Application of thin-wire integral representations of the electromagnetic field to the electrodynamic analysis of vibrator antennas with a large cross-section

Full Text

Введение Наиболее простым способом точного расчета электродинамических характеристик (распределений тока, входного сопротивления, диаграмм направленности) вибраторных антенн является использование их математических моделей, полученных в тонкопроволочном приближении, приводящем к необходимости решения интегральных уравнений (ИУ) типа Поклингтона [1] и Халлена [2]. Решение указанных ИУ представляет собой некорректную математическую задачу [3; 4]. Устойчивый и физически корректный результат здесь достигается при достаточно жестком ограничении, накладываемом на поперечное сечение вибратора [5]. Данное ограничение не позволяет непосредственно использовать уравнения Поклингтона и Халлена для электродинамического анализа широкополосных вибраторов, принципиально обладающих большим поперечным сечением. В [6] рассмотрена трубчатая модель электрического вибратора, решение внутренней электродинамической задачи для которого приводит к сингулярному интегральному уравнению. В рамках данной модели игнорируются торцевые токи, а также поперечные токи на трубке. Последнее условие выполняется точно при азимутально-независимом возбуждении антенны. Основным достоинством данной модели является физическая корректность и, как следствие, устойчивый результат решения внутренней задачи при любом поперечном сечении вибратора. К недостаткам модели можно отнести больший объем вычислений в сравнении с тонкопроволочными моделями, а также резкое усложнение математической модели антенны при учете поперечных и торцевых токов. В настоящей статье показано, что на основе интегральных представлений электромагнитного поля (ИП ЭМП) тонкопроволочной структуры (ТПС) [7] можно достаточно просто строить математические модели вибраторных антенн с большим поперечным сечением, используя при этом совокупность тонких проводников, в результате чего получаются модели сеточного типа. Для достаточно малых расстояний между проводниками такие модели эквивалентны моделям со сплошными поверхностями, простейшим примером которых является трубчатый вибратор. При этом в ядрах систем ИУ не возникает особенностей логарифмического и гиперсингулярного типа, что упрощает численное моделирование. Также в подобных моделях гораздо проще учесть поперечные токи, а в случае наличия у излучающей структуры различных типов симметрий их электродинамический анализ существенно упрощается. В качестве примера в данной статье рассмотрен широкополосный вибратор, образованный тонкими проводниками, расположенными на воображаемой цилиндрической поверхности. Для данной структуры вычислены распределения токов вдоль проводников, а также зависимость их входного сопротивления от электрической длины вибратора. При малом расстоянии между проводниками данная модель эквивалентна трубчатой структуре, рассмотренной в [6]. 1. ИП ЭМП совокупности тонкопроволочных проводников ЭМП совокупности ТПС произвольно расположенных в свободном пространстве, с учетом принципа суперпозиции описывается выражением [7]: (1) которое представляет собой ИП ЭМП от совокупности токов протекающих по образующим ТПС. Здесь - индекс ТПС; - натуральный (естественный) параметр на образующей; - ядра интегрального представления, - волновое сопротивление среды, - ее волновое число, - вектор, проведенный из определяющейся радиус-вектором точки источника, находящейся на ТПС в точку наблюдения, определяющуюся радиус-вектором - волновые функции, имеет смысл функции Грина свободного пространства, - регуляризированное расстояние между точкой источника и точкой наблюдения (в качестве параметра регуляризации выступает радиус ТПС); - единичный вектор касательной, определенный в точке на образующей . При записи (1) предполагалось, что радиус всех ТПС равен 2. Система ИУ для ТПС с поворотной симметрией Рассмотрим случай, когда структура обладает поворотной симметрией. Параметрическое уравнение образующей основной ТПС системы запишем в следующем виде: (2) где - гладкие функции натурального параметра - координата начала ТПС; - координата ее конца. С учетом данного выражения параметрические уравнения образующих проводников можно записать как: (3) здесь: (4) - матрица поворота. Единичный вектор касательной определенный в точке основного проводника, можно записать в виде: где - проекции на соответствующие оси Декартовой системы координат, Единичный вектор касательной определенный в точке на образующей можно записать по аналогии с (3): (5) Рассмотрим ИП ЭМП (1) на i-ом проводнике структуры с учетом граничного условия: (6) в котором - единичный вектор касательной, определенный в точке на образующей - параметрическое уравнение образующей определяется выражением (2). В результате имеем: (7) Распишем подынтегральный множитель более подробно: (8) здесь Очевидно, что: Таким образом, (7) можно записать в виде: (9) где Ядра представляют собой периодическую функцию индекса с периодом, составляющим отсчетов, поэтому их можно представить с помощью дискретного преобразования фурье (ДПФ): (10) в котором: (11) Подставляя (10) в (9), получаем: (12) здесь: - нормальная волна тока ТПС с поворотной симметрией, имеющая индекс m. Представим левую часть выражения (12) в виде ДПФ: (13) где: (14) Подставляя (13) в (12), приходим к системе независимых ИУ, записанных относительно неизвестных распределений нормальных волн тока: (15) Данную систему можно классифицировать как систему ИУ Фредгольма первого рода [4]. Решение подобных ИУ является некорректной математической задачей, т. е. оно может быть неустойчивым. Существует множество методов решения, обладающих определенными регуляризирующими свойствами. Асимптотическая корректность и регуляризирующие свойства некоторых методов рассмотрены в [5]. После определения функций вычисление ЭМП осуществляется с помощью (1), в котором: (16) 3. Дискретная формулировка ИП ЭМП При численном моделировании гораздо удобнее использовать дискретный вариант интегральных представлений (1), который можно получить после процедуры сегментации каждой ТПС. Опуская индекс ТПС, введем на ней совокупность узловых точек При этом: (17) где - число узлов; - число сегментов. Длину сегмента с индексом несложно определить по формуле: (18) Полная длина образующей определяется выражением Значения натурального параметра, соответствующего точкам коллокации, определяются выражением: (19) В дальнейшем мы также будем оперировать соответствующими радиус-векторами: (20) Осуществляя линеаризацию образующей, уравнение сегмента можно записать следующим образом: (21) здесь: Далее, полагая, что длина сегмента много меньше длины волны, будем считать распределение тока на каждом сегменте равномерным: Для совокупности ТПС необходима двойная индексация, использование которой совместно с (21) в интегральном представлении (1), приводит к дискретизированным ИП ЭМП вида: (22) В данном выражении - число сегментов на ТПС с индексом j, - весовые коэффициенты, - уравнение k-го сегмента j-й ТПС, определенное выражением (21), - амплитуда тока на k-м сегменте j-й ТПС, длина k-го сегмента j-й ТПС. В ИП (22) входят неизвестные амплитуды токов Для их определения используем граничное условие (6) в центре каждого сегмента структуры. В результате получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): (23) Здесь: (24) - соответственно коэффициенты правой части и коэффициенты СЛАУ, - радиус-вектор, проведенный в точку коллокации, находящуюся в центре -го сегмента i-й дискретизированной ТПС. Отметим, что СЛАУ (23) справедлива для любой совокупности линеаризированных ТПС. Ее использование для определения токов в случае структуры с поворотной симметрией представляется нецелесообразным в силу необходимости определения большого числа неизвестных. Для подобного рода структур наиболее эффективным будет использование СЛАУ, которое можно получить на основе (15) с помощью процедуры дискретизации, описанной ранее. При этом предполагается, что линеаризованные образующие полной структуры с поворотной симметрией получаются поворотом линеаризованной образующей основной ТПС на заданный угол, поэтому имеют место следующие равенства: (25) В результате получаем совокупность независимых СЛАУ: (26) Здесь - коэффициенты правой части СЛАУ, функция определена выражением (14), а значения натурального параметра в точках коллокации - вторым выражением (19), - коэффициенты СЛАУ. Функция определена выражением (11), значения натурального параметра в узловых точках - первым выражением (17). После определения из совокупности СЛАУ (26) значения амплитуд токов на сегментах можно вычислить с помощью выражения: (27) записанного по аналогии с (16). Применение полученных выражений рассмотрим на примере широкополосного тонкопроволочного электрического вибратора. 4. Физическая модель вибратора Общий вид геометрии рассматриваемого широкополосного тонкопроволочного электрического вибратора приведен на рис. 1, а. Как видно из рисунка, вибратор представлен совокупностью идентичных тонких проводников длиной и радиуса образующие которых расположены на поверхности воображаемого цилиндра радиуса a, имеющего аналогичную длину и ориентированного симметрично относительно начала координат. Предполагается, что проводники обладают бесконечно большой проводимостью, а их поперечное сечение много меньше длины волны при этом максимально возможный радиус цилиндра свободен от данного ограничения, но он должен быть больше, чем На расстоянии от плоскости проводники претерпевают разрыв длиной в который помещается соответствующий генератор ЭДС создающий стороннее электрическое поле касательная компонента которого равна нулю всюду, за исключением области разрыва, где она равна (U - ЭДС генератора): (28) Под действием стороннего электрического поля, а также полей, создаваемых самими проводниками, на их образующих возникают токи Данная структура обладает поворотной симметрией, поэтому для ее полного описания достаточно параметрического уравнения образующей ее основного проводника: (29) Опираясь на (29), параметрические уравнения образующих вибратора можно вычислить с помощью выражения (3), в котором Если при дискретизации использовать равномерный шаг, длины всех сегментов будут одинаковы и равны а узловые точки и точки коллокации можно будет вычислить с помощью выражений: (30) Очевидно, что для рассматриваемой структуры единичный вектор касательной на любом сегменте будет совпадать с Будем считать, что генераторы ЭДС имеют равные амплитуды. В данном предположении правая часть совокупности независимых СЛАУ (26) будет отлична от нуля только при поэтому необходимо будет решить только одну СЛАУ относительно коэффициентов а остальные коэффициенты будут тождественно равны нулю. 5. Результаты численного моделирования При численном моделировании главной величиной, нормируемой к длине волны, целесообразно считать длину вибратора. Все остальные параметры, определяющие его геометрию, нормируются к L. Ширина зазора с генераторами предполагается равной длине сегмента а его смещение относительно плоскости для простоты будем считать равным нулю. На рис. 1, б показана проекция рассматриваемой структуры в плоскости Определим некоторые соотношения для указанных на данном рисунке параметров, которые нам понадобятся при численном моделировании. Линейное и угловое расстояния между соседними проводниками определяются выражениями: Из этих выражений можно получить формулы для определения радиуса цилиндра и числа проводников N: (31) (32) Неизменными в расчетах принимаются отношения и При этом для должно выполнятся условие необходимое для получения корректных и устойчивых результатов. Параметры и определяются из условия фиксированного отношения и целого следующим образом: • задается ориентировочное значение • по формуле полученной на основе (31), вычисляется с округлением до меньшего целого; • с помощью вычисленного значения определяется отношение по формуле полученной на основе (32). Моделирование осуществлялось в диапазоне при и Рассматривались два случая, определяющиеся парой параметров и N: (случай «а») и (случай «б»). На первом этапе была проведена оценка сходимости решения при наибольшем рассматриваемом отношении Результаты оценки сходимости распределений тока представлены на рис. 2. Из данных графиков видно, что в дальнейших расчетах достаточно принять число сегментов равным 201. Также можно отметить, что сходимость для обоих случаев примерно одинаковая. На рис. 3 рассмотрены вибраторы малой электрической длины. Распределения тока для двух случаев мало отличаются друг от друга и близки к квазистатическим, что соответствует почти равномерному распределению заряда вдоль плеч вибраторов. Незначительные отличия в распределениях тока свидетельствуют об устойчивости решений, получаемых на основе рассматриваемой модели вибратора. Здесь также видно, что с увеличением отношения увеличивается амплитуда действительной части распределения тока. На рис. 4 показаны результаты, полученные при Видно, что в случае «а» имеет место резонанс, так как амплитуда мнимой части распределения тока в области зазора близка к нулю, и общая амплитуда тока больше, чем в случае «б». В излучающей структуре реализуется режим стоячей волны тока, пучность которой находится в зазоре с генератором, а нули - на концах проводника. Можно отметить, что для рассматриваемого вибратора даже при достаточно малых отношениях в проводниках наряду со стоячей волной тока возникает также и бегущая волна, причем ее амплитуда растет при увеличении отношения что видно из рис. 5, 6. Также из этих рисунков видно, что в случае большего отношения амплитуда тока при удалении от генератора начинает уменьшаться быстрее. Это говорит о том, что для вибраторов с большими поперечными размерами излучение электромагнитных волн происходит более интенсивно. Наиболее примечательным оказался случай «б», рассчитанный при показанный на рис. 7, б. Как видно из рисунка, в данном случае в проводниках вибратора реализуется режим бегущей волны тока, причем ее амплитуда падает до очень малых значений чрезвычайно быстро - практически через расстояние в одну длину волны. При меньшем отношении для такого эффекта не наблюдается. В целом по результатам расчетов следует отметить, что определение характеристик подобных излучающих структур в приближении заданных токов, как это делается для тонких электрических вибраторов, может быть не вполне корректным вследствие того, что распределение токов здесь даже на малых электрических длинах представляет собой смешанную волну, отношение амплитуд стоячей и бегущей волн в которой зависит от отношения На рис. 8 представлены графики с результатами расчета входного сопротивления проводников, образующих вибратор, в диапазоне для случаев «а» и «б». Общим для обоих случаев является то, что в отличие от подобных графиков для тонкопроволочных вибраторов [8] здесь не наблюдается последовательного чередования резонансов, а реактивная часть входного сопротивления во всей полосе частот имеет емкостной характер. Реактивная часть тем больше, чем больше отношение но при этом уменьшается с ростом отношения Также при увеличении происходит сглаживание и смещение резонансов в сторону более низких частот. Отметим, что используемый для расчета входного сопротивления тонкопроволочных вибраторов метод эквивалентной цепи [8] в данном случае применять нельзя. Заключение Таким образом, в статье рассмотрен вопрос построения математических моделей тонкопроволочных вибраторных антенн с большим поперечным сечением, обладающих поворотной симметрией. Из интегральных представлений электромагнитного поля тонкопроволочной структуры получены системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода с учетом и без учета поворотной симметрии, а также их дискретизированные аналоги в виде систем линейных алгебраических уравнений. Показано, что учет поворотной симметрии структуры существенно упрощает задачу ее внутреннего электродинамического анализа, сводящегося к вычислению распределений независимо распространяющихся в структуре нормальных волн тока. В качестве примера в статье рассмотрен широкополосный вибратор, образованный тонкими проводниками, расположенными на воображаемой цилиндрической поверхности. Для данной структуры вычислены распределения токов вдоль проводников, а также зависимость их входного сопротивления от электрической длины вибратора. Показано, что при большом радиусе вибратора в образующих его проводниках уже при длине L, соизмеримой с возникает режим бегущей волны тока. Также при увеличении перестает наблюдаться переход реактивной части входного сопротивления из емкостной области в индуктивную: ее характер становится чисто емкостным. Подобное явление также можно наблюдать в кольцевых полосковых структурах с увеличенной шириной полоски [9]. Разработанная модель вибратора может рассматриваться как одна из возможных альтернатив трубчатой модели, представленной в [6]. В заключение отметим, что на основе представленных в статье выражений можно достаточно просто строить математические модели вибраторных антенн с большим поперечным сечением, используя при этом совокупность тонких проводников, в результате чего получаются модели сеточного типа. При малых расстояниях между проводниками такие модели эквивалентны моделям со сплошными поверхностями. При этом в ядрах получаемых систем ИУ не возникает особенностей логарифмического и гиперсингулярного типа, что упрощает численное моделирование. Также в подобных моделях гораздо проще учесть поперечные токи, а при наличии у излучающей структуры различных типов симметрий ее электродинамический анализ существенно упрощается.

About the authors

D. P Tabakov

S. V Morozov

V. A Neganov

References

Supplementary files