About generators of dynamic chaos on the basis of the modified Lorentz’s models

Full Text

1. Модифицированная система Лоренца Считается, что известная модель Лоренца [1] (1) послужила отправным пунктом развития хаотической динамики [2]. Несмотря на весьма значительное число публикаций, посвященных исследованию модели, интерес к ней и в настоящее время поддерживается на высоком уровне [3]. Анализ системы уравнений (1) с позиций электронной схемотехники позволяет предложить схему генератора Лоренца, изображенную на рис. 1 (переключатель в положении Схема содержит интегрирующие RC-цепи с системными функциями операционные усилители с коэффициентами передачи перемножители и сумматор. Часть схемы, расположенная выше пунктирной линии, представляет собой апериодический усилитель, нижняя часть - инерционную нелинейную цепь обратной связи с двумя входами. По классификации П.С. Ланды [4; 5] подобные системы относится к генераторам с инерционным самовозбуждением. Изменим схему цепи обратной связи, превратив ее в одновходовую, переведя переключатель в положение Преобразованную таким образом автоколебательную систему назовем модифицированным генератором Лоренца (МГЛ) [6]. Динамика МГЛ описывается следующими уравнениями состояния для нормированных напряжений (2) Здесь напряжения нормированы так, что выходы перемножителей связаны с их входами соотношением Формально уравнения (2) содержат шесть параметров, но нормировка времени и двух напряжений позволяет сократить их число до четырех. В частности, в стандартной модели Лоренца используются обозначения а Результаты численного интегрирования уравнений (2) позволяют сделать вывод о том, что в МГЛ реализуются режимы как регулярных, так и хаотических автоколебаний. Для примера на рис. 2, а и рис. 2, б приведены усредненные амплитудные спектры напряжения в генераторе с параметрами а также (рис. 2, а) или (рис. 2, б). Очевидно, что первый из спектров, состоящий из дискретных линий, отвечает режиму периодических автоколебаний. В то время как, спектр на рис. 2. б в соответствии с прагматическим определением хаоса указывает на режим хаотических автоколебаний. Качественно характеристики динамического хаоса в МГЛ близки к характеристикам аналогичных процессов в стандартной системе Лоренца. Например, степень сжатия фазового объема аттрактора характеризует представленное на рис. 3. отображение первого возвращения. Оно получено на основе последовательности координат точек в сечении Пуанкаре поверхности Общий вид графика на рис. 3 полностью соответствует графику отображения первого возвращения в стандартной модели Лоренца [7]. Таким образом, генератор, определяемый уравнениями состояния (2), представляет собой простую радиофизическую систему с режимом хаотических автоколебаний, пригодную для практических применений в численных экспериментах по нелинейной динамике. Кроме того, он допускает переход к дискретному времени без введений в схему дополнительных временных задержек. 2. ДВ-генератор с инерционной нелинейностью Систему уравнений состояния (2) удобно использовать при моделировании автоколебаний методами численного интегрирования задачи Коши [8]. Но при переходе к дискретному времени ее целесообразно преобразовать, исключив из первых двух уравнений переменную В результате получим систему (3) Здесь и введены обозначения , , и . Первое из уравнений системы (3) запишем в форме интегрального Вольтера второго рода . (4) где функция времени описывает свободный процесс в линейной системе (при Ядро уравнения (4) - импульсная характеристика, удовлетворяющая дифференциальному уравнению (5) с дельта-функцией в правой части и нулевыми начальными условиями. Отметим, что свободный процесс удовлетворяет однородному уравнению (5) и зависит от начальных условий. Решением (5) при является функция . (6) Нетрудно показать, что отсчеты характеристики (6) на равномерной временной сетке при удовлетворяют разностному уравнению (7) где , и начальным условиям , . С использованием отсчетов создадим последовательность . (8) С ее помощью проведем дискретизацию времени в уравнении (4), заменив импульсную характеристику на последовательность (8). После интегрирования для значений решения на временной сетке получим уравнение дискретной свертки . (9) Теперь обе части уравнения (9) подвергнем воздействию разностного оператора При это приводит к следующему результату: . (10) Отметим, что в процессе преобразования правой части (10) использованы равенство уравнение (7) и аналогичное ему уравнение Аналогичным образом, с помощью отсчетов импульсной характеристики проводится дискретизация времени во втором уравнении системы (3). Результат дискретизации . (11) В динамике нелинейных ДВ-систем численный алгоритм вида (10)-(11) становится самостоятельным объектом исследований. Он задает динамическую систему, свойства которой могут существенно отличаться от свойств моделируемого аналогового прототипа. Введя в рассмотрение частоту дискретизации и пересчитав в ее единицах все остальные частоты уравнения движения ДВ-системы для функций дискретного аргумента запишем в виде (12) В уравнениях использованы обозначения , , , , . Начальное состояние ДВ-системы задается значениями и Уравнения (12) содержит четыре независимых параметра: частоты и коэффициент глубины положительной обратной связи Впрочем, вместо независимым можно считать параметр При различных комбинациях их значений реализуются как регулярные, так и хаотические режимы автоколебаний. Отметим также, что еще один алгоритм вида (12) для генерации автоколебаний в дискретном времени предложен в работе [9]. Общностью алгоритмов является управление коэффициентом передачи в кольце усилителя и обратной связи (первое из уравнений (12)) с помощью нелинейной инерционной цепи, функционирующей в соответствии со вторым уравнением (12). На основании такой общности ДВ-систему с уравнениями движения (12) будем обозначать как автогенератор с инерционной нелинейностью. Отметим при этом, что коэффициенты первого из уравнений (12) определяются не колебательными процессами, как это имеет место в алгоритме работы [9], а процессами релаксации. 3. Режимы ДВ-генератора с инерционной нелинейностью Система (12) при имеет три состояния равновесия: , Об их устойчивости можно судить по величине корней характеристических уравнений линеаризованных систем. Для состояния линеаризованная система имеет вид Ей соответствуют характеристические уравнения и . (13) При выполнении условия все три корня таковы, что Следовательно, состояние устойчиво. При в зависимости от начальных условий система (12) переходит в одно из состояний или которые с ростом сохраняют устойчивость до тех пор, пока модуль одного из корней характеристического уравнения (14) не превысит единицу. После этого система переходит в автоколебательный режим, образованный переходами между состояниями и Граница режима автоколебаний в пространстве параметров системы может быть определена путем численного решения уравнения . На рис. 4 приведены зависимости модулей корней характеристических уравнений от параметра глубины обратной связи при фиксированных значениях и Рис. 4, а отвечает корням уравнения (13), а рис. 4, б - уравнения (14). Для указанных значений параметров и верхняя граница устойчивости состояния приблизительно соответствует величине а верхняя граница устойчивости состояний или - величине Рис. 5 на плоскости отображает траектории перехода от неустойчивого состояния в окрестности состояний и Плоскость на рис. 5, а характерна для значений при которых особые точки и являются устойчивыми узлами. Траектории на рис. 5, б типичны для когда особые точки и - устойчивые фокусы. При в ДВ-системе (12) наблюдаются регулярные автоколебания в окрестности одного из состояний или которые при дальнейшем увеличении хаотизируются за счет переходов между этими состояниями. Аттрактор хаотического режима на рис. 5, в формируется при значении Поскольку сплошной спектр служит одним из эвристических критериев [3] динамического хаоса, рис. 6, на котором приведены усредненные амплитудные спектры и сигналов и (их реализации показаны на рис. 7), подтверждает хаотичность аттрактора. Оценки спектров получены методом Бартлетта с 512-точечным преобразованием Фурье по отрезкам реализаций (см. рис. 7) из отсчетов. Для сравнения на рис. 8 даны амплитудные спектры регулярных автоколебаний, наблюдаемых при Из спектра на рисунках удалена постоянная составляющая.

About the authors

V. V Zaitsev

Ar. V Karlov

D. B Nuraev

References

Supplementary files