Comparison of the spectral method of calculation of open dielectric waveguides beam method and the partial areas

全文:

Открытые диэлектрические волноводы (ОДВ) и устройства на их основе находят широкое применение в технике СВЧ-, КВЧ- и оптического диапазонов волн. В работе [1] был предложен спектральный метод анализа открытых диэлектрических волноводов, основанный на методе интеграла Фурье [2] и модифицированном методе Галеркина [3]. Изложим основные положения указанного метода. Рассмотрим ОДВ с произвольным поперечным сечением (рис. 1). Функция, задающая значение диэлектрической проницаемости в каждой точке сечения, определяется следующим образом: то есть в пределах поперечного сечения ОДВ (внутри пунктирного контура, рис. 1) диэлектрическая проницаемость задается функцией в окружающем пространстве диэлектрическая проницаемость имеет постоянное значение (область вне пунктирного контура). Компоненты электрического поля в такой структуре должны удовлетворять уравнениям Максвелла, скалярная форма записи которых имеет вид (1) Решения системы уравнений (1) представим в виде интегралов Фурье [2]: ; ; (2) . Особенность представления полей в виде (2) состоит в том, что компоненты электрического поля записываются независимо друг от друга со спектральными коэффициентами и Для установления связи между последними, а значит, между компонентами и подставляем выражения (2) в систему (1), в результате чего получаем: (3) Используя равенства , , где - дельта-функция Дирака, произведем над записанной системой двумерное преобразование Фурье, то есть каждое уравнение системы (3) умножим на и проинтегрируем по переменным x и y в пределах от до В результате получаем систему трех однородных интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода относительно спектральных функций и из представления Фурье (2): (4) При решении этой системы неизвестные функции и будем искать в виде разложений [3] по полиномам Эрмита с весовыми функциями: ; ; (5) где а индексы и определяются как и - масштабирующие коэффициенты, подбирая которые можно влиять на скорость сходимости представлений (5). При проведении расчетов полагаем, что где - волновое число свободного пространства. и вычисляются один раз для какой-нибудь одной частоты. Подставляем (5) в систему (4). Умножаем каждое из уравнений поочередно на функции , и интегрируем по переменным и в пределах от до Используя соотношения ортогональности [4] полиномов Эрмита с весовыми функциями получаем СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов разложения и где - продольное волновое число. Матрица системы имеет размерность Приравнивая ее определитель нулю, получаем дисперсионное уравнение волн ОДВ. Элементы матриц K, I, J, и W, каждая из которых имеет размерность определяются формулами, приведенными в работе [1]. Важно отметить, что все эти элементы (за исключением элементов матрицы W) не зависят ни от параметров диэлектрического волновода, ни от частоты. Их значения определяются только номером приближения, что позволяет рассчитывать их (в заданном приближении) один раз, заносить в компьютерную память и далее просто считывать их. Это позволяет принципиально сократить время счета. Сравнение спектрального метода с лучевым методом Для расчета дисперсионных характеристик полоскового волновода (рис. 2) можно [5] использовать лучевой метод. Метод является приближенным. Достоинством его является возможность использовать дисперсионные уравнения исключительно простой структуры, требующие малых затрат компьютерного времени. Скорость вычисления корней таких дисперсионных уравнений существенно выше по сравнению с методами, требующими привлечения аппарата непрерывного спектра, что представляет большой практический интерес. Важно также проверить состоятельность лучевого подхода при расчете характеристик полосковых волноводов, особенно в нижней части частотного диапазона. Опишем процедуру поиска корней дисперсионных уравнений, полученных с помощью лучевого подхода [5]. С позиции лучевого метода полосковый волновод представляется как суперпозиция двух симметричных пленочных волноводов, один из которых имеет толщину пленки w, а другой - h. В одном из этих волноводов распространяется (рис. 3) волна типа H, в другом - волна типа E. В результате в полосковом волноводе образуются гибридные волны HE и EH. Для расчета дисперсионных характеристик гибридных волн полоскового волновода необходимо сначала найти корни дисперсионных уравнений волн симметричных пленочных волноводов с толщиной w и h. В качестве примера рассмотрим алгоритм расчета дисперсионных характеристик волн с четным индексом m и нечетным индексом n. Ориентацию осей x и y выбираем так, как показано на рис. 3. На фиксированной частоте находим корни дисперсионного уравнения волн симметричного слоя с толщиной h , (6) где , . (7) в выражениях (7) - нормированное на продольное волновое число, и - нормированные на поперечные волновые числа в полоске и окружающей его среде, соответственно. Уравнение (6) соответствует четным m (волнам с четными и нечетными индексами соответствуют [5] различные дисперсионные уравнения). Затем находим корни дисперсионного уравнения волны симметричного слоя с толщиной w (индекс n - нечетный): , где , . Определив и находим соответствующие им значения и подставляем их в формулу, связывающую волновые числа: , где - нормированное на продольное волновое число волны с четным индексом m и нечетным n. На рис. 4 приведены дисперсионные характеристики первых пяти волн полоскового волновода. Расчет производился двумя методами - спектральным (полагалось, что и лучевым. Из рис. 4 видно, что два метода дают хорошее совпадение в области высоких частот. В приближении к критическим частотам расхождение увеличивается. Классификация волн была произведена с помощью лучевого метода. Однако, на более высоких частотах классификация волн становится затруднительной, так как для определения дисперсионных характеристик приходится решать целых восемь дисперсионных уравнений, которые, вообще говоря, позволяют различать НЕ- и ЕН-волны, а также устанавливать четность, либо нечетность одного из индексов. Для определения же порядка следования индексов нет никакой дополнительной информации. Для численной оценки расхождения, даваемого двумя методами, воспользуемся выражением: , где и - коэффициенты замедления, рассчитанные спектральным и лучевым методами, соответственно; - коэффициент замедления основной волны, рассчитанный спектральным методом (для основной волны параметр совпадает с Зависимость параметра от частоты для первых пяти волн полоскового волновода (рис. 4) представлена на рис. 5. Из рис. 5 видно, что погрешность лучевого метода возрастает с увеличением номера волны. Она (погрешность) связана с тем, что в приближении лучевой модели плоские волны, образующие поле, рассматриваются попарно независимо: не учитывается взаимодействие плоских волн взаимно ортогональной поляризации. Тем не менее, на высоких частотах оба метода дают хорошее совпадение. Для основной волны в области низких частот сравниваемые методы дают не только количественное, но и качественное отличие. Это связано с тем, что на низких частотах перестает выполняться условие применимости лучевого подхода [5]: Таким образом, за исключением низкочастотной области лучевой метод при расчете полосковых световодов дает вполне достоверные результаты. В СВЧ-диапазоне целесообразно использовать волновой подход. Можно сделать вывод, что лучевой метод является действенным в оптическом диапазоне, то есть когда полосковые ДВ являются световодами. Сравнение спектрального метода с методом частичных областей В современных телекоммуникационных системах широкое распространение получили многослойные волоконные световоды с круглым поперечным сечением. Для расчета таких световодов в работе [6] предложен эффективный метод, позволяющий избежать вычисления определителей плохо обусловленных матриц. Метод является строгим, поэтому его можно использовать для проверки спектрального метода. В качестве примера рассмотрим световод с поперечным сечением, представленным на рис. 6. Зададимся следующими параметрами: - мкм, мкм; - , , . В этом случае рассматриваемый световод имеет W-образный профиль показателя преломления (такие световоды называются световодами с депрессированной оболочкой). Использование спектрального метода для расчета дисперсионных характеристик таких ОДВ предполагает вычисление двукратных интегралов по круговой области. В [7] приводится формула для вычисления таких интегралов: в которой коэффициенты и координаты вычисляются по формулам: ; ; ; ; ; . - радиус круговой области. На рис. 7 сравниваются дисперсионные характеристики гибридных волн с азимутальным индексом полученные двумя методами. Чтобы не загромождать рисунок, дисперсионные характеристики симметричных волн и волн с азимутальными индексами не показаны. Сплошной линией показаны зависимости, полученные путем строго расчета [6]. Штрих - пунктирной и пунктирной линиями показаны дисперсионные характеристики, полученные спектральным методом при и соответственно. Из рис. 7 видно, что для волн высших типов спектральный метод дает более медленную сходимость, по сравнению с основной волной. Тем не менее, уже при дисперсионные характеристики, рассчитанные двумя методами, становятся графически неразличимы, как для основной волны, так и для других гибридных волн. Полученный на тестовом примере результат подтверждает действенность спектрального метода.

作者简介

G. Malyshev

N. Novoselova

E. Pavlovitch

A. Titarenko

参考

补充文件