Отметим, что

                     .              (25)

Здесь под  понимаем , . Воспользовавшись неравенством (вытекающем из равенства , теорема 4.3.1 в [20])

 ,

для первого слагаемого в правой части имеем

.

Из формулы Ньютона-Лейбница имеем . Тогда последнее неравенство записывается в виде

                                                    .                                             (26)

Оценим второе слагаемое в правой части (25). Имеем

                  .           (27)

Далее построим продолжение  функции  из области  на все  с сохранением класса такое, что  – линейный оператор, удовлетворяющий оценкам: ,  для всех  или соответственно , где постоянная  не зависит от . Такой оператор существует, например, это метод Хестенса продолжения функций (см. метод, описанный в лемме 2.9.3 в [20] для полупространства и многократно использованный позднее уже для произвольных областей). Имеем, что  и , где постоянная  не зависит от  и . Отметим, что . Имеем

                   .             (28)

Сделаем замену переменных   , . Тогда последний интеграл примет вид .

                                     .                               (29)

Если , то (см., например, лемму 3.8 в [22], или вложения перед леммой 7.2 и лемму 7.2 в [23], или теорему 18.4 в [24])    справедлива оценка

,

где постоянная  не зависит от . Тогда интеграл в (29) оценивается через

            ,      (30)

где мы используем в  – одну из эквивалентных норм. Возвращаясь к старым переменным  и используя вышеприведенную оценку для оператора , получим

                                                                  ,                                                            (31)

где постоянная  не зависит от . Из (24)–(31) вытекает оценка

                                        ,                                 (32)

где постоянная  не зависит от . Слагаемые вида  в выражении  оцениваются точно так же. Слагаемое  оценивается проще. Имеем в силу леммы 1, что

                                       ,                                 (33)

                      .                (34)

Используя представление  во втором интеграле и равенство  в первом, а также неравенство Гельдера, получим оценку

                                   .                            (35)

Тогда будем иметь, что

                         ,                   (36)

где  – постоянная, не зависящая от . Легко увидеть, что в процессе доказательства оценок (26), (31), мы также получили неравенство

                                                  ,                                            (37)

где постоянная  не зависит от . Действительно, используя определение нормы, мы получим

                       .                 (38)

Необходимая оценка первого слагаемого вытекает из оценок (28), (36). Оценка второго интеграла вытекает из оценок (27)-(31), (35).

Оценим последнее слагаемое . Имеем, что

            .     (39)

Здесь мы воспользовались неравенством Гельдера, вложением  и оценкой (37). Из оценок (23), (32), (36), (39) вытекает, что

                                                     ,                                               (40)

где постоянная  не зависит от . В силу теоремы 2 имеем, что

                                                          .                                                    (41)

В силу леммы 1 имеет место оценка

.

Здесь постоянная  зависит от величин . Тогда из (40), (41) получим оценку

                            ,                      (42)

где постоянная  не зависит от  и . Оценка (42) говорит о том, что при  оператор  сжимающий и, следовательно, уравнение (22) имеет единственное решение из пространства  при условии, конечно, что . По условию . Покажем, что , т. е. . Умножим уравнение в (17) на  и проинтегрируем по области . Получим равенство

              , .        (43)

Повторяя рассуждения, используемые при оценке нормы , но только уже на всем промежутке [0,T], и вместо этой нормы берем стандартную норму в пространстве , можем легко показать, что правая часть в этом равенстве принадлежит пространству  и, таким образом, . Таким образом, уравнение (22) имеет единственное решение на промежутке . Найдем решение  задачи (18). Покажем, что выполнены условия (19). Умножим уравнение в (18) на  и интегрируем по области . Используя (17), (18) и интегрирование по частям, получим

, .

Вектор-функция  удовлетворяет системе (20), складывая -е уравнение с полученным равенством и сокращая, придем к равенству

, ,

интегрируя которое по  и пользуясь начальным условием, получим (19) на .

Покажем далее, что решение продолжимо на весь промежуток [0,T]. Мы определили вектор-функцию  только на . Продолжим найденную вектор-функцию  нулем при  и положим . Координаты вектора  обозначим через . Построенная вектор-функция принадлежит . Сделаем замену . Построенная вектор-функция с координатами  удовлетворяет системе

                            .                     (44)

В силу определения  правая часть в этом равенстве и соответственно вектор  обращаются в ноль на . Пусть  – решение задачи

                                                 , , .                                          (45)

Тогда функция  есть решение задачи

                                                , , .                                          (46)

В силу теоремы 1,  при . Таким образом, задача о продолжении вектор-функции  сводится к построению решения системы

                                      ,                                (47)

где

,

и функция  – решение задачи (46). Решение системы при  обращается в ноль. Мы пришли к той же системе, но нулевые данные Коши у нас уже задаются в точке , и изменилась правая часть системы, точнее вектор . Далее мы повторяем рассуждения и оценки уже на промежутке . Рассуждения те же самые, и более того без ограничения общности можем считать, что и все постоянные, возникающие при оценке нормы оператора , также те же самые. Таким образом, система (47) разрешима на промежутке . Повторяя рассуждения на  и т. д., мы построим решение на всем . Оценка из утверждения теоремы фактически была получена в процессе доказательства.