Inverse problems in the heat and mass transfer theory

Full Text

Введение

Данная работа является обзорной. Мы опишем последние результаты, полученные в теории обратных задач для математических моделей тепломассопереноса и конвекции-диффузии (преимущественно установленных в работах автора), а также и для других моделей, описываемых в основном параболическими системами.

Одной из наиболее известных моделей является система (модель Обербека-Буссинеска, см. [1]–[4]):

                                                                                              $u_t-\nu \Delta u+(u,\nabla )u+\nabla p=\overrightarrow{f}+{\beta }_{C}C+{\beta }_{\Theta }\Theta ,divu=0,$ (1)

${\Theta }_t-{\lambda }_{\theta }\Delta \Theta +u\nabla \Theta =f_{\Theta },$ (2)

$C_t+u\nabla C-{\omega }_0{C}_{x_n}+kC-{\lambda }_C\Delta C=f_C,$ (3)

где первое уравнение – уравнение для вектора скорости $u$ и давления $p$, второе – для температуры , третье – для концентрации переносимого вещества . Здесь  – коэффициент диффузии,  – объемная плотность источников (стоков),  – величина вертикальной скорости осаждения примеси,  – коэффициент распада вещества за счет химических реакций. Считаем, что ,  – область в  с границей , , .

В более сложных системах параболическое уравнение для концентраций заменяется на параболическую систему уравнений (см. [5]):

$C_t+(u,\nabla )C-\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{C}_{x_i{x}_j}+\sum _{i=1}^n{a}_i{C}_{x_i}+a_{0}C=f_c,$ (4)

В таких системах , ,  – матрицы размерности , где  – это количество примесей,  – матрица размерности ,  – вектор-функция длины ,  – скалярная функция. Система (1), (2), (4) (и соответственно система (1)–(3)) дополняется граничными и начальными условиями:

$u{|}_{t=0}=u_0,u{|}_S=g_1(t,x),\Gamma =\partial G,S=\Gamma \times (0,T),$ (5)

$T{|}_{t=0}=T_0,T{|}_S=g_2(t,x),$ (6)

$C{|}_{t=0}=C_0,BC=C{|}_S=g_3(t,x).$(7)

Последнее условие также может быть заменено на условие

$C{|}_{t=0}=C_0,BC=\sum _{i=1}^n{\gamma }_i(x,t)C_{x_i}+\sigma (t,x)u{|}_S=g_3(t,x).$(8)

где  – матрицы размера . Система (1)–(3) (или (1), (2), (4)) может быть упрощена, если, например, считать, что вектор скорости течения задан (таким образом, мы убираем систему Навье-Стокса из рассмотрения), или рассматривать не многомерный случай, а двумерный или одномерный. В этом случае искомая модель сводится к параболической системе:

$C_t-\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{C}_{x_i{x}_j}+\sum _{i=1}^n{a}_i{C}_{x_i}+a_{0}C=f_c(x,t).$ (9)

С другой стороны, система может и усложняться, добавляются уравнения, описывающие гидрохимические и гидробиологические процессы в жидкости, например, рост и размножение водорослей, процессы таяния ледяного покрова и т. п. Классической является обратная задача определения вместе с решением системы (1)–(3) (или систем (1), (2), (4) и (9)) еще и функции источников  специального вида, характеризующей расположение источников (стоков) и их интенсивность. Кроме правой части (функции источников) определению часто подлежат и коэффициенты уравнения, являющиеся параметрами среды. В случае обратных задач соответствующие уравнения и системы дополняются, кроме граничных и начальных данных, еще и дополнительными данными – условиями переопределения. Мы будем дополнительно задавать значения решения на некоторых пространственных многообразиях или интегралы от решения с весами. Вместо системы (9) можно также рассмотреть и более общие системы вида

                                                                                                                                    $C_t+A(t,x,D)C=f_c,(t,x)\in Q,$(10)

где  – матричный эллиптический оператор порядка  c матричными коэффициентами размерности , представимый в виде

Уравнение (10) дополняется начальными и граничными условиями:

$C{|}_{t=0}=u_0,B_{j}C{|}_S=\sum _{\left|\beta \right|\le m_j}{b}_{j\beta }(t,x)D^{\beta }C{|}_S=g_j(t,x),$ (11)

где ,  и . Неизвестными в (10), (11) являются решение , функции  ( ), входящие как в правую часть (10), так и в оператор  как коэффициенты, где , ,  (таким образом, мы считаем, что неизвестные функции  зависят только от части переменных). Интегральные условия переопределения, которые мы будем рассматривать, имеют вид:

${\int }_{G_j}{\varphi }_j\left(x\right)C(x,t)dx={\psi }_j\left(t\right),j=1,2,\dots ,s,$(12)

где  – некоторые гладкие функции, условия на которые мы уточним ниже и  некоторые области. Условия переопределения с данными на пространственных многообразиях имеют вид:

$C{|}_{S_i}={\psi }_i(x^{\text{'}},t)(S_i=(0,T)\times {\Gamma }_i,i=1,2,\dots ,s),$ (13)

где  – набор гладких -мерных поверхностей, лежащих в  (например, это сечения области плоскостями, в том числе в общую схему вкладывается и случай, когда вместо поверхностей берутся точки, лежащие в ). Мы ищем правую часть в виде , где неизвестными являются функции , не зависящие от части переменных. При , т. е. , неизвестные функции  зависят только от . Точечные условия переопределения имеют вид:

$C{|}_{x=x_i}={\psi }_i\left(t\right),i=1,2,\dots ,s.$(14)

Некоторые обозначения и определения

Пусть $E$ – банахово пространство. Обозначим через  $L_p(G;E)$ ( $G$ область $R^n$) пространство сильно измеримых функций, определенных  на $G$ со значениями $E$ в  и конечной нормой $\left|{|}_{}\right|\left|u\right(x\left)\right|{|}_E|{|}_{L_p\left(G\right)}$ (см., например, [6]). Также используются пространства $C^k(\overline{G};E)$, состоящие из функций, обладающих всеми производными до $k$ включительно, непрерывных и ограниченных в $G$, имеющих непрерывное продолжение на $\overline{G}$. Пространства Соболева $W_p^k(G;E)$, $W_p^k(Q;E)$ определены стандартным образом (см. [6–9]). Если $E=C$ или $E=C^n$, то используется обозначение $W_p^k\left(G\right)$, или $C^k\left(\overline{G}\right)$. Принадлежность $u\in W_p^k\left(G\right)$ (или $u\in C^k\left(\overline{G}\right)$) для заданной вектор-функции $u=(u_1,u_2,\dots ,u_k)$ означает, что каждая компонента $u_i$ принадлежит $W_p^k\left(G\right)$ (или $C^k\left(\overline{G}\right)$). Норма в соответствующем пространстве – сумма норм координат, если не указано противное. Аналогичное соглашение примем для матриц, что принадлежность $a\in W_p^k\left(G\right)$ ($a={\left\{a_{ij}\right\}}_{j,i=1}^k$) означает, что $a_{ij}\left(x\right)\in W_p^k\left(G\right)$ для всех $i,j$. Для заданного интервала $J=(0,T),$ положим $W_p^{k,r}\left(Q\right)=W_p^r(J;L_p(G\left)\right)\cap L_p(J;W_p^k(G\left)\right)$, и $W_p^{k,r}\left(S\right)=W_p^r(J;L_p(\Gamma \left)\right)\cap L_p(J;W_p^k(\Gamma \left)\right).$ Обозначим через $L_{p,\sigma }\left(G\right)$ замыкание соленоидальных $C_0^{\infty }-$ вектор-функций по норме $L_p\left(G\right)$ и положим $W_{p,\sigma }^k\left(G\right)=W_p^k\left(G\right)\cap L_{p,\sigma }\left(G\right)$, и $W_{p,\sigma }^{k,k/2}\left(Q\right)=W_p^{k,k/2}\left(Q\right)\cap L_p(0,T;L_{p,\sigma }(G\left)\right)$ ($k\ge 0$). Символ $\stackrel{\circ }{W}{}_q^k\left(G\right)$ обозначает замыкание $C_0^{\infty }\left(G\right)$ по норме пространства $W_q^k\left(G\right)$ и ${\dot{W}}_q^1\left(G\right)=\{p\in L_{q,loc}(G):\nabla p\in L_q(G\left)\right\}$. Мы отождествляем функции, отличающиеся на константу и вводим в этом пространстве норму $\left|\right|p|{\left|}_{{\dot{W}}_q^1}=||\nabla p|{|}_{L_q\left(G\right)}$. Обозначение ${\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}f(x,t)$ используется для записи вектор-функции $({\partial }_{x_{k+1}}f,{\partial }_{x_{k+2}}f,\dots ,{\partial }_{x_n}f)$, где символ ${\partial }_{x_k}$ обозначает частную производную $\frac{\partial }{\partial x_k}$. Рассмотрим систему (10), т. е.

$C_t+A(x,t,D)C=f,AC=\sum _{\left|\alpha \right|\le 2m}{a}_{\alpha }(t,x)D^{\alpha }C,$(15)

где $(x,t)\in Q=G\times (0,T)$, $G$ – область в $R^n$ с границей $\Gamma$ класса $C^{2m}$ (определение областей с границами класса $C^{\beta }$ может быть найдено, например в [17]). К уравнению (1) добавим начальные и краевые условия:

$C{|}_{t=0}={С}_0\left(x\right),B_{j}C{|}_S=g_j(t,x),B_{j}C=\sum _{\left|\alpha \right|\le m_j}{b}_{j\alpha }(x,t)D^{\alpha }u(m_j<2m).$ (16)

Положим, $A_0={\sum }_{\left|\alpha \right|=2m}{a}_{\alpha }(x,t)D^{\alpha }$, $B_{j0}={\sum }_{\left|\beta \right|=m_j}{b}_{j\beta }{D}^{\beta }$  Говорим, что оператор ${\partial }_t+A$ параболичен, если найдется постоянная ${\delta }_1>0$ такая, что любой корень $p$ многочлена

$\text{det\hspace{0.17em}}\left(A_0\right(x,t,i\xi )+pE)=0$. (17)

( $E$ – единичная матрица) удовлетворяет неравенству

$\text{Re\hspace{0.17em}}p\le -{\delta }_1|\xi {|}^{2m},\forall \xi \in R^n,\forall (x,t)\in Q.$ (18)

Говорим, что выполнено условие Лопатинского для задачи (15), (16), если: для любой точки $(t_0,x_0)\in S$ система

$\begin{array}{c}(\lambda E+A_0(x_0,t_0,i{\xi }^{\text{'}},{\partial }_{y_n}\left)\right)v\left(z\right)=0B_{j0}(x_0,t_0,i{\xi }^{\text{'}},{\partial }_{y_n})v\left(0\right)=h_j,\end{array}$ (19)

( ${\xi }^{\text{'}}=({\xi }_1,\dots ,{\xi }_{n-1})$, $y_n\in R^{+}$, $j=1,2,\dots ,m$) имеет единственное решение из $C(\overline{R^{+}};E)$ ограниченное на бесконечности для всех ${\xi }^{\text{'}}\in R^{n-1}$, $\left|arg\lambda \right|\le \pi /2$ и $h_j\in C^h$ таких что $\left|{\xi }^{\text{'}}\right|+\left|\lambda \right|\ne 0$, где операторы $A_0(x_0,t_0,D),B_{j0}(x_0,t_0,D)$ записаны в локальной системе координат $y$ (ось $y_n$ направлена по нормали к $S$ в точке $(x_0,t_0)$, а оси $y_1,\dots ,y_{n-1}$ расположены в касательной плоскости в этой точке).

Алгебраические условия, гарантирующие выполнение (19), могут быть найдены, например, в [17].

Постановка задачи и основные результаты для системы (1), (2), (4)

Мы рассматриваем систему (1), (2), (4), где правая часть (4) имеет вид $f_c=f_0(x,t)+\sum _{i=1}^r{f}_i(x,t)q_i(x^{\text{'}},t)$. Пусть $G_1$ и $G_0$ или непустые непересекающиеся области такие, что $\overline{G_0}\cup \overline{G_1}=\overline{G}$, или $G_1=\varnothing$. Положим, $Q^{\text{'}}=G_1\times (0,T)$, $Q^{\text{'}\text{'}}=G_0\times (0,T)$, в случае $G_1=\varnothing$ полагаем $Q^{\text{'}\text{'}}=Q$. Считаем, что функции $f_i$, $(i=0,1,\dots ,r)$ известны, и при $i\ge 1$ функции $f_i$ обращаются в ноль на множестве $Q^{\text{'}}$. При $k=0$ поверхности ${\Gamma }_i$ есть просто точки, лежащие в $G_0$, берем $G_0=G$ или $G_0$ есть некоторая окрестность объединения этих точек. В этом параграфе мы предполагаем, что все функциональные пространства и коэффициенты рассматриваемой системы вещественны.

Требуется определить неизвестные функции $q_i$ ($i=1,2,\dots ,r$) и решение u, $\Theta$, $C$ системы (1), (2), (4), удовлетворяющее начально-краевым условиям (5)–(7) и данным переопределения (13).

Ранее обратные задачи различных типов для системы Навье-Стокса исследовались в ряде работ Прилепко А. И. и других авторов. Результаты и библиография могут быть найдены в монографии [10] (см. также [11]). Обратные задачи для системы Обербека-Буссинеска и более общих систем в нестационарном случае не исследовались. В стационарном случае было исследовано большое количество задач управления (см., например, [12] и [13]). Приведенные ниже результаты опубликованы в работах [14]–[16].

Считаем, что граница $\Gamma$ области $G$ принадлежит классу $C^2$. Запишем условия на область $G_0$ и поверхности ${\Gamma }_i$.

(A). а) случай $k>0$. Имеется область $\Omega \subset R^k$ с границей класса $C^2$, такая, что $G_0\subset \Omega \times R^{n-k},$ ${\Gamma }_i=\{x\in R^n:x^{\text{'}\text{'}}={\varphi }^i(x^{\text{'}})=({\varphi }_{k+1}^i\left(x^{\text{'}}\right),{\varphi }_{k+2}^i\left(x^{\text{'}}\right),\dots ,{\varphi }_n^i\left(x^{\text{'}}\right)),x^{\text{'}}\in \Omega \},$ ${\varphi }^i\left(x^{\text{'}}\right)\in C^2\left(\overline{\Omega }\right)$

 и существует константа $\delta >0$ такая, что $U_{\delta i}=\left\{\right(x^{\text{'}},{\varphi }^i\left(x^{\text{'}}\right)+\eta ):x^{\text{'}}\in \Omega ,\eta \in R^{n-k},|\eta |<\delta \}\subset G_0,$для $i=1,2,\dots ,s,$ и $U_{\delta i}\cap U_{\delta j}=\varnothing ,$ для $i\ne j$, $i,j=1,2,\dots ,s$;

б) случай $k=0$. В этом случае в качестве множеств ${\left\{{\Gamma }_i\right\}}_{i=1}^s$ берем внутренние точки ${\left\{x_i\right\}}_{i=1}^s$ области $G_0$. Положим, $U_{\delta i}=B_{\delta }\left(x_i\right)$ и выберем число $\delta >0$ такое, что $\overline{U_{\delta i}}\subset G_0$ и $U_{\delta i}\cap U_{\delta j}=\varnothing$ для $i\ne j$, $i,j=1,2,\dots ,s$.

Условие (A) используется во всех статьях, посвященных данным задачам. Как легко увидеть, оно гарантирует единственность решений. Условие (A) выполнено, если $G_0=G=\Omega \times R^{n-s}$, где $\Omega$ – ограниченная или неограниченная область класса $C^2$.

В дальнейшем мы используем следующие обозначения: $Q^{\tau }=(0,\tau )\times G$, $Q_0=(0,T)\times \Omega$, $Q_0^{\tau }=(0,\tau )\times \Omega$, $G_{\delta }={\cup }_i{U}_{\delta i}$,  и $Q_{\delta }=(0,T)\times G_{\delta }$, и считаем в этом параграфе, что $\rho (U_{\delta i},G\setminus G_0)>0$ при i=1,2,…,s.

Приведем условия на данные задачи. Всюду ниже считаем, что $q>n+2$.

Условия согласования и гладкости могут быть записаны в следующей форме: существуют вектор-функции ${\Phi }_1$, ${\Phi }_3$ и функция ${\Phi }_2$ такие, что

$\begin{array}{c}{\Phi }_i(t,x)\in W_q^{2,1}\left(Q\right):{\Phi }_1{|}_{t=0}=u_0,{\Phi }_2{|}_{t=0}={\Theta }_0,{\Phi }_3{|}_{t=0}=C_0,{\Phi }_i{|}_S=g_i,\end{array}$(20)

$\text{div\hspace{0.17em}}{\Phi }_1=0,{\Phi }_3{|}_{S_j}={\psi }_j,f_0,f_{\theta },f\in L_q\left(Q\right),f_j\in L_{\infty }\left(Q\right),$(21)

${\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{\Phi }_3\in W_q^{2,1}\left(Q_{\delta }\right),{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{f}_0\in L_q\left(Q_{\delta }\right),{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{f}_j\in L_{\infty }\left(Q_{\delta }\right),$ (22)

где $j=1,2,\dots ,r$, $i=1,2,3$ и $\delta$ – постоянная из условия (А).

Определим матрицу $B$ следующим образом: строки с номерами от $(i-1)h+1$ до $ih$ $(i=1,2,\dots ,s)$ занимают векторы-столбцы $\left[f_1(x^{\text{'}},{\varphi }^i(x^{\text{'}}),t),f_2(x^{\text{'}},{\varphi }^i(x^{\text{'}}),t),\dots ,f_r(x^{\text{'}},{\varphi }^i(x^{\text{'}}),t)\right].$ 

Полагаем, что существуют постоянные ${\delta }_0,{\delta }_1>0$ такие, что $\left|detB\right|\ge {\delta }_0>0\text{ \hspace{0.22em}п}.\text{в}.\text{ в }Q.$ (23)

Также будем считать, что существует константа $>0$ такая, что

$\sum _{i,j=1}^n\left(a_{ij}\right(x,t){\xi }^i,{\xi }^j)\ge {\delta }_1\sum _{i=1}^h\left|\right|{\xi }^i|{|}^2,\forall {\xi }^i\in R^h,(x,t)\in Q,i=1,2,\dots ,n;$ (24)

(B) ${\lambda }_{\theta }(x,t)\ge {\delta }_1>0$ $\forall (x,t)\in Q$, ${\lambda }_{\theta },a_{ij}\in C\left(\overline{Q}\right)$ и ${\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{a}_{ij}\in L_{\infty }\left(Q_{\delta }\right)$ для всех $i,j=1,2,\dots ,n$; ${\beta }_c$, $a_i$, $a_0$, ${\beta }_{\theta }\in L_q\left(Q\right)$, ${\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{a}_i$, ${\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{a}_0\in L_q\left(Q_{\delta }\right)$ $(i=1,2,\dots ,n)$.

Теорема 1. Пусть $\Gamma \in C^2$ , $q>n+2$ , $r=sh$, условия (A), (B), (20)–(24) выполнены. Фиксируем $R_0>0$. Тогда существует число ${\tau }_0={\tau }_0\left(R_0\right)\in (0,T]$  такое, что для всех данных $({\Phi }_1,{\Phi }_2,{\Phi }_3,f,f_{\theta },f_0)$ , удовлетворяющих условию

$\sum _{j=1}^3\left(\right|\left|{\Phi }_j\right|{|}_{W_q^{2,1}\left(Q\right)}+\left|\right|{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{\Phi }_3|{|}_{W_q^{2,1}\left(Q_{\delta }\right)}+|\left|f\right|{|}_{L_q\left(Q\right)}+\left|\right|f_{\theta }|{|}_{L_q\left(Q\right)}+|\left|f_0\right|{|}_{L_q\left(Q\right)}+\left|\right|{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{f}_0\left|{|}_{L_q\left(Q_{\delta }\right)}\right)\le R_0,$(25)

существует единственное решение $(u,p,\Theta ,C,q_1,\dots ,q_r)$ задачи (1), (2), (4), (5)-(7), (13) из класса $u\in W_q^{2,1}\left(Q^{{\tau }_0}\right),p\in L_q(0,{\tau }_0;{\dot{W}}_q^1(G\left)\right),q_j\in L_q\left(Q_0^{{\tau }_0}\right)(j=1,2,\dots ,r),$ $\Theta ,C\in W_q^{2,1}\left(Q^{{\tau }_0}\right),{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}C\in W_q^{2,1}\left(Q_{{\delta }_2}^{{\tau }_0}\right)\forall {\delta }_2<\delta .$

И при ${\delta }_1<\delta$  найдется постоянная $c=c(R_0,{\delta }_1)$ такая, что для любых двух решений $u^i,{\Theta }^i,C^i,q^i$,  $q^i=(q_{i1},q_{i2},\dots ,q_{ir})$ $(i=1,2)$ из этого класса, отвечающих данным   $({\Phi }_1^i,{\Phi }_2^i,{\Phi }_3^i,f^i,f_{\theta }^i,f_0^i)$ $(i=1,2)$, справедлива оценка устойчивости

                 $\begin{array}{c}\left|\right|u^1-u^2|{|}_{W_q^{2,1}\left(Q^{{\tau }_0}\right)}+||{\Theta }^1-{\Theta }^2|{|}_{W_q^{2,1}\left(Q^{{\tau }_0}\right)}+\left|\right|C^1-C^2|{|}_{W_q^{2,1}\left(Q^{{\tau }_0}\right)}+\\ \left|\right|{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}(C^1-C^2)|{|}_{W_q^{2,1}\left(Q_{{\delta }_1}^{{\tau }_0}\right)}+\sum _{j=1}^r||q_{1j}-q_{2j}|{|}_{L_q\left(Q_0^{{\tau }_0}\right)}\le \\ c\left(\sum _{j=1}^3\right(\left|\right|{\Phi }_j^1-{\Phi }_j^2|{|}_{W_q^{2,1}\left(Q^{{\tau }_0}\right)}+||{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{\Phi }_3^1-{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{\Phi }_3^2|{|}_{W_q^{2,1}\left(Q_{\delta }^{{\tau }_0}\right)}+\left|\right|f^1-f^2|{|}_{L_q\left(Q^{{\tau }_0}\right)}+\\ \left|\right|f_{\theta }^1-f_{\theta }^2|{|}_{L_q\left(Q^{{\tau }_0}\right)}+||f_0^1-f_0^2|{|}_{L_q\left(Q^{{\tau }_0}\right)}+\left|\right|{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{f}_0^1-{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{f}_0^2\left|{|}_{L_q\left(Q_{\delta }^{{\tau }_0}\right)}\right).\end{array}$   

Линеаризация системы (1), (2), (4) приводит к системе

$u_t-\nu \Delta u+\nabla p=\sum _{j=1}^n{B}_j{u}_{x_j}+B_{0}u+f+{\beta }_{C}C+{\beta }_{\theta }\Theta ,\text{\hspace{0.22em}\hspace{0.22em}div\hspace{0.17em}}u=0,$ (26)

${\Theta }_t-{\lambda }_{\theta }\Delta \Theta +\sum _{j=1}^n{b}_j{\Theta }_{x_j}+b_0\Theta =f_{\theta }+\sum _{j=1}^n{b}^j{u}_j,$ (27)

 $C_t-\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{C}_{x_i{x}_j}+\sum _{j=1}^n{a}_j{C}_{x_j}+a_{0}C=f_c+\sum _{j=1}^n{a}^j{u}_j,$ (28)

где считаем, что

${\beta }_C,{\beta }_{\theta },B_0,b^j,b_0,a_0,a^j,B_j,b_j,a_j\in L_q\left(Q\right),$ (29)

${\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{a}_0,{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{a}^j,{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{a}_j\in L_q\left(Q_{\delta }\right),j=1,2,\dots ,n.$ (30)

${\lambda }_{\theta }(x,t)\ge \delta >0\forall (x,t)\in Q,{\lambda }_{\theta },c_{ij}\in C\left(\overline{Q}\right),{\nabla }_{x^{\text{'}\text{'}}}{c}_{ij}\in L_{\infty }\left(Q_{\delta }\right)$ (31)

для всех $i,j=1,2,\dots ,n$. В этом случае справедлив следующий результат.

Теорема 2. Пусть , ,  и условия (A), (20)–(24), (29)–(31) выполнены. Тогда существует единственное решение  задачи (26)–(28), (5)–(7), (13) из класса             Зафиксируем . Решение удовлетворяет оценке:

                                                                (32)

где постоянная  не зависит от   , ,  и .

Постановка задачи и основные результаты для системы (10)

В этом параграфе мы рассматриваем как линейные обратные задачи об определении правой

части (функции источника), так и нелинейные коэффициентные задачи. В качестве начально-краевых условий выбираем условия (11), а в качестве условий переопределения условия (13) (включая и точечные условия). Считаем, как и ранее, что правая часть (функция источников) имеет вид

                                                                                                                                    (33)

Отметим, что задачи оптимального контроля для квазилинейных параболических систем второго порядка рассматривались в ряде работ (см., например, [18]). В проблеме определения функции источников мы имеем дело с двумя типичными ситуациями: случай пространственно распределенных источников и точечные источники. В случае пространственно распределенных источников мы можем считать, что функции  в правой части (10) есть достаточно гладкие функции. В последнем случае функция источников есть некоторое распределение, как правило вида , где  – дельта-функции Дирака. В этом случае очень часто рассматривается задача с точечными условиями переопределения, которая в этом случае является некорректной в классах конечной гладкости. Имеется большое количество работ, посвященных задачам определения точечных источников и некоторым другим близким задачам как в одномерном (см. [19]–[21]), так и в многомерном случае (см. [27]–[36]). В случае нескольких загрязняющих компонент подобные задачи возникают и для систем (см., например, [19], [21], [27]). Нередко определению подлежат только функции , а расположение источников считается известным. Часто также мощности источников  считаются постоянными или известными функциями, умноженными на неизвестные постоянные, и это упрощает задачу (см. [27]–[30]). Иногда сумма в правой части (33) заменяется суммой  т. е. источники действуют мгновенно (см. [27, 29, 30]). Большинство приведенных работ посвящены численным методам решения этих задач, основным из которых является метод наименьших квадратов, т. е. задача сводится к минимизации некоторого квадратичного функционала, а также некоторым вопросам типа единственности решений задачи или оценок устойчивости, Численные методы этих и других задач с точечным переопределением в случае  изложены в книге [37] (см. также [38, 39]). Можно также сослаться на книгу [40], также посвященную одномерному случаю, где получен ряд теорем существования, в частности для задач с точечным переопределением. В многомерном случае задачи с условием переопределения вида  для параболических уравнений, по-видимому, впервые начали рассматриваться в работах Ю. Е. Аниконова и Белова Ю. Я., где в качестве поверхностей  в условиях переопределения брались сечения области плоскостями коразмерности 1, скажем . Можно сослаться на книгу [41], где имеется ряд результатов и подробная библиография. Можно также отметить ряд последних работ [41]–[46], где также имеются условия переопределения такого вида. Так называемым распределенным источникам посвящены, например, работы [47]–[49], и также работы [50]–[57]. Также сошлемся на результаты, изложенные в монографии [10], которые посвящены абстрактной теории обратных задач для дифференциально-операторных уравнений первого порядка и приложениям этих результатов. В качестве условий переопределения рассматриваются условия в виде заданного функционала от решения. В частности, эти результаты позволяют исследовать ряд задач с точечными условиями переопределения (правда не для самых общих классов уравнений и при достаточно жестких условиях на данные).

Перейдем к рассмотрению обратных задач для параболических систем. Вначале мы приведем некоторые результаты для коэффициентных обратных задач, где вместе с решением определяем правую часть и коэффициенты уравнения. Считаем, что оператор  в (10) – матричный эллиптический оператор порядка  c матричными коэффициентами размерности , представимый в виде

где естественным образом считаем, что . Далее в этом параграфе предполагаем, что выполнены условия (A), в котором область  заменена на всю область . Кроме того, считаем, что коэффициенты оператора  и функциональные пространства могут быть комплексными.

Условия согласования и гладкости данных могут быть записаны в виде:

                                                                          (34)

                                                            (35)

                                                                                                              (36)

где  и . Условия на коэффициенты операторов  более или менее стандартные. Более того, для простоты выкладок мы будем использовать не самые точные условия на коэффициенты. Мы считаем, что

                                                      (37)

                                                                          (38)

                                                                      (39)

Мы будем искать функции  в классе непрерывных функций. Поэтому потребуем, чтобы

                                                                                                                    (40)

при всех ,  и .

Рассмотрим матрицу  размера , строчки которой с номерами от  до  занимают вектора-столбцы

Можно показать, используя условия (34)–(40) и теоремы вложения, что элементы этой матрицы непрерывны на . Потребуем, чтобы существовала постоянная  такая, что

                                                                                                                            (41)

Рассмотрим систему уравнений

                                                                                                                              (42)

где  – вектор-столбец, координаты которого с номерами от  до  есть вектор . При выполнении условия (41) система (42) имеет единственное решение . Приведенные выше условия на данные задачи гарантируют, что . Введем оператор:

и рассмотрим вспомогательное уравнение:

                                                                                                                                                                          (43)

Фиксируем  и перейдем в области   , к переменным . При этой замене операторы  перейдут в некоторые операторы . Обозначим через  части операторов , не содержащие производных по переменным , а через  – остатки. Аналогичный смысл имеют обозначения , . Опишем связь между производными в новых и старых переменных. Имеем, что:

Таким образом, будем иметь, что , . Ниже мы для простоты считаем, что область  ограничена. Однако утверждения теорем, приведенных ниже, остаются справедливыми и в случае, если область  не ограничена и соответствующая теорема о разрешимости прямой задачи имеет место. Необходимые дополнительные условия на коэффициенты операторов в случае неограниченных областей могут быть легко найдены в литературе (см., например, библиографию и результаты в [59, 58, 7, 8, 17]).

Теорема 3. Пусть условие (A), где область  заменена на область  и условия (34)–(41) выполнены, ,  для всех , оператор  параболичен и выполнено условие Лопатинского для задачи (43), (11). Фиксируем положительную постоянную , постоянную  из условия (16) (записанного для оператора  и постоянную  из условия (41). Рассмотрим класс данных , удовлетворяющих (34)–(36) и таких, что для соответствующих функций  из (34) выполнено:

                                                                                (44)

для оператора  выполнено условие параболичности с постоянной  в (16) и условие (41) c постоянной . Фиксируем также постоянные . Тогда найдется число  такое, что для всех данных из класса  справедливы следующие утверждения.

1. Если для всех , , то существует единственное решение задачи (10), (11), (13), отвечающее этим данным, из класса

В частности  для всех  и , если система  – система Дирихле, т. е. система граничных условий имеет вид          

где производные берутся по направлению внешней единичной нормали  к .

2. Если два решения задачи (10), (11), (13), отвечающих двум различным наборам данных задачи , , ,   , , , из класса , то справедлива оценка устойчивости

где  – соответствующие функции из условий (34) и  – постоянная, зависящая от величин .

Перейдем к рассмотрению линейного случая. Таким образом, считаем, что все коэффициенты оператора  – известные функции, т. е. , , и все неизвестные функции  входят в правую часть уравнения (10). В этом случае в матрице  размера  строчки с номерами от  до  занимают вектора-столбцы:

Рассмотрим вспомогательные задачи:

                                                                                                                          (45)

                                                                     (46)

                                                                                                                           (47)

Условия (37)–(40) переходят в условия:

                                                                                              (48)

                                                                          (49)

                                                                        (50)

                                                                            (51)

Пусть  – класс вектор-функций , координаты которых удовлетворяют (45), (46), и существует функция , удовлетворяющая (34), (35), где   , и такая, что

                                                                                          (52)

. Говорим, что равенства (13) выполняются в обобщенном смысле, если найдется вектор-функция  такая, что

                                                                                                (53)

Выполнение равенства (13) в обобщенном смысле означает, что равенство выполнено в фактор-пространстве , где в данном случае  – пространство вектор-функций , причем каждая из компонент  – вектор длины .

Теорема 4. Пусть условия (A), (34)–(36), (41), (48)–(51) выполнены,  для всех . Фиксируем . Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Найдется постоянная такая, что решение задачи (10), (11), (13) из класса

удовлетворяет оценке:

2. Существует единственное решение задачи (10), (11), (13), где равенство (13) понимается в обобщенном смысле, из класса:

3. Решение задачи (10), (11), (13), где , , из класса  не существует, если .
4. Если для всех , , то и существует единственное решение  задачи (10), (11), (13), где равенство (13) понимается в обычном смысле, из класса            

Обозначим через  функцию, равную  в  и равную нулю в . Введем дополнительные условия:

                                                                                                                              (54)

                           ,                   (55)

где  и . Теорема 4 допускает уточнение в следующем смысле.

Теорема 5. Пусть условия (A), (34), (36), (41), (54), (55) выполнены,  для всех . Фиксируем . Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Найдется постоянная такая, что решение задачи (10), (11), (13) из класса

удовлетворяет оценке

2. Существует единственное решение задачи (10), (11), (13), где равенство (13) понимается в обобщенном смысле, из класса:

3. Решение задачи (10), (11), (13), где , , из класса  не существует, если .
4. Если для всех , , то и существует единственное решение  задачи (10), (11), (13), где равенство (13) понимается в обычном смысле, из класса              

Постановка задачи и основные результаты для системы (10)в случае интегральных условий переопределения

Мы рассматриваем задачу (10)–(12), где, как и в предыдущем параграфе, оператор  имеет вид

соответственно, . Обратные задачи с интегральными условиями переопределения рассматривались во многих работах, однако большая часть из них посвящена уравнениям второго порядка, не всегда самого общего вида и случаю  для всех  (см. [60–70]). Мы рассматриваем самый общий случай. Приведенные ниже результаты опубликованы в работах [71]–[73].

Условия согласования и гладкости. Фиксируем  и предположим, что

                                                                                                                                (56)

                                                                            (57)

                                                                                                                  (58)

                                                                                          (59)

Условия на коэффициенты операторов  более или менее стандартные. Более того, для простоты выкладок мы будем использовать не самые точные условия на коэффициенты. Мы считаем, что:

           (60)

Кроме того, будем считать, что:

                                                                                                                          (61)

                                                                                              (62)

Пусть , . Потребуем также, что

                                                                                                                      (63)

                                                                                                                        (64)

                                                                        (65)

Определим матрицу  размера , строки которой с номерами от  до ,  занимают матрицы размера  со столбцами:

Мы требуем, чтобы выполнялось неравенство:

                                                                                                                                                                      (66)

Определим постоянные , исходя из решений системы:

                                (67)

Положим, .

Теорема 6. Пусть условия (56)–(66) выполнены, ,  для всех , оператор  параболичен и выполнено условие Лопатинского для задачи (43), (11). Фиксируем положительную постоянную , постоянную  из условия (16) (записанного для оператора  и постоянную  из условия (66). Рассмотрим класс данных , удовлетворяющих (56)–(59) и таких, что

                 (68)

Пусть для оператора  выполнено условие параболичности с постоянной  в (16) и условие (66) c постоянной . Тогда найдется число  такое, что для всех данных из  справедливы следующие утверждения:

1) на промежутке  существует единственное решение  задачи (10)–(12) такое, что

2) решение непрерывно зависит от данных задачи, т. е. для любых двух решений    задачи (10)–(12) из класса

отвечающих двум различным наборам данных , , ,   , ,  из класса  справедлива оценка:

где  – постоянная, зависящая от величин .

Перейдем к линейному случаю, т. е. к задаче определения функции источника. Считаем, что все коэффициенты оператора  – известные функции, т. е. ,  и все неизвестные функции  входят в правую часть уравнения (10). В этом случае в матрице  размера , строчки с номерами от  до  занимают вектора-столбцы  Пусть

              (69)

                                                                                          (70)

Теорема 7. Пусть выполнены условия (56)–(58), (61)–(62), (66), (69), (70). Тогда существует единственное решение  задачи (10)–(12) такое, что

Решение удовлетворяет оценке:

About the authors

Sergey G. Pyatkov

Author for correspondence.
Email: s_pyatkov@ugrasu.ru

Doctor of Physical and Mathematical Sciences (D. Sc.), professor, Head of the Department of Mathematics, Institute (REC) of technical systems and information technologies 

References

Supplementary files