Метод особенностей для расчета обтекания осесимметричных тел

Full Text

Обоснование. Рассчитать обтекание реальным потоком осесимметричного тела в настоящее время возможно в различных вычислительных пакетах, например Flow Simulation, ANSYS SFX, ANSYS Fluent и др., но это требует больших ресурсов компьютеров. Существенное сокращение памяти и времени выполнения расчетов предоставляет модель идеального газа [1–3]. В рамках модели идеального газа часто применяют панельные методы и методы дискретных вихрей [1, 3]. В данной работе рассматривается метод особенностей, отличие которого состоит в размещении особенностей в виде источников-стоков на оси осесимметричного тела. Одно из преимуществ данного подхода — сокращение количества особенностей, а следовательно, и порядка системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) при сохранении точности расчетов.

Цель — разработать математическую модель для расчета течения идеального газа около осесимметричного тела.

Методы. Основная идея метода состоит в нахождении величин интенсивностей пространственных источников-стоков, которые располагаются на оси симметрии тела. Исследуемое осесимметричное тело можно задать на плоскости в виде меридионального сечения с его осью симметрии (рис. 1). Поверхность сечения разбивалась на сегменты, в которых использовались усеченные конусы, на боковой поверхности которых определялось положение нормалей. Пересечение нормалей с образующей тела будем называть контрольными точками.

 

Рис. 1. Схема расположения источников-стоков на оси тела и нормалей к образующей сечения

 

Продольная ось тела разбивалась на определенное количество прямолинейных отрезков, в центре которых помещались источники-стоки с неизвестной интенсивностью, имеющие общую координату Х_i с контрольной точкой на образующей тела. Радиальная скорость от i-го источника-стока в j-й контрольной точке V_rj, направленная по нормали к внешней поверхности тела в этой точке, вычисляется по формуле

$V_{ri}=\frac{Q_i}{4\pi r_{ij}^2}{a}_{ij},$ (1)

где Q_i — интенсивность i-го источника-стока; r_ij — расстояние от i-го источника-стока до j-й контрольной точки; a_ij — косинус угла между нормалью к поверхности в j-ой контрольной точке и направлением r_ij от i-го источника-стока к j-й контрольной точке.

Численный метод сводится к выполнению в контрольных точках условий непротекания, что приводит к необходимости решать СЛАУ (2), из которого будут определены интенсивности источников, по которым согласно формуле (1) вычисляются скорости в любой точке пространства.

$\left[\begin{array}{c}\frac{1}{r_{11}^2}{a}_{11}\dots \frac{1}{r_{1j}^2}{a}_{1j}\dots \frac{1}{r_{1n}^2}{a}_{1n}\\ \hspace{1em}⋮\hspace{1em}\hspace{1em}\ddots \hspace{1em}\hspace{1em}⋮\hspace{1em}\hspace{1em}\ddots \hspace{1em}\hspace{1em}⋮\\ \frac{1}{r_{n1}^2}{a}_{n1}\dots \frac{1}{r_{nj}^2}{a}_{nj}\dots \frac{1}{r_{nn}^2}{a}_{nn}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{Q}_1\\ Q_2\\ \cdots \\ Q_n\end{array}\right]=-4\pi V_{\infty }\left[\begin{array}{c}sin{\alpha }_1\\ sin{\alpha }_2\\ \cdots \\ sin{\alpha }_n\end{array}\right], \mathrm{ }\left(2\right)$ (2)

где V_∞ — скорость набегающего потока, α_n — угол между нормалью к поверхности в j-й контрольной точке и вектором скорости набегающего потока.

Результаты. В качестве теста для отладки математической модели и вычислительной программы выбрана сфера. На рис. 2 показано сравнение теоретического распределения коэффициента давления C_p и полученного расчетным путем при 10 и 100 особенностях, размещенных равномерно вдоль продольной оси сферы. Из рис. 2 следует, что расчет при 100 особенностях практически совпадает с теоретическим результатом.

 

Рис. 2. Распределение коэффициента давления по поверхности сферы от относительного её радиуса

 

Выводы. Показано, что разработанный алгоритм на основе метода особенностей, дает хорошее приближение коэффициента давления для сферы. Разработанная программа позволит рассчитывать поля скоростей и давлений около произвольных осесимметричных тел.

About the authors

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: osnk-sr@yandex.ru

студент, группа 3308-240507D, институт авиационной и ракетно-космической техники

Russian Federation, Самара

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: sergey.kusnezov@yandex.ru

студент, группа 3315-240507D, институт авиационной и ракетно-космической техники

Russian Federation, Самара

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Author for correspondence.
Email: frolov_va_ssau@mail.ru

научный руководитель, кандидат технических наук, доцент; доцент кафедры конструкции и проектирования летательных аппаратов

Russian Federation, Самара

References

Supplementary files