Computation of a contact potentials difference of a smooth n-n+-transition

Abstract

Formulae for an approximate solution of an ordinary differential equation by means of an interpolational method of arbitrary order are obtained. A computation of an interior electric field strength and conductivity electrons and holes concentrations distributions in a smooth n-n+-transition is carried out. A contact potentials difference of this structure is evaluated.

Full Text

1. Постановка задачи Рассмотрим слой полупроводника, не ограниченный в направлении осей и декартовой системы координат. В состоянии равновесия исследование распределения напряженности внутреннего электрического поля и концентраций свободных носителей заряда в такой структуре [1] может быть сведено к решению системы дифференциальных уравнений (1) (2) с граничными условиями (3) Здесь использованы обозначения где - напряженность внутреннего электрического поля; - концентрация электронов проводимости в полупроводнике, содержащем донорную и акцепторную примеси с концентрациями и - концентрация свободных носителей заряда одного знака в полупроводнике i-типа; - относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника. Нормировочные множители определяются выражениями: где - абсолютное значение заряда электрона; - постоянная Больцмана; - электрическая постоянная; - толщина слоя полупроводника; - его абсолютная температура. Предполагается, что поверхностям кристалла соответствуют плоскости и Формула (1) представляет собой третье уравнение Максвелла. Формула (2) является следствием равновесного состояния полупроводника. Она выражает требование тождественного равенства нулю суммарного тока электронов проводимости, складывающегося из диффузионной и дрейфовой составляющих. Решение краевой задачи (1)-(3) производилось с помощью интерполяционного метода [2]. 2. Интерполяционный метод решения обыкновенного дифференциального уравнения Пусть функция является решением дифференциального уравнения (4) Разобьем область его определения на интервалов в общем случае имеющих различную длину, полагая Проинтегрировав уравнение (4) на одном из таких отрезков, имеем: (5) где Представим функцию в виде интерполяционного многочлена степени записанного в форме Лагранжа [3], с узлами в точках (6) Подстановка (6) в (5) дает (7) где (8) Докажем соотношение (9) где (10) - сумма всевозможных произведений па­раметров имеющих различные индексы. В случае предельных значений индекса формулу (10) можно записать следующим образом: (11) Воспользуемся методом математической индукции. При формула (9) превращается в очевидные тождества. Например, для имеем: Предположим, равенство (9) справедливо при Найдем произведение: (12) Заменяя в (9) на и подставляя полученное выражение в (12), получаем: (13) С учетом (11) последние два слагаемых в правой части (13) можно представить в виде (14) Подставляя (14) в (13) и принимая во внимание очевидное тождество находим Используя равенства (11), получаем: или Таким образом, если соотношение (9) выполняется при то оно оказывается справедливо в случае Доказательство (9) завершено. Подставляя (9) в (8), имеем: Приведем выражения для некоторых интегралов 3. Решение краевой задачи с помощью интерполяционного метода Произведем разбиение области определения уравнений (1), (2): В Q-м приближении интерполяционного метода формула (7) приводит к системе уравнений относительно значений неизвестных функций в узле (15) (16) Здесь использованы обозначения: Согласно (16), (17) Подстановка (17) в (15) приводит к квадратному уравнению относительно (18) где Корни уравнения (18) определяются равенствами: (19) Решение краевой задачи в Q-м приближении интерполяционного метода производилось следующим образом. В соответствии с первым граничным условием (3) Значение нормированной концентрации электронов проводимости на поверхности полупроводника рассматривалось в качестве параметра. Величины определялись по формулам (19), (17) для приближений низшего порядка. А именно, полагалось: Значения неизвестных функций в точках находились из равенств (19), (17), записанных для Q-го приближения. Это дает возможность определить значение нормированной напряженности внутреннего электрического поля на противоположной поверхности полупроводника Причем величина оказывается функцией параметра Значение нормированной концентрации электронов проводимости в точке является решением уравнения получаемого из второго граничного условия (3). Введем в рассмотрение потенциал Контактная разность потенциалов слоя полупроводника После нормировки получаем: (20) Для вычисления интеграла (20) использовалась формула трапеций [3; 4]: Учитывая соотношения следующие из граничных условий (3), находим или 4. Результаты расчетов При выполнении расчетов числовые значения параметров составляли: толщина слоя полупроводника  мм, его температура  K, материал полупроводника - кремний (относительная диэлектрическая проницаемость концентрация электронов проводимости в полупроводнике i-типа   Предполагалось, что донорная примесь в кристалле распределена по закону где      мкм. (Акцепторная примесь отсутствует.) Рассматриваемый слой полупроводника условно разделялся на n- и области. В качестве границы их раздела выбиралась точка в которой концентрация донорной примеси принимает значение где Интервалы и соответствующие n- и областям, равномерно разбивались соответственно на и отрезков. На рис. 1 изображено распределение нормированной напряженности внутреннего электрического поля в переходе, полученное в приближении интерполяционного метода. Здесь количество разбиений n- и областей составляет Соответствующие координатные зависимости нормированных концентраций электронов проводимости и дырок представлены на рис. 2. Последняя вычислялась по формуле В таблице приведены значения нормированной концентрации электронов проводимости на поверхностях полупроводника а также нормированной контактной разности потенциалов перехода полученные в различных приближениях интерполяционного метода. Погрешности определения данных величин рассчитывались по формулам: С увеличением номера приближения от 1 до 5 последовательность приближенных значений нормированной концентрации электронов проводимости на поверхности n-области проявляет сходимость. Что касается значений данной величины на поверхности области а также нормированной контактной разности потенциалов то для них при сходимости не наблюдается. Рис. 3-5 содержат информацию о сходимости последовательностей приближенных решений при увеличении количества разбиений области Как следует из диаграмм сходимости для величин и (рис. 4, 5), с увеличением номера приближения сходимость ухудшается. Увеличение параметра производилось до тех пор, пока на распределении напряженности электрического поля в области не появлялись дополнительные экстремумы, свидетельствующие об искажении приближенного решения краевой задачи. Контактная разность потенциалов рассматриваемого перехода (табл., рис. 5) составляет или  мВ.