Mathematical models of broadband vibrator antennas

Full Text

Введение Как правило, строгий электродинамический анализ вибраторных антенн сводится к решению уравнений Поклингтона и Халлена, при этом вибраторы предполагаются электрически тонкими. В то же время, сегодня существует значительное разнообразие вибраторных антенн (рис. 1), строгие самодостаточные модели которых практически отсутствуют. Расчет таких антенн обычно осуществляется либо с помощью приближенных методов, не обладающих высокой точностью результатов, либо с помощью систем автоматизированного проектирования. Сложность создания математических моделей широкополосных вибраторных антенн связана, прежде всего, со сложностью описания их геометрии. В данной статье рассматривается принцип построения математических моделей для некоторых типов широкополосных вибраторов на основе интегральных представлений электромагнитного поля (ИП ЭМП), связывающих электромагнитное поле в любой точке пространства с токами, локализованными на поверхности излучающей структуры. Основным достоинством ИП ЭМП является необходимось знания только распределения источников, что существенно снижает размерность решаемой задачи в сравнении с прямыми методами, используемыми в САПР. При этом решение внутренней задачи формулируется в виде интегрального уравнения (ИУ) или системы ИУ. Дополнительные сведения о геометрии излучающих структур (зеркальная симметрия, поворотная симметрия) позволяют существенно сократить время их электродинамического анализа. 1. Общие интегральные представления электромагнитного поля Основой для построения математических моделей вибраторных антенн может служить ИП ЭМП вида [1]: (1) где: - интегральные операторы; - ядра интегральных представлений, - волновое число среды, - волновое сопротивление среды, - радиус-вектор точки источника, - радиус-вектор точки наблюдения, - вектор, проведенный из точки источника в точку наблюдения, - оператор набла, применяющийся к источникам поля находящимся в объеме (рис. 2). Достоинством (1) является возможность легкого выделения особенностей поведения ядер и переход к сингулярным ИП ЭМП [2]. Далее рассмотрим более частные ИП ЭМП, которые можно получить на основе (1). 2. Вибраторы с осевой симметрией Существует большое количество вибраторных антенн, обладающих осевой симметрией (рис. 1, в, е, к), учет которой позволяет существенно упростить решение внутренней электродинамической задачи, особенно при условии равноамплитудного возбуждения. Математические модели таких структур удобно строить с помощью соответствующих ИП ЭМП, вытекающих из (1). Предполагая, что осью вращения является ось (рис. 3), вводя азимутальные Фурье-гармоники ЭМП и Фурье-гармоники поверхностной плотности тока в самом общем виде можно записать: (2) где: - тензорные ядра для электрического или магнитного поля. Интегрирование осуществляется по образующей поверхности вращения, - радиус-вектор на образующей. Вид тензорных ядер в силу громоздкости здесь не приводится. На основе (2) можно осуществлять построение математических моделей множества излучающих структур. Подробное исследование случая осевой симметрии приведено в [3]. Разбивая образующую структуры на сегменты (кольца малой ширины) и используя метод сшивания в дискретных точках [4], из (2) можно получить СЛАУ вида: (3) в котором - матрица, определяющая тангенциальные компоненты поля, - диагональная матрица сопротивлений (необходима как элемент физической регуляризации [4] внутренней задачи при электродинамическом анализе резонансных структур), - амплитуды фурье-гармоник вектора поверхностной плотности тока на сегментах, - значения фурье-гармоник вектора стороннего электрического поля в точках коллокации, расположенных в центрах сегментов - номер сегмента, - число сегментов). В качестве простейшей излучающей структуры рассмотрим трубчатую модель вибратора [5] при условии азимутально-независимого возбуждения (рис. 4, а). В отличие от тонкопроволочной модели (рис. 4, б), трубчатая модель физически корректна, и ей соответствует сингулярное интегральное уравнение (СИУ) вида: (4) с логарифмической и гиперсингулярной особенностями. В выражении (4) - распределение основной фурье-гармоники, - компоненты вектора поверхностной плотности тока вдоль поверхности трубки, - регулярное ядро, - константы для фиксированного - продольная компонента вектора стороннего электрического поля. Расмотрим решение (4) методом коллокаций в сравнении с решением уравнения Поклингтона при аналогичных параметрах, которому соответствует тонкопроволочная модель. На рис. 5 приведены сравнительные результаты расчетов интегральных уравнений из [5] для полуволнового вибратора: а - СИУ, б - аналога ИУ Поклингтона: сплошные кривые - штриховые кривые - Трубчатая модель физически корректна, и проблем с устойчивостью при решении СИУ (4) не возникает. Кроме этого, трубчатая модель может служить неплохим и при этом относительно простым эквивалентом широкополосных вибраторов с более сложными формами образующей К более сложным структурам, рассчитываемым с помощью (4), можно отнести различные варианты биконических вибраторов. 3. Планарные вибраторы Несмотря на показанные ранее ограничения тонкопроволочного приближения, его также можно с успехом использовать для создания моделей вибраторных антенн. Тонкопроволочное ИП ЭМП можно получить из общего (1): (5) здесь - ядра интегральных представлений, - распределение полного тока по образующей тонкопроволочной структуры (ТПС, рис. 6), - ее радиус [6]. На практике более целесообразным представляется использование обобщения (5) на случай произвольного числа ТПС с учетом принципа суперпозиции. В качестве наглядного примера рассмотрим планарный тонкопроволочный вибратор [6], геометрия которого представлена на рис. 6. Из рисунка видно, что он образован совокупностью тонких идеальных проводников радиуса по образующим которых протекают токи где - порядковый номер проводника, - натуральный параметр на образующей, - длина i-го проводника. Под мы также в дальнейшем будем понимать сам i-й проводник. Узлы соединения проводников обозначены как где - номер узла, которому соответствует радиус-вектор . Все проводники расположены в плоскости Главная линия вибратора имеющая длину образована проводниками и Она совмещена с осью Ширина вибратора равна Таким образом, его габаритные размеры составляют Уравнения проводников могут быть описаны с помощью векторной функции трех переменных: (6) здесь - радиус-векторы начальной и конечной точек проводника, - единичный вектор касательной на проводнике, длина проводника. Из рисунка несложно определить радиус-векторы узловых точек, а затем на основе (6) записать параметрические уравнения всех проводников. Вибратор условно можно разбить на три части - возбуждающий вибратор и два плеча. Плечи в свою очередь состоят из осевых элементов и боковых элементов и торцевых элементов В центре возбуждающего вибратора имеется зазор шириной в который помещен генератор сторонней ЭДС амплитудой создающий на поверхности всех проводников стороннее электрическое поле равное нулю всюду, за исключением области зазора, где оно равно Для численных расчетов была выбрана модель, определяющаяся соотношениями: число сегментов возбуждающего вибратора число сегментов осевых элементов число сегментов боковых проводников число сегментов торцевых проводников График зависимости входного сопротивления от для вибратора с указанными параметрами в сравнении с тонкопроволочным вибратором аналогичных размеров показан на рис. 7. Резонансные кривые планарного вибратора являются более пологими, области резонансов обладают большей шириной, при этом резонансы смещены в сторону более низких частот в сравнении с кривыми для простейшего тонкопроволочного вибратора. Интересными также представляются модели фрактального вибратора и широкополосного вибратора с треугольными плечами [8], полученные на основе ИП ЭМП (5). Причем последний, по сути, представляет собой двумерный аналог биконического вибратора. Геометрия таких структур представлена на рис. 8. Вполне очевидным становится тот факт, что сложность геометрии фрактальных антенн делает практически невозможным их эмпирический анализ, т. к. наличие большого числа изгибов и близко расположенных взаимодействующих элементов существенно влияют на распределение тока, и уже трудно сказать, какой характер оно имеет. Также затрудняется анализ вторичных характеристик антенн, таких как диаграмма направленности или входное сопротивление. Поэтому здесь метод анализа на основе ИП ЭМП становится практически единственно возможным. На рис. 9 представлена графическая визуализация амплитудных распределений тока по элементам фрактальной антенны для двух кратных значений анализируя которые можно сделать следующие выводы. Во-первых, на фрактальной антенне присутствуют достаточно быстрые пространственные изменения амплитуды тока, чего обычно не наблюдается на антеннах других типов. Во-вторых, наибольшую амплитуду ток имеет в окрестности ребер антенны, что хорошо согласуется с физическими представлениями о поведении электромагнитных полей вблизи геометрических сингулярностей. В третьих, распределения тока на кратных частотах очень похожи. На рис. 10, а, 11, а показаны результаты расчета ДН для симметричного вибратора, плечи которого представляют собой треугольники Серпинского, полученные в результате пяти итераций (фрактальный вибратор). На рис. 10, б, 11, б приведены результаты для широкополосного вибратора с треугольными плечами аналогичных размеров. Как видно из рисунков, ДН фрактального вибратора обладает повторяемостью на кратных частотах, для широкополосного вибратора подобной повторяемости не наблюдается. 4. Объемные тонкопроволочные модели вибраторов с поворотной симметрией Рассмотрим случай, когда ТПС, образованная совокупностью проводников, обладает поворотной симметрией. Параметрические уравнения образующих проводников можно записать как: (7) здесь - матрица поворота, - параметрическое уравнение основной образующей. Для такого случая из (5) можно получить систему независимых ИУ, записанных относительно неизвестных распределений нормальных волн тока [8]: (9) Здесь - распределение нормальной волны стороннего электрического поля с индексом - соответсвующие ядра. Распределения токов на каждой ТПС связаны с (10) В простейшем случае на основе данной системы ИУ можно осуществить расчет токов на структуре, показанной на рис. 12, представляющей собой совокупность тонких прямолинейных проводников, возбуждаемых соответствующими генераторами ЭДС (своего рода аналог трубчатого вибратора). Результаты расчетов представлены в [9]. Расчет был произведен в предположении, что ЭДС генераторов имеют равные амплитуды. При этом правая часть совокупности независимых СЛАУ (9) будет отлична от нуля только при Моделирование осуществлялось в диапазоне при и Результаты оценки сходимости распределений тока представлены на рис. 13, а. Из данных графиков видно, что в дальнейших расчетах достаточно принять число сегментов равным 201. Интересным также оказался результат расчета комплексного распределения тока при показанный на рис. 13, б. Как видно из рисунка, в данном случае в проводниках вибратора реализуется режим бегущей волны тока, причем ее амплитуда падает до очень малых значений чрезвычайно быстро - практически через расстояние в одну длину волны. При меньшем отношении для такого эффекта не наблюдается. Более сложной излучающей структурой, расчет которой возможен на основе ИП ЭМП с поворотной симметрией, является вибратор Надененко (рис. 14, а), для электродинамического анализа которого целесообразно введение понятия группы основных проводников (рис. 14, б). При этом необходимо с учетом принципа суперпозиции переписать соответствующим образом ИП ЭМП (5), в результате совокупность ИУ (9) перейдет в совокупность систем ИУ, записанных относительно распределений нормальных волн тока на прямолинейных проводниках. На рис. 15 представлены результаты расчета входного сопротивления вибратора Надененко (а) и аналогичные результаты, полученные для широкополосного вибратора (б), показанного на рис. 12, а. Как видно из рисунков, соответсвующие зависимости достаточно сильно отличаются. Так, например, входное сопротивление широкополосного вибратора имеет относительно большую емкостную составляющую и более пологие резонансные зависимости. Заключение Таким образом, в статье рассмотрена возможность создания самодостаточных математических моделей широкополосных вибраторов на основе различных форм интегральных представлений электромагнитного поля, в том числе сингулярных. Приведены результаты численного расчета распрелений тока, входного сопротивления и диаграмм направленности для некоторых излучающих структур. Особое внимание уделено возможности использования тонкопроволочных ИП ЭМП для электродинамического анализа широкополосных вибраторов. Выявлено, что форма проводников существенно влияет на характеристики излучающих структур, и прежде всего на функции распределения токов и входное сопротивление. Показано, что учет симметрии излучающих структур позволяет существенно упростить их математические модели, особенно в случае равноамплитудного возбуждения. Следует отметить, что тонкопроволочные ИП ЭМП представляют собой достаточно гибкий инструмент для построения математических моделей вибраторных антенн большого и сложного поперечного сечения с использованием совокупности тонких проводников, в результате чего получаются модели сеточного типа. При малых расстояниях между проводниками такие модели эквивалентны моделям со сплошными поверхностями. При этом в ядрах получаемых систем ИУ не возникает логарифмических и гиперсингулярных особенностей, что упрощает численное моделирование.

About the authors

D. P Tabakov

S. V Morozov

V. A Neganov

References

Supplementary files