A wave impedance determination for rectangular wave guide with two-layer filling

Abstract

Provided that LE_0m-waves propagate, the expression for a wave impedance of rectangular wave guide with two-layer filling is derived. The dependences of a wave impedance of the transmission line on a frequency and on wave guide parameters are investigated.

Full Text

1. Вывод выражения для волнового сопротивления На рис. 1 изображено поперечное сечение прямоугольного волновода с двухслойным заполнением (ПВДЗ). В данной направляющей структуре могут распространяться продольные электрические (LE) и продольные магнитные (LM) волны [1]. У LE-волн отсутствует перпендикулярная к границе раздела слоев составляющая напряженности электрического поля В случае LM-волн выполняется условие В распределении поля любой волны, имеется три компоненты напряженностей. Их комплексные амплитуды в области (рис. 1) выражаются следующим образом: (1) (2) (3) Здесь - произвольные постоянные; - мнимая единица; (4) - волновое число свободного пространства; - круговая частота колебаний; и - электрическая и магнитная постоянные; - постоянная распространения волны; - комплексная относительная диэлектрическая проницаемость материала заполнения области (рис. 1); - его относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости, а также удельная проводимость; Требование непрерывности тангенциальных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей волны на границе раздела слоев приводит к однородной системе линейных алгебраических уравнений относительно амплитудных множителей (5) Условие совместности системы (5) дает дисперсионное уравнение для определения постоянных распространения волн (6) Магнитное поле волны не содержит поперечной компоненты напряженности магнитного поля параллельной вертикальным стенкам волновода. Как следствие, на этих стенках не протекает продольный ток. Плотность продольного тока на горизонтальных стенках волновода (7) Тем самым, процесс распространения волны ПВДЗ допускает интерпретацию в рамках модели длинной линии. Ее проводники следует отождествлять с горизонтальными стенками волновода. Одним из основных параметров длинной линии является ее волновое сопротивление (8) Здесь и - комплексные амплитуды волн напряжения и тока, протекающих в длинной линии. В случае волн ПВДЗ, величины и определяются следующим образом (9) (10) Контур в интеграле (9) соединяет нижнюю и верхнюю стенки волновода. Он ориентирован перпендикулярно направлению распространения волны и расположен в плоскости соответствующей максимальному значению амплитуды напряженности электрического поля волны. В соответствии с граничными условиями на вертикальных стенках волновода такой максимум в распределении всегда существует. Единственность этого экстремума уместно рассматривать в качестве условия, при котором возможно введение волнового сопротивления волны ПВДЗ. С учетом выражения (3), имеем (11) Принимая во внимание соотношения (1), (7), (10), получаем (12) Выразим амплитудный множитель из первого уравнения (5). (13) Подстановка (13) в равенства (11), (12) дает Используя определение (8), находим волновое сопротивление ПВДЗ при распространении в нем волн, (14) где Точке максимума амплитуды напряженности электрического поля волны соответствует ноль производной одной из функций или Для этих производных можно получить следующие выражения: Волновое сопротивление прямоугольного волновода с однородным заполнением при протекании в нем волны [2] (15) Здесь и - поперечные размеры экрана волновода (16) - постоянная распространения волны - комплексная относительная диэлектрическая проницаемость материала заполнения; - его относительная магнитная проницаемость. Легко убедиться в том, что при смещении границы раздела слоев (рис. 1) к одной из вертикальных стенок экрана формула (14) для волнового сопротивления ПВДЗ переходит в равенство (15). Если то обращается в ноль первое слагаемое в левой части (6). В результате дисперсионное уравнение (6) принимает вид или С учетом (4) получаем следующие значения постоянных распространения LE-волн ПВДЗ Здесь величина совпадает с постоянной распространения (16) волны распространяющейся в прямоугольном волноводе, заполненном материалом с проницаемостями Полагая в (14) имеем (17) Чтобы привести равенство (17) к виду (15), необходимо выполнить замену и учесть, что в данном случае функция в формуле (3) достигает максимального значения в точке Аналогичным образом можно показать, что предельный переход переводит (14) в выражение (15), в котором необходимо выполнить следующие подстановки: 2. Результаты расчетов При выполнении расчетов размеры экрана ПВДЗ составляли: см, Предполагалось, что область 2 (рис. 1) имеет воздушное заполнение Материал заполнения области 1 - слабо легированный примесью карбид кремния (SiC) n-типа (политип 3C). При температуре К числовые значения параметров этого полупроводника составляют [3]: собственная концентрация электронов проводимости подвижности электронов проводимости и дырок Карбид кремния моделировался как линейный диэлектрик с потерями. Его удельная проводимость вычислялась по формуле [4] Здесь - абсолютное значение заряда электрона; и - концентрации электронов проводимости и дырок, определяемые равенствами - концентрация донорной примеси, в качестве которой может использоваться элемент пятой группы периодической системы (N, P, As, Sb, Bi) или железо [5]. На рис. 2 и 3 изображены дисперсионные характеристики трех низших волн ПВДЗ, - зависимости действительных и мнимых частей нормированных постоянных распространения волн от нормированного волнового числа свободного пространства При этом координата границы раздела областей 1 и 2 концентрация донорной примеси в полупроводнике Нумерация волн осуществляется в порядке убывания мнимых частей их постоянных распространения на низких частотах. Точнее, если при справедливо соотношение то при любых значениях параметров и индексы и в обозначениях волн удовлетворяют условию Введем критическое значение волнового числа предполагая, что при действительная и мнимая части постоянной распространения волны равны по модулю. Например, нормированные параметры волн - составляют: Тем самым, можно также считать, что низшие волны ПВДЗ пронумерованы в порядке возрастания их критических частот при условии На низких частотах координатные зависимости амплитуд компонент напряженностей электрических полей волн воспроизводят соответствующие распределения для волн прямоугольного волновода с однородным заполнением и размерами экрана Соответствующие предельные значения постоянных распространения волн легко определить из дисперсионного уравнения (6). Устремим в (6) волновое число к нулю, предварительно поделив обе части равенства (6) на С учетом соотношений имеем или (18) Выражения (18) соответствуют низкочастотным значениям постоянных распространения волн прямоугольного волновода с однородным заполнением. Следует отметить, что предельные значения (18) величины не зависят от параметров материалов заполнения ПВДЗ. На рис. 4-6 приведены распределения нормированных амплитуд напряженностей электрических полей волн - при м-3, Как известно, граница раздела сред обладает отражающими свойствами, удерживая энергию волны в среде с большей оптической плотностью. Именно такое влияние оказывает плоскость разделяющая слои, на волны и (рис. 4, 6). Поле волны (рис. 5), напротив, сосредоточено в области 2, имеющей воздушное заполнение. Эта волна воспринимает границу раздела сред как экранирующую поверхность проводящего слоя 1. На рис. 7 представлены зависимости действительной и мнимой частей волнового сопротивления, а также модуля волны LE01 от нормированного волнового числа свободного пространства при Что касается волн и то при выбранных значениях параметров волновода в распределениях амплитуд компонент напряженностей их электрических полей имеется по два максимума (рис. 5, 6). Тем самым, для этих волн не представляется возможным определить волновое сопротивление на основе изложенной методики. На рис. 8 и 9 изображены зависимости действительных и мнимых частей постоянных распространения волн и от толщины слоя 1 (рис. 1) при В случае ПВДЗ превращается в прямоугольный волновод, однородно заполненный полупроводником. При волны и ПВДЗ переходят, соответственно, в волны и такой однородно заполненной линии передачи. С уменьшением параметра от значения обе волны по прежнему стремятся концентрировать свои поля в области 1, заполненной оптически более плотным материалом. Однако, по мере сужения слоя полупроводника это становится все более проблематичным. Как следствие, уменьшаются действительные части постоянных распространения волн. При этом коэффициент затухания каждой из волн возрастает незначительно, что обусловлено уменьшением доли поглощающего материала в заполнении волновода. Волне с ее двумя максимумами в поперечном распределении амплитуды напряженности электрического поля, труднее удержаться в сужающемся слое полупроводника. Эта волна первой вытесняется в область 2, имеющую воздушное заполнение. При волна трансформируется в основную волну прямоугольного волновода, однородно заполненного воздухом. На нормированной частоте волна является распространяющейся. Ее нормированная постоянная распространения (19) Следует заметить, что с уменьшением параметра на интервале волна преобразуется из волны в волну типа. При этом количество максимумов в поперечном распределении амплитуды напряженности ее электрического поля сокращается с двух до одного. Подобная трансформация поля волны сказывается и на ее спектральных параметрах. Уменьшение действительной и мнимой частей постоянной распространения волны сменяется их ростом. В частности, при Поле волны вытесняется из области 1 в область 2 при существенно меньшей толщине слоя полупроводника. Однако трансформироваться в основную волну прямоугольного волновода с воздушным заполнением уже не представляется возможным. Ведь такое преобразование претерпела волна Поэтому при волна превращается в квази-волну такого волновода, увеличивая с одного до двух количество максимумов в поперечном распределении амплитуды своего электрического поля. На расчетной частоте волна прямоугольного волновода с воздушным заполнением является затухающей. Ее нормированная постоянная распространения (20) Рис. 8, 9 позволяют убедиться в том, что при постоянные распространения волн и стремятся к предельным значениям (19), (20). На рис. 10 приведены зависимости действительных и мнимых частей волновых сопротивлений волн от параметра при Внутри диапазона значений аргумента обрыв любой из представленных здесь кривых означает появление второго максимума в поперечном распределении амплитуды напряженности электрического поля соответствующей волны. Зависимости действительных и мнимых частей постоянных распространения волн и от концентрации донорной примеси в полупроводнике изображены на рис. 11, 12. При этом нормированное волновое число свободного пространства С увеличением параметра в диапазоне удельная проводимость полупроводника возрастает от 0,8011 См/м до 8,011 См/м, изменяясь практически по линейному закону. Как было отмечено выше, при определенных условиях поля некоторых волн ПВДЗ концентрируются в области 2 (рис. 1), имеющей воздушное заполнение. От волны подобного рода естественно ожидать слабой зависимости постоянной распространения от удельной проводимости и концентрации примеси в полупроводнике Затухание такой волны должно существенно возрастать с увеличением за счет сужения области локализации поля волны. Рис. 11, 12 позволяют утверждать, что перечисленными свойствами обладает волна ПВДЗ. Что касается волны то ее свойства прямо противоположны. Тем самым, поле волны сосредоточено в слое полупроводника. На рис. 13, 14 приведены зависимости действительных и мнимых частей волновых сопротивлений волн от при Обрыв линии внутри диапазона значений концентрации примеси означает появление второго максимума в поперечном распределении амплитуды напряженности электрического поля соответствующей волны. Как следует из рис. 13, при действительная часть волнового сопротивления волны оказалась отрицательной. Возможно ли такое? Для ответа на этот вопрос обратимся к соотношению [6] , (21) связывающему волновое сопротивление с параметрами длинной линии. Здесь и - погонные индуктивность и емкость линии передачи. Погонные сопротивление и проводимость соответственно, учитывают потери в проводниках направляющей структуры и в разделяющем их изоляторе. Соотношение (21) можно привести к виду Отсюда с очевидностью следует, что действительная часть величины положительна. То же самое можно сказать и о самом волновом сопротивлении. Тем самым, при значениях параметров изложенную модель длинной линии нельзя признать адекватно описывающей распространение волны ПВДЗ. Таким образом, единственность максимума в поперечном распределении амплитуды напряженности электрического поля волны ПВДЗ является необходимым (но не достаточным) условием применимости к этой волне данной модели.