CIE color space conversion in the strict the same contrast based tensor calculus

Full Text

Введение В начале 40-х годов прошлого столетия Мак Адам опубликовал результаты экспериментов по определению порогов цветоразличения глазом человека [1]. Эти результаты были повторены Стайлсом [2] и Вышецки [3] и впоследствии повторены Мак Адамом. Все результаты хорошо согласуются между собой, и приведены в колориметрической системе МКО 1931 г. (x, y) и хорошо известны специалистам. На диаграмме МКО 1931 г. (x, y) результаты выглядят как эллипсы, причем размеры и ориентация эллипсов зависит от значения цветности. Наличие эллипсов, а не кругов говорит о недостатках колориметрической системы МКО 1931 г. (x, y). Впоследствии многие авторы разрабатывали так называемые равноконтрастные цветовые системы, к которым, к примеру, можно отнести: МКО 1960 г. (u, v), МКО 1976 г. (a*, b*) и другие. Но как, показали расчеты [4, с. 294, табл. 7.2] ни одна существующая колориметрическая система не позволяет отразить на цветовой диаграмме вместо эллипсов Мак Адама - равновеликие окружности. В [4; 5] приведены результаты разработки квази-равнокотрастных цветовых пространств. Эти разработки опираются на использование тензорного аппарата, в частности метрического тензора. Большой интерес представляет работа Фарнсворта [6], в которой автор описал криволинейные варианты цветового графика МКО 1931 г. (x, y), соответствующие распределению цветностей по Мак Адаму, Ньюхохлу, Никерсон и Джадду (рис. 1, показывающий распределение ренотаций Манселла). Таким образом, кажется, что Фарнсворту удалось доказать возможность трансформации эллипсов Мак Адама в окружности равного диаметра, не обращаясь к пространству частично отрицательной и частично положительной кривизны. Однако это может иметь место в предположении, что по своей природе экспериментальные данные наблюдателя изменились до 20 %. На рис. 2 показаны эллипсы Мак Адама в пространстве Фарнсворта. Поверхность цветового пространства любой системы можно характеризовать эллиптичностью поверхности [7], определяемую в соответствии: где - максимальная ось эллипса; - минимальная ось эллипса. В таблице приведены значения эллиптичности поверхности цветового пространства некоторых систем. В этой же таблице приведены значения порога цветоразличения для стандартного наблюдателя МКО и максимальное отношение площадей эллипсов Мак Адама. Из таблицы видно, что ни одна цветовая поверхность не имеет значения которое было бы идеально для поверхности цветового пространства. Целью настоящей статьи является разработка равноконтрастной цветовой системы. 1. Постановка задачи и цветовой тензор Необходимо отметить, что Мак Адам проводил эксперименты по определению порогов цветоразличения при постоянной яркости излучения стимула. Поэтому, его результаты интерпретировались в двумерном цветовом пространстве, в частности на цветовом локусе МКО 1931 г. (x, y). Автором данной статьи был разработан программный комплекс по измерению порогов цветоразличения [4; 8; 9]. Впоследствии этот программный комплекс был изменен и дополнен с учетом зависимости порога цветоразличения от значения яркости стимула. Интерпретация результатов измерений может быть представлена, как это показано на рис. 3. Однополостный гиперболоид (рис. 3) сильно похож на результат решения уравнения Эйнштейна, описывающего состояния пространства-времени, решенное Шварцшильдом [10], приведенный на рис. 4. Известно, что уравнение Эйнштейна имеет вид [10]: (1) где - тензор кривизны Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени посредством свертки его по паре индексов; - скалярная кривизна, то есть свернутый тензор Риччи; - метрический тензор; - космологическая постоянная; представляет собой тензор энергии-импульса материи; - число; с - скорость света в вакууме; G - гравитационная постоянная Ньютона. Так как все входящие в уравнения тензоры симметричны, то в четырехмерном пространстве-времени эти уравнения равносильны скалярным уравнениям. Уравнения А. Эйнштейна не налагают никаких ограничений на используемые для описания пространства-времени координаты, т. е. обладают свойством общей ковариантности, но они ограничивают выбор лишь 6 из 10 независимых компонент симметричного метрического тензора. Поэтому их решение неоднозначно без введения некоторых ограничений на компоненты метрики, соответствующих однозначному заданию координат в рассматриваемой области пространства-времени, и обычно называемых координатными условиями. Как видно в (1), в правой части используются такие физические константы, как гравитационная постоянная Ньютона G, скорость света с, и тензор энергии-импульса материи значения, компонент которого равно нулю для момента наступления статического режима состояния материи в замкнутом пространстве-времени, т. е. движение материи будет отсутствовать. Космологическая постоянная также (для нашего случая цветового пространства) равна нулю, тогда уравнение (1) примет следующий вид: (2) Введем понятие цветовой тензор. Любой точке на цветовом локусе можно сопоставить некий цветовой вектор. Для начала, свяжем такие понятия как цветовая насыщенность и цветовой тон с системой координат МКО 1931 (x, y). Для чего сделаем параллельный перенос осей x, y так, что бы начало координат совпадало с координатами «белого» цвета. Очевидно, для системы МКО 1931 (x, y) это будет цветность равно энергетического источника E с координатами и Тогда цветовой локус будет иметь вид, как это изображено на рис. 5. На рис. 5 длина вектора 0S отображает цветовую насыщенность центра эллипса Мак Адама, а угол - цветовой тон. Поскольку все вектора типа 0S (рис. 5) начинаются из нулевой точки, то длина этих векторов (цветовая насыщенность) определяется простым выражением типа: где x, y - координаты конца вектора в системе координат x’ y’; L - яркость точки конца вектора. Согласно закону Бугера-Фехнера порог по яркости равен 0,01 от текущей яркости. Цветовой вектор может быть представлен следующей матрицей: (3) Разложив вектор (3) по ортам базиса получим двух валентный симметричный цветовой тензор Суть этого тензора заключается в задании координат для метрического тензора в (2) конкретной точки на цветовой диаграмме. Здесь мы будем рассматривать систему МКО 1931 г. (x, y), причем, с переносом начало координат, как это было сказано выше. Пожалуй, в качестве цветовой диаграммы можно использовать любую из известных систем МКО. С учетом сказанного, перепишем (3): (4) Цветотехнические величины и L (или значения координат) можно найти в работе [11]. 2. Преобразование координат перехода в цветовое криволинейное пространство Для того чтобы преобразовать цветовое пространство в криволинейное, необходимо заменить старый базис на новый Для этого необходимо использовать матрицу перехода которая устанавливает связь между старым и новым базисами [12]: Матрица определяется [11]: (5) И называется матрицей прямого перехода от старого базиса к новому Каждый столбец матрицы (5) определяет орты базиса: И аналогично, матрица которая является обратной матрице будет являться матрицей обратного перехода от нового базиса к старому т. е. Поскольку изначально вектора, характеризующие размеры эллипсоида взаимно перпендикулярны, притом в обеих координатных системах, то матрица Якоби [13] будет сингулярной матрицей, а следовательно ее определитель (якобиан матрицы) равен нулю. где - координаты точки в старом базисе отображенные в новом базисе Кроме того, известно, что [13], то получается, что в новом базисе радиус сферы будет равен нулю, что означает нуль-пространство, т. е. эллипсоид трансформируется в точку. Это можно объяснить следующим образом. Эллипсы, полученные Мак Адамом (рис. 3) с точки зрения глаза наблюдателя рассматриваются как бы «изнутри эллипса», а «с наружи» эти эллипсы видны как точки, имеющие нулевую протяженность. Таким образом, в данном случае действует закон относительности. Согласно сказанному, следует, что в качестве матрицы перехода из одного базиса в другой матрицу Якоби с любой внешней функцией в этом случае использовать нельзя. Обход указанных трудностей, для решения поставленной задачи будет описано ниже. 3. Тензорное поле цветового локуса Согласно определению, если вектор или тензор связаны с конкретной точкой, а другая группа векторов либо других тензоров связаны с другими точками некоторой области, то эта область называется либо векторным, либо тензорным полем [12; 13]. В дальнейшем будем говорить только о тензорном поле. Чтобы отметить конкретную точку пространства M, с которой связан конкретный тензор данного тензорного поля, запишем M как аргумент Очевидно, что сказанное выше относится и к цветовому локусу с конкретными эллипсами Мак Адама. Далее, каждый порог цветоразличения (эллипс Мак Адама для порогов по цветности, либо эллипсоид для порогов цветоразличения) - представляют собой замкнутую фигуру и в случае рассмотрения трехмерного цветового пространства - эллипсоид, то в качестве системы координат удобней применять сферическую систему - являющейся, как частным случаем криволинейной системой координат. В декартовых координатах отображение задается посредством векторов и базисов. В сферических координатах - расстояние от точки до центра сферы, а и соответственно два угла и (азимут и склонение). Таким образом, в сферических координатах каждую точку представляем как радиус-вектор в некоторой вспомогательной декартовой системе координат. Рассмотрим отображение Сам радиус-вектор представляется тремя координатами в базисе вспомогательной системы координат: Здесь имеем биективное отображение [13]. Это числовое отображение и может обрабатываться в числовой форме. Левая стрелка представляется тремя функциями от трех переменных [13]: (6) Для правой стрелки имеем: (7) Продифференцируем все функции (6), (7). Рассмотрим частные производные (6) и (7). Введем обозначения [13]: (8) Частные производные (8) являются ни что иное, как матрицы Якоби [13], если их разместить в две квадратные матрицы S и T: Подставив в (7) аргументы (или в (6) аргументы можно сделать так, чтобы они имели общий набор аргументов [13]: (9) (10) Из (9) или (10) видно, что матрицы и взаимно обратные, т. е. 4. Кривизна пространства цветоразличения В уравнение Эйнштейна входит тензор кривизны - тензор Риччи. Рассмотрим структуру данного тензора. Как известно [13], тензор Риччи был получен из классического тензора кривизны путем его свертки: (11) где - тензор кривизны. Формулу (11) для тензора Риччи можно преобразовать к следующему виду: Из тензора Риччи можно построить скаляр R по следующей формуле [13]: (12) Скаляр определенный (12) - есть скалярная кривизна пространства поверхности в точке с координатами Скалярная кривизна - это полная свертка тензора кривизны R: Переход от компонент тензора к скалярной кривизне - это на первый взгляд потеря информации, т. е. шестнадцать величин заменяются одной. Однако в двумерном случае никакой потери информации не происходит. Действительно, компоненты тензора кривизны кососиметричны как по верхней паре индексов, так и по нижней паре индексов. При совпадении или они зануляются. Единственные не нулевые компоненты - это причем Тогда, в силу сказанного, получаем: Но согласно формуле Гаусса [14] следует: (13) где K - гауссова кривизна. Cредняя кривизна поверхности в точке М, согласно [14], есть величина: где и - радиусы кривизны взаимно-перпендикулярных кривых в точке M [14]. В случае сферической поверхности имеем: (14) Подставим (14) в (13) получим скалярную кривизну сферы порога цветоразличения: (15) Значение можно задать совершенно произвольно, например, Но если оставить координаты тензоров тензорного поля в соответствии с колориметрическими системами МКО 1931 г. (x, y) МКО 1960 г. (u, v), то значения радиуса сферы порога цветоразличения, равного единицы будет не пропорционально велико. Вполне естественно, принять значение равное величине порога цветоразличения для исходной цветовой системы (см. таблицу), тогда из (15) следует (для системы МКО 1931 г. (x, y) Уравнение (1) с учетом можно записать: , Проведя упрощение, получим: где координаты метрического тензора определяется тензором для конкретной точки M цветового локуса. 5. Согласованность метрики и связности Поскольку рассматриваются криволинейные координаты в евклидовом пространстве, то в этом пространстве имеем скалярное произведение (x, y) и метрический тензор: где - угол между векторами x и y. (16) Метрический тензор (16) преобразуем в базис подвижного репера и В декартовых координатах все компоненты метрического тензора являются константы, так как базисные векторы - константы. Ковариантная производная в декартовых координатах приводит к дифференцированию Поэтому, здесь имеем: (17) Но, согласно [13] - это тензор и если все его компоненты в некой системе координат равны нулю, то они равны нулю и в любой другой системе координат. Поэтому тождество (17) справедливо и в криволинейных координатах тоже. Компоненты метрического тензора и компоненты связности в произвольной системе координат на поверхности связаны соотношением [13]: выражающим условие согласованности метрики и связности на этой поверхности. Формула для компонентов связности имеет вид [13]: Условие согласованности метрики и связности можно записать в форме следующих соотношений: Компоненты метрического тензора в сферических координатах определяются [13]: Компоненты связности: где Итак, были рассмотрены все компоненты тензоров уравнения Эйнштейна (1). Далее будет рассмотрен вопрос создания равноконтрастной криволинейной системы координат. 6. Равноконтрастная криволинейная система координат Повторим задачу. Сам цветовой локус оставляем без изменения, а эллипсоиды отображаем в новом сферической системе координат, что дает трансформацию их в сферы одинаковых радиусов. На основе приведенного математического аппарата, и учитывая, что уравнения эллипсоида вращения согласно [15] имеет вид: (18) где a, b, d - длина полуосей эллипсоида, а уравнение сферы, согласно [15], имеет вид: . (19) Здесь предполагается, что центры, как эллипсоида и сферы совпадают с началом координат, а координаты - соответствуют привычным x, y, z. Уравнения (18), (19) необходимы для расчетов матрицы перехода (4). На рис. 6 и 7 представлены результаты расчетов (трансформации эллипсоидов в шары одинакового диаметра). На этих рисунках показано только пять эллипсоидов, с целью не загромождения рисунков. С этой же целью на рисунках показаны сечения эллипсоидов плоскостями X0L и Y0L. Заключение При определении разницы между двумя и более цветами, что является вопросами высшей колориметрии, а также вопросами цветовосприятия человека, а значит цветовоспроизведения, очень важно иметь равноконтрастную цветовую систему, в которой геометрическая разница цветовых различий не зависела бы от сравниваемых цветов (цветностей). Используемые, в настоящее время цветовые системы (МКО 1931 г. (x, y, z), МКО 1960 г. (u, v, w), МКО 1976 г. (L, a, b) и ряд других) не обладают равномерной шкалой, хотя последние из названных систем называются равноконтрастные цветовые системы. В связи с этим, разработка строго равноконтрастной цветовой системы является весьма актуальной задачей, решив данную задачу можно практически создать эталоны цвета, уточнить механизмы цветовосприятия глаза, нормировать допустимые цветовые искажения цветопередающих и цветовоспроизводящих систем (аппаратуры). Данная статья посвящена вопросам создания строго равноконтрастных цветовых систем. Попытки разработки строго равноконтрастных цветовых систем, проделанные разными авторами, например Мак Адамом, Стайлсом, Вышецским и другими, не увенчались успехом, хотя были достигнуты определенные результаты. Очевидно, создание такой статической системы не возможно. Тем не менее, в работе приведены результаты разработки строго равноконтрастных цветовых систем. Основное отличие полученных строго равноконтрастных цветовых систем, заключается в том, что предлагаемая система является динамической системой, т. е. цветовая система представляется в подвижной системе координат с использованием геометрии Римана. В этой системе величина цветового различия между двумя цветами определяется длинной криволинейного отрезка соединяющего две точки, с координатами сравниваемых цветов и расположенных на сферах разного радиуса. На наш взгляд, удалось создать равноконтрастное цветовое пространство, которое имеет две системы координат. Подложка пространства (цветовой локус) построена на основе евклидового пространства (декартовая система координат), а пространство порогов цветоразличения построено на косоугольной системе координат (сферическая система). В этом цветовом пространстве в качестве исходной цветовой диаграммы может использоваться любая система координат. На описанный метод преобразования цветового пространства получен патент на изобретение [16].

About the authors

L. D Lozhkyn

A. A Voronoj

A. A Soldatov

References

Supplementary files