Исследование погрешности разностного решения уравнения теплопроводности в многослойной среде методом вычислительного эксперимента
- Авторы: Кривошеева Ю.Ю.1
-
Учреждения:
- Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева
- Выпуск: Том 1 (2022)
- Страницы: 233-234
- Раздел: Математическое моделирование и компьютерный инжиниринг
- URL: https://journals.eco-vector.com/osnk-sr/article/view/107666
- ID: 107666
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Обоснование. Помимо классических вариантов краевых задач теплопроводности для однородной среды, в которых коэффициенты уравнения являются непрерывными, немалый интерес представляют случаи, когда среда состоит из несколько слоев. К таким средам можно отнести биологические объекты (кожа, сосуды) [1], многослойные обшивки технических конструкций [2], для которых нужно принимать во внимание вероятность влияния тепла на систему, так как тепловая нагрузка может привести к изменению качества материала, утрате существенных эксплуатационных характеристик, вследствие чего возможно повреждение конструкции и даже полный выход ее из строя [3]. Для уменьшения тепловой нагрузки, на поверхности, подверженные тепловому воздействию, наносят защитные покрытия. Таким образом, это сводится к задаче о теплопроводности слоистых структур, свойства теплопроводности которых меняются скачкообразно.
Цель — качественно исследовать погрешность численного решения уравнения теплопроводности в разрывной среде при помощи численного моделирования.
Методы. Для вычисления погрешности на основании теоремы о сходимости разложим разностное решение для шагов по пространству, отличающихся друг от друга в 2 раза:
,
где u — разностное решение, [u] — точное аналитическое решение в узлах сетки, D, E — коэффициенты разложения.
Вычтем одно выражение из другого. При этом будем учитывать, что разность двух аналитических решений даст ноль. Таким образом получим часть погрешности Δ(hx), связанную с измельчением шага по пространству:
.
Также получим формулу для части погрешности, связанной с шагом по пространству, для более мелкой сетки:
.
Очевидно, что скорость убывания погрешности при измельчении сетки по пространству в 2 раза примерно равна двум. Аналогичный результат получим и для части погрешности, связанной с измельчением шага сетки по времени. Используя коэффициенты E и D, можно предсказывать погрешность решения для сеток любой мелкости.
Результаты. В табл. 1 и 2 представлены результаты исследования скорости убывания погрешности решения, полученного с помощью неявной консервативной схемы для шагов по пространству и времени.
Таблица 1. Скорость убывания погрешности, связанной с шагом по пространству для консервативной неявной схемы
I | hx | E | Δ(hx) | Δ(hx)/Δ(hx/2) |
5 | 2 | 0,00599 | 0,00599 | 1,7 |
10 | 1 | |||
10 | 1 | 0,00708 | 0,00354 | |
20 | 0,5 | 2,3 | ||
20 | 0,5 | 0,00612 | 0,00153 | |
40 | 0,25 | |||
40 | 0,25 | 0,00616 | 0,00077 | 2,0 |
80 | 0,125 | |||
80 | 0,125 | 0,00672 | 0,00042 | 1,8 |
160 | 0,0625 | |||
160 | 0,0625 | 0,00640 | 0,00020 | 2,1 |
320 | 0,03125 |
Таблица 2. Скорость убывания погрешности, связанной с шагом по времени, для консервативной неявной схемы
K | ht | D | Δ(ht) | Δ(ht)/Δ(ht/2) |
100 | 0,2 | 0,221 | 0,02213 | 2,05 |
200 | 0,1 | |||
200 | 0,1 | 0,216 | 0,01079 | |
400 | 0,05 | 2,04 | ||
400 | 0,05 | 0,212 | 0,00529 | |
800 | 0,025 | |||
800 | 0,025 | 0,209 | 0,00261 | 2,03 |
1600 | 0,0125 | |||
1600 | 0,0125 | 0,208 | 0,00130 | 2,01 |
3200 | 0,00625 | |||
3200 | 0,00625 | 0,205 | 0,00065 | 2,00 |
6400 | 0,003125 |
Из таблиц видно, что скорость убывания погрешности (последний столбец таблиц) равна 2, что соответствует теории. Кроме того, можно видеть стабильное поведение коэффициентов разложения, что говорит о том, что можно использовать их для прогнозирования погрешности.
Выводы. В ходе работы была построена консервативная разностная схема для численного моделирования процесса распространения тепла в двуслойной среде. Посредством вычислительного эксперимента проведено исследование порядков сходимости схемы по шагам дискретизации hx и ht. В результате исследования были подтверждены теоретические порядки сходимости и сделан вывод о возможности прогнозирования погрешности разностного решения.
Полный текст
Обоснование. Помимо классических вариантов краевых задач теплопроводности для однородной среды, в которых коэффициенты уравнения являются непрерывными, немалый интерес представляют случаи, когда среда состоит из несколько слоев. К таким средам можно отнести биологические объекты (кожа, сосуды) [1], многослойные обшивки технических конструкций [2], для которых нужно принимать во внимание вероятность влияния тепла на систему, так как тепловая нагрузка может привести к изменению качества материала, утрате существенных эксплуатационных характеристик, вследствие чего возможно повреждение конструкции и даже полный выход ее из строя [3]. Для уменьшения тепловой нагрузки, на поверхности, подверженные тепловому воздействию, наносят защитные покрытия. Таким образом, это сводится к задаче о теплопроводности слоистых структур, свойства теплопроводности которых меняются скачкообразно.
Цель — качественно исследовать погрешность численного решения уравнения теплопроводности в разрывной среде при помощи численного моделирования.
Методы. Для вычисления погрешности на основании теоремы о сходимости разложим разностное решение для шагов по пространству, отличающихся друг от друга в 2 раза:
,
где u — разностное решение, [u] — точное аналитическое решение в узлах сетки, D, E — коэффициенты разложения.
Вычтем одно выражение из другого. При этом будем учитывать, что разность двух аналитических решений даст ноль. Таким образом получим часть погрешности Δ(hx), связанную с измельчением шага по пространству:
.
Также получим формулу для части погрешности, связанной с шагом по пространству, для более мелкой сетки:
.
Очевидно, что скорость убывания погрешности при измельчении сетки по пространству в 2 раза примерно равна двум. Аналогичный результат получим и для части погрешности, связанной с измельчением шага сетки по времени. Используя коэффициенты E и D, можно предсказывать погрешность решения для сеток любой мелкости.
Результаты. В табл. 1 и 2 представлены результаты исследования скорости убывания погрешности решения, полученного с помощью неявной консервативной схемы для шагов по пространству и времени.
Таблица 1. Скорость убывания погрешности, связанной с шагом по пространству для консервативной неявной схемы
I | hx | E | Δ(hx) | Δ(hx)/Δ(hx/2) |
5 | 2 | 0,00599 | 0,00599 | 1,7 |
10 | 1 | |||
10 | 1 | 0,00708 | 0,00354 | |
20 | 0,5 | 2,3 | ||
20 | 0,5 | 0,00612 | 0,00153 | |
40 | 0,25 | |||
40 | 0,25 | 0,00616 | 0,00077 | 2,0 |
80 | 0,125 | |||
80 | 0,125 | 0,00672 | 0,00042 | 1,8 |
160 | 0,0625 | |||
160 | 0,0625 | 0,00640 | 0,00020 | 2,1 |
320 | 0,03125 |
Таблица 2. Скорость убывания погрешности, связанной с шагом по времени, для консервативной неявной схемы
K | ht | D | Δ(ht) | Δ(ht)/Δ(ht/2) |
100 | 0,2 | 0,221 | 0,02213 | 2,05 |
200 | 0,1 | |||
200 | 0,1 | 0,216 | 0,01079 | |
400 | 0,05 | 2,04 | ||
400 | 0,05 | 0,212 | 0,00529 | |
800 | 0,025 | |||
800 | 0,025 | 0,209 | 0,00261 | 2,03 |
1600 | 0,0125 | |||
1600 | 0,0125 | 0,208 | 0,00130 | 2,01 |
3200 | 0,00625 | |||
3200 | 0,00625 | 0,205 | 0,00065 | 2,00 |
6400 | 0,003125 |
Из таблиц видно, что скорость убывания погрешности (последний столбец таблиц) равна 2, что соответствует теории. Кроме того, можно видеть стабильное поведение коэффициентов разложения, что говорит о том, что можно использовать их для прогнозирования погрешности.
Выводы. В ходе работы была построена консервативная разностная схема для численного моделирования процесса распространения тепла в двуслойной среде. Посредством вычислительного эксперимента проведено исследование порядков сходимости схемы по шагам дискретизации hx и ht. В результате исследования были подтверждены теоретические порядки сходимости и сделан вывод о возможности прогнозирования погрешности разностного решения.
Об авторах
Юлиана Юрьевна Кривошеева
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева
Автор, ответственный за переписку.
Email: akinava.love@gmail.com
студентка, группа 6230-010402D, институт информатики и кибернетики
Россия, СамараСписок литературы
- Shirokanev A.S. Methods of mathematical modeling of fundus laser exposure for therapeutic effect evaluation // Computer Optics. 2020. Vol. 44, No. 5. P. 809–822. doi: 10.18287/2412-6179-CO-760
- Ахмадиев Ф.Г. Вычислительный эксперимент по расчету процесса теплопередачи через многослойные покрытия // Вестник технологического университета. 2021. Т. 24, № 6. С. 73–77.
- Танана В.П. О решении обратной граничной задачи для композитных материалов // Вестник Удмуртского университета. 2018. Т. 28, № 4. С. 474–488.
- Самарский А.А. Теория разностных схем. Москва: Наука, 1977. 656 с.
- Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1977. 728 с.