Анализ движения тел вращения, связанных с жестким основанием

Full Text

Обоснование. Многим процессам, происходящим как в строительстве так и в промышленном производстве, можно сопоставить физическую модель — движение тел вращения по вязкоупругим средам, подчиняющимся модели Кельвина, как наиболее полно учитывающей механические свойства неметаллических материалов. По гипотезе Кельвина – Фойхта [1], несовершенной упругости материала приписывается вязкая природа. Применение этой гипотезы корректно при рассмотрении как стационарных, так и нестационарных колебаний.

Целью данной работы является теоретическое и экспериментальное исследование в области задач, посвященных исследованию динамике тел вращения на вязкоупругом основании.

Методы. В данной работе найдена связь реологической силы реакции в структуре уравнения Лагранжа — получено модифицированное уравнение Лагранжа. Рассмотрено движение механической системы с голономными, идеальными, удерживающими связями. За основу взято уравнение Даламбера – Лагранжа:

$\sum _{\nu =1}^{3N}\left(X_{\nu }-m_{\nu }{\ddot{x}}_{\nu }\right)\delta x_{\nu }=\mathrm{0,}$ (1)

Выражение для силы X_v, наделенной вязкоупругими свойствами, присущими для модели тела Кельвина, соответствует:

$X_{\nu }=F_{\nu }-\overline{c}{x}_{\nu }-\sum _{k=1}^K{P}_k\left(y_k\right)e_{\nu k},{\dot{X}}_{\nu }={\dot{F}}_{\nu }-c{\dot{x}}_{\nu }-\sum _{k=1}^K\left({\dot{P}}_k\right(y_k)e_{\nu k}+P_k\left(y_k\right){\dot{e}}_{\nu k}),$ (2)

где учтены модули упругости элементов тела Кельвина и реологическая координата.

Получена система уравнений:

$\sum _{i=1}^m\sum _{\nu =1}^{3N}\left[\left({\dot{F}}_{\nu }-m_{\nu }{\stackrel{⃛}{x}}_{\nu }-c{\dot{x}}_{\nu }-\sum _{k=1}^K{\dot{P}}_k{e}_{\nu k}-\sum _{k=1}^K{P}_k{\dot{e}}_{\nu k}\right)\frac{\partial x_{\nu }}{\partial q_i}+\left(F_{\nu }-m_{\nu }{\ddot{x}}_{\nu }-\tilde{c}{x}_{\nu }-\sum _{k=1}^K{P}_k{e}_{\nu k}\right)\frac{\partial {\dot{x}}_{\nu }}{\partial q_i}\right]\delta q_i=\mathrm{0,}$,

$\sum _{i=1}^m\sum _{\nu =1}^{3N}\left(F_{\nu }-m_{\nu }{\ddot{x}}_{\nu }-\tilde{c}{x}_{\nu }-\sum _{k=1}^K{P}_k{e}_{\nu k}\right)\frac{\partial {\dot{x}}_{\nu }}{\partial {\dot{q}}_i}\delta {\dot{q}}_i=0.$ (3)

Используя известные тождества Лагранжа

$\frac{\partial x_{\nu }}{\partial q_i}=\frac{\partial {\dot{x}}_{\nu }}{\partial {\dot{q}}_i}=\frac{\partial {\ddot{x}}_{\nu }}{\partial {\ddot{q}}_i},\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial {\dot{x}}_{\nu }}{\partial {\dot{q}}_i}\right)=\frac{\partial {\ddot{x}}_{\nu }}{\partial {\dot{q}}_i}$, (4)

а также понятия энергии ускорений, потенциальной энергии и функции рассеяния энергии

$S=\frac{1}{2}\sum _{\nu =1}^{3N}{m}_{\nu }{\ddot{x}}_{\nu },П=\frac{1}{2}\sum _{\nu =1}^{3N}\tilde{c}{x}_{\nu }^2,Ф=\frac{1}{2}\sum _{\nu =1}^{3N}{b}_k{\dot{x}}_{\nu }^2$, (5)

где $b_k$ — коэффициент внутреннего трения, найдено

$\sum _{i=1}^m\sum _{\nu =1}^{3N}{m}_{\nu }{\stackrel{⃛}{x}}_{\nu }\frac{\partial x_{\nu }}{\partial q_i}\delta q_i=\sum _{i=1}^m\left[\frac{d}{dt}\frac{\partial S}{\partial {\ddot{q}}_i}-\frac{\partial S}{\partial {\dot{q}}_i}\right]\delta q_i$, (6)

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial S}{\partial {\ddot{q}}_i}\right)+\sum _{k=1}^K{\dot{P}}_k{b}_{ki}+\sum _{k=1}^K{P}_k{\dot{b}}_{ki}=\frac{d{Q}_i}{dt}-\frac{d}{dt}\frac{\partial П}{\partial q_i}$, (7)

$\frac{\partial S}{\partial {\ddot{q}}_i}+\sum _{k=1}^K{P}_k{b}_{ki}=Q_i-\frac{\partial П}{\partial q_i},(i=\mathrm{1,2,3,...,}m).$ (8)

В силу независимостей этих уравнений составлено уравнение (8). Проводя замену $\frac{\partial S}{\partial {\ddot{q}}_i}=\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}$, где $T=\frac{1}{2}\sum _{\nu =1}^{3N}{m}_{\nu }{x}_{\nu }^2$ — кинетическая энергия, окончательно записано

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}+\sum _{k=1}^K{P}_k{b}_{ki}=Q_i-\frac{\partial П}{\partial q_i},(i=\mathrm{1,2,3,...,}m)$. (9)

Уравнение (9) было получено в [2] другим способом. Применение этих уравнений было рассмотрено в задачах, посвященных исследованию динамики тел вращения на вязкоупругом основании.

Результаты. С использованием численных методов проведен анализ режима движения диска (см. рисунок).

 

Рис. 1. Результат численного анализа

 

Выводы. Анализ графических зависимостей показывает, что при угловой скорости диска, равной нулю, возникает максимальный изгиб балки. Диск останавливается и начинает двигаться вместе с балкой. В соответствии с фазовым портретом механическая система будет совершать затухающие низкочастотные колебания вблизи устойчивого положения равновесия [3, 4].

About the authors

Самарский государственный технический университет

Author for correspondence.
Email: ya.dezender73@gmail.com

студент, группа 20п-4, факультет промышленного и гражданского строительства

Russian Federation, Самара

Самарский государственный технический университет

Email: kalmova@inbox.ru

научный руководитель, старший преподаватель; старший преподаватель кафедры Строительная механика, инженерная геология, основания и фундаменты

Russian Federation, Самара

References

Supplementary files