Численное решение функционального уравнения Гаусса

Полный текст

Обоснование. Математические модели, в которых физическая величина является функцией только координат точки, например, функцией температуры для стационарного теплового процесса, функцией потенциала сил в области, не содержащей массы, потенциала электростатического поля в области, не содержащей зарядов, и т. д., приводят к граничным задачам для гармонических функций. На примере решения интегрального уравнения, порожденного гармоническим потенциалом двойного слоя с неизвестной плотностью, сингулярного на границе области, а также на примере решения задачи Дирихле в области, ограниченной эллипсом, рассматриваются приближенные методы представления решений граничных задач для гармонических функций. Решения ищутся одним из методов разложения по системам фундаментальных функций оператора Лапласа, предложенным В.Д. Купрадзе [1, 2], идейно близким методу граничных элементов. Использование таких методов позволяет уменьшить объем вычислений по сравнению с разностными методами и методами конечных элементов, но требует обоснования сходимости приближенных решений.

Цель — детальное исследование приближенных методов представления решений граничных задач по системам фундаментальных функций, дополнение и уточнение результатов расчетов на примере модельных задач.

Методы. Поиск приближенных решений задач ведется либо сразу в виде ряда по системе фундаментальных функции основного дифференциального оператора и удовлетворяющего граничным условиям, либо вначале ищется неизвестная функция из граничного интегрального уравнения, которая потом участвует в решении в качестве плотности потенциала. На вспомогательном контуре (поверхности), ограничивающем область и не имеющем общих точек с ее границей, выбирается всюду плотная система точек, которой ставится в соответствие система фундаментальных решений основного оператора граничной задачи. Для решения, построенного в виде разложения по фундаментальным функциям, как и в методе граничных элементов, достаточно удовлетворения только граничных условий. Несмотря на то, что с точки зрения устойчивости расчетных схем методы В.Д. Купрадзе проигрывают, так как приходится аппроксимировать интегральные уравнения первого рода, сингулярные вблизи границы, результаты вычислительных экспериментов показывают, что удачное приближение контура к основной границе задачи и выбор метода квадратур определяют успех в практической реализации решения.

Результаты. В качестве первого примера были проведены расчеты приближенного решения функционального уравнения Гаусса [1, с. 364], точное решение которого φ = 1 внутри единичного круга единственно. Дискретизация интегрального уравнения проводилась с помощью квадратурных формул прямоугольников и квадратурных формул Гаусса. Всюду плотная система точек выбиралась на концентрических окружностях радиусов меньших единицы, имеющих один и тот же центр с основной окружностью. Применение формул прямоугольников с увеличением числа узлов дает следующую аппроксимацию решения: для n = 40 погрешность решения $\epsilon \le \underset{i=1, n}{max}\left|{\phi }_i-1\right|$, и, на расстоянии 0,1 до границы, не превышает 1,64E – 02; для n = 80, ε≤2,43E – 04; для n = 160, ε≤5,69E – 08. При отдалении от контура при любом числе узлов квадратурной формулы нет равномерного распределения погрешностей: на расстоянии 0,5 от границы при n = 40 погрешность минимальна, ε = 6,38E – 12, на расстоянии 0,01 от центра окружности ε = 4,44E – 06. Увеличение числа узлов квадратурных формул Гаусса не только ухудшило картину аппроксимации решения вблизи контура, но, в целом, не сильно обеспечило уменьшение погрешности приближенного решения вдали от границы. Оказалось, что самое «оптимальное» число узлов квадратурной формулы Гаусса n = 7. На расстоянии 0,1 от границы, ε = 6,35E – 01. При этом, ближе к центру круга число обусловленности матрицы системы линейных уравнений, порождаемой численным методом, даже при таком числе узлов возрастает до 1,64E + 08, что сразу влечет возмущение решения. Эти факты ранее представлены не были.

Второй пример разложения приближенного решения — решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области, ограниченной эллипсом. Исследована зависимость погрешности приближенного решения от числа узлов квадратурной формулы вблизи границы области и расстояния до вспомогательного контура. Результаты уточнили и дополнили выводы [1, 2].

Выводы. Поведены уточнения результатов ранних исследований [1, 2]. Достаточно хорошую аппроксимацию приближенного решения функционального уравнения Гаусса дают формулы прямоугольников. Вблизи границы области и около центра точность приближенного решения падает в связи с ростом числа обусловленности матрицы СЛУ. При достаточно близком расположении вспомогательных точек решения предлагается строить методом последовательных приближений [1, 2].

Об авторах

Богдан Алексеевич Уткин

Самарский государственный технический университет

Email: umm97@list.ru

студент, группа 2-ИАиИТ-10М, институт автоматики и информационных технологий

Россия, Самара

Людмила Вячеславовна Воропаева

Самарский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: ludmilav2@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-4783-1664

научный руководитель, старший преподаватель кафедры прикладной математики и информатики

Россия, Самара

Список литературы

Дополнительные файлы